1、混沌學簡介混沌學簡介 什么是混沌什么是混沌一維蟲口模型一維蟲口模型邏輯斯蒂映射邏輯斯蒂映射 洛侖茲吸引子洛侖茲吸引子單擺的物理模型單擺的物理模型 單擺中的混沌現象單擺中的混沌現象 遠古時代，人們對大自然的變幻無常有著神秘莫測的遠古時代，人們對大自然的變幻無常有著神秘莫測的恐懼，幾千年的文明進步使人類逐漸認識到，大自然恐懼，幾千年的文明進步使人類逐漸認識到，大自然有規律可循。有規律可循。 物理學中有兩種人們普遍接受的認識自然的觀點，一物理學中有兩種人們普遍接受的認識自然的觀點，一個是由牛頓經典力學建立起來的個是由牛頓經典力學建立起來的因果決定論因果決定論觀點，觀點，另一個是由統計力學和量子力學發

2、展起來的另一個是由統計力學和量子力學發展起來的概率論概率論觀點，這兩種規律實驗于不同的對象。觀點，這兩種規律實驗于不同的對象。什么是混沌什么是混沌經典力學的追隨者認為，只要近似知道一個系統的初始經典力學的追隨者認為，只要近似知道一個系統的初始條件和理解自然定理，就可計算系統的近似行為。世間條件和理解自然定理，就可計算系統的近似行為。世間事物的行為方式具有一種收斂性，這樣的信念使經典力事物的行為方式具有一種收斂性，這樣的信念使經典力學在天文學上的預言獲得了輝煌的成就，如海王星的發學在天文學上的預言獲得了輝煌的成就，如海王星的發現。人們研究天王星時發現其軌道存在某些極小的不規現。人們研究天王星時發

3、現其軌道存在某些極小的不規則性，這使人們懷疑天王星外還有一顆未知行星。英國則性，這使人們懷疑天王星外還有一顆未知行星。英國亞當斯根據開普勒定理算出了這顆新星何時出現在何方亞當斯根據開普勒定理算出了這顆新星何時出現在何方位，德國科學家戈勒進行探索，在與預計位置差位，德國科學家戈勒進行探索，在與預計位置差 1的的地方發現了此星。于是海王星的發現成為經典決定論最地方發現了此星。于是海王星的發現成為經典決定論最成功的例證。經典力學的成功無疑給人們巨大的信心，成功的例證。經典力學的成功無疑給人們巨大的信心，以致把宇宙看成一架龐大時鐘的機械觀占據了統治地位。以致把宇宙看成一架龐大時鐘的機械觀占據了統治地位

4、。偉大的法國數學家偉大的法國數學家Laplace的一段名言把這種決定論的的一段名言把這種決定論的思想發展到了頂峰，他說：思想發展到了頂峰，他說：“設想某位智者在每一瞬時設想某位智者在每一瞬時得知激勵大自然的所有力及組成它的所有物體的相互位得知激勵大自然的所有力及組成它的所有物體的相互位置，如果這位智者博大精深能對這樣眾多的數據進行分置，如果這位智者博大精深能對這樣眾多的數據進行分析，把宇宙間最龐大的物體和最輕微的原子的運動凝聚析，把宇宙間最龐大的物體和最輕微的原子的運動凝聚在一個公式之中，對他來說，沒有什么事物是不確定的，在一個公式之中，對他來說，沒有什么事物是不確定的，將來就象過去一樣清晰展

5、現在眼前將來就象過去一樣清晰展現在眼前”。牛頓力學在天文上處理最成功的是兩體問題，如地球和牛頓力學在天文上處理最成功的是兩體問題，如地球和太陽的問題，兩個天體在萬有引力作用下圍繞它們共同太陽的問題，兩個天體在萬有引力作用下圍繞它們共同質心作嚴格的周期運動。正因如此，我們地球上的人類質心作嚴格的周期運動。正因如此，我們地球上的人類才有安寧舒適的家園。才有安寧舒適的家園。 What is a Probability?什么是混沌呢？什么是混沌呢？混沌是決定性動力學系統中出現的一混沌是決定性動力學系統中出現的一種貌似隨機的運動，其本質是系統的長期行為對初始種貌似隨機的運動，其本質是系統的長期行為對初始

6、條件的敏感性。條件的敏感性。如我們常說如我們常說“差之毫厘，失之千里差之毫厘，失之千里”。西方控制論的創造者維納對這種情形作了生動的描述：西方控制論的創造者維納對這種情形作了生動的描述：釘子缺，蹄鐵卸；蹄鐵卸，戰馬蹶；戰馬蹶，騎士絕；釘子缺，蹄鐵卸；蹄鐵卸，戰馬蹶；戰馬蹶，騎士絕；騎士絕，戰事折；戰事折，國家滅。騎士絕，戰事折；戰事折，國家滅。釘子缺這樣一微不足道的小事，經逐級放大竟導致了釘子缺這樣一微不足道的小事，經逐級放大竟導致了國家的滅亡。系統對初值的敏感性又如美國氣象學家國家的滅亡。系統對初值的敏感性又如美國氣象學家洛侖茲蝴蝶效應中所說：洛侖茲蝴蝶效應中所說：“一只蝴蝶在巴西煽動翅膀，

7、一只蝴蝶在巴西煽動翅膀，可能會在德州引起一場龍卷風可能會在德州引起一場龍卷風”，這就是混沌。，這就是混沌。你可能會認為混沌的系統一定很複雜，但其實一個你可能會認為混沌的系統一定很複雜，但其實一個很簡單的數學例子便可以為你解釋混沌。很簡單的數學例子便可以為你解釋混沌。 xn+1 = 2xn2 -1x0 = 0.6x0 = 0.6001 ?nxnx0 = 0.6x0 = 0.6001xn+1 = 2xn2 -1nxn上述例子說明了經典混沌系統兩個十分重要的特性上述例子說明了經典混沌系統兩個十分重要的特性(1) 系統的變化驟看似是毫無規則，但實際上是由物理定律系統的變化驟看似是毫無規則，但實際上是由

8、物理定律所決定的。所決定的。(2) 系統的演化對初始條件的選取非常敏感，系統的演化對初始條件的選取非常敏感，初始條件極微小的分別初始條件極微小的分別 (就例如就例如 0.6 和和 0.6001 只相差六只相差六千分之一！千分之一！)，在一段時間的演化後也可帶來南轅北轍，在一段時間的演化後也可帶來南轅北轍的結果。眾所周知，要預測一個系統的未來，除了要知的結果。眾所周知，要預測一個系統的未來，除了要知道它背後的物理法則外，還要知道初始條件?？墒?，我道它背後的物理法則外，還要知道初始條件?？墒牵覀冊诹慷纫粋€系統的初始狀態時總會引入一些誤差。在們在量度一個系統的初始狀態時總會引入一些誤差。在混沌系統

9、中，不管這些誤差開始時如何細小，在一段時混沌系統中，不管這些誤差開始時如何細小，在一段時間後，它也會不斷擴大，使系統的真實狀況和我們的預間後，它也會不斷擴大，使系統的真實狀況和我們的預測相距極遠?；煦缦到y這種獨有的特性，使我們幾乎無測相距極遠?；煦缦到y這種獨有的特性，使我們幾乎無法預測它的未來。法預測它的未來。 xn+1 = 2xn2 -1xn+1 = xn2/2 -1 2x2 x-1=0 x2 2x-2=0我們每天都收聽或收看天氣預報，盡可能準確進行長期我們每天都收聽或收看天氣預報，盡可能準確進行長期天氣預報是人類夢寐以求的愿望。計算機的發明和發展，天氣預報是人類夢寐以求的愿望。計算機的發明

10、和發展，為人類預報天氣提供了有力的工具。大氣實際上是無數為人類預報天氣提供了有力的工具。大氣實際上是無數沖來撞去的分子組成的，它們是不連續的，但在經典力沖來撞去的分子組成的，它們是不連續的，但在經典力學中，通常把大氣當成連續、光滑的理想流體來代替。學中，通常把大氣當成連續、光滑的理想流體來代替。幾百年前，歐拉和伯努利就寫出了描述這種流體的運動幾百年前，歐拉和伯努利就寫出了描述這種流體的運動方程。方程。 洛侖茲是一個氣象學家，在孩提時代就是個氣象迷，反洛侖茲是一個氣象學家，在孩提時代就是個氣象迷，反復記錄著他家房子外的小觀測站里溫度計的讀數。他同復記錄著他家房子外的小觀測站里溫度計的讀數。他同時

11、也熱愛數學，熱愛數學的純潔性。正是這兩種愛好，時也熱愛數學，熱愛數學的純潔性。正是這兩種愛好，使他在混沌研究這個領域做出了開創性的工作。使他在混沌研究這個領域做出了開創性的工作。洛侖茲吸引子洛侖茲吸引子洛侖茲在研究天氣的不可預測性時，從流體的洛侖茲在研究天氣的不可預測性時，從流體的運動方程出發，通過簡化方程獲得了具有三個運動方程出發，通過簡化方程獲得了具有三個自由度的系統，自由度的系統， 其中其中x、y、z為無量綱量，分別表征對流強度，對流為無量綱量，分別表征對流強度，對流中升流與降流間的溫差和豎直方向溫度分布的非線中升流與降流間的溫差和豎直方向溫度分布的非線性度。任意給定初值，系統最終都會回

12、到狀態空間性度。任意給定初值，系統最終都會回到狀態空間的特定區域內，的特定區域內， 洛侖茲那時正在用他的洛侖茲那時正在用他的皇家馬克比皇家馬克比計算機對大氣計算機對大氣系統進行模擬，以便尋找進行長期天氣預報的方法。系統進行模擬，以便尋找進行長期天氣預報的方法。有一次偶然的機會，洛侖茲沒有把一次運算從頭算有一次偶然的機會，洛侖茲沒有把一次運算從頭算起，他走了一條捷徑，從中途去啟動，把前面打印起，他走了一條捷徑，從中途去啟動，把前面打印出來的結果做為初始條件輸入。這新一輪的計算原出來的結果做為初始條件輸入。這新一輪的計算原本應當重復前一次的計算結果，因為程序并沒有變，本應當重復前一次的計算結果，因

13、為程序并沒有變，然而當他看到打印結果時，卻目瞪口呆，他計算出然而當他看到打印結果時，卻目瞪口呆，他計算出來的氣候演變曲線與上一輪的計算相去甚遠，根本來的氣候演變曲線與上一輪的計算相去甚遠，根本不是一個類型的氣候，而是完全不同的兩類氣候，不是一個類型的氣候，而是完全不同的兩類氣候， 檢查問題出在他輸入的數據上，計算機內存有檢查問題出在他輸入的數據上，計算機內存有6位數，位數，如：如：0.506127，但打印時為了節省空間，只打出了，但打印時為了節省空間，只打出了三位數，即三位數，即0.506。他本能地認為這千分之一的誤差，。他本能地認為這千分之一的誤差，不會對結果有什么大的影響，這個小差別仿佛一

14、陣不會對結果有什么大的影響，這個小差別仿佛一陣微風吹過，對大范圍的氣候不會有什么影響。事實微風吹過，對大范圍的氣候不會有什么影響。事實卻完全相反，氣候的演變對初始條件極為敏感，可卻完全相反，氣候的演變對初始條件極為敏感，可謂謂“差之毫厘，失之千里差之毫厘，失之千里”，就好象，就好象巴西的一只蝴巴西的一只蝴蝶拍拍翅膀，會在德州引起一場暴風雨一樣，因此，蝶拍拍翅膀，會在德州引起一場暴風雨一樣，因此，洛侖茲稱它為蝴蝶效應。洛侖茲稱它為蝴蝶效應。蝴蝶效應實際上是動力學蝴蝶效應實際上是動力學系統行為對初值敏感依賴性的一種通俗說法。系統行為對初值敏感依賴性的一種通俗說法。 洛侖茲如果停留在蝴蝶效應上，說明

15、氣候變化的不可預見洛侖茲如果停留在蝴蝶效應上，說明氣候變化的不可預見性，或長期天氣預報是不可能的，那么他帶來的不過是個性，或長期天氣預報是不可能的，那么他帶來的不過是個壞消息，但是洛侖茲看到了幾何結構。洛侖茲把他的方程壞消息，但是洛侖茲看到了幾何結構。洛侖茲把他的方程送進皇家馬克比計算機，它的迭代次數大約每秒送進皇家馬克比計算機，它的迭代次數大約每秒1次。次。洛侖茲畫出以洛侖茲畫出以 x, y, z 為坐標軸的相空間曲為坐標軸的相空間曲線如圖線如圖15所示。由圖所示。由圖可見，相圖是三維的，可見，相圖是三維的，它由兩片組成，各片它由兩片組成，各片各自圍繞著一個不動各自圍繞著一個不動點。點。若狀

16、態軌跡經過一段時間之后停在一個不動點上，那么若狀態軌跡經過一段時間之后停在一個不動點上，那么意味著系統進入了一個穩定的狀態，這相軌跡將是一個意味著系統進入了一個穩定的狀態，這相軌跡將是一個平庸吸引子。然而，事實上，相軌跡在兩片上平庸吸引子。然而，事實上，相軌跡在兩片上“隨機隨機”地地 跳來跳去，說明系統的跳來跳去，說明系統的狀態演變著有某種規律狀態演變著有某種規律性，這種相圖不對應任性，這種相圖不對應任何一種定常狀態，因此，何一種定常狀態，因此，被稱為奇異吸引子，又被稱為奇異吸引子，又稱洛侖茲吸引子。稱洛侖茲吸引子。 奇異吸引子的奇異之處在于，相軌跡雖在兩片上跳來奇異吸引子的奇異之處在于，相軌

17、跡雖在兩片上跳來跳去，但決不自身相交，即不構成任何周期運動，系跳去，但決不自身相交，即不構成任何周期運動，系統的狀態變化具有隨機的不可預測性，因此奇異吸引統的狀態變化具有隨機的不可預測性，因此奇異吸引子又稱為混沌吸引子。此外，系統狀態演變對初始條子又稱為混沌吸引子。此外，系統狀態演變對初始條件非常敏感，相圖中兩個初始時任意靠近的點，經過件非常敏感，相圖中兩個初始時任意靠近的點，經過足夠長的時間后，在吸引子上被宏觀地分離開來，對足夠長的時間后，在吸引子上被宏觀地分離開來，對應完全不同的狀態。應完全不同的狀態。 通向混沌的道路通向混沌的道路一維蟲口模型一維蟲口模型邏輯斯蒂映射邏輯斯蒂映射 馬爾薩斯

18、馬爾薩斯(T.R. Malthas)在其在其論人口原理論人口原理一一書中，在分析了書中，在分析了19世紀美洲和歐洲的一些地區世紀美洲和歐洲的一些地區的人口增長規律后得出結論：的人口增長規律后得出結論：“在不控制的條在不控制的條件下，人口每件下，人口每25年增加一倍，即按幾何級數增年增加一倍，即按幾何級數增長長”。不難把。不難把“馬爾薩斯人口論馬爾薩斯人口論”寫成數學形寫成數學形式。為此可把式。為此可把25年做為一代，把第年做為一代，把第n代的人口代的人口記為記為xn，馬爾薩斯的意思是：，馬爾薩斯的意思是： xn+1 = 2xn x0 是開始計算的那一代人口數。只要是開始計算的那一代人口數。只要

19、 g1，xn 很快就趨向無窮大，發生很快就趨向無窮大，發生“人口爆炸人口爆炸”。這樣。這樣的線性模型，不能完全反應人口的變化規律，的線性模型，不能完全反應人口的變化規律，但是稍加修正，就可以稱為描述某些沒有世代但是稍加修正，就可以稱為描述某些沒有世代交疊的昆蟲數目的蟲口方程。交疊的昆蟲數目的蟲口方程。 xn+1 = 2xn xn+1 = gxn xn = gnx0 xn+1 = gxn gxn2這項修正就是計入限制蟲口增長的負因素。蟲這項修正就是計入限制蟲口增長的負因素。蟲口數目太多時，由于爭奪有限的食物和生存空口數目太多時，由于爭奪有限的食物和生存空間發生咬斗，由于接觸傳染而導致疾病蔓延，間

20、發生咬斗，由于接觸傳染而導致疾病蔓延，爭斗使蟲口數目減少的事件，這些事件的數目爭斗使蟲口數目減少的事件，這些事件的數目比例于比例于xn2，于是方程可以修正為：，于是方程可以修正為： xn+1 = gxn gxn2xn+1 = gxn (1-xn)取最大蟲口數為取最大蟲口數為1，且蟲口數不能為負，則，且蟲口數不能為負，則當當xn=0.5時，方程有極大值時，方程有極大值而而 xn+1 又必須小于又必須小于1，因而，因而g4，則參量，則參量g的取值范圍的取值范圍為為0到到4，這就得到一個抽象的標準蟲口方程，這一迭代，這就得到一個抽象的標準蟲口方程，這一迭代關系通常稱為邏輯斯蒂映射（關系通常稱為邏輯斯

21、蒂映射（logistic map）。）。 xn+1 = gxn (1-xn)xn+1 = g/4當當0g1時，從任一初始值時，從任一初始值x0開始，代入方程開始，代入方程 0g4 0g1 1g3 3g4 xn+1 = gxn (1-xn)g=0.8x0=0.60g1nxn其意義可以認為，由于環境惡劣，蟲口的繁殖能力有其意義可以認為，由于環境惡劣，蟲口的繁殖能力有限限(g太小太小)，使得種群最終走向滅亡。實際上，使得種群最終走向滅亡。實際上，g代表代表了函數的非線性化的程度，了函數的非線性化的程度，g 越大，越大， gxn2 越大，非越大，非線性化程度越高線性化程度越高 。xn+1 = gxn

22、(1-xn)當當1g3時，迭代結果時，迭代結果?當當1g3時，迭代結果時，迭代結果?當當g =3.1時，經過一定的步驟，迭代結果會穩定在兩時，經過一定的步驟，迭代結果會穩定在兩個值個值x1n與與x2n x2n之間跳來跳去地振蕩，如圖所示之間跳來跳去地振蕩，如圖所示 g=3.1nxnx0=0.6周期周期2循環循環這個漂亮的振蕩稱為周期這個漂亮的振蕩稱為周期2循環，即若跟蹤種循環，即若跟蹤種群，會發現種群數目每隔一年，數目重復循環群，會發現種群數目每隔一年，數目重復循環一次，就象有些果樹有大年小年一樣，一次，就象有些果樹有大年小年一樣，x1n和和x2n也是定點吸引子。也是定點吸引子。 當當g=3.

23、53時，迭代結果將在時，迭代結果將在4個值之間振蕩，即振蕩周個值之間振蕩，即振蕩周期增加了一倍，稱為周期期增加了一倍，稱為周期4循環循環 g=3.53x0=0.6nxn繼續增加繼續增加g值，還可得周期值，還可得周期8循環，周期循環，周期16循循環等等。每一次解的周期都增加一倍。當環等等。每一次解的周期都增加一倍。當 g 達到某一臨界值時，繼續增加，迭代結果再達到某一臨界值時，繼續增加，迭代結果再也不循環了，而是瘋狂地振蕩，永遠也不會也不循環了，而是瘋狂地振蕩，永遠也不會穩定下來，我們稱為混沌態穩定下來，我們稱為混沌態 。g=3.75若以若以g 為橫坐標，迭代結果為縱坐標，可得如圖為橫坐標，迭代

24、結果為縱坐標，可得如圖18所示的分岔圖。從臨界值開始，邏輯斯蒂映射進入所示的分岔圖。從臨界值開始，邏輯斯蒂映射進入了混沌區，在這種情況下，種群的數目就完全不能了混沌區，在這種情況下，種群的數目就完全不能預測了。預測了。 圖圖 蟲口模型分岔圖蟲口模型分岔圖圖圖 蟲口模型分岔圖蟲口模型分岔圖圖圖 分岔圖的自相似精細結構分岔圖的自相似精細結構若追蹤種群，你會認為種群的數目變化完全是隨機的。若追蹤種群，你會認為種群的數目變化完全是隨機的。然而仔細觀察圖會發現，在復雜的混沌區，會發現一然而仔細觀察圖會發現，在復雜的混沌區，會發現一些具有周期解的窗口，如些具有周期解的窗口，如3，6，12，或或7，14，2

25、8，窗口內的分岔現象與整體有著相似的結構，即，窗口內的分岔現象與整體有著相似的結構，即這種迭代分岔圖有著無窮嵌套自相似的精細結構。一這種迭代分岔圖有著無窮嵌套自相似的精細結構。一系列的倍周期分岔意味著混沌狀態的到來。這是通過系列的倍周期分岔意味著混沌狀態的到來。這是通過倍周期分岔進入混沌的典型模式。倍周期分岔進入混沌的典型模式。 混沌系統的重要特征是：改變某一參量，分岔一個接混沌系統的重要特征是：改變某一參量，分岔一個接一個。終極形態由不動點向周期一個。終極形態由不動點向周期2 周期周期4周期周期8等轉化，等轉化，實現一系列周期倍化分岔，最終走向混沌實現一系列周期倍化分岔，最終走向混沌 。2.

26、1 湍流湍流(turbulent flow) 湍流是人類尋常慣見的現象。湍流現象普遍存在于行星湍流是人類尋常慣見的現象。湍流現象普遍存在于行星和地球大氣、海洋與江河、火箭尾流、乃至血液流動等和地球大氣、海洋與江河、火箭尾流、乃至血液流動等自然現象之中。自然現象之中。 1883年英國著名試驗流體力學家雷諾年英國著名試驗流體力學家雷諾(O.Reynolds)做做了一個實驗，演示了湍流的產生。將流體注入一容器，了一個實驗，演示了湍流的產生。將流體注入一容器，在容器內另有一盛有色液體的細管，如圖在容器內另有一盛有色液體的細管，如圖1所示，管內所示，管內的有色液體可由小口的有色液體可由小口A流出，大容器

27、下端流出，大容器下端B處裝一閥門，處裝一閥門，可用來控制水的流速。當大容器內的水流較緩時，從細可用來控制水的流速。當大容器內的水流較緩時，從細管中流出的有色液體呈一線狀，兩種流體互不混雜管中流出的有色液體呈一線狀，兩種流體互不混雜(圖圖a)，我們稱這種流動為層流。加大閥門讓水流速度增大，我們稱這種流動為層流。加大閥門讓水流速度增大，當流速大到一定程度時，兩種液體開始相互混雜，液體當流速大到一定程度時，兩種液體開始相互混雜，液體的流動開始呈現渦漩狀結構，而且大渦漩套小渦漩，運的流動開始呈現渦漩狀結構，而且大渦漩套小渦漩，運動狀態變得極端動狀態變得極端“紊亂紊亂”(圖圖b)，無法對運動狀態做出，無

28、法對運動狀態做出任何預測，我們稱這種流動為湍流。任何預測，我們稱這種流動為湍流。 湍流是一種典型的混沌現象，湍流的發生機制是物理學中湍流是一種典型的混沌現象，湍流的發生機制是物理學中一個歷史悠久的難題。我們都知道流體力學中有一套描述一個歷史悠久的難題。我們都知道流體力學中有一套描述流體運動的基本方程，這些方程是基于光滑和連續概念的流體運動的基本方程，這些方程是基于光滑和連續概念的決定性偏微分方程，它們無法描述如此復雜，沒有規則的決定性偏微分方程，它們無法描述如此復雜，沒有規則的湍流，即使撇開湍流的空間結構不談，決定性的流體力學湍流，即使撇開湍流的空間結構不談，決定性的流體力學方程怎么能允許貌似

29、隨機運動的紊亂的時間行為呢？方程怎么能允許貌似隨機運動的紊亂的時間行為呢？ 在日常生活中我們人人都可以見到在日常生活中我們人人都可以見到湍流現象。一支點燃的香煙，青煙湍流現象。一支點燃的香煙，青煙一縷裊裊騰空。開始煙柱是直立的，一縷裊裊騰空。開始煙柱是直立的，達到一定高度時，突然變得紊亂起達到一定高度時，突然變得紊亂起來。這是在熱氣流加速上升的過程來。這是在熱氣流加速上升的過程中，層流變湍流的絕妙演示。中，層流變湍流的絕妙演示。 A、B、C是光滑水平桌面上三個完全相同的臺球，是光滑水平桌面上三個完全相同的臺球，B、C兩球并列在一起，作為靜止的靶子，兩球并列在一起，作為靜止的靶子，A球沿它們中球

30、沿它們中心聯線的垂直平分線朝它們撞去。設碰撞是完全彈性心聯線的垂直平分線朝它們撞去。設碰撞是完全彈性的，碰撞后三球各自如何運動的，碰撞后三球各自如何運動?若設想因若設想因A球瞄得不球瞄得不夠準而與夠準而與B、C球的碰撞稍分先后，則我們就會得到球的碰撞稍分先后，則我們就會得到截然不同的結果。如果說截然不同的結果。如果說A與與B、C的碰撞是絕對同的碰撞是絕對同時發生的，后果如何？我們就會啞然不知所對。在這時發生的，后果如何？我們就會啞然不知所對。在這樣一個簡單的二維三體問題理，完全決定性的牛頓定樣一個簡單的二維三體問題理，完全決定性的牛頓定律竟然給不出確定的答案！律竟然給不出確定的答案！ 布尼莫維

31、奇臺球實驗布尼莫維奇臺球實驗 (a) A射向B、C之間; (b) 先B后C; (c) 先C后B圖6 布尼莫維奇臺球實驗伯克利大學伯克利大學Walter教授發現健康受試者的教授發現健康受試者的心電圖具有混沌的圖象，而瀕臨死亡受試心電圖具有混沌的圖象，而瀕臨死亡受試者的心電圖則是非常規律的振動圖象。者的心電圖則是非常規律的振動圖象。 生理醫學生理醫學 A simple pendulum.單擺是在懸掛的細線的單擺是在懸掛的細線的另一端連接著一個小球另一端連接著一個小球（如圖所示）。單擺又（如圖所示）。單擺又稱數學擺，是物理學中稱數學擺，是物理學中最簡單的模型之一。最簡單的模型之一。 單擺的物理模型單

32、擺的物理模型 可以認為，細線的質量可以認為，細線的質量可以忽略，且是剛性的?？梢院雎裕沂莿傂缘?。系統質量集中在可視為系統質量集中在可視為質點的小球上。設擺長質點的小球上。設擺長為為l，小球質量為，小球質量為m，相，相對于平衡的下垂位置的對于平衡的下垂位置的角度為角度為，重力加速度為，重力加速度為g。則其運動方程為。則其運動方程為無阻尼無驅動情形無阻尼無驅動情形with an angular velocity and acceleration given byFor small angles, we can use the approximationand rewrite the above differential equation as)cos(00tAThe above differential equation has the advantage that it can be solved analytically with solutions on the form)cos(000tA)sin(00tA圖稱為相圖（圖稱為相圖（“相相”的意思是運動狀態的意思是運動狀態,即速度和位置，故即速度和位置，故 曲線稱相圖）。由式曲線稱相圖）。由式(6)知，相應相知，相應相圖中軌跡是半徑為圖中軌跡是半徑為a的圓的圓 近平衡條件下近平衡條件