1、定義定義1 1 . , 21個(gè)個(gè)分分量量稱稱為為第第個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)第第個(gè)個(gè)分分量量，個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)稱稱為為該該向向量量的的維維向向量量，這這組組稱稱為為所所組組成成的的數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)有有次次序序的的數(shù)數(shù)iainnnaaanin分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量. .分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，n例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n維實(shí)向量維實(shí)向量n維復(fù)向量維復(fù)向量第第1個(gè)分量個(gè)分量第第n個(gè)分量個(gè)分量第第2個(gè)分量個(gè)分量),(21nTaaaa naaaa21 維向量寫成一行，稱為行向量，也就是行維向量寫成一行，稱為行向量，也就

2、是行矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： TTTTba,n 維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列維向量寫成一列，稱為列向量，也就是列矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： ,bann留意留意行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量；向量；行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；進(jìn)行運(yùn)算；當(dāng)沒(méi)有明確說(shuō)明是行向量還是列向量時(shí)，當(dāng)沒(méi)有明確說(shuō)明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量都當(dāng)作列向量.向量向量)3( n解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的實(shí)數(shù)組成的數(shù)組有次序的實(shí)

3、數(shù)組成的數(shù)組幾何形象：可隨意幾何形象：可隨意平行移動(dòng)的有向線段平行移動(dòng)的有向線段代數(shù)形象：向量的代數(shù)形象：向量的坐標(biāo)表示式坐標(biāo)表示式),(21nTaaaa 空間空間)3( n解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)點(diǎn)空間：點(diǎn)的集合點(diǎn)空間：點(diǎn)的集合向量空間：向量的集合向量空間：向量的集合代數(shù)形象：向量空代數(shù)形象：向量空間中的平面間中的平面 dczbyaxzyxrT ),(幾何形象：空間幾何形象：空間直線、曲線、空間直線、曲線、空間平面或曲面平面或曲面 dczbyaxzyx ),(),(zyxP),(zyxrT 一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng) RxxxxxxxRnnnT ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnnT

4、 221121),( 叫做叫做 維向量空間維向量空間n 時(shí)，時(shí)， 維向量沒(méi)有直觀的幾何形象維向量沒(méi)有直觀的幾何形象n3 n叫做叫做 維向量空間維向量空間 中的中的 維超平面維超平面Rnn1 n確定飛機(jī)的狀態(tài)，需確定飛機(jī)的狀態(tài)，需要以下要以下6個(gè)參數(shù)：個(gè)參數(shù)：飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角)20( 機(jī)身的仰角機(jī)身的仰角)22( 機(jī)翼的轉(zhuǎn)角機(jī)翼的轉(zhuǎn)角)( 所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用6維向量維向量),( zyxa 維向量的實(shí)際意義維向量的實(shí)際意義n課堂討論課堂討論在日常工作、學(xué)習(xí)和生活中，有許多問(wèn)題都在日常工作、

5、學(xué)習(xí)和生活中，有許多問(wèn)題都需要用向量來(lái)進(jìn)行描述，請(qǐng)同學(xué)們舉例說(shuō)明需要用向量來(lái)進(jìn)行描述，請(qǐng)同學(xué)們舉例說(shuō)明向量的表示方法：行向量與列向量；向量的表示方法：行向量與列向量； 向量空間：向量空間：解析幾何與線性代數(shù)中向量的聯(lián)系與區(qū)別、解析幾何與線性代數(shù)中向量的聯(lián)系與區(qū)別、向量空間的概念；向量空間的概念； 向量在生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)研究中的廣泛應(yīng)用向量在生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)研究中的廣泛應(yīng)用 維向量的概念，實(shí)向量、復(fù)向量；維向量的概念，實(shí)向量、復(fù)向量；n若一個(gè)本科學(xué)生大學(xué)階段共修若一個(gè)本科學(xué)生大學(xué)階段共修3636門課程門課程, ,成成績(jī)描述了學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，把他的學(xué)業(yè)水平用一績(jī)描述了學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，把他的學(xué)業(yè)水平用一

6、個(gè)向量來(lái)表示，這個(gè)向量是幾維的？請(qǐng)大家再多個(gè)向量來(lái)表示，這個(gè)向量是幾維的？請(qǐng)大家再多舉幾例舉幾例, ,說(shuō)明向量的實(shí)際應(yīng)用說(shuō)明向量的實(shí)際應(yīng)用如果我們還需要考察其它指標(biāo)，如果我們還需要考察其它指標(biāo)，比如平均成績(jī)、總學(xué)分等，維數(shù)還將增加比如平均成績(jī)、總學(xué)分等，維數(shù)還將增加答答36維的維的 若干個(gè)同維數(shù)的列向量或同維數(shù)的行向量所組成的集合叫做向量組例如例如維維列列向向量量個(gè)個(gè)有有矩矩陣陣mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的的列列向向量量組組稱稱為為矩矩陣陣向向量量組組Aa1a2ana2ajana1a2ajan維行向量維行向量

7、個(gè)個(gè)又有又有矩陣矩陣類似地類似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量組向量組 , , ， 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組 T1 T2 Tm 反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣成一個(gè)矩陣.矩矩陣陣構(gòu)構(gòu)成成一一個(gè)個(gè)組組維維列列向向量量所所組組成成的的向向量量個(gè)個(gè)nmnmm , 21 矩陣矩陣構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè)的向量組的向量組維行向量所組成維行向量所組成個(gè)個(gè)nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA b xax

8、axann2211線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)，組實(shí)數(shù)組實(shí)數(shù)，對(duì)于任何一，對(duì)于任何一給定向量組給定向量組mmkkkA,: 2121 定義定義., 21個(gè)個(gè)線線性性組組合合的的系系數(shù)數(shù)稱稱為為這這，mkkk，稱稱為為向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)向向量量 2211mmkkk 線性組合線性組合mmb 2211，使使，一一組組數(shù)數(shù)如如果果存存在在和和向向量量給給定定向向量量組組mmbA ,: 2121. 2211

9、有有解解即即線線性性方方程程組組bxxxmm 的線性組合，這時(shí)稱的線性組合，這時(shí)稱是向量組是向量組則向量則向量Ab 向量向量 能能由向量組由向量組 線性表示線性表示bA.),(),( 2121的的秩秩，的的秩秩等等于于矩矩陣陣，條條件件是是矩矩陣陣線線性性表表示示的的充充分分必必要要能能由由向向量量組組向向量量bBAAbmm 定理定理1 1定義定義 . .,:,: 2121這兩個(gè)這兩個(gè)能相互線性表示，則稱能相互線性表示，則稱量組量組與向與向若向量組若向量組稱稱線性表示，則線性表示，則向量組向量組組中的每個(gè)向量都能由組中的每個(gè)向量都能由若若及及設(shè)有兩個(gè)向量組設(shè)有兩個(gè)向量組BAABBAsm 向量組

10、向量組 能由向量組能由向量組 線性表示線性表示向量組等價(jià)向量組等價(jià)BA使使在數(shù)在數(shù)存存量量線性表示，即對(duì)每個(gè)向線性表示，即對(duì)每個(gè)向能由能由（和和（若記若記,), 2 , 1().,),212121mjjjjsmkkksjbABbbbBA mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （ ),21sbbb（從而從而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （ . )(數(shù)數(shù)矩矩陣陣稱稱為為這這一一線線性性表表示示的的系系矩矩陣陣ijsmkK 矩矩陣陣：為為這這一一表表示示的的系系數(shù)數(shù)的的列列向向量量組組線線性性表表示示，矩矩陣陣的的列列向向量量組組能能由

11、由，則則矩矩陣陣若若BACBACnssmnm snssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),), （ TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121：為為這這一一表表示示的的系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的行行向向量量組組線線性性表表示示的的行行向向量量組組能能由由同同時(shí)時(shí)，ABC,. . 的的行行向向量量組組等等價(jià)價(jià)的的行行向向量量組組與與于于是是的的行行向向量量組組線線性性表表示示，的的行行向向量量組組能能由由可可知知，由由初初等等變變換換可可逆逆性性的的行行向向量量組組線線性性表表示示組組能能由由的的行行向向量量，即即的的行行向向量量組

12、組的的線線性性組組合合向向量量都都是是的的每每個(gè)個(gè)行行，則則經(jīng)經(jīng)初初等等行行變變換換變變成成設(shè)設(shè)矩矩陣陣BABAABABBA.的列向量組等價(jià)的列向量組等價(jià)列向量組與列向量組與的的，則，則經(jīng)初等列變換變成經(jīng)初等列變換變成類似，若矩陣類似，若矩陣BABA . 價(jià)的方程組一定同解價(jià)的方程組一定同解這兩個(gè)方程組等價(jià)，等這兩個(gè)方程組等價(jià)，等能相互線性表示，就稱能相互線性表示，就稱與方程組與方程組的解；若方程組的解；若方程組的解一定是方程組的解一定是方程組線性表示，這時(shí)方程組線性表示，這時(shí)方程組能由方程組能由方程組稱方程組稱方程組的線性組合，就的線性組合，就的每個(gè)方程都是方程組的每個(gè)方程都是方程組程組程組

13、的一個(gè)線性組合；若方的一個(gè)線性組合；若方一個(gè)方程就稱為方程組一個(gè)方程就稱為方程組所得到的所得到的的各個(gè)方程做線性運(yùn)算的各個(gè)方程做線性運(yùn)算對(duì)方程組對(duì)方程組BABAABABAA0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組留意留意.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有時(shí)時(shí)則則只只有有當(dāng)當(dāng)線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)若若 nnnn ., 2. 線線性性相相關(guān)關(guān)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)就就是是不不是是線線對(duì)對(duì)于于任任一一向向量量組組定義定義則稱向量組則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)A., 0, 0, 3.

14、 線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)則則說(shuō)說(shuō)若若線線性性相相關(guān)關(guān)則則說(shuō)說(shuō)若若時(shí)時(shí)向向量量組組只只包包含含一一個(gè)個(gè)向向量量 .4. 組組是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量.,. 5 量共面量共面向向量相關(guān)的幾何意義是三量相關(guān)的幾何意義是三是兩向量共線；三個(gè)向是兩向量共線；三個(gè)向義義量對(duì)應(yīng)成比例，幾何意量對(duì)應(yīng)成比例，幾何意充要條件是兩向量的分充要條件是兩向量的分它線性相關(guān)的它線性相關(guān)的量組量組對(duì)于含有兩個(gè)向量的向?qū)τ诤袃蓚€(gè)向量的向定理向量組定理向量組 （當(dāng)（當(dāng) 時(shí)線性相關(guān)時(shí)線性相關(guān)的充分必要條件是的充分必要條件是 中至少有一個(gè)向中至少有一個(gè)向量可由其余量可由其余 個(gè)向量線性表示個(gè)向量

15、線性表示m ,212 mm ,211 m證明證明 充分性充分性 設(shè)設(shè) 中有一個(gè)向量比如中有一個(gè)向量比如 ）能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 故故 01112211 mmma 因因 這這 個(gè)數(shù)不全為個(gè)數(shù)不全為0， 1,121 m m故故 線性相關(guān)線性相關(guān).m ,21必要性必要性設(shè)設(shè) 線性相關(guān)，線性相關(guān)，m ,21則有不全為則有不全為0的數(shù)使的數(shù)使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一個(gè)不為中至少有一個(gè)不為0，mkkk,21不妨設(shè)則有不妨設(shè)則有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量線性表示能

16、由其余向量線性表示.1 證畢證畢. 性性獨(dú)獨(dú)立立）線線個(gè)個(gè)方方程程）線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)（或或程程，就就稱稱該該方方程程組組（各各方方；當(dāng)當(dāng)方方程程組組中中沒(méi)沒(méi)有有多多余余個(gè)個(gè)方方程程）是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的各各余余的的，這這時(shí)時(shí)稱稱方方程程組組（合合時(shí)時(shí)，這這個(gè)個(gè)方方程程就就是是多多是是其其余余方方程程的的線線性性組組若若方方程程組組中中有有某某個(gè)個(gè)方方程程線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用).,( .0 A, 0 212211mmmAxxxxA 其其中中有有非非零零解解即即方方程程組組線線性性相相關(guān)關(guān)就就是是齊齊次次線線性性向向量量組組結(jié)論結(jié)論.)(; ),( ,

17、2121mARmAmm 必必要要條條件件是是向向量量組組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的充充分分于于向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)的的秩秩小小矩矩陣陣條條件件是是它它所所構(gòu)構(gòu)成成的的線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要向向量量組組 定理定理2 2下面舉例說(shuō)明定理的應(yīng)用下面舉例說(shuō)明定理的應(yīng)用.證明（略）證明（略）維維向向量量組組n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,討討論論其其線線性性相相關(guān)關(guān)性性維維單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量組組稱稱為為n解解.),( 21階單位矩陣階單位矩陣是是的矩陣的矩陣維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成neeeEnn .)(01 nERE ，知

18、知由由.2)(向向量量組組是是線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的知知此此，故故由由定定理理等等于于向向量量組組中中向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)即即ER例例， 742520111321 .21321的的線線性性相相關(guān)關(guān)性性，及及，試試討討論論向向量量組組 解解.2, 21321321即即可可得得出出結(jié)結(jié)論論）的的秩秩，利利用用定定理理，及及（），可可同同時(shí)時(shí)看看出出矩矩陣陣（成成行行階階梯梯形形矩矩陣陣），施施行行初初等等行行變變換換變變，對(duì)對(duì)矩矩陣陣（ 已已知知例例分析分析 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)向向量量組組線線性

19、性相相關(guān)關(guān)；，向向量量組組可可見(jiàn)見(jiàn) RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201. , , 321133322211321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)試試證證線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)已已知知向向量量組組bbbbbb 例例3 30 ,332211321 bxbxbxxxx使使設(shè)有設(shè)有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即線性無(wú)關(guān)，故有線性無(wú)關(guān)，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx證證02110011101 列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行., 0 321321線線性性無(wú)無(wú)關(guān)

20、關(guān)向向量量組組，所所以以故故方方程程組組只只有有零零解解bbbxxx . ,. ,: , (1) 1121也也線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)向向量量組組則則線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)量量組組若若向向反反言言之之也也線線性性相相關(guān)關(guān)向向量量組組則則線線性性相相關(guān)關(guān)：向向量量組組若若ABBAmmm 定理定理3 3）設(shè)設(shè)（2 ), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj .,.,.2121性相關(guān)性相關(guān)也線也線則向量組則向量組線性相關(guān)線性相關(guān)反言之，若向量組反言之，若向量組關(guān)關(guān)也線性無(wú)也線性無(wú)：則向量組則向量組線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)：若向量組若向量組添上一個(gè)分量后得向量添上一個(gè)分量后得向量即即ABb

21、bbBAbmmjj . 3 時(shí)一定線性相關(guān)時(shí)一定線性相關(guān)于向量個(gè)數(shù)于向量個(gè)數(shù)小小當(dāng)維數(shù)當(dāng)維數(shù)維向量組成的向量組，維向量組成的向量組，個(gè)個(gè)）（mnnm.,:,: (4) 121且表示式是唯一的且表示式是唯一的線性表示線性表示必能由向量組必能由向量組向量向量則則線性相關(guān)線性相關(guān)組組而向量而向量線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)設(shè)向量組設(shè)向量組AbbBAmm .2, 11)()()(2,. 1)()(),(),( 1 111線線性性相相關(guān)關(guān)知知向向量量組組根根據(jù)據(jù)定定理理因因此此，從從而而，有有則則根根據(jù)據(jù)定定理理線線性性相相關(guān)關(guān)若若向向量量組組，有有記記）（BmARBRmARAARBRaaaBaaAmmm 證明證明

22、.:1 關(guān)關(guān)的任何部分組都線性無(wú)的任何部分組都線性無(wú)向量組線性無(wú)關(guān)，則它向量組線性無(wú)關(guān)，則它反之，若一個(gè)反之，若一個(gè)線性相關(guān)線性相關(guān)含有零向量的向量組必含有零向量的向量組必特別地，特別地，量組線性相關(guān)量組線性相關(guān)相關(guān)的部分組，則該向相關(guān)的部分組，則該向一個(gè)向量組若有線性一個(gè)向量組若有線性）可推廣為）可推廣為結(jié)論（結(jié)論（闡明闡明列列），只只有有因因但但從從而而有有，則則線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)若若向向量量組組有有，）記記（mBmBRmBRmARABRARbbBAmmrmmr()(.)()(,).()(),(),(2 1)1(1 .B)(線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)，因此向量組，因此向量組故故mBR .,12 結(jié)結(jié)論

23、論也也成成立立個(gè)個(gè)分分量量維維）而而言言的的，若若增增加加多多即即維維數(shù)數(shù)增增加加）是是對(duì)對(duì)增增加加一一個(gè)個(gè)分分量量（結(jié)結(jié)論論（闡明闡明.,)(,.)(),(,3 212121線線性性相相關(guān)關(guān)個(gè)個(gè)向向量量故故則則若若，有有構(gòu)構(gòu)成成矩矩陣陣維維向向量量個(gè)個(gè)）（mmmnmmmARmnnARAnm .)(1)(. 1)(;)().()(),(),()4( 2121mBRmBRmmBRBmARABRARbBAmm ，即有，即有所以所以組線性相關(guān)，有組線性相關(guān)，有因因組線性無(wú)關(guān)，有組線性無(wú)關(guān)，有因因有有記記 .),( ,)()( 21一一線線性性表表示示，且且表表示示式式唯唯組組能能由由向向量量有有唯唯

24、一一解解，即即向向量量知知方方程程組組由由AbbxmBRARm . 向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線性方程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；程組的向量表示；線性組合與線性表示的概念；. 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念；線性相關(guān)性線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念；線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用；（重點(diǎn)）在線性方程組中的應(yīng)用；（重點(diǎn)）. 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的判定方法：定義，線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的判定方法：定義，兩個(gè)定理（難點(diǎn)）兩個(gè)定理（難點(diǎn)）. , )3(0 )2( 0 )1(:兩兩式式不不一一定定同同時(shí)時(shí)成成立立或或者者線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是，兩兩個(gè)個(gè)

25、向向量量；線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是一一個(gè)個(gè)向向量量；線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是一一個(gè)個(gè)向向量量試試證證明明 kk 證明（）、（略證明（）、（略（充分性（充分性., 0, 0, 即即可可令令則則不不妨妨設(shè)設(shè)得得使使存存在在不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)線線性性相相關(guān)關(guān)xykxyxyxyx 必要性必要性., 0)(1, 線線性性相相關(guān)關(guān)知知由由定定義義則則有有不不妨妨設(shè)設(shè) kk，滿滿足足個(gè)個(gè)向向量量中中能能選選出出，如如果果在在設(shè)設(shè)有有向向量量組組rrAA , 21定義定義線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)；）向向量量組組（rA ,:1 210關(guān)關(guān)，個(gè)個(gè)向向量量的的話話）都都線線性性相相中中

26、有有個(gè)個(gè)向向量量（如如果果中中任任意意）向向量量組組（112 rArA. 的的秩秩稱稱為為向向量量組組數(shù)數(shù)最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組所所含含向向量量個(gè)個(gè)r; 0）（簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱的的一一個(gè)個(gè)向向量量組組是是那那末末稱稱向向量量組組AA最大線性無(wú)關(guān)向量組最大線性無(wú)關(guān)向量組最大最大無(wú)關(guān)組無(wú)關(guān)組0. 它它的的秩秩為為有有最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組，規(guī)規(guī)定定只只含含零零向向量量的的向向量量組組沒(méi)沒(méi). 它它的的行行向向量量組組的的秩秩量量組組的的秩秩，也也等等于于矩矩陣陣的的秩秩等等于于它它的的列列向向證證. 0,)(),( 21 rmDrrARaaaA階子式階子式并設(shè)并設(shè)，設(shè)設(shè)定理定理關(guān)關(guān)；列列線線性性無(wú)無(wú)知知所所在在

27、的的由由定定理理根根據(jù)據(jù)rDr022 . 4 .11 個(gè)個(gè)列列向向量量都都線線性性相相關(guān)關(guān)中中任任意意階階子子式式均均為為零零，知知中中所所有有又又由由 rArA關(guān)組，關(guān)組，的列向量的一個(gè)最大無(wú)的列向量的一個(gè)最大無(wú)列是列是所在的所在的因此因此ArDr . r等于等于所以列向量組的秩所以列向量組的秩).(ARA的行向量組的秩也等于的行向量組的秩也等于類似可證類似可證的的秩秩也也記記作作向向量量組組maaa,21. 最大無(wú)關(guān)組最大無(wú)關(guān)組行即是行向量組的一個(gè)行即是行向量組的一個(gè)所在的所在的最大無(wú)關(guān)組，最大無(wú)關(guān)組，列即是列向量組的一個(gè)列即是列向量組的一個(gè)所在的所在的，則，則的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最

28、高階非零子式是矩陣是矩陣若若rDrDADrrr;1）最大無(wú)關(guān)組不唯一）最大無(wú)關(guān)組不唯一（),(21maaaR結(jié)論結(jié)論闡明闡明.2關(guān)關(guān)組組是是等等價(jià)價(jià)的的）向向量量組組與與它它的的最最大大無(wú)無(wú)（是線性無(wú)關(guān)的，是線性無(wú)關(guān)的，向量組向量組維單位坐標(biāo)向量構(gòu)成的維單位坐標(biāo)向量構(gòu)成的因?yàn)橐驗(yàn)閚eeeEn,: 21解解. 的秩的秩一個(gè)最大無(wú)關(guān)組及一個(gè)最大無(wú)關(guān)組及的的，求，求作作維向量構(gòu)成的向量組記維向量構(gòu)成的向量組記全體全體nnnRRRn例1例1個(gè)個(gè)向向量量都都線線性性相相關(guān)關(guān)，中中的的任任意意知知的的結(jié)結(jié)論論定定理理又又根根據(jù)據(jù)1 )3( 32 . 4 nRn. nRREnn的秩等于的秩等于的一個(gè)最大無(wú)關(guān)

29、組，且的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，且是是因此向量組因此向量組 97963422644121121112 A設(shè)設(shè)矩矩陣陣 例例2 2.用用最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組線線性性表表示示屬屬最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組的的列列向向量量無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組，并并把把不不的的列列向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)最最大大求求矩矩陣陣A行行階階梯梯形形矩矩陣陣施施行行初初等等行行變變換換變變?yōu)闉閷?duì)對(duì) A解解，知知3)( ARA ， 00000310000111041211初等行變換初等行變換 .3 個(gè)向量個(gè)向量組含組含故列向量組的最大無(wú)關(guān)故列向量組的最大無(wú)關(guān)三列，三列，、元在元在而三個(gè)非零行的非零首而三個(gè)非零行的非零首421.,421無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組為

30、為列列向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)最最大大故故aaa線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)，故，故知知421421,3),(aaaaaaR ., 42153成成行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形矩矩陣陣再再變變線線性性表表示示，必必須須將將用用要要把把Aaaaaa ),421aaa（事實(shí)上事實(shí)上 763264111112 000100110111初等行變換初等行變換 00000310003011040101 初等行變換初等行變換A 4215213334,aaaaaaa 即得即得. 的秩的秩的秩不大于向量組的秩不大于向量組量組量組線性表示，則向線性表示，則向能由向量組能由向量組設(shè)向量組設(shè)向量組ABAB., : ,: 1010sraaAAb

31、bBBsr 要要證證的的一一個(gè)個(gè)最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組為為向向量量組組，的的一一個(gè)個(gè)最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組為為設(shè)設(shè)向向量量組組 證證定理定理. 00組組線線性性表表示示組組能能由由表表示示，組組線線性性組組能能由由組組線線性性表表示示，組組能能由由因因AAABBB.00組組線線性性表表示示組組能能由由故故AB使得使得即存在系數(shù)矩陣即存在系數(shù)矩陣),(ijsrkK srsrsrkkkkaabb111111),(),(），有有非非零零解解（因因簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為，則則方方程程組組如如果果rsKRKxxxKsrrsr )( )0( 0 1有有非非零零解解，從從而而方方程程組組0),( 1 Kxaas有非零解，

32、有非零解，即即0),( xbbr. 0srsrB 不能成立，所以不能成立，所以線性無(wú)關(guān)矛盾，因此線性無(wú)關(guān)矛盾，因此組組這與這與. rsBA和和的的秩秩依依次次為為與與向向量量組組設(shè)設(shè)向向量量組組證證. 等價(jià)的向量組的秩相等等價(jià)的向量組的秩相等推論推論1 1,同時(shí)成立同時(shí)成立與與故故srrs 示，示，表表兩個(gè)向量組能相互線性兩個(gè)向量組能相互線性因兩個(gè)向量組等價(jià)，即因兩個(gè)向量組等價(jià)，即. rs 所以所以).()(),()( BRCRARCRBACnssmnm ，則則設(shè)設(shè)推論推論2 2用其列向量表示為用其列向量表示為和和設(shè)矩陣設(shè)矩陣AC 證證).,(),(11snaaAccC ，而而)(ijbB s

33、nsnsnbbbbaacc111111),(),( 由由).()(ARCR 因因此此),()(, TTTTTBRCRABC 由由上上段段證證明明知知因因的的列列向向量量組組線線性性表表示示，的的列列向向量量組組能能由由知知矩矩陣陣AC).()(BRCR 即即思索思索？有有什什么么異異同同與與推推論論定定理理 22, rrB個(gè)向量，則它的秩為個(gè)向量，則它的秩為含含設(shè)向量組設(shè)向量組 證證. 3的的一一個(gè)個(gè)最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組是是向向量量組組則則向向量量組組線線性性表表示示，能能由由向向量量組組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，且且向向量量組組組組的的部部分分組組，若若向向量量是是向向量量組組設(shè)設(shè)向向量量組組推推論

34、論ABBABAB.1條條件件所所規(guī)規(guī)定定的的最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組的的滿滿足足定定義義所所以以向向量量組組B，組的秩組的秩組線性表示，故組線性表示，故組能由組能由因因rABA 個(gè)個(gè)向向量量線線性性相相關(guān)關(guān)，組組中中任任意意從從而而1 rA., 等等價(jià)價(jià)與與向向量量組組秩秩相相等等，證證明明向向量量組組且且它它們們的的線線性性表表示示能能由由向向量量組組設(shè)設(shè)向向量量組組BAAB例例3 3.線性表示線性表示能由向量組能由向量組只要證明向量組只要證明向量組BA,:,:1010rrbbBaaABAr和和的最大無(wú)關(guān)組依次為的最大無(wú)關(guān)組依次為組組組和組和，并設(shè)，并設(shè)設(shè)兩個(gè)向量組的秩都為設(shè)兩個(gè)向量組的秩都為

35、使使階階方方陣陣表表示示，即即有有組組線線性性組組能能由由組組線線性性表表示示，故故組組能能由由因因rKrABAB00證一證一rrrKaabb),(),(11 rbbRKRrr ),()( 221，有有推推論論根根據(jù)據(jù)定定理理.),(10rbbRBr 組線性無(wú)關(guān)，故組線性無(wú)關(guān)，故因因.)()(rKRrKRrr ，因因此此但但,),(),(111 rrrrKbbaaK 可可逆逆，并并有有于于是是矩矩陣陣.00組組線線性性表表示示組組能能由由即即BA. 組組線線性性表表示示組組能能由由從從而而BA,0個(gè)向量個(gè)向量含含組的最大無(wú)關(guān)組組的最大無(wú)關(guān)組故故組的秩為組的秩為又因又因rBBrB .),(,),

36、(組線性表示組線性表示組總能由組總能由故故組的部分組組的部分組組是組是而而BAABAA 證二證二. rBA 的秩都為的秩都為和和設(shè)向量組設(shè)向量組.),(,組線性表示組線性表示能由能由成的向量組成的向量組組合并而組合并而組和組和故故組線性表示組線性表示組能由組能由因因ABABAAB .),(,),(rBAABA組組的的秩秩也也為為因因此此組組等等價(jià)價(jià)組組與與所所以以 .),(,),(00組組等等價(jià)價(jià)組組與與而而從從組組的的最最大大無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)組組組組也也是是因因此此BBABAB .),(;., 000000的最大無(wú)關(guān)組的最大無(wú)關(guān)組都是向量組都是向量組與與證法二實(shí)質(zhì)上是證明證法二實(shí)質(zhì)上是證明性表示的系

37、數(shù)矩陣可逆性表示的系數(shù)矩陣可逆線線用用證法一證明證法一證明等價(jià)等價(jià)與與們的最大無(wú)關(guān)組們的最大無(wú)關(guān)組轉(zhuǎn)換為證明它轉(zhuǎn)換為證明它等價(jià)等價(jià)與與本例把證明兩向量組本例把證明兩向量組BABAABBABA.,),(),( 0組組等等價(jià)價(jià)與與組組推推知知等等價(jià)價(jià)與與組組等等價(jià)價(jià)，組組與與由由BABBABAA留意留意,59354645),( ,13112032),( 2121 bbaa已知已知例4例4.),(),(2121等價(jià)等價(jià)與與證明向量組證明向量組bbaa.),(),( ,),(),( ,2 21212121YbbaaXaabbYX 使使階方陣階方陣要證存在要證存在證明證明.X先求先求 591335114

38、6204532),(2121bbaa最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形矩矩陣陣：施施行行初初等等行行變變換換變變?yōu)闉樾行嘘囮噷?duì)對(duì)增增廣廣矩矩的的方方法法類類似似于于線線性性方方程程組組求求解解),(, 2121bbaa 5913453246203511 5913351146204532),(2121bbaa31rr 591345324620351131rr 462010155046203511132rr 143rr )2(2 r 46201015502310351113312rrrr 143rr 462010155046203511 0000000023103511)2(2 r 462010155023103511

39、235rr 242rr 0000000023103511235rr 242rr .0000000023101201 21rr 11 r X.,., 01 21211等價(jià)等價(jià)與與此向量組此向量組因因即為所求即為所求取取可逆可逆知知因因bbaaXYXX 0000000023101201),(2121初初等等行行變變換換bbaa 即即得得 2312最大線性無(wú)關(guān)向量組的概念：最大線性無(wú)關(guān)向量組的概念：最大性、線性無(wú)關(guān)性最大性、線性無(wú)關(guān)性 矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩矩陣行向量組的秩 關(guān)于向量組秩的一些結(jié)論：關(guān)于

40、向量組秩的一些結(jié)論：一個(gè)定理、三個(gè)推論一個(gè)定理、三個(gè)推論 求向量組的秩以及最大無(wú)關(guān)組的方法：求向量組的秩以及最大無(wú)關(guān)組的方法：將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩陣，然后進(jìn)行初等行變換陣，然后進(jìn)行初等行變換 比較教材例比較教材例7 7的證法一、二、三，并總的證法一、二、三，并總結(jié)這類題的證法結(jié)這類題的證法證法一根據(jù)向量組等價(jià)的定義，尋找兩向量證法一根據(jù)向量組等價(jià)的定義，尋找兩向量組相互線性表示的系數(shù)矩陣；組相互線性表示的系數(shù)矩陣；證法二利用證法二利用“經(jīng)初等列變換，矩陣的列向量經(jīng)初等列變換，矩陣的列向量組等價(jià)，經(jīng)初等行變換，矩陣的行向量組等價(jià)組等價(jià)，經(jīng)初等行

41、變換，矩陣的行向量組等價(jià)”這一特性，驗(yàn)證是否有相同的行最簡(jiǎn)形矩陣；這一特性，驗(yàn)證是否有相同的行最簡(jiǎn)形矩陣；證法三直接計(jì)算向量組的秩，利用了向量組證法三直接計(jì)算向量組的秩，利用了向量組的最大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)這一結(jié)論的最大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)這一結(jié)論闡明闡明.,VRV 則則若若2 維向量的集合是一個(gè)向量空間維向量的集合是一個(gè)向量空間,記作記作 .nnR;,VVV 則則若若定義定義1 1設(shè)設(shè) 為為 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就稱對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合集合 為向量空間為向量空間nVVVV1集合集合 對(duì)于加法及乘數(shù)兩

42、種運(yùn)算封閉指對(duì)于加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉指V., 3 3是是一一個(gè)個(gè)向向量量空空間間維維向向量量的的全全體體R例例1 1.33,33 3R維維向向量量，它它們們都都屬屬于于維維向向量量仍仍然然是是乘乘數(shù)數(shù)維維向向量量維維向向量量之之和和仍仍然然是是因因?yàn)闉槿稳我庖鈨蓛蓚€(gè)個(gè) . 間間，也是一個(gè)向量空，也是一個(gè)向量空維向量的全體維向量的全體類似地，類似地，nRn例例2 2 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間. . RxxxxxVnTn , 0221解解.V 是向量空間是向量空間1的的任任意意兩兩個(gè)個(gè)元元素素因因?yàn)闉閷?duì)對(duì)于于1V TnTnbbaa, 0, 022 ,V1 122, 0

43、VbabaTnn 有有 ., 012VaaTn 例例3 3 判別下列集合是否為向量空間判別下列集合是否為向量空間. . RxxxxxVnTn , 1222解解 .2 ,2 , 2222VaaTn 則則.V 不是向量空間不是向量空間2 , 122VaaTn 因因?yàn)闉槿羧艟S維向向量量，集集合合為為兩兩個(gè)個(gè)已已知知的的設(shè)設(shè)nba, 例例4 4 RbaxV ,試判斷集合是否為向量空間試判斷集合是否為向量空間.baxV111. 因因?yàn)闉槿羧羰鞘且灰粋€(gè)個(gè)向向量量空空間間解解，bax222 則有則有,)()(212121Vbaxx .)()(111Vbkakkx ., 間間所生成的向量空所生成的向量空量量這

44、個(gè)向量空間稱為由向這個(gè)向量空間稱為由向ba RaaaxVmmm ,212211間間所所生生成成的的向向量量空空由由向向量量組組maaa, 21一般地，一般地，為為 ., , , 212122112212211111VVRbbbxVRaaaxVbbaasssmmmsm 試證：試證：記記等價(jià)，等價(jià)，與向量組與向量組設(shè)向量組設(shè)向量組 例5例5., 11線線性性表表示示可可由由，則則設(shè)設(shè)maaxVx 證證,:12VxVx 則則若若類似地可證類似地可證.211221VVVVVV ，所所以以，因因?yàn)闉榫€性表示，線性表示，可由可由線性表示，故線性表示，故可由可由因因ssmbbxbbaa,111.2Vx 所所

45、以以，則則這這就就是是說(shuō)說(shuō)，若若21VxVx .21VV 因因此此.12VV 因因此此定義定義2 2 設(shè)有向量空間設(shè)有向量空間 及及 ，若向量空間，若向量空間，就說(shuō)就說(shuō) 是是 的子空間的子空間21VV 1V2V1V2V實(shí)例實(shí)例RVn 顯顯然然.的子空間的子空間總是總是所以所以RVn設(shè)設(shè) 是由是由 維向量所組成的向量空間，維向量所組成的向量空間，Vn;,)1(21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)r .,2)(21線線性性表表示示中中任任一一向向量量都都可可由由rV 那末，向量組那末，向量組 就稱為向量的一個(gè)就稱為向量的一個(gè)r, 21V基，基， 稱為向量空間稱為向量空間 的維數(shù)，并稱的維數(shù)，并稱 為為 維向量維向

46、量空間空間VrVr定義定義3 3 設(shè)設(shè) 是向量空間，假設(shè)是向量空間，假設(shè) 個(gè)向量個(gè)向量 ，且滿足，且滿足r,21 VVr , R,xVrrr 12211 （1只含有零向量的向量空間稱為只含有零向量的向量空間稱為0維向量維向量空間，因此它沒(méi)有基空間，因此它沒(méi)有基闡明闡明 （3若向量組若向量組 是向量空間是向量空間 的一的一個(gè)基，那么個(gè)基，那么 可表示為可表示為r, 21VV （2若把向量空間若把向量空間 看作向量組，那末看作向量組，那末 的基的基就是向量組的最大無(wú)關(guān)組就是向量組的最大無(wú)關(guān)組, 的維數(shù)就是向量組的的維數(shù)就是向量組的秩秩.VVV,221212122),(321 aaaA,243041

47、),(21 bbB.,213321線性表示線性表示用這個(gè)基用這個(gè)基的一個(gè)基，并把的一個(gè)基，并把是是驗(yàn)證驗(yàn)證bbRaaa設(shè)矩陣設(shè)矩陣 例6例6 ., 3213321EAaaaRaaa線性無(wú)關(guān)，即只要證線性無(wú)關(guān)，即只要證的一個(gè)基，只要證的一個(gè)基，只要證是是要證要證解解，設(shè)設(shè)33222211223312211111,axaxaxbaxaxaxb ,),(),(32312221121132121 xxxxxxaaabb即即.AXB 記作記作.,)( 13321BAXBEARaaaEABA 變?yōu)樽優(yōu)闀r(shí)，時(shí)，變?yōu)樽優(yōu)榈囊粋€(gè)基，且當(dāng)?shù)囊粋€(gè)基，且當(dāng)為為則則，能變?yōu)槟茏優(yōu)槭┬谐醯刃凶儞Q，若施行初等行變換，若對(duì)矩

48、陣對(duì)矩陣 242213021241122)(BA 242213021231111)(31321rrr 553303203031111 242213021231111)(31321rrr 13122rrrr 353511013201031111)3(2 r33 r 55330320303111113122rrrr 3211001320103432001 353511013201031111)3(2 r33 r31rr 23rr 的的一一個(gè)個(gè)基基，且且為為，故故因因有有3321,RaaaEA .3211323432),(,32121 aaabb 3211001320103432001) (初初等等

49、行行變變換換BA向量空間的概念：向量空間的概念：向量的集合對(duì)加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉；向量的集合對(duì)加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉；由向量組生成的向量空間由向量組生成的向量空間子空間的概念子空間的概念向量空間的基和維數(shù)：向量空間的基和維數(shù)：求向量空間基和維數(shù)的方法求向量空間基和維數(shù)的方法 ?),(lg),(: ),(),(),( : :,),( 為什么為什么是不是向量空間是不是向量空間數(shù)乘數(shù)乘加法加法運(yùn)算如下運(yùn)算如下定義加法與數(shù)乘定義加法與數(shù)乘設(shè)設(shè)VRkbabakbdcadcbaRbabaxVkT . 不是向量空間不是向量空間V解解., 還是正實(shí)數(shù)還是正實(shí)數(shù)積積因?yàn)閮蓚€(gè)正實(shí)數(shù)的和與因?yàn)閮蓚€(gè)正實(shí)數(shù)的和與對(duì)加

50、法封閉對(duì)加法封閉顯然顯然 V. 對(duì)乘法不封閉對(duì)乘法不封閉但但V.), 0(), 1(lg), 1( ,), 1(VbbbkkbVkk 對(duì)對(duì)任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)中中的的元元素素比比如如解向量的概念解向量的概念設(shè)有齊次線性方程組設(shè)有齊次線性方程組 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa若記若記（1）,aaaaaaaaaAmnmmnn 212222111211 nxxxx21則上述方程組則上述方程組1可寫成向量方程可寫成向量方程.Ax0 1212111nnx,x,x 假設(shè)假設(shè)為方程為方程 的的0 Ax解，那么解，那么 121111nx 稱為方程組

51、稱為方程組(1) 的解向量，它也就是向量方程的解向量，它也就是向量方程(2)的解的解齊次線性方程組解的性質(zhì)齊次線性方程組解的性質(zhì)（1 1假設(shè)假設(shè) 為為 的解，那么的解，那么 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解. .證明證明 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 （2 2假設(shè)假設(shè) 為為 的解，的解， 為實(shí)數(shù)，那么為實(shí)數(shù)，那么 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax證明證明 .kkAkA0011 由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向量由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，所組成的集合，對(duì)于加

52、法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組性方程組 的解空間的解空間0 Ax證畢證畢.如如果果解解系系的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)稱稱為為齊齊次次線線性性方方程程組組,0 , 21 Axt ; 0,)1(21的的解解的的一一組組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)是是 Axt .,0)2( 21出出線線性性表表的的任任一一解解都都可可由由tAx 基礎(chǔ)解系的定義基礎(chǔ)解系的定義的的通通解解可可表表示示為為那那么么的的一一組組基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為齊齊次次線線性性方方程程組組如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 2211.,21是任意常數(shù)是任意常數(shù)其中其中

53、rnkkk 線性方程組基礎(chǔ)解系的求法線性方程組基礎(chǔ)解系的求法 00001001,1, 111rnrrrnbbbbA設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為 ，并不妨，并不妨設(shè)設(shè) 的前的前 個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)r于是于是 可化為可化為AAA00000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax現(xiàn)對(duì)現(xiàn)對(duì) 取下列取下列 組數(shù)：組數(shù)：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分分別別代代入入., 100, 010, 001依次得依

54、次得 rxx1,bbr 0011111 ,0102122 rbb .bbrn,rrn,rn 1001 從而求得原方程組的從而求得原方程組的 個(gè)解：個(gè)解：rn .bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111,下面證明下面證明 是齊次線性方程組解空是齊次線性方程組解空間的一個(gè)基間的一個(gè)基rn, 21 100,010,001由于由于 個(gè)個(gè) 維向量維向量rn rn 線性無(wú)關(guān)，線性無(wú)關(guān)，所以所以 個(gè)個(gè) 維向量維向量 亦線性無(wú)關(guān)亦線性無(wú)關(guān).rn nrn, 21.,)1(21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)證證明明n .,2)( 21線線性性表表示示可可由由證證明明解解空空間間的的任任一一解解都都rn .11方

55、方程程組組的的一一個(gè)個(gè)解解為為上上述述設(shè)設(shè)Tnrrx ,rn的的線線性性組組合合再再作作 21rnnrr 2211由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解.rn, 210 Ax 0 Ax,. 下面來(lái)證明下面來(lái)證明 0011111rrbb 0102122rrbb 1001rn , rrn ,nbb rnnrr 2211 nrrrcc 211,Ax的的解解都都是是方方程程與與由由于于0 又又等等價(jià)價(jià)于于而而0 Ax nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,11, 11111,都都是是此此方方程程組組的的解解與與所所以以 nrrrcc 211 nrrr 211由由.c,crr 11方程

56、組方程組. 故故.rnnrr 2211即即 所以所以 是齊次線性方程組解空間的一個(gè)基是齊次線性方程組解空間的一個(gè)基.rn, 1闡明闡明解空間的基不是唯一的解空間的基不是唯一的解空間的基又稱為方程組的基礎(chǔ)解系解空間的基又稱為方程組的基礎(chǔ)解系.kkkxrnrn 2211假設(shè)假設(shè) 是是 的基礎(chǔ)解系，的基礎(chǔ)解系，那么那么其通解為其通解為 rn, 210 Ax.,21是任意常數(shù)是任意常數(shù)其中其中rnkkk 定理定理1 1.,)(,0 rnSrARSxAnnmnm 的的維維數(shù)數(shù)為為解解空空間間時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)系系數(shù)數(shù)矩矩陣陣的的秩秩是是一一個(gè)個(gè)向向量量空空間間構(gòu)構(gòu)成成的的集集合合的的全全體體解解所所元元齊齊次次線

57、線性性方方程程組組);0,(,)( 維向量空間維向量空間為為向量向量此時(shí)解空間只含一個(gè)零此時(shí)解空間只含一個(gè)零系系故沒(méi)有基礎(chǔ)解故沒(méi)有基礎(chǔ)解方程組只有零解方程組只有零解時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nAR .,)(1111221121RkkkkxSkkkkkxrnnrARrnrnrnrnrnrnrn 解空間可表示為解空間可表示為為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)其中其中方程組的解可表示為方程組的解可表示為此時(shí)此時(shí)基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系個(gè)向量的個(gè)向量的方程組必有含方程組必有含時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例1 1 求齊次線性方程組求齊次線性方程組 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基礎(chǔ)解系與通解的基礎(chǔ)解系與通解.解解

58、,0000747510737201137723521111 A對(duì)系數(shù)矩陣對(duì)系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)矩作初等行變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)矩陣，有陣，有A .7475,7372432431xxxxxx 便便得得,100143 及及令令xx,7473757221 及及對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)有有xx,107473,01757221 即得基礎(chǔ)解系即得基礎(chǔ)解系).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解例例2 2 解線性方程組解線性方程組 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 7651

59、3123115531234111A對(duì)系數(shù)矩陣施對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換行初等行變換 00000000001311034111 ,rn,n,rAR352 即方程組有無(wú)窮多解，即方程組有無(wú)窮多解， 其基礎(chǔ)解系中有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量其基礎(chǔ)解系中有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量. 543254321334xxxxxxxxx代代入入 26220262201311034111 543xxx令令, 010, 001. 100所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為, 001121 故原方程組的通解為故原方程組的通解為.kkkx332211 .k,k,k為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中321,xx 122

60、1依依次次得得. 12, 31, 010312 . 100123 例例3 3).()(ARAART 證證明明證證.,維維列列向向量量為為矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)nxnmA ; 0)(, 0)(, 0 xAAAxAAxxTT即即則則有有滿滿足足若若 . 0, 0)()(, 0)(, 0)( AxAxAxxAAxxAAxTTTT從而推知從而推知即即則則滿足滿足若若 ,0)(0同解同解與與綜上可知方程組綜上可知方程組 xAAAxT).()(ARAART 因因此此.0,1)( 2121的解的解為對(duì)應(yīng)的齊次方程為對(duì)應(yīng)的齊次方程則則的解的解都是都是及及設(shè)設(shè) AxxbAxxx 證明證明 . 021 bbA . 02