1、第三章第三章 幾種重要的概率分布幾種重要的概率分布 3.1 二項分布二項分布 3.2 泊松分布泊松分布 3.3 均勻分布均勻分布 3.4 指數分布指數分布 3.5 正態分布正態分布返回總目錄一 貝努里概型和二項公式二 二項分布三 二項分布數學期望與方差 返回主目錄3.1 二項分布返回主目錄一、貝努里概型和二項公式 在相同條件下進行的 n次重復試驗，如果每次試驗只有兩個相互對立的基本事件，而且它們在各次試驗中發生的概率不變，那末稱這樣的試驗為n重貝努里試驗或貝努里概型。例如，擲n 次硬幣， 投n 次籃， 檢查n 個產品， 做 n 道單項選擇題等第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄證明 由概率加法

2、公式得： pqnmqpCpnmbmnmmn1;, 2 , 1 , 0,),;(其中00( ; , )()1nnmmn mnnmmb m n pC p qpq且第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄二、二項分布常見的二項分布實際問題： 有放回或總量大的無放回抽樣； 打槍、投籃問題（試驗 n 次發生 k 次）； 設備使用、設備故障問題。第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄三、二項分布的數學期望與方差 npqXDnpXE)()(第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄 例1 據調查,市場上假冒的某名牌香煙有0.15,某人每年買20條這個品牌的香煙,求他至少買到1條假煙的概率.00202011010.15

3、(10.15)10.0390.961P XP XC 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例2 某人定點投籃的命中率是0.6,在10次投籃中,求(1) 恰有4次命中的概率;(2) 最多命中8次的概率.( 2 ) 最多命中8次的概率99101001010081819101(0.6) (1 0.6)(0.6) (1 0.6)0.9536PXP XP XP XCC 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例3 已知一批產品共10件,其中正品7件,次品3件,今從中抽取若干次,每次抽出1件,求在放回抽樣下的4次抽取中,抽得次品數的分布列.解: 在放回抽樣下,每次抽取只有兩個相互對立的基本事件 所以, 在放回抽

4、樣下的4次抽取是4重貝努里試驗. 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例4 投擲一枚均勻硬幣6次，求：（1）恰好出現2次正面的概率；（2）至少出現5次正面的概率；（3）出現正面次數的均值； （4）出現正面次數的方差。第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄解：從已知條件得到數學期望30103)(3)3()(XEXEYE819)3()()3()3()(22XDXDYD101 . 0100)( npXE第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄 小結與提問：小結與提問： 本次課，我們介紹了貝努里概型與二項公式、二項分布。二項分布是離散型隨機變量的概率分布中的重要分布，我們應掌握二項分布及其概率計算，能夠將實

5、際問題歸結為貝努里概型，然后用二項分布計算有關事件的概率、數學期望與方差。課外作業：課外作業：P150 習題三 3.01,3.02,3.03,3.04,3.05第三章 幾種重要的概率分布一 泊松分布的定義二 二項分布與泊松分布三 泊松分布的數學期望與方差 返回主目錄3.2 泊松分布返回主目錄一、泊松分布的定義 設隨機變量X所有可能取的值為0 , 1 , 2 , , 且概率分布為：,!eiiXPi)0;, 2 , 1 , 0(i 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄二、二項分布與泊松分布定理3.2.1（泊松定理） eippCiiniin!)1 ( 定理指出n 當充分大時，泊松分布是二項分布的近似

6、分布，但要注意僅當P的值很小(一般來說當p0.1) 時 ，用泊松分布取代二項分布所產生的誤差才比較小常見的泊松分布的例子： （1）飛機被擊中的子彈數； （2）一個集團公司中生日在元旦的人數； （3）三胞胎出生的次數； （4）一年中死亡的百歲老人數； 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄解: 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例2 某一城市每天發生火災的次數X服從參數為0.8的泊松分布. 求:該城市一天內發生3次以上火災的概率. 解： PX3=1- PX3 =1-PX=0+ PX=1+PX=2 0.0474 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄 例3 某出租汽車公司共有出租車400輛,設每天每

7、輛出租車出現故障的概率為0.02, 求:一天內沒有出租車出現故障的概率. 解：將觀察一輛車一天內是否出現故障看成一次試驗E.因為每輛車是否出現故障與其它車無關,于是觀察400輛出租車是否出現故障就是做400次伯努利試驗,設X表示一天內出現故障的出租車數,則: X B(400, 0.02). 于是: P一天內沒有出租車出現故障=PX=0 =b(0;400,0.02) 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄三、泊松分布的數學期望與方差)()(XDXE第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄9324. 0! 0)1007(0100710070eeXP第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄解：由于已知一匹布上

8、有8個疵點與有7個疵點的可能性相同， 即概率 78XPXP! 7! 878ee所以一匹布上平均有8個疵點。8第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄解：（1）由于已知概率21XPXP! 2! 12ee即有22第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄26345PXP XP XP X! 52! 42! 32252423eee3067. 015342e（3）數學期望2)(XE（4）方差2)(XD第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄小結與提問：小結與提問： 本次課，我們介紹了泊松分布的概念、二項分布與泊松分布的關系及泊松分布的數學期望與方差。泊松分布是離散型隨機變量的概率分布中的重要分布，我們應掌握泊松分布及

9、其概率計算，能夠將實際問題歸結為泊松分布，然后用泊松分布計算有關事件的概率、數學期望與方差。VII課外作業：課外作業：P150 習題三 3.06,3.07,3.08,3.09第三章 幾種重要的概率分布一均勻分布(Uniform)的定義二均勻分布的數學期望與方差返回主目錄3.3 均勻分布若隨機變量若隨機變量 X 的密度函數為的密度函數為 其其它它01bxaabxf 上上的的均均勻勻分分布布，服服從從區區間間則則稱稱隨隨機機變變量量baX記作記作 X U a , b第三章 幾種重要的概率分布一 均勻分布(Uniform)的定義返回主目錄密度函數的驗證 是是其其密密度度函函數數，則則有有：，設設xf

10、baUX ；，有有對對任任意意的的0 xfx bbaadxxfdxxfdxxfdxxf badxab11 確確是是密密度度函函數數其其它它 01bxaabxf由此可知，由此可知，第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄均勻分布的概率背景 變變量量上上的的均均勻勻分分布布，則則隨隨機機，服服從從區區間間如如果果隨隨機機變變量量baX 上上取取值值是是等等可可能能的的，在在區區間間量量這這時時，可可以以認認為為隨隨機機變變baXXXabxll0 lccdxxflcXcP)(.1abldxablcc 取取值值的的概概率率與與該該子子區區上上的的任任意意一一個個子子區區間間上上，在在區區間間baX該該子子

11、區區間間的的位位置置無無關關間間的的長長度度成成正正比比，而而與與第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄均勻分布的分布函數 xbbxaabaxaxxF10abxF (x)01 上的均勻分布，上的均勻分布，服從區間服從區間若隨機變量若隨機變量baX的分布函數為的分布函數為則則X第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例 1 設公共汽車站從上午7時起每隔15分鐘來一班車,如果某乘客到達此站的時間是 7:00 到7:30之間的均勻隨機變量試求該乘客候車時間不超過5分鐘的概率解： 設該乘客于7時 X 分到達此站其其密密度度函函數數為為 其它其它0300301xxf 上的均勻分布上的均勻分布，服從區間服從區間

12、則則300X第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例 1（續）令：B= 候車時間不超過5分鐘 30251510 XPXPBP則則 30251510301301dxdx31 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例 2 上上的的均均勻勻分分布布，服服從從區區間間設設隨隨機機變變量量31 Y試試求求方方程程0)2(442 YxYx有有實實根根的的概概率率解：解：的的密密度度函函數數為為隨隨機機變變量量Y 其它其它03141yyf第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄例 2（續） 有實根有實根方程方程設：設：0)2(442 YxYxA 0)2(4442 YYPAP則則 021 YYP 21 YYP或或 3

13、21410dxdx41 其它其它03141yyf第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄二、均勻分布的數學期望與方差1()2Exba21()12Dxba第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布 解：從已知條件得到關系式31)(121)(2)(21)(2abXDbaXE24abab返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布其它, 0,21)(axaaxf返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布aaaaxadxadxxfXPa2121) 1(2112121)(111312121a其它, 033,61)(xxf 根據計算概率公式，所以概率95)3(316161)(3131331dx

14、dxxfXP返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布（3）數學期望0)3(321)(XE（4）方差3)3(3121)(2XD返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布小結與提問：小結與提問： 本次課，我們介紹了均勻分布的概念及泊松分布的數學期望與方差。均勻分布是是最簡單、常用的連續型隨機變量的概率分布。應當熟記均勻分布的概率密度函數的表達式、數學期望及方差，掌握有關均勻分布的概率、數學期望及方差的計算，并了解均勻分布在實際問題中的應用。課外作業：課外作業：P150 習題三 3.10,3.11一 指數分布的定義 二 指數分布的數學期望與方差返回主目錄3.4 指數分布如果隨機變量如果隨機變量 X 的密度函數

15、為的密度函數為 000 xxexfx的指數分布參數為服從為常數，則稱隨機變量其中0 第三章第三章 幾種重要的概率分布幾種重要的概率分布一 指數分布的定義 返回主目錄密度函數的驗證密度函數的驗證 是其密度函數，則有：的指數分布，參數為設xfX ；，有對任意的0 xfx 00dxxfdxxfdxxf0dxex1由此可知，0 xe 確是一密度函數000 xxexfx 第三章第三章 幾種重要的概率分布幾種重要的概率分布返回主目錄指數分布的分布函數指數分布的分布函數的分布函數為則指數分布，服從參數若隨機變量XX 0100 xexxFx 第三章第三章 幾種重要的概率分布幾種重要的概率分布返回主目錄例例 1

16、分鐘之間的概率鐘到分話間，求你需等待好在你前面走進公用電如果某人剛為參數的指數隨機變量以（單位：分鐘）是間設打一次電話所用的時2010101X解：的密度函數為X 00010110 xxexfx 第三章第三章 幾種重要的概率分布幾種重要的概率分布返回主目錄例例 1（續）（續） 2010XPBP則令：B= 等待時間為1020分鐘 201010101dxex201010101xe21ee2325. 0 第三章第三章 幾種重要的概率分布幾種重要的概率分布返回主目錄二、 指數分布的數學期望與方差 第三章第三章 幾種重要的概率分布幾種重要的概率分布1Ex21Dx返回主目錄返回主目錄第三章 幾種重要的概率分

17、布000002. 0)(002. 0 xxexfx，（1）100小時內需要維修的概率返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布該熱水器平均能正常使用500小時. 返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布 解：（1）X的密度函數為其它, 00,10001)(1000 xexfx 任取1只電子元件使用壽命超過1000小時的概率返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布110001000100010001( )1000 xP Xf x dxedx10001000()1000 xxed100010.36791000 xee返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布1353. 0)1(220222eqpCYP返回主目錄第三章

18、 幾種重要的概率分布其它, 00,)(xexfx100)(100dxxfXP100 xedx 返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布2100ee501返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布其它, 00,501)(50 xexfx15050)(15050dxxfXP1505050150 xedx50()50 xxed5015050 xe31()ee3110.3181ee返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布5050111)(XE根據隨機變量數學期望的性質，所以數學期望 10115021)(2) 12(XEXE2500)501(11)(22XD根據隨機變量方差的性質，所以方差 1000025004)(2

19、) 12(2XDXD返回主目錄第三章 幾種重要的概率分布小結與提問：小結與提問： 本次課，我們介紹了指數分布的概念及指數分布的數學期望與方差。指數分布是常用的連續型隨機變量的概率分布之一。應當熟記指數分布的概率密度函數的表達式、數學期望及方差，掌握有關指數分布的概率、數學期望及方差的計算，并了解指數分布在實際問題中的應用。課外作業：課外作業：P150 習題三 3.12,3.13一 正態分布的定義二 標準正態分布三 正態分布密度函數的圖形性質四 正態分布的期望與方差返回主目錄3.5 正態分布xf (x)0第三章 幾種重要的概率分布的密度函數為的密度函數為如果連續型隨機變量如果連續型隨機變量 X

20、xexfx22221 ，為參數為參數，其中其中0 的的正正態態分分布布記記作作，服服從從參參數數為為則則稱稱隨隨機機變變量量2 X 2 ，NX一 正態分布的定義 為為標標準準正正態態分分布布，我我們們稱稱，若若1010N 數數為為標標準準正正態態分分布布的的密密度度函函 xexx2221 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄二、標準正態分布 我我們們有有：由由高高等等數數學學中中的的知知識識，數數對對于于正正態態分分布布的的密密度度函函 xexfx22221 hXPXhPhx ，有有這這表表明明：對對于于任任意意的的對對稱稱，曲曲線線關關于于直直線線0 xf (x)0hh第三章 幾種重要的概率

21、分布返回主目錄三、正態分布密度函數的圖形性質 越越小小落落在在該該區區間間中中的的概概率率就就變變量量越越遠遠時時，隨隨機機間間離離同同樣樣長長度度的的區區間間，當當區區對對于于的的值值就就越越小小這這表表明明，越越遠遠，離離取取到到最最大大值值時時，當當Xxfxfxfx 21 第三章 幾種重要的概率分布xf (x)0hh返回主目錄 軸為漸近線軸為漸近線以以曲線曲線處有拐點；處有拐點；在在曲線曲線Oxxfyxxfy 確確定定所所圖圖形形的的位位置置完完全全由由參參數數因因此此其其形形狀狀軸軸平平行行移移動動，但但不不改改變變圖圖形形沿沿的的的的值值，則則固固定定，而而改改變變若若 xfyxxf

22、 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄f (x)0hh 的的取取值值越越分分散散形形越越平平坦坦，這這表表明明的的圖圖越越大大時時，當當附附近近的的概概率率越越大大；反反之之落落在在圖圖形形越越陡陡，因因而而越越小小時時，可可知知，當當的的最最大大值值為為的的值值，由由于于固固定定，而而改改變變若若XxfyXxfyfxf 21xf (x)0第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄正態分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下正態分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下情形加以說明：情形加以說明： 正態分布是自然界及工程技術中最常見的分布之正態分布是自然界及工程技術中最常見的分布之一，大量的隨機現象都

23、是服從或近似服從正態分布一，大量的隨機現象都是服從或近似服從正態分布的可以證明，如果一個隨機指標受到諸多因素的的可以證明，如果一個隨機指標受到諸多因素的影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，則影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，則該隨機指標一定服從或近似服從正態分布該隨機指標一定服從或近似服從正態分布 正態分布有許多良好的性質，這些性質是其它許正態分布有許多良好的性質，這些性質是其它許多分布所不具備的多分布所不具備的 正態分布可以作為許多分布的近似分布正態分布可以作為許多分布的近似分布第三章 幾種重要的概率分布正態分布的重要性返回主目錄標準正態分布的計算： ，則則其其密密度度函函數數

24、為為，如如果果隨隨機機變變量量10 NX ,2122xex xdtedttxxtx2221 其分布函數為其分布函數為.)(,值值由由此此可可得得態態分分布布表表教教科科書書上上都都附附有有標標準準正正x 第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄標準正態分布的計算（續）0 xx)(x-x第三章 幾種重要的概率分布 xtxdtedttx2221 ，得，得，作變換作變換dudtut xuduex2221 xudue2221 xudue22211 x 1，我們可由公式，我們可由公式如果如果0 x 直接計算直接計算，我們可由公式，我們可由公式如果如果xXPxx )(0返回主目錄一般正態分布的計算 )1, 0(2NXYNX ，則，則，設設 yXPyYPyFY ytdte 22221，代代入入上上式式，得得，則則作作變變換換 dtdutu yuYdueyF2221 y yXP )(xXPxFX)( x xXP第三章 幾種重要的概率分布返回主目錄一般正態分布的計算（續） 函數函數是標準正態分布的分布是標準正態分布的分布其中，其中，x ).a()P,ba -b(bXa 有有故對任意的故對任意的 )(xFX)( x第三章 幾種重要的概率分布該公式給出了一般正態分該公式給出了一般正態分布分布函數值的求法布分布函數值的求法返回主目錄例 1 ；，試求：，試求：，設隨機變量設隨機變量212110 XPXPNX解