1、散亂數(shù)據(jù)處理Problem1122( ,),(,),(,)NNx yxyxy( ):nu xxRxDR( )( )(1,2,)iiif xyu xiN有N個(gè)已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)列或點(diǎn)集（點(diǎn)集來(lái)自一個(gè)未知函數(shù) ）要求構(gòu)造一個(gè)光滑（連續(xù)且一階可導(dǎo)的）函數(shù) ，滿足并且還要與經(jīng)驗(yàn)相符，便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)( )f x定義散亂數(shù)據(jù)散亂數(shù)據(jù)： 一般指二維平面上或者三維空間中無(wú)規(guī)則的隨機(jī)分布的數(shù)據(jù)。分類分類：散亂數(shù)據(jù)按其復(fù)雜程度可以分為單自變量、雙自變量及多自變量三種類型。問(wèn)題表述：（問(wèn)題表述：（雙自變量） 平面上有n個(gè)點(diǎn)(xi,yi), 并有zi=f(xi,yi), 構(gòu)造一個(gè)連續(xù)函數(shù)F(x,y),使其在n個(gè)點(diǎn)上的函

2、數(shù)值與f(x,y)一致。中小規(guī)模基本方法 Kriging方法 Shepard方法 MQS方法 徑向基函數(shù)方法 (薄板)樣條方法 有限元法 NURBS數(shù)據(jù)處理基本思想針對(duì)散亂數(shù)據(jù)特點(diǎn)和難點(diǎn)將數(shù)據(jù)進(jìn)項(xiàng)改善 將散亂的數(shù)據(jù)變成規(guī)則的數(shù)據(jù) 把處理海量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成小量數(shù)據(jù)處理Shepard方法 首先有氣象及地質(zhì)學(xué)家提出 基本思想：用N個(gè)采樣點(diǎn)xk處的函數(shù)值yk的加權(quán)平均來(lái)表達(dá)其它任意點(diǎn)處的函數(shù)值F(x)，權(quán)重與當(dāng)前點(diǎn)x與各采樣點(diǎn)xk的距離成反比(Inverse Distance Weighting IDW)。一般格式：( ,)id x x表示從點(diǎn)x到點(diǎn) 之間的距離。P是正實(shí)數(shù)(Power Parameter

3、).11( ) ( ,)0 for all ( )( ) ( ,)0 for some NiiiiNiiiiw x yif d x xif xw xyif d x xi1( )( ,)ipiw xd x xix被插值點(diǎn)x到插值點(diǎn) 的距離越大，對(duì)應(yīng)權(quán)值越小。ix2p 參數(shù)P越大，則離被插值點(diǎn)x越近的點(diǎn)的權(quán)值越大，當(dāng)P充分大，插值結(jié)果近似于常數(shù)插值。二維下，取 ，會(huì)導(dǎo)致插值結(jié)果受距離遠(yuǎn)處點(diǎn)的影響過(guò)大： 假設(shè)單位面積內(nèi)有k個(gè)點(diǎn)，在與被插值點(diǎn)x的距離為a到b（ab）的這塊區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)的權(quán)值的和：122bbpjpaajrkdrwkrdrrN維情形下有類似結(jié)論Shepards method 選取P的原則是

4、使得下面的函數(shù)達(dá)到最小：( , )0 x yu滿足：121()( , )( ,)Npipiiuux yd x xukaszyk-Karmowski metric（統(tǒng)計(jì)概率分布）（統(tǒng)計(jì)概率分布）12*1( )( ,)iiw xDx xModified Shepards Method（有限（有限R區(qū)域）區(qū)域）2max(0,( ,)( )(* ( ,)iiiRd x xw xR d x xShepards partial approximation methods10327( )1430RrrrRw rrRRRrR()iiww xx可以根據(jù)實(shí)際情況，定義需要的權(quán)函數(shù)衰減規(guī)律。可以根據(jù)實(shí)際情況，定義需

5、要的權(quán)函數(shù)衰減規(guī)律。在在GPS高程擬合中常用。高程擬合中常用。混合模型1. 先用二次曲面擬合，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等方法 對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到殘差。2. 再使用Shepard方法擬合殘差，然后兩部 分結(jié)果的和就是所求。例子12(,)mx xx1,11,21,(,)nnnmxxx1ny11112122122212mmnnnnmyxxxyxxxyxxx設(shè)天氣Y與m個(gè)因素 有關(guān)，采集n個(gè)時(shí)刻的數(shù)據(jù)作為樣本，構(gòu)成數(shù)據(jù)集。當(dāng)給出第n+1個(gè)時(shí)刻的因素?cái)?shù)據(jù)后，通過(guò)以上n個(gè)樣本數(shù)據(jù)得到的Y和X之間關(guān)系來(lái)確定的情況。天氣方法思想1ny211()miniiw yy要找到使得達(dá)到最小，其中21,11()iumiijnjjw

6、rrxx描述第i個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)對(duì)第n+1個(gè)時(shí)刻的貢獻(xiàn)大小求解利用求極值的方法可以得到111miiinmiiw yyw對(duì)于權(quán)重的指數(shù)u可以用參數(shù)優(yōu)化方法結(jié)合具體情況求得最好的u。也可以直接令u=2.另外，也可以對(duì)權(quán)值的進(jìn)行一定的改進(jìn)，調(diào)整衰減情形。Kriging方法 Kriging方法，方法，是以南非礦業(yè)工程師是以南非礦業(yè)工程師D.G.Krige (克里格克里格)名字命名的一項(xiàng)實(shí)用空名字命名的一項(xiàng)實(shí)用空間估計(jì)技術(shù)，是間估計(jì)技術(shù)，是地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué) 的重要組成部的重要組成部分，也是地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心。分，也是地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心。Kriging方法無(wú)偏條件無(wú)偏條件： 0*11000mmxZxZExZx

7、ZEniiniii xZE為常數(shù),有 11nii估計(jì)方差最小：估計(jì)方差最小：（1）（2）Kriging方法niijniijinjxxCxxC1011, 1Kriging方程組方程組：不滿足二階平穩(wěn)條件時(shí)（變差函數(shù)）：變差函數(shù)變差函數(shù)基臺(tái)值：代表變量在空間上的總變異性大小。即為變差函基臺(tái)值：代表變量在空間上的總變異性大小。即為變差函數(shù)在數(shù)在h大于變程時(shí)的值，為塊金值大于變程時(shí)的值，為塊金值c0和拱高和拱高cc之和。之和。 拱高：為在取得有效數(shù)據(jù)的尺度上，可觀測(cè)得到的變異性拱高：為在取得有效數(shù)據(jù)的尺度上，可觀測(cè)得到的變異性幅度大小。當(dāng)塊金值等于幅度大小。當(dāng)塊金值等于0時(shí)，基臺(tái)值即為拱高。時(shí)，基臺(tái)值

8、即為拱高。 地質(zhì)變量相關(guān)性的各向異性地質(zhì)變量相關(guān)性的各向異性幾何各向異性：變差函數(shù)在空間各個(gè)方向上的變程不同，幾何各向異性：變差函數(shù)在空間各個(gè)方向上的變程不同，但基臺(tái)值不變（即變化程度相等）。這種情況能用一個(gè)簡(jiǎn)但基臺(tái)值不變（即變化程度相等）。這種情況能用一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何坐標(biāo)變換將各向異性結(jié)構(gòu)變換為各向同性結(jié)構(gòu)。單的幾何坐標(biāo)變換將各向異性結(jié)構(gòu)變換為各向同性結(jié)構(gòu)。變差函數(shù)的理論模型變差函數(shù)的理論模型設(shè)Z(x)為滿足本征假設(shè)的區(qū)域化變量，則常見(jiàn)的理論變差函數(shù)有以下幾類：球狀模型球狀模型指數(shù)模型指數(shù)模型高斯模型高斯模型冪函數(shù)模型冪函數(shù)模型空洞效應(yīng)模型空洞效應(yīng)模型 接近原點(diǎn)處，變差函接近原點(diǎn)處，變差函 數(shù)

9、呈線性形狀，在變數(shù)呈線性形狀，在變 程處達(dá)到基臺(tái)值。程處達(dá)到基臺(tái)值。 原點(diǎn)處變差函數(shù)的切原點(diǎn)處變差函數(shù)的切 線在變程的線在變程的2/3處與處與 基臺(tái)值相交。基臺(tái)值相交。 ahcahahahchahSphch,2123003球狀模型：球狀模型： c為基臺(tái)值，為基臺(tái)值，a為變程，為變程，h為滯后距。為滯后距。指數(shù)模型：指數(shù)模型： ahcahExpch3exp1 變差函數(shù)漸近地逼近變差函數(shù)漸近地逼近 基臺(tái)值。基臺(tái)值。 在實(shí)際變程處，變差在實(shí)際變程處，變差 函數(shù)為函數(shù)為0.95c。 模型在原點(diǎn)處為直線。模型在原點(diǎn)處為直線。高斯模型：高斯模型： 223exp1ahch 變差函數(shù)漸近地逼近變差函數(shù)漸近地逼

10、近 基臺(tái)值。基臺(tái)值。 在實(shí)際變程處，變差函在實(shí)際變程處，變差函 數(shù)為數(shù)為0.95c。 模型在原點(diǎn)處為拋物線。模型在原點(diǎn)處為拋物線。 冪函數(shù)模型：冪函數(shù)模型： hch. 冪函數(shù)模型為一種無(wú)基冪函數(shù)模型為一種無(wú)基臺(tái)值的變差函數(shù)模型。這臺(tái)值的變差函數(shù)模型。這是一種特殊的模型。是一種特殊的模型。 當(dāng)當(dāng) =1時(shí)，變差函數(shù)為一時(shí)，變差函數(shù)為一直線，即為線性模型，這直線，即為線性模型，這一模型即為著名的布朗運(yùn)一模型即為著名的布朗運(yùn)動(dòng)（隨機(jī)行走過(guò)程）的變動(dòng)（隨機(jī)行走過(guò)程）的變差函數(shù)模型；差函數(shù)模型； 當(dāng)當(dāng) 1時(shí)，變差函數(shù)為拋時(shí)，變差函數(shù)為拋物線形狀，為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)物線形狀，為分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)(fBm)的變差函數(shù)模

11、型的變差函數(shù)模型。 布朗運(yùn)動(dòng)布朗運(yùn)動(dòng)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng) h2111h空洞效應(yīng)模型空洞效應(yīng)模型(Hole Effect)： 2cosexp1.bhahch 變差函數(shù)并非單調(diào)增加，變差函數(shù)并非單調(diào)增加， 而顯示出一定周期性的而顯示出一定周期性的 波動(dòng)。波動(dòng)。 模型可以有基臺(tái)值，也模型可以有基臺(tái)值，也 可以無(wú)基臺(tái)值；可以有可以無(wú)基臺(tái)值；可以有 塊金值，也可以無(wú)塊金塊金值，也可以無(wú)塊金 值。值。 空洞效應(yīng)在地質(zhì)上多沿空洞效應(yīng)在地質(zhì)上多沿 垂向上出現(xiàn)，如富礦層垂向上出現(xiàn)，如富礦層 與貧礦層互層、砂巖與與貧礦層互層、砂巖與 泥巖頻繁薄互層等等。泥巖頻繁薄互層等等。（b為富礦化

12、帶重復(fù)距離）)(hh 地統(tǒng)計(jì)（Geostatistics）又稱地質(zhì)統(tǒng)計(jì)，它是以區(qū)域化變量為基礎(chǔ)，借助變異函數(shù)，研究既具有隨機(jī)性又具有結(jié)構(gòu)性，或空間相關(guān)性和依賴性的自然現(xiàn)象的一門科學(xué)。凡是與空間數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)性和隨機(jī)性，或空間相關(guān)性和依賴性，或空間格局與變異有關(guān)的研究，并對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)無(wú)偏內(nèi)插估計(jì)并對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)無(wú)偏內(nèi)插估計(jì)，或模擬這些數(shù)據(jù)的離散性、波動(dòng)性時(shí)，皆可應(yīng)用地統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論與方法。 地統(tǒng)計(jì)方法的條件： (1)隨機(jī)過(guò)程 (2)正態(tài)分布 （3)平穩(wěn)性： 均值平穩(wěn) 協(xié)方差函數(shù)有關(guān)的二階平穩(wěn)和與半變異函數(shù)有關(guān)的內(nèi)蘊(yùn)平穩(wěn) Kriging 插值的條件：變異函數(shù)和相關(guān)分析的結(jié)果表明區(qū)域化變量存在空

13、間相關(guān)性。Kriging方法首先假設(shè)區(qū)域化變量 滿足二階平穩(wěn)假設(shè)和本征假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為m，協(xié)方差函數(shù) 及變異函數(shù) 存在。即 假設(shè)在待估計(jì)點(diǎn)（x）的臨域內(nèi)共有n個(gè)實(shí)測(cè)點(diǎn)，即x1，x2，xn，其樣本值為 。那么，普通Kriging方法的插值公式為 )(xZc(h)(hmxZE)(2)()()(mhxZxZEhc2)()(21)(hxZxZEhniiixZxZ1*)()()(ixZ 其中 為權(quán)重系數(shù)，表示各空間樣本點(diǎn) 處的觀測(cè)值 對(duì)估計(jì)值 的貢獻(xiàn)程度。 可見(jiàn)，克立格插值的關(guān)鍵就是計(jì)算權(quán)重系數(shù) 。顯然，權(quán)重系數(shù)的求取必須滿足兩個(gè)條件： 一是使 的估計(jì)是無(wú)偏的，即偏差的數(shù)學(xué)期望為零； 二是最優(yōu)的，即使

14、估計(jì)值 和實(shí)際值 之差的平方和最小。 為此，需要滿足以下兩個(gè)條件： iix)(ixZ)(*xZi)(*xZ)(*xZ)(ixZ (1)無(wú)偏性。要使 成為 的無(wú)偏估計(jì)量，即 當(dāng) 時(shí)，也就是當(dāng) 時(shí)，則有 這時(shí)， 為 的無(wú)偏估計(jì)量。 （2）最優(yōu)性。在滿足無(wú)偏性條件下，估計(jì)方差為mxZExZEniiiniii11)()()()(*xZExZE)(*xZ)(ixZmxZE)(nii11)(*xZ)(ixZ212*2 )()()()(niiiExZxZExZxZE使用協(xié)方差函數(shù)表達(dá)，它可以進(jìn)一步寫為 為使估計(jì)方差最小，根據(jù)拉格朗日乘數(shù)原理，令 求F對(duì) 和 的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，得克立格方程組 ninjni

15、iijijiExxcxxcxxc1112),(2),(),() 1(212niiEFiniiijinjjiFxxcxxcF110) 1(202),(2),(2整理后得 解線性方程組,求出權(quán)重系數(shù)i和拉格朗日系數(shù),代入公式可得克立格估計(jì)方差niiijinjjxxcxxc111),(),(niiiExxcxxc12),(),(上述過(guò)程也可用矩陣形式表示，令 則普通克立格方程組為 其估計(jì)方差為1),(),(),(,01111112121212222111211xxcxxcxxcDcccccccccKnnnnnnnnDKDK1DxxcTK),(2在變異函數(shù)存在的條件下，根據(jù)協(xié)方差與變異函數(shù)的關(guān)系： ，

16、也可以用變異函數(shù)表示普通克立格方程組和克立格估計(jì)方差，即 解線性方程組 ，求出權(quán)重系數(shù) 和拉格朗日乘數(shù)，代入公式 ，可得克立格估計(jì)方差 ，即 )()0()(hcchniiijinjjxxxx111),(),(),(),(12xxxxniiiK也可以將克立格方程組和估計(jì)方差用變異函數(shù)寫成上述矩陣形式。令 在以上的介紹中，區(qū)域化變量 的數(shù)學(xué)期望 可以是已知或未知的。如果m是已知常數(shù)，稱為簡(jiǎn)單克立格法；如果m是未知常數(shù)，稱為普通克立格法。不管是哪一種方法，均可根據(jù)方法計(jì)算權(quán)重系數(shù)和克立格估計(jì)量。1),(),(),(,01111112121212222111211xxxxxxDKnnnnnnnnDKD

17、K1),(2xxDTK)(xZmxZE)(克里格插值基礎(chǔ)克里格方法概述 克里格方法（Kriging）又稱空間局部插值法，是以變異函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析為基礎(chǔ)，在有限區(qū)域內(nèi)對(duì)區(qū)域化變量進(jìn)行無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)的一種方法，是地統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要內(nèi)容之一。其實(shí)質(zhì)是利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)未知樣點(diǎn)進(jìn)行線性無(wú)偏、最優(yōu)估計(jì)。無(wú)偏是指偏差的數(shù)學(xué)期望為0，最優(yōu)是指估計(jì)值與實(shí)際值之差的平方和最小。 2.克里格方法的具體步驟導(dǎo)入數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)分析是否服從正態(tài)分布是否是否存在趨勢(shì)否是數(shù)據(jù)變換泛克里格方法根據(jù)數(shù)據(jù)選擇合適的方法計(jì)算樣點(diǎn)間的距離矩陣計(jì)算樣點(diǎn)間的屬性方差按距離分組按組統(tǒng)計(jì)平均距離及對(duì)應(yīng)的平均方差繪制方差變

18、異云圖繪制經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)圖擬合理論半變異函數(shù)圖計(jì)算克里格系數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)圖10.26 克里格方法流程圖例如:某地區(qū)降水量是一個(gè)區(qū)域化變量，其變異函數(shù) 的實(shí)測(cè)值及距離h的關(guān)系見(jiàn)下表，下面我們?cè)囉没貧w分析方法建立其球狀變異函數(shù)模型。實(shí)測(cè)值(h)距離h實(shí)測(cè)值(h)距離h2.10.69.24.94.31.110.35.15.72.210.56.26.52.510.97.57.83.111.29.58.83.812.49.8 從上面的介紹和討論，我們知道，球狀變異函數(shù)的一般形式為 當(dāng) 時(shí)，有ahccahahahcchh03300)223(00)(ah 0330)2()23()(hachacch 如果記 ，則

19、可以得到線性模型 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，對(duì)上式進(jìn)行最小二乘擬合它是一種數(shù)學(xué)上的近似和優(yōu)化，利用已知的數(shù)據(jù)得出一條直線或者曲線，使之在坐標(biāo)系上與已知數(shù)據(jù)之間的距離的平方和最小。，得到 32132100,21,23,),(hxhxacbacbcbhy22110 xbxbby2192007. 0731. 1048. 2xxy 比較兩式，并做簡(jiǎn)單計(jì)算可知：c0=2.048，c=1.154，a=8.353，所以，球狀變異函數(shù)模型為535. 8202. 3535. 80)535. 821535. 823(154. 1048. 200)(33*hhhhhh4個(gè)觀測(cè)點(diǎn)x1，x2，x3，x4的觀測(cè)值分別為Z(x1)=

20、37、Z(x2)=42、Z(x3)=36、Z(x4)=35，如果假設(shè)降水量的變異函數(shù)是向同性（即變異函數(shù)在各個(gè)方向的變化都相同）的二維球狀模型。現(xiàn)在，我們用普通克立格法估計(jì)觀測(cè)點(diǎn)x0的降水量值Z(x0)。 當(dāng) 時(shí)， 根據(jù)克立格矩陣的對(duì)稱性，當(dāng) 時(shí)， ，由此計(jì)算可得 ji 202. 3154. 1048. 2)0(044332211cccccccji jijiijxxxxcc202. 3)(870. 0)535. 8)2(21535. 8223(154. 1048. 2202. 3)2(202. 3)11(202. 33322042112ccc542. 0)13(202. 3223113cc71

21、1. 0)12(202. 322024114ccc601. 0)22(202. 3223223cc383. 0)14(202. 3224334cc466. 0)23(202. 3224224cc952. 0)1(202. 3201c571. 0)3(202. 3203c473. 0301. 0202. 0210. 0287. 01870. 0571. 0711. 0952. 0011111202. 3383. 0466. 0711. 01383. 0202. 3601. 0542. 01466. 0601. 0202. 3870. 01711. 0542. 0870. 0202. 314321

22、 將以上計(jì)算結(jié)果代入克立格方程組得 即 克 立 格 權(quán) 重 系 數(shù) 分 別 為 ： 1= 0 . 2 8 7 ，2=0.210,3=0.202,4=0.301，= -0.473，所以觀測(cè)點(diǎn)的降水量的克立格估計(jì)值為：根據(jù)普通克立格法的基本原理，我們知道，Z(x0)估計(jì)的基本公式應(yīng)該是)(473. 0)(202. 0)(210. 0)(287. 04321*0 xZxZxZxZZ35473. 036202. 042210. 037287. 037.25（mm）。徑向基函數(shù)插值 數(shù)學(xué)的根本任務(wù)是用函數(shù)及其性質(zhì)來(lái)表示自然界的事物。由于事物的復(fù)雜性，描述具體事物的函數(shù)不能用表達(dá)式表示出來(lái)。函數(shù)表達(dá)式只能

23、是具體事物的一個(gè)逼近或近似。 為此，我們首先選定一個(gè)合理的函數(shù)空間，然后根據(jù)具體事物的一些已知的信息在這個(gè)選定的空間中找一個(gè)盡可能好的描述該事物的函數(shù)。 多項(xiàng)式空間： 簡(jiǎn)單函數(shù)x及其自身的乘積xn作線性組合 三角函數(shù)空間：波函數(shù)eix及其自身乘積einx做線性組合但是，這些函數(shù)存在一些缺點(diǎn)：Runge現(xiàn)象； 單變量多項(xiàng)式的Lagrange插值不收斂Harr定理： 插值在多元情形不一定有解 那么對(duì)于多元問(wèn)題，我們需要一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)經(jīng)過(guò)一些運(yùn)算構(gòu)成函數(shù)空間的基，這組基要與數(shù)據(jù)點(diǎn)有關(guān)（考慮Harr條件）。 徑向基函數(shù)插值給定數(shù)據(jù)1,( )Niix f x( ):rRR1( )()NiiiS xaxx選

24、取核函數(shù)利用其平移得到基函數(shù)系，并構(gòu)造如下函數(shù)滿足( )( ),1,2,iiS xf xiN()kjN Nxx對(duì)于任何兩兩不同的xi，矩陣 是非奇異的。稱為正定函數(shù) （Gauss， 逆MQ）對(duì)于任何數(shù)據(jù)，當(dāng)xi兩兩不同時(shí)一定有解的充要條件是：有條件正定函數(shù) （薄板樣條，MQ）u 表示求導(dǎo)次數(shù)常用徑向基函數(shù)Gaussian (Kriging)Markov222211()()()( )inincxxxxcrree()( )arre體會(huì)一元形式下的多元函數(shù)Inverse quadraticInverse multiquadraticMultiquadric (Hardy)21( )1()rcr2(

25、)1()rcr21( )1()rcrPolyharmonic splineThin plate spline (Duchon)Compact supported( ),1,3,5,krrk( )ln( ),2,4,6,krrrk2( )ln( )rrr( ),0( )0,rrRrrR截?cái)鄡鏓uclids funcitonWus Wendlands 例子求解關(guān)于系數(shù)ai的方程組函數(shù)表達(dá)式：函數(shù)表達(dá)式：求解關(guān)于系數(shù)ai的方程組函數(shù)表達(dá)式：求解關(guān)于系數(shù)ai的方程組解出系數(shù)ai后帶入P(x,y)得到需要的函數(shù)表達(dá)式例子：徑向基函數(shù)及其應(yīng)用 （碩士學(xué)位論文） 徑向基函數(shù)解微分方程：徑向基函數(shù)方法： 計(jì)算格式簡(jiǎn)單、節(jié)點(diǎn)配置靈活、計(jì)算工作量小、精度相對(duì)較高。 1()()IdaNNNNjjjuXuXX求解偏微分方程：用RBF表示函數(shù)：解方程組得待定系數(shù)：薄板樣條插值TPS是一種插值方法，它給出一個(gè)經(jīng)過(guò)所有控制點(diǎn)的二維曲面g(x,y), 并且滿足表面總曲率最小。TPS是一階條件正定徑向基函數(shù)，差值格式（二維）：0121( , )