1、19.1 函數函數教學目標教學目標1. 結合實例，了解常量、變量的意義，體會“變化與對應”的思想，了解函數的三種表示方法（列表法、解析式法和圖象法）2. 通過動手實踐與探索，讓學生經歷“找出常量和變量，建立并表示函數模型，討論函數模型，解決實際問題”的過程，體會函數是刻畫現實世界中變化規律的重要數學模型. 3. 引導學生探索實際問題中的數量關系，培養對學習數學的興趣和積極參與數學活動的熱情 教學重點教學重點函數圖象的畫法教學難點教學難點函數概念中的“單值對應”變量與函數變量與函數 先請思考下面幾個問題： （1）汽車以60 km/h的速度勻速行駛，行駛路程為s km，行駛時間為t h填寫下表，s

2、 的值隨 t 的值的變化而變化嗎？t /h12345s/ km （2）電影票的售價為10元/張第一場售出150張票，第二場售出205張票，第三場售出310張票，三場電影的票房收入各多少元？設一場電影售出x張票，票房收入為y元，y 的值隨 x 的值的變化而變化嗎？ （3）你見過水中漣漪嗎？如下圖，圓形水波慢慢地擴大在這一過程中，當圓的半徑 r 分別為10 cm，20 cm，30 cm 時，圓的面積 S 分別為多少？S 的值隨 r 的值的變化而變化嗎？ （4）用10 m長的繩子圍一個矩形當矩形的一邊長 x 分別為3 m，3.5 m，4 m，4.5 m時，它的鄰邊長y分別為多少？y的值隨x的值的變化

3、而變化嗎？ 這些問題反映了不同事物的變化過程其中有些量的數值是變化的，例如時間 t，路程 s；售出票數x，票房收入 y 有些量的數值是始終不變的，例如速度 60 km/h，票價 10元/張在一個變化過程中，我們稱數值發生變化的量為變量變量，數值始終不變的量為常量常量 練習答案 （1）變量x，y；常量4. （2）變量t，w；常量0.2，30. （3）變量r，C；常量 . （4）變量x，y；常量10. 問題（問題（1） （4）中是否各有兩個變量？同一個問）中是否各有兩個變量？同一個問題中的變量之間有什么聯系？題中的變量之間有什么聯系？思考思考 在問題（1）中，觀察填出的表格，可以發現：t和 s 是

4、兩個變量，每當t 取定一個值時，s 就有唯一確定的值與其對應例如 t，則 s60；t，則 s120t5，則s300 在問題（2）中，可以發現：x和y是兩個變量，每當x取定一個值時，y 就有唯一確定的值與其對應例如，若x150，則y1 500；若x205，則y2 050；若x310，則y3 100 在問題（3）中，可以發現：r和S是兩個變量，每當r 取定一個值時，S就有唯一確定的值與其對應它們的關系式為Sr2據此可以算出r分別為10 cm，20 cm，30 cm時，S分別為100 cm2，400 cm2，900cm2 在問題（4）中，可以發現：x和y是兩個變量，每當x取定一個值時，y就有唯一確定

5、的值與其對應它們的關系式為 y5x據此可以算出 x 分別為 3 m，3.5m，4m，4.5m時，y分別為2m，1.5m，1m，0.5m 上面每個問題中的兩個變量互相聯系，當其中一個變上面每個問題中的兩個變量互相聯系，當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就有唯一確定的值與其對應量取定一個值時，另一個變量就有唯一確定的值與其對應. .歸納歸納 一些用圖或表格表達的問題中，也能看到兩個變量之間有上面那樣的關系思考思考 （1）下圖是體檢時的心電圖，其中圖上點的橫坐標）下圖是體檢時的心電圖，其中圖上點的橫坐標x表示時間，縱坐標表示時間，縱坐標 y表示心臟部位的生物電流，它們是兩表示心臟部位的生物電流，

6、它們是兩個變量在心電圖中，對于個變量在心電圖中，對于x的每一個確定的值，的每一個確定的值，y都有唯都有唯一確定的值與其對應嗎？一確定的值與其對應嗎？ （2）下面的我國人口數統計表中，年份與人口數可）下面的我國人口數統計表中，年份與人口數可以分別記作兩個變量以分別記作兩個變量x與與y對于表中每一個確定的年份對于表中每一個確定的年份x，都對應著一個確定的人口數都對應著一個確定的人口數y嗎？嗎？ 一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量 x與 y，并且對于x 的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量自變量，y是x的函函數數如果當xa時yb，那么b叫做當自變量的值為a時的函

7、數值函數值 可以認為：在前面問題（1）中，時間t是自變量，路程s是t的函數，當t1時，函數值s60，當t2時，函數值s120；在心電圖中，時間x是自變量，心臟部位的生物電流y是x的函數；在人口數統計表中，年份x是自變量，人口數y是x的函數，當x2010時，函數值y13.71 從上面可知，函數是刻畫變量之間對應關系的數學模型，許多問題中變量之間的關系都可以用函數來表示 例例1 汽車油箱中有汽油50 L如果不再加油，那么油箱中的油量 y（單位：L）隨行駛路程 x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1 L/km （1）寫出表示y與x的函數關系的式子； （2）指出自變量x的取值范圍； （3）汽

8、車行駛200 km時，油箱中還有多少汽油？ 解：解：（1）行駛路程 x 是自變量，油箱中的油量y是 x 的函數，它們的關系為y500.1x （2）僅從式子 y500.1x 看，x 可以取任意實數但是考慮到 x 代表的實際意義為行駛路程，因此 x 不能取負數行駛中的耗油量為0.1x，它不能超過油箱中現有汽油量50，即0.1x 50 因此，自變量x的取值范圍是0 x500 （3）汽車行駛200 km時，油箱中的汽油量是函數y500.1x在x200時的函數值將x200代入y500.1x ，得y500.120030 汽車行駛200 km時，油箱中還有30 L汽油 像y500.1x這樣，用關于自變量的數

9、學式子表示函數與自變量之間的關系，是描述函數的常用方法這種式子叫做函數的解析式解析式 練習答案 1. （1）自變量x，函數S，Sx2. （2）自變量x，函數y，y0.1x. （3）自變量n，函數y，y . （4）自變量t，函數V，V100.05t. 2. S ,即S x 3，2x 5.n6102)2(3x23函數的圖象函數的圖象 有些問題中的函數關系很難列式子表示，但是可以用圖來直觀地反映，例如用心電圖表示心臟部位的生物電流與時間的關系即使對于能列式表示的函數關系，如果也能畫圖表示，那么會使函數關系更直觀. 例如，正方形的面積 S 與邊長 x 的函數解析式為Sx2根據問題的實際意義，可知自變量

10、x 的取值范圍是x0我們還可以利用在坐標系中畫圖的方法來表示S與 x 的關系 計算并填寫下表x00.511.522.533.54S00.251 如下圖，在直角坐標系中，畫出上面表格中各對數值所對應的點，然后連接這些點所得曲線上每一個點都代表x的值與S的值的一種對應，例如點（2，4）表示當x2時，S4 一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象圖象上圖的曲線即函數Sx2 （x0）的圖象 下圖是自動測溫儀記錄的圖象，它反映了北京的春季下圖是自動測溫儀記錄的圖象，它反映了北京的春季某天氣溫某天氣溫 T如何隨時間如何

11、隨時間 t 的變化而變化你從圖象中得到的變化而變化你從圖象中得到了哪些信息？了哪些信息？思考思考 可以認為，氣溫T是時間t 的函數，上圖是這個函數的圖象由圖象可知： （1）這一天中凌晨4時氣溫最低（3），14時氣溫最高（8） （2）從 0 時至4 時氣溫呈下降狀態（即溫度隨時間的增長而下降），從4時到14時氣溫呈上升狀態，從14時至24時氣溫又呈下降狀態 （3）我們可以從圖象中看出這一天中任一時刻的氣溫大約是多少 例例2 如右圖所示，小明家、食堂、圖書館在同一條直線上.小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報，然后回家下圖反映了這個過程中，小明離家的距離y與時間x之間的對應關系 根據圖象回答下列

12、問題： （1）食堂離小明家多遠？小明從家到食堂用了多少時間？ （2）小明吃早餐用了多少時間？ （3）食堂離圖書館多遠？小明從食堂到圖書館用了多少時間？ （4）小明讀報用了多少時間？ （5）圖書館離小明家多遠？小明從圖書館回家的平均速度是多少？ 分析分析：小明離家的距離小明離家的距離y是時間是時間x的函數由圖象中有的函數由圖象中有兩段平行于兩段平行于x 軸的線段可知，小明離家后有兩段時間先后軸的線段可知，小明離家后有兩段時間先后停留在食堂與圖書館里停留在食堂與圖書館里 解解：（1）由縱坐標看出，食堂離小明家0.6 km；由橫坐標看出，小明從家到食堂用了8 min （2）由橫坐標看出，25817，

13、小明吃早餐用了17 min （3）由縱坐標看出，0.80.60.2，食堂離圖書館0.2 km；由橫坐標看出，28253，小明從食堂到圖書館用了3 min （4）由橫坐標看出，582830，小明讀報用了30 min （5）由縱坐標看出，圖書館離小明家0.8 km；由橫坐標看出，685810，小明從圖書館回家用了10 min，由此算出平均速度是0.08 km/min 例例3 在式子 yx0.5 中，對于x 的每一個確定的值，y 有唯一的對應值，即 y 是 x的函數，畫出這個函數的圖象. 解解：從式子 yx0.5可以看出，x 取任意實數時這個式子都有意義，所以x的取值范圍是全體實數. 從x的取值范圍

14、中選出一些數值，算出y的對應值，列表如下. x3210123y2.51.50.50.51.52.53.5 根據表中數值描點（x，y），并用平滑的曲線連接這些點（下圖）. 從函數圖象可以看出，直線從左向右上升，即當x由小變大時，yx0.5隨之增大.歸納歸納 描點法畫函數圖象的一般步驟如下：描點法畫函數圖象的一般步驟如下： 第一步，列表第一步，列表表中給出一些自變量的值及其對應表中給出一些自變量的值及其對應的函數值；的函數值； 第二步，描點第二步，描點在直角坐標系中，以自變量的值為在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格

15、中數值對應的各點；各點； 第三步，連線第三步，連線按照橫坐標由小到大的順序，把所按照橫坐標由小到大的順序，把所描出的各點用平滑曲線連接起來描出的各點用平滑曲線連接起來 練習答案 1. （1）圖象略； （2）點A，B不在圖象上，點C在圖象上. 2. （1）7時，12時； （2）07時，1224時上海氣溫高，712時上海氣溫 低. 3. （1）圖象略； （2）x0，y 隨 x 增大而減小； x0， y 隨 x 增大而 增大. 由上可知，寫出函數解析式，或者列表格，或者畫函數圖象，都可以表示具體的函數這三種表示函數的方法，分別稱為解析式法、列表法和圖象法思考思考 從前面的例子看，你認為三種表示函數的

16、方法各有從前面的例子看，你認為三種表示函數的方法各有什么優點？什么優點？ 表示函數時，要根據具體情況選擇適當的方法，有時為全面地認識問題，需要同時使用幾種方法 例例4 一個水庫的水位在最近5 h內持續上漲下表記錄了這5 h內6個時間點的水位高度，其中t表示時間，y 表示水位高度t/h012345y/m33.33.63.94.24.5 （1）在平面直角坐標系中描出表中數據對應的點，這些點是否在一條直線上？由此你能發現水位變化有什么規律嗎？ （2）水位高度y是否為時間t的函數？如果是，試寫出一個符合表中數據的函數解析式，并畫出這個函數的圖象這個函數能表示水位的變化規律嗎？ （3）據估計這種上漲規律

17、還會持續2 h，預測再過2 h水位高度將為多少米 解解：（1）如下圖，描出上表中數據對應的點可以看出，這 6 個點在一條直線上再結合表中數據，可以發現每小時水位上升0.3 m由此猜想，如果畫出這5 h內其他時刻（如t2.5 h等）及其水位高度所對應的點，它們可能也在這條直線上，即在這個時間段中水位可能是始終以同一速度均勻上升的 （2）由于水位在最近5 h內持續上漲，對于時間 t 的每一個確定的值，水位高度y都有唯一的值與其對應，所以y是t的函數開始時水位高度為3 m，以后每小時水位上升0.3 m函數y0.3t3（0t5）是符合表中數據的一個函數，它表示經過t h水位上升0.3t m，即水位 y為（0.3t3）m其圖象是下圖中點A（0，3）和點B（5，4.5）之間的線段AB 如果在這5 h 內，水位一直勻速上升，即升速為0.3 m/h，那么函數y0.3t3（0t5）就精確地表示了這種變化規律即使在這5 h內，水位的升速有些變化，而由于每