1、會計學1應力張量應力張量 應變張量與應力應變關系應變張量與應力應變關系第2頁/共179頁5-1 5-1 應力分量的坐標變換應力分量的坐標變換 應力張量應力張量 在給定載荷作用下，物體內過一點的任意斜截面上應力的大小和方向都是確定的，即一點的應力狀態是確定的。它不隨所取坐標系而變化。但描述一點應力狀態的應力分量又是在確定的坐標系下確定的，它隨坐標系的不同而不同。 第3頁/共179頁我們通常習慣的右手坐標系， 下面首先考察旋轉變換的情形: 考察物體內任一點o。設oxyz為舊坐標系下o點處的局部標架（圖5-1（a），單位基矢量為 321eee、，相應的應力分量為: zzyzxyzyyxxzxyxij

2、第4頁/共179頁zyxo設 為新坐標系下o點處的局部標架，單位基矢量為 321eee、，相應的應力分量: zyzxzzyyxyzxyxxj i新、舊坐標系下坐標軸間的方向余弦為第5頁/共179頁x111l211m311ny122l222m322nz133l233m333nxyz第6頁/共179頁 第7頁/共179頁作斜面abc 垂直于 軸，作用于該微面上的應力矢量為 xT21TT 、3T。用舊系下沿坐標軸的三個分量和，及Cauchy公式（2-4）式）可將 T表為 332211eeeTTTTijijiinTee在新系下， 沿坐標軸的三個分量即為新系下該面上的三個應力分量 、 和 。Txyx z

3、x 將 向 、 和xyzT軸方向投影，并注意到這里 第8頁/共179頁jjn1及剪應力互等關系 jiij得 11eeeTijijxnijji1122eeeTijijyxnjiijijji1212ijji2133eeeTijijzxnjiijijji1313ijji31第9頁/共179頁三個式子合起來，可簡寫為： ijj jij11同理，取微斜面abc分別垂直于 、 ，可以得到新系下的其余六個應力分量與舊系下九個應力分量間的類似關系： yzijj jij22ijj jij33（3） （4） （2） （2）（4）式可以統一寫為ijj ji ij i （5-1） 第10頁/共179頁這就是應力轉軸公

4、式，式中 或 稱為轉換系數。 i ijj在數學上，將坐標變換符合式（5-1）的一組量稱為二階張量。按此定義，決定一點應力狀態的九個應力分量就是一個二階張量，稱為應力張量。 在式（5-1）中作指標置換，并利用 的對稱性得 ij第11頁/共179頁jii jj iijj ii ji j jiijjjii 應力張量在經坐標變換后，其對稱性仍然保持不變。 在平面問題中，建立二維的新、舊坐標系如圖5-2，新、舊坐標軸的方向余弦為 第12頁/共179頁22 1sinl cos 222msin 211mcos 111lyxx y 第13頁/共179頁第14頁/共179頁與前面推導類似 ijj ji ij i

5、 指標的取值為 2 , 1 ,ji2 , 1, ji當取新系為正交曲線坐標系，其中轉換系數 i ijj 為點o處坐標曲線切線方向單位基矢量在舊系下的方向余弦。 xyr 方向 方向 取 第15頁/共179頁ijrjriryxrxryxyryrxyryryxrxrxxyyxcossin2sincos222sinsincos22xyyx同理 ijji2sincossin22xyyxijjrir)sin(coscossin)(22xyxyrr第16頁/共179頁這就是極坐標下的應力分量與直角坐標下應力分量的轉換公式。 反過來，取直角坐標系為新坐標系，極坐標系舊坐標系，根據（5-2）式，用極坐標應力分量

6、表示直角坐標應力分量的關系為： 第17頁/共179頁rrrrrryrxryxryxryrxrxyrrryyryyryryryrrrxxrxxrxrxrxa)sin(cos)(cossin sin)sin(coscos)sin(sincos cossin2cossin 2cossin2sincos 22222222第18頁/共179頁5-2 5-2 主應力主應力 應力張量不變量應力張量不變量Cauchy公式（2-4）給出了過一點任意斜截面上的應力矢量的計算關系，寫成矢量的形式有ijijiinTeeT斜面上的應力矢量不僅與該點的應力狀態有關，而且與斜面的方向有關。 T為該截面的正應力 )(，而剪應

7、力為零。 （5-4） 第19頁/共179頁這個問題的數學描述是，求某個法線方向 ),(nml，使滿足方程：T（5-5） 將（5-4）式代入（5-5）式得： iiijijnnee故 ijijnn整理合并后得0)(jijijn第20頁/共179頁 zyx圖5-3T第21頁/共179頁將上式展開0)(0)(0)(nmlnmlnmlzzyzxyzyyxxzxyx我們把只有正應力，而沒有剪應力的平面稱為主平面；主平面上的正應力稱為主應力；主平面的法線方向，即主應力方向稱為主方向。 代數上，（5-6）式是關于主方向 （5-6） ),(nml第22頁/共179頁的線性齊次代數方程，它有非零解的條件是，其系數

8、行列式為零，即 0zzyzxyzyyxxzxyx（5-7） 展開后得到關于主應力的三次代數方程（5-7），稱為應力張量的特征方程： 032213III第23頁/共179頁zyxI12222zxyzxyxzzyyxIzzxxzxzzyyzyyyxxyx22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxIzzyzxyzyyxxzxyx第24頁/共179頁可以證明方程（5-7）有3個實根，它們對應該點的3個主應力，分別用 表示。 321、1222nml（5-9） 將（5-9）式與方程組（5-6）中的任意兩式聯立，即可求出與給定主應力 對應的主方向。 i321、 是方程（5-7）的三個根，所以，也可以將特

9、征方程寫成 0)()(321第25頁/共179頁展開后有 0)()(32113322123213與式（5-7）比較，得 321313322123211III對于一個給定的應力狀態，其主應力的大小和方向都是確定的，它不隨坐標系的變換而變化，故 也不會因坐標系的變換而改變。這種不因坐標系變換而改變的量，稱為不變量. 321III、第26頁/共179頁 分別稱為應力張量的第一、第二、第三不變量。321III、主應力的幾個重要性質： （1）主應力為實數 （2）主方向的正交性 設與主應力 321、對應的主方向為 3)(2)(1)(、 如果 321第27頁/共179頁0(2)(1)0(3)(2)0(1)(

10、3)則 這表明，三個主方向是相互正交的。321如果 則 0(3)(2)0(1)(3)表明 3的方向同時與 和 方向垂直； 12第28頁/共179頁而 (2)(1)可為零，也可以不等于零，即 12 和 的方向可取與 垂直平面上的任意方向。即與 垂直的方向都是主方向。 (3)(3)如果 321，則 、 、 (2)(1)(3)(2)(1)(3) 三者可以是零，也可以不是零，這說明三個主方向可以相互垂直，也可以不垂直，也就是說，任何方向都是主方向。 第29頁/共179頁（3）主應力的極值性 命題1：最大（或最小）主應力是相應點處任意截面上正應力的最大（或最小）值。 第30頁/共179頁5-3 5-3

11、最大剪應力最大剪應力現在我們來考察物體內一點P的最大剪應力及其作用面。取應力主軸為參考軸（圖5-4）。斜面上應力矢量 的分量及斜面上的正應力分別為： TlT11mT22nT33232221nml第31頁/共179頁 z12y3x圖5-4第32頁/共179頁將（1）、（2）式代入斜面上的剪應力公式（2-7）得222| T)(232221223222221nmlnml利用幾何關系：1222nml得 23222221222)1 (nmnm23222122)1(nmnm（3） （4） （5） 第33頁/共179頁2取極值的點也使 ，將（4）式代入方程 0/2m0/2n得 0)()()(2)(0)()(

12、)(2)(11321221321231132122122122nmnnnmmm下面分三種情況考慮： （1）三個主應力互不相等，即 321（6） 第34頁/共179頁將（6）式的第一式除以 )(12，第二式除以 )(13，整理后得0)()( 2)(0)()( 2)(1321221313212212nmnnmm方程（7）有三組解： （7） 第一組是 0 , 0nm第二組是 2/1 , 0nm第三組是 0 ,2/1nm第35頁/共179頁有了m、n就可以從（4）中求得相應的l，并運用（5）式得到相應的極值剪應力 ，由（2）式得到極值剪應力面上的正應力 。同理可從（3）和（4）中分別消去m和n，按上述

13、方法又可以得到六組解，但其中三組是重復的，獨立的解答一共六組，如表5-1所示。表中前三組解答對應于主平面，其上剪應力為零；而后三組解答對應于經過主軸之一而平分其他兩主軸夾角的平面，如圖5-5示，其上剪應力為 第36頁/共179頁)3()2()1 (、稱為主剪應力。 如果 321，則最大剪應力為 231max即最大剪應力等于最大主應力與最小主應力差的一半，它作用在過oy軸（ 2軸）而平分ox軸（ 1軸）和oz軸（ 3軸）夾角的微分平面上。 第37頁/共179頁第38頁/共179頁（2）兩主應力相等 為了確定起見，設 321則（6）式的第一式已滿足，第二式有0)(2)(13213nn由此可解得 0

14、n2/1n第一個解 0n表示平面通過oz軸，將 0n及 21代入（5）式得 0即過oz軸的平面都是主平面。 第39頁/共179頁第二個解 2/1n，將其代入（4）式得 2122 ml它表示了任一個與圓錐面（圖5-6）相切的微分面。 對應平面上的最大剪應力 231)2(（3）三個主應力相等，即 321過該點的任何微分面上都沒有剪應力，即任一平面都是主平面，與5-2的結論也是一致的。 第40頁/共179頁z4545yx圖5-6第41頁/共179頁5-4 5-4 笛卡爾張量基礎笛卡爾張量基礎 1. 坐標變換 考察平面內矢量 的坐標變換關系。新、舊坐標系的方向余弦為 a212cos222cos121c

15、os111cosxyx y 第42頁/共179頁 第43頁/共179頁將舊系下的矢量分量 21aa 、向新系坐標 x投影可得矢量 a在新坐標系下的分量 2221212111coscos coscosaaaaaa進一步可表為 22211222211111aaaaaa2 , 1, ji令 則式（5-12）可簡記為 （5-12） 第44頁/共179頁這就是矢量的坐標變換公式。此式在三維空間中同樣成立，這時取 3 , 2 , 1, jijj iiaa（5-12） 2. 笛卡爾張量 上面證明了，同一矢量，當坐標旋轉時，其分量之間滿足關系式（5-12）。下面我們將證明如果分量間滿足關系（5-12），則它們

16、表示同一矢量。 我們注意到新系下的單位基矢量 ，在舊系下的分量即為方向余弦 ，故可用舊系下ieki第45頁/共179頁的基矢量表為kkiiee反過來有 ikikee所以 l iklj iliklj ikj eeeekij i根據Kroneker 的定義： kjjkee 由上式可得 jkkij i第46頁/共179頁kkijj iiiaaeeaaeekkkjjkaa這就是我們所要證明的結論。 定義： 在坐標變換時，滿足式（5-12）的一組量 稱為一階張量。 )(ja位移矢量、力矢量都是一階張量。 第47頁/共179頁在5-1中，已知坐標旋轉變換時，新、舊系下應力分量之間的坐標轉換公式為ijj j

17、i ij i ijj ji ij iTT 一般地，可寫為 （5-16） 凡坐標變換符合（5-16）式的一組量 稱為二階張量。 )(ijT決定一點應力狀態的九個應力分量 就是一個二階張量。 ij可以證明Kroneker 為二階張量。 第48頁/共179頁類似地，可以定義n階張量，即坐標變換滿足 個指標個指標nnmijmtjqiptqpTT的一組量 mijT稱為n階張量。 這里的階數是指指標的個數。標量，比如密度、溫度等，它不隨坐標變換而變化，即 ， TT 其指標個數為零，稱為零階張量。 第49頁/共179頁3. 二階張量的分解 （1）任何一個二階張量都可以分解為一個二階對稱張量和一個二階反對稱張

18、量之和。 )(21)(21jiijjiijijTTTTTijijBA 式中 jiijjijiijijATTTTA)(21)(21為對稱二階張量； jiijjijiijijBTTTTB)(21)(21為反對稱二階張量。 第50頁/共179頁（2）任何一個二階張量都可以分解為一個球張量與一個偏張量之和。 3/)(31332211iimTTTTT則 ijijmijmijijmijSTTTTT)(令 ijmT稱為球張量； ijmijijTTS稱為偏張量。第51頁/共179頁上式可用矩陣表示為mmmmmmTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT33323123222113121133323123

19、22211312110000004. 張量的運算凡是同階的兩個張量可以相加，并得到一個與原張量同階的張量，其分量等于原張量中標號相同的諸分量的代數和。 第52頁/共179頁ijaijb設 與 為兩個二階張量，其和為 ，記為 ijcijijijbac根據二階張量的定義， ijj ji ij iaa ijj ji ij ibb 兩式相加，有 )(ijijj ji ij ij ibaba ijj ji ij icc 第53頁/共179頁由二階張量的定義， 為二階張量。 ijc（2）張量的外積（并乘） 兩個張量的外積定義為第一個張量中的每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量所組成的集合。張量的外積仍為

20、張量，其階數為兩個張量階數的和。向量 乘以二階張量 ，則外積 iajkbjkiijkbac為三階張量。第54頁/共179頁由張量的定義，有iiiiaajkkkj jkjbbjkikkj ji ikjikj ibabac ijkkkj ji icijkc為三階張量。 （3）張量的縮并 對n階張量進行縮并，就是對張量的某兩個指標求和。張量縮并以后仍為張量，其階數為階。 第55頁/共179頁2n階。 ijkA為三階張量，則有 ijkkrjqiprqpAA對1、2個指標求和，即令 qp得 ijkkrjpiprppAAjjkkrijkkrijAA符合一階張量的坐標變換規律，即三階張量縮并以后為一個矢量。

21、 第56頁/共179頁（4）張量的內積 內積是兩個張量先并乘，然后進行縮并的運算。 ijkT為三階張量， lmS為二階張量，其外積為 lmijkijklmSTUjl 縮并，為 jmijkikmSTV用不變性的形式記為 STV 第57頁/共179頁（5）張量對坐標的導數 在笛卡爾直角坐標系中，張量對坐標的導數仍然是張量，且為比原張量高一階的張量。 由坐標變換關系： kjkjxxssssxx（1） ),(321xxxTijk設 為三階張量，在轉軸以后的新坐標系下為 ),(321 xxxTkj i第58頁/共179頁按普通的鏈式求導規則，并注意到（1）式有ssskj iskj ixxxTxT ssi

22、jkkkj ji isxxTx)(sijksskkj ji ixT符合四階張量的坐標變換規律，故 sijkxT/為四階張量。 第59頁/共179頁則 5. 商法則若九個分量 與任何一個向量 按一對指標求和后構成另一向量 ijajbija必為一個二階張量。 icjijibac 6. 二階張量的性質 設有一個任意二階張量 ，它與任一個向量 的線性組合仍為一個向量，用 表示，則 ijaicjb第60頁/共179頁jijibac 這相當于一個變換，它把一個向量變換為另一個向量。若變換后的向量 與 共線， jbicjb即 經 變換后只改變大小，不改變方向，數學上表為 ijaiibc則向量 的方向稱為張量

23、 的主方向或主軸，稱為張量 的主值，將（6）式代入（5）式得 jbijaija第61頁/共179頁0)(jijijba為張量ij的主值， 為張量 的主方向。jnij求應力張量主應力及其相應的主方向的方法就可以用來求任意二階張量的主值和主方向 。 第62頁/共179頁5-5 5-5 物體內無限鄰近兩點位置物體內無限鄰近兩點位置的變化的變化 轉動張量轉動張量 在2-4中，我們曾指出，物體的位形應由三部分組成：物體的整體剛體位移，單元的變形以及由相鄰單元變形引起的本單元的方位的變化。 下面分兩種情況研究單元繞oz軸的轉動。 第63頁/共179頁設所考察單元e沒有變形。由圖5-8的幾何關系可知單元e由

24、于相鄰單元的變形引起的轉角（方位的變化），可用它的角平分線的轉動表示為： 1()2yxxy單元e的剪應變: 0 xyyxxy因為這里 xy應為負值。 第64頁/共179頁第65頁/共179頁下面來考察當單元e有變形時，由于相鄰單元的變形所引起的單元e的方位的變化。由圖5-9可知單元e方位的變化，即轉角 1()2 24yxxyyx)(21)(21yuxvxyyx通常令 ，即用兩倍轉角來表示這一轉動，則式（3）可寫為2z第66頁/共179頁第67頁/共179頁2zvuxy同理，可以得到單元e繞oy軸及ox軸的轉動。xwzuqy 2zvywpx 2（4b、c） （4a） 第68頁/共179頁已知幾何

25、方程xwzuzwzvywyvyuxvxuzxzyzyxyx （5） 利用式（4）和（5）反解出三個位移的九個偏導數，寫成矩陣的形式，并進行分解得第69頁/共179頁zxzyyzxxyzyzyxyxzzxyxzwywxwzvyvxvzuyuxu)(21)(21)(21)(21)(21)(21021212102121210212121212121xyxzyzzzyzxyzyyxxzxyx第70頁/共179頁簡記為 ijijjiu,六個應變分量 和三個轉動分量 在純變形情況下可以完整地描述變形后單元的形位。 ijzyx、注意到（4）和（5）式，則有 )(21)(21,ijjiijijjiijuuuu

26、（5-20） （5-19） 第71頁/共179頁jiu,ij在（5-19） 式中 的分解, 為對稱部分,稱為應變張量，且 ;而 為其反對稱部分，稱為轉動張量。 )(21jiijijij將（5-19）式兩邊同乘以 ，并注意到相鄰兩點的位移變化量 ，故得 jxdjjiixxuudjijjijixxudd（5-21） 第72頁/共179頁)(zyxP、)d ,d ,d(zzyyxxQ設 和 為物體內無限鄰近的兩點，在物體發生變形以后，分別移動到 和 ，相應的位移為 和 ，如圖5-10示。 PQiuiu第73頁/共179頁 第74頁/共179頁將（5-21）式展開得zyxzyxwvuwvuxyxzyz

27、zzyzxyzyyxxzxyxddd021212102121210ddd 212121212121（5-22） 式（5-22）說明，與P點無限鄰近的一點Q的位移由3部分組成：第75頁/共179頁（1）隨同P點的平移 （2）繞P點的剛性轉動 （3）線元PQ自身變形 )(iu)(ij)(ij第76頁/共179頁5-6 5-6 應變的坐標變換應變的坐標變換 應變張量應變張量 首先，討論微線元 的相對伸長。 rd設 的方向余弦為 ，變形后線元為 ，相應的方向余弦為 rd)(nml、nrd)(nml、n線元兩端點A、B的位移分別為 和 iuiu變形前后線元的位置如圖5-11所示。 第77頁/共179頁B

28、(x+dx, y+dy, z+dz) B(xi+dxi+ui)drA(xi+ui)A(x, y, z)圖5-11dr第78頁/共179頁rd線元 的分量 iirnxddB點的位移: jjiiixxuuud則變形后的線元矢量的分量: (d)()iiiiidxxxuxu)d(iiiuux)dd(jjiixxux（3） （2） （1） 第79頁/共179頁變形后的線元長度 可由下式算出 rd )dd)(d(d)d(2kkiijjiixxuxxxuxddr rr線元 的相對伸長： rddrdrrdr于是，變形后線元的長度又可表為 rrdrd)1 (（5） （4） 第80頁/共179頁將（5）代入（4）

29、式的左邊，并將右邊展開，得kikijijiiirxxxuxxxuxxrdddddd)1 ()d(22kjkijixxxuxudd在小變形條件下，略去應變及轉角的二次項得jijiiirxxxuxxrdd2dd)21 ()d(2（6） 將（1）式兩邊自乘，并注意到幾何關系 1iinn則有 )d()d(dd2rnnrxxiiii第81頁/共179頁代入（6）式，兩邊同除以 2)d( r得 jijirnnxu2121jijirnnxu所以 （5-23） 將（5-23）式展開，并運用幾何方程（2-11），得任一線元的正應變：nlmnlmnmlzxyzxyzyxr222（5-23） 第82頁/共179頁兩

30、線元夾角的變化 1dr2dr1rd2rd變形前 變形后 第83頁/共179頁QRdr1dr2PQR dr1dr2P圖5-12第84頁/共179頁由關系式（3）可知，變形后兩線元矢量分別為 )d()d()2()2(2)1 ()1 (1jjiijjiixxudxdxxudxdrr（7） 由（5）式，變形后兩線元的長度分別為 1)1 (1d)1 (rrdr2)2(2d)1 (rrdr（8） 第85頁/共179頁變形后線元 的方向余弦為 1rd1)1 ()1 ()1 ()1 (d)1/()dd(rxxuxnrjjiii1)1 ()1 (1)1 (1d)1/()dd(rnrxunrrjjii)1/()(

31、)1 ()1 ()1 (rjjiinxun)1)(2)1 ()1 ()1 ()1 (rrjjiinxun)1 ()1 ()1 ()1 (jjirinxun（9） 第86頁/共179頁展開后得： 1) 1 (11111) 1 (11111) 1 (11111) 1 () 1 (11)1 ()1 ()1 ( )1 ( )1 (nzwmywlxwnnzvmyvlxvmnzumyulxunzumyulxulnxullrrrrjjr第87頁/共179頁同理可得變形后線元 的方向余弦 2rd)2()2()2()2()1 (jjiriinxunn（11） 展開后 2)2(22222)2(22222)2(2)

32、1 ()1 ()1 (nzwmywlxwnnzvmyvlxvmnzumyulxulrrr（12） 第88頁/共179頁由矢量代數，變形前、后線元夾角余弦： 212121)2() 1 ()2() 1 (cosnnmmllnnnn212121)2() 1 ()2() 1 (cosnnmmllnnnn（13） （14） 將（10）及（12）式代入（14）式，并利用（13）式，得第89頁/共179頁)(2coscos212121nnmmllzyx)()(12211221nlnlnmnmxzyzcos)()()2()1 (1221rrxymlml（5-24） 由此可見,只要知道了某點的6個應變分量就可以

33、求出過該點任意兩個微線元間夾角的變化。 2令 , 在小變形條件下可得: 第90頁/共179頁)(21sin)(21sin2coscos于是,（5-24）式可以化為 )()(21221212121nmnmnnmmllyzzyx)()(12211221mlmlnlnlxyxz（5-25） 表示兩正交線元直角的變化，按定義就是剪應變。 第91頁/共179頁下面研究三維空間中任意三個正交線元的相對伸長和剪應變。 取線元 方向為 方向，利用（5-23）式，并注意到 ，可得線元 xd dr)(2jiijijxd 的正應變分量與舊系下應變分量間的關系： zyxx313121211111yzyxxy31211

34、1212111xzzxzy311111312131ijji11第92頁/共179頁同理，可得 ijjiy22ijjiz33利用（5-25）式，可得新系下的6個剪應變與舊系下應變分量間的關系： zyxyx3131222112112yzyxxy322112212211xzzxzy321111312231)(21xyijji（5-26a）第93頁/共179頁)(32xyijjizy)(13zxijjixz（5-26b）顯見，（5-26a）和（5-26b）式可以統一寫為ijjqipqp（5-27） 符合二階張量的定義。因此，一點的應變狀態是一個二階張量。 第94頁/共179頁5-7 5-7 主應變主應

35、變 應變張量不變量應變張量不變量 （5-27）式表明，在給定了一點的應變狀態ij以后，該點的應變分量將隨坐標系的變換而變化。 當在某坐標系下，只有正應變，而無剪應變，即沿新系坐標軸方向的三個正交線元只有相對伸長，而無直角的變化。這三個方向稱為應變主方向，其相對伸長稱為主應變。第95頁/共179頁 由5-6式（9）可知，具有方向為 )(nml、n的線元 rd，變形后為 ，相應的方向余弦 rd)(nml、n滿足： jjiiinxunn)1 (（1） 式中，為線元 的相對伸長。式（1）可以改寫為 rdjijjijijjiiinuunuunn)(21)(21)1 (,jijjijinnn)1 (第96

36、頁/共179頁我們知道，純變形時單元的運動由單元本身的變形和單元方位的變化兩部分組成。 rd1rd設 與 為兩個沿應變主方向的正交線元，則按主方向的定義，該兩線元變形后仍然正交，只是方位發生了轉動，如圖5-13示。顯然，如果限制方位的轉動，即令 0ij，有 iinn 于是，（2）式就成為 jijiinnn)1 (（3） 第97頁/共179頁式中，為主應變。將（3）式整理后得 0)(jijijn（5-28） jn這是關于應變主方向 的齊次代數方程，有非零解的條件是其系數矩陣行列式為零，即 0ijij（5-29） 展開后得032213JJJ（5-30） 第98頁/共179頁 21212121212

37、1)(41 322221zzyzxyzyyxxzxyxxyzxyzyxxzzyzyxJJJ（5-31） 稱為應變張量的第一、第二、第三不變量。 運用（5-28）式中的兩個方程，及幾何關系 1iinn 可以確定與任一主應變 相伴的應變主方向。 i第99頁/共179頁5-8 5-8 廣義廣義HookeHooke定律的一般形式定律的一般形式 前面我們討論了各向同性體的廣義Hooke定律，其中還強制性地給出了一些附加假設。從這一節起，我們將對廣義Hooke定律作一般性的討論。 應力作為應變的函數，一般地可以寫為 )(klijijf（1） 將分量 在自然狀態附近展開，在小變形條件下， x第100頁/共1

38、79頁klklxxxff00)(（2） 式中，右下角0表示在自然狀態取值。根據基本假設，在自然狀態下有 和 。 0ij0ij0)(0 xf（2）式中， 0klxf 由材料性質決定，一般來講，它是坐標的函數；如果材料是均勻的，則它與坐標無關而成為材料常數。于是（2）式就可寫為 第101頁/共179頁xyzxyzzyxxyxyzxyzzyxzxxyzxyzzyxyzxyzxyzzyxzxyzxyzzyxyxyzxyzzyxxcccccccccccccccccccccccccccccccccccc6665646362615655545352514645444342413635343332312625

39、24232221161514131211（5-32） 同理 )6 , , 2 , 1 ,(nmcmn式中系數 稱為彈性常數，一共有36個。（5-32）式對材料彈性性質未加任何限制，稱為完全各向異性。 第102頁/共179頁根據能量守恒定律和應變能的存在（5-11），可以證明，彈性常數之間存在關系 ，這就是說（5-32）式的系數是對稱的。因此，即使是對于完全各向異性體，獨立的彈性常數也只有21個。對（5-32）式也可寫成用應力表示應變的形式，即)(klijijgnmmncc第103頁/共179頁能量守恒定律指出：封閉系統中總能量的增加（包括動能增加和內能增加 ）等于外力對系統所做的功和系統從外界

40、吸收的熱量之和，即 ： 5-9 5-9 彈性體變形過程中的能量彈性體變形過程中的能量UKQW兩端除以 ，并令 t0t第104頁/共179頁QUKW這就是熱力學第一定律的速率形式。 區域的動能： d21iivvK（1） 上式對時間求導，得 diivvK（2） 1U設 為單位體積的內能，則區域的內能 1dUU第105頁/共179頁將上式兩邊對時間微分得 1dUU（3） 外力功率： ddsvTvFWiiii（4） 式中Ti為區域的邊界 上的作用面力，由Cauchy公式 及高斯（Gauss）積分公式，并注意到應力的對稱性得jijinT第106頁/共179頁 ddsvnsvTijijii ,d)(jii

41、jv , ,ddjiijijijvv , ,)d(21djijiijijijvvv , ,d21d21dijjijiijijijvvv , ,)d(21dijjiijijijvvv ,ddijijijijv（5） 第107頁/共179頁將（5）代入（4）式，得 ,dd)(ijijiijijvFW（6） 對于一個絕熱過程，即物體在變形過程中既無熱量損失，也不從外界吸入能量，則 。此時，熱力學第一定律成為 0QUKW（7） 將（2）、（3）、（6）式代入式（7）得 ,dd)(ijijiiijijvvF 1dU（8） 第108頁/共179頁22tuvii式中 ，運用運動微分方程，（8）式左邊第一個積

42、分為零，故有 1 ddUijij（9） 由區域的任意性，我們有 ijijU1（10） 兩邊同乘以dt，得 ijijUdd1（5-33） 第109頁/共179頁由于內能U1是狀態的單值函數，即與過程無關， 故 必須是全微分，即有 1dUijijUdUd11（11） 與（5-33）式比較可得ijklijU)(1（5-34） 當一個過程進行得異常迅速，以致來不及和外界發生顯著熱交換，則可近似地按絕熱過程處理。 第110頁/共179頁熱力學第二定律涉及到兩個重要的狀態量：溫度T和熵H。溫度是表示物體冷熱程度的物理量。熵是熱力學系統的一個狀態函數，與系統熱量的增加和絕對溫度的比值有關。 在變形過程中，熵

43、的改變量 由兩部分組成，輸入熱量引起的熵增量 ，稱為供熵，及變形和熱流阻力引起的熵變化量 )( H)(eH，稱為產熵，即 )(iH第111頁/共179頁ieHHHTQHe/（12） （13） 式（12）兩邊除以 tieHHH（14） 表示熵的增大率等于熵的輸入速率與熵的生成速率之和，其中，熵的輸入速率TQHe/（15） 第112頁/共179頁熱力學第二定律告訴我們：自然界中發生的一切熱力學過程都不會使產熵減少，或者是熵的生成率總是非負的，即0iH0iH（16） 對于不可逆過程，比如塑性變形 0iH對于可逆過程，比如彈性變形， 0iH因此，在彈性變形情況下，（14）式化為TQH/HTQ（18）

44、第113頁/共179頁將（18）代入（1）式得 HTUKWHTTHUK)(（19） 對于等溫過程， 0T)(ddddddTHUttKtW（20） 設 為單位體積的熵，定義 TU 1F（21） F稱為單位體積的自由能，則區域的自由能： 第114頁/共179頁 1 )(dTHUdTUF從而，有 d)(ddtFTHUt（22） 將（6），（2）和（22）式代入（20）得 ,dddd)(tvvvFiiijijiijijF運用運動微分方程，立即可得 ddijijtF第115頁/共179頁由的任意性，ijijtF兩邊同乘以dt得 ijijddF（23） 在等溫條件下， 僅與應變分量有關，也是狀態的單值函數

45、，故 亦為全微分，即 FFdijijddFF（24） 第116頁/共179頁比較（23）、（24）式，得ijijF（5-35） 將（5-34）和（5-35）式統一寫為ijklijA)()(klA（5-36） 稱應變能函數，式（5-36）稱為格林（Green）公式，它是一種能量形式的應力-應變關系。第117頁/共179頁如果應變能函數用6個工程應變分量表示，即 )(xyzxyzzyxAA、zzyyxxAddddxyxyzxzxyzyzddd（5-36）式就展開為（5-37） 第118頁/共179頁xxAyyAyzyzAzxzxAxyxyAzzA如果變形過程進行得非常緩慢，由變形產生的熱量有足夠時

46、間散發掉，從而使物體溫度保持不變，則這一過程可近似地按等溫過程處理。而彈性變形沒有能量的耗散，因此將彈性變形視為等溫過程是合乎邏輯的。（5-38） 第119頁/共179頁5-10 5-10 應變能和應變余能應變能和應變余能 當彈性體受到外力作用而變形時，外力將對物體作功，并將全部轉化為物體的動能和儲存于物體內的應變能。如果外力變化得足夠慢，則動能的變化可以忽略，這時外力的功將全部轉化為應變能。 第120頁/共179頁zyxzzxzyyzxzyxxydzdxdyxy圖5-14ijdxyyxx第121頁/共179頁從物體中取出一個如圖5-14所示的微元體。對微元體而言，作用其表面上的應力即為微元體

47、的外力。設在加載過程中ijxijd下一時刻的應變增量某一時刻各微分面上的應力微元體沿x方向的伸長 應力分量 xxxdd在相應位移上的功 x 0 0 dd)dd()dd(dVxzyWxxxxxx第122頁/共179頁同樣，可以得到其他應力分量在相應變形上的功，把這些功疊加起來，并除以微元體積dV后得單位體積內的應變能：ijijijVW 0 ddd又由Green公式（5-36），有AAijijijijddd積分上式ijijijA 0 d（5-39） 第123頁/共179頁比較（2）和（5-39）式可知，應變能函數等于單位體積內的應變能，又稱應變能密度。 定義:單位體積的應變余能（應變余能密度）為

48、)(ABijij注意到 ijijijijijijdd)(dijijAdd兩邊積分后得 ijijijijijA 0 d第124頁/共179頁代入（5-40）式，有ijijijB 0 d顯然，B為應力分量的函數，與過程無關。因此，當應力發生微小變化時，應變余能密度的變化為ijijBBdd又由式（5-41）：ijijBdd（4） （3） （5-41） 第125頁/共179頁比較（3）、（4）式，有ijijB)(（5-42） 上式稱為卡斯蒂利亞諾（Castigliano）公式，它是以能量表示的應力-應變關系的另一種形式。在單向拉伸的情況下，式（5-39）和（5-41）分別退化為 0 d A 0 d B

49、第126頁/共179頁一般非線性情況:應變能密度A為曲線下與軸所圍面積;而B為曲線與 軸所圍面積，如圖5-15(a)所示。 材料為線性彈性時，見圖5-15(b)。 第127頁/共179頁d B0AAB圖5-15圖5-15第128頁/共179頁在復雜應力狀態下，線性彈性體的應力-應變關系，如式（5-32）所示。要保證用（5-36）式導出（5-32）式，則應變能密度（A）必須是應變分量的二次齊次函數。 根據齊次函數的Euler定理，二次齊次函數對各變量的偏導數并乘以對應的變量之和，等于此函數的兩倍。注意到（5-38）式，有第129頁/共179頁xyxyzxzxyzyzzzyyxxAAAAAAA2x

50、yxyzxzxyzyzzzyyxxxyxyzxzxyzyzzzyyxxA21（5-43） 縮寫為 ijijA21應變余能密度 ijijijijAB21第130頁/共179頁可見，在線彈性條件下，應變能密度（A）與應變余能密度（B）的值相等，但應變能密度函數的自變量是 ，而應變余能密度函數的自變量是 . ijij第131頁/共179頁5-11 各向異性彈性體的應力-應變關系 1. 完全各向異性彈性體完全各向異性彈性體 考察（5-32）式的第二式和第五式，并注意到（5-38）式，有 xyzxyzzyxyccccccA262524232221xyzxyzzyxzxccccccA56555453525

51、1（1） （2） 第132頁/共179頁將（1）和（2）式分別對 和 求偏導數，得 zxy252cAzxy522cAyzx（3） 由于A具有二階連續偏導數，故與求導次序無關，于是由（3）式得到5225cc第133頁/共179頁對于其他任何兩個常數也可同樣證明它們是相等的，即 nmmncc（5-45） 因此，式（5-32）中對于對角線成對稱的彈性常數均相等。故在36個彈性常數中，獨立的彈性常數有 個。 21263662. 具有一個彈性對稱面的各向異性彈性體具有一個彈性對稱面的各向異性彈性體 第134頁/共179頁 如果物體內的每一點都存在這樣一個平面，與該平面對稱的兩個方向具有相同的彈性，則該平

52、面稱為物體的彈性對稱面，而垂直于彈性對稱面的方向，稱為物體的彈性主方向。如果取彈性主方向為坐標軸方向，由彈性對稱面的定義可知，當該坐標軸反向以后，由（5-32）式所確定的應力-應變關系保持不變。 第135頁/共179頁設yz平面為彈性對稱面，x軸沿彈性主方向（圖5-16）。作坐標變換： 根據二階張量的坐標變換公式（5-16），新系下的應力分量 xxyy zz zyxxx2311121211xx211yyzzyzzyzxxzxyyx（4） 第136頁/共179頁彈 性 主 方 向x0 y ( y )z(z)彈 性 對 稱 面x圖5-16第137頁/共179頁新系下的應變分量：xyyxzxxzyz

53、zyzzyyxx, , ,（5） 將（5）代入（5-32）式得：第138頁/共179頁yxxzzyzyxxyyxxzzyzyxzxyxxzzyzyxyzyxxzzyzyxzyxxzzyzyxyyxxzzyzyxxcccccccccccccccccccccccccccccccccccc666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211 （6） 由于彈性對稱性，在新系下，應力-應變關系仍具有（5-32）式的形式，即 第139頁/共179頁yxxzzyzyxyxyxxzzyzyxxzyxxzzyzyxzyy

54、xxzzyzyxzyxxzzyzyxyyxxzzyzyxxcccccccccccccccccccccccccccccccccccc666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211 （7） 將（6）和（7）代入（4）式，并比較兩邊對應項系數，可得：04645363526251615cccccccc第140頁/共179頁這樣，獨立的彈性常數為 個。于是，（5-32）式簡化為13821 6665565544434241343332312423222114131211xyzxxyxyzxzxyzzyxyzy

55、zzyxzyzzyxyyzzyxxcccccccccccccccccccc(5-46)單斜晶體的晶體（如正長石）便具有這類彈性對稱。第141頁/共179頁3. 正交各向異性彈性體正交各向異性彈性體如果存在兩個彈性對稱面，比如yz面和zx面，由于以yz面為彈性對稱面時的應力-應變關系已由（5-46）式給出，只需要在此基礎上討論以zx面為彈性對稱，y軸為彈性主方向的情況就可以了。作圖5-17所示的坐標變換。同樣，按二階張量的坐標變換公式可得： 第142頁/共179頁 y0 x ( x )彈 性 對 稱 面彈 性 對 稱 面z (z ) y圖5-17第143頁/共179頁xyyxzxxzyzzyzz

56、yyxx, , , , ,（8） xyyxzxxzyzzyzzyyxx, ,（9） 將（9）式代入（5-46）式，得第144頁/共179頁zyzyxxcccc14131211 66655655444342413433323124232221yxzxxyyxzxzxzyzyxyzzyzyxzzyzyxycccccccccccccccc（10） 由于彈性對稱性，在新系下，應力-應變關系仍具有（5-46）的形式，即 第145頁/共179頁 6665565544434241343332312423222114131211yxxzyxyxxzxzzyzyxzyzyzyxzzyzyxyzyzyxxcccc

57、cccccccccccccccc（11） 將（10）和（11）式代入（8）式兩邊，并比較對應項系數得：056342414cccc第146頁/共179頁于是，（5-46）式簡化為xyxyzyxzzxzxzyxyyzyzzyxxcccccccccccc663332315523222144131211 （5-47） 如果再設xy平面為彈性對稱面，而z軸為彈性主方向，在（5-47）式的基礎上，進行與前面相同方法的推演，發現沒有新的結果。這表明，相互正交的3個平面中，如果有兩個是彈性對稱面，則第三個平面必然也是彈性對稱面。這種具有三個彈性對稱面的彈性體稱為正交各向異性彈性體。 第147頁/共179頁式（

58、5-47）表明：（1）正交各向異性彈性體只有9個獨立的彈性常數；（2）當坐標軸方向取為彈性主方向時，正應力只與正應變有關，剪應力只與對應的剪應變有關，即拉壓與剪切，及不同平面內的剪切之間不耦合。 各種增強纖維復合材料、木材等為正交各向異性彈性體。 第148頁/共179頁 4. 橫觀各向異性彈性體 假定物體內每一點都具有一個彈性對稱軸，也就是說，每一點都有一個各向同性平面，在這個平面的所有方向上彈性都相同。 這種彈性體稱為橫觀各向同性彈性體。 取xy面為各向同性面，即z軸為彈性對稱軸。第149頁/共179頁根據上述定義，任何一個過z軸平面都是彈性對稱面，由以上推論可知，各向同性面也必然是一個彈性

59、對稱面，從而z軸為彈性主方向，符合正交各向異性的定義，因此，應力-應變關系（5-47）成立。由于xy平面內的任一個方向都為彈性主方向，因此，將坐標系繞z軸旋90（圖5-18），應力-應變關系仍然滿足式（5-47）。 第150頁/共179頁 yz(z)y(x)x圖5-18xx第151頁/共179頁 根據二階張量的坐標變換可得：xyyxyzxzzxzyzzxyyx, ,xyyxyzxzzxzyzzxyyx , , , ,（12） （13） 將（13）代入（5-47）式，得 yxxyzxyzzyzxzxyyxzyzzxyxcccccccccccc663332315523222144131211 ,

60、, ,（14） 第152頁/共179頁在新系下的應力-應變關系：yxyxzxyzxzxzzxyyzyzyzxyxcccccccccccc663331325523212244131112 , , ,（15） 將（14）、（15）代入（12）式，比較兩邊系數，得如下關系：2211cc2313cc5544cc第153頁/共179頁至此，獨立彈性常數的個數減少到6個，而（5-47）式簡化為xyxyzyxzzxzxzyxyyzyzzyxxcccccccccccc663313134413111244131211 , , ,(16)現在，再將坐標系繞z軸旋轉任意角 ，如圖5-19示。 第154頁/共179頁