1、會(huì)計(jì)學(xué)1無窮級(jí)數(shù)修改無窮級(jí)數(shù)修改2 無窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分無窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分, ,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具計(jì)算的一種工具. . 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 計(jì)算圓的面積計(jì)算圓的面積R正六邊形的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正十二邊形的面積1a21aa 正正 形的面積形的面積n23 naaa 21naaaA 21即即第2頁/共155頁3 nnnuuuuu3211 (常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)一般項(xiàng)一般項(xiàng)部分和數(shù)列部分和數(shù)列 niinnuuuus121級(jí)數(shù)的部分和（前級(jí)數(shù)的部

2、分和（前n項(xiàng)和項(xiàng)和）,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 第3頁/共155頁41112;1 nnnssunsun時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)注：一般項(xiàng)和前注：一般項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系項(xiàng)和的關(guān)系第4頁/共155頁5當(dāng)當(dāng) n時(shí)時(shí), ,如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列 ns有有極極限限s , , 如果數(shù)列如果數(shù)列ns沒有極限沒有極限, ,則稱無窮級(jí)數(shù)則稱無窮級(jí)數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散. . 即即 ssnn lim, ,則則稱稱無無窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, , 這這時(shí)時(shí)極極限限s叫叫做做級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu的的和和，并并寫寫成成 .21 nuuus即常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂（發(fā)散）即

3、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂（發(fā)散）nns lim存在（不存在）存在（不存在）第5頁/共155頁6余余項(xiàng)項(xiàng)nnssr 21nnuu 1iinu0lim nnrssn 即即nr誤差為誤差為第6頁/共155頁7解解，如如果果1 q12 nnaqaqaqas，qaqan 1,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q0lim nnqqasnn 1lim,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nnqlim nnslim收斂收斂發(fā)發(fā)散散例例1 1 討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù)( (幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)) ) nnnaqaqaqaaq20)0( a的收斂性的收斂性. . 第7頁/共155頁8，如如果果1 q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散發(fā)散 aaaa級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)

4、變變?yōu)闉椴徊淮娲嬖谠趎ns lim發(fā)散發(fā)散 綜上所述綜上所述, , 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn第8頁/共155頁9 公元前五世紀(jì)公元前五世紀(jì), ,以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾( (ZenoZeno) )用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識(shí)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識(shí), ,引發(fā)出以下著名的悖論引發(fā)出以下著名的悖論： 如果讓阿基里斯如果讓阿基里斯( (AchillesAchilles, ,古希臘神話中善跑的英雄古希臘神話中善跑的英雄) )和和烏龜之間舉行一場賽跑烏龜之間舉行一場賽跑, ,讓烏龜在阿基里斯前頭讓烏龜在阿基里斯前頭10001000

5、米開始米開始, ,假假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快定阿基里斯能夠跑得比烏龜快1010倍倍, ,也永遠(yuǎn)也追不上烏龜也永遠(yuǎn)也追不上烏龜. .齊諾齊諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開始的時(shí)候的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開始的時(shí)候, ,阿基里斯跑了阿基里斯跑了10001000米米, ,此時(shí)此時(shí)烏龜仍然前于他烏龜仍然前于他100100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100100米時(shí)米時(shí), ,烏龜烏龜仍然前于他仍然前于他1010米米, , , 如此分析下去如此分析下去, ,顯然阿基里斯離烏龜越來越近顯然阿基里斯離烏龜越來越近, ,但卻是永遠(yuǎn)但卻是永遠(yuǎn)也追不上烏龜?shù)囊沧凡簧蠟觚數(shù)? .這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的這個(gè)結(jié)

6、論顯然是錯(cuò)誤的, ,但奇怪的是但奇怪的是, ,這種推理這種推理在邏輯上卻沒有任何毛病在邏輯上卻沒有任何毛病. .那么那么, ,問題究竟出在哪兒呢？問題究竟出在哪兒呢？ 齊諾悖論齊諾悖論阿基里斯與烏龜阿基里斯與烏龜?shù)?頁/共155頁10 如果我們從級(jí)數(shù)的角度來分析這個(gè)問題如果我們從級(jí)數(shù)的角度來分析這個(gè)問題, ,齊諾的這個(gè)悖論齊諾的這個(gè)悖論就會(huì)不攻自破就會(huì)不攻自破. . 設(shè)設(shè)烏烏龜龜?shù)牡乃偎俣榷葹闉関, ,則則阿阿基基里里斯斯的的速速度度為為1 10 0v, ,他他跑跑完完1 10 00 00 0米米所所化化的的時(shí)時(shí)間間為為vv100101000 , ,在在這這段段時(shí)時(shí)間間里里, ,烏烏龜龜又又爬

7、爬了了100100 vv米米, , 阿阿基基里里斯斯為為跑跑完完這這段段路路又又花花費(fèi)費(fèi)時(shí)時(shí)間間vv1010100 , ,此此時(shí)時(shí)烏烏龜龜又又在在他他前前面面1 10 0 米米處處, , ,依依次次類類推推, ,阿阿基基里里斯斯需需要要追追趕趕的的全全部部路路程程為為 101001000這這是是一一個(gè)個(gè)公公比比為為1101 q的的幾幾何何級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,易易求求得得它它的的和和為為 ，91111191000010111000 第10頁/共155頁11也就是說也就是說, ,如果賽程比這個(gè)距離短如果賽程比這個(gè)距離短, ,則烏龜勝；如果賽程恰好則烏龜勝；如果賽程恰好等于這個(gè)距離等于這個(gè)距離, ,則雙方

8、平分秋色； 否則則雙方平分秋色； 否則, ,阿基里斯就要在距離起點(diǎn)阿基里斯就要在距離起點(diǎn)911111處追上并超過烏龜處追上并超過烏龜. . ，91111191000010111000 第11頁/共155頁12解解nnnu 1232,3441 n已知級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，已知級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，,34 q公比公比, 1| q.原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散第12頁/共155頁13解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21 n.21, 和為和為級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂21 n例例討論無窮級(jí)數(shù)討論無

9、窮級(jí)數(shù) )12()12(1531311nn的收斂性的收斂性. . 第13頁/共155頁14的收斂性的收斂性例：討論例：討論 111nnnnnun 1解：解：)1()23()12(nnsn 11 n )11(limlimnsnnn.原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散第14頁/共155頁15的收斂性的收斂性例：討論例：討論 1)1(1nnn111)1(1 nnnnun解：解：)111()3121()211( nnsn111 n1)111(limlim nsnnn. 1原級(jí)數(shù)收斂，和為原級(jí)數(shù)收斂，和為第15頁/共155頁16討討論論 1)11ln(nn的的斂斂散散性性. . nnln) 1ln( , 所所以以 解

10、解例例)11ln(nun )1ln( n)ln) 1(ln()2ln3(ln) 1ln2(lnnnSn n所以級(jí)數(shù)發(fā)散所以級(jí)數(shù)發(fā)散. . 第16頁/共155頁17證明證明，ssnn lim,1 nnnssu1limlimlim nnnnnnssuss . 0 定定理理 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則必必有有0lim nnu. . 注意注意: :1 1. .級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散若若 0limnnu第17頁/共155頁18 1433221nn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例如如011limlim nnunnn級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散第18頁/共155頁192.2.必要條件不充分必要條件不充分: :再舉一例再舉一例： 調(diào)

11、調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 11312111nnn , , 01lim nn, ,但但級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂? ? 第19頁/共155頁20討論討論nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和為為假假設(shè)設(shè)調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂）（nnnss 2limss , 0 .級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散)(210 n便有便有于于是是調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 11312111nnn , , 矛盾，矛盾，第20頁/共155頁210 k證略證略. .11 nnnnukku性質(zhì)性質(zhì) 2 2 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 1nnu、 1nnv都收斂都收斂, ,則則 1)(nnnvu .)111 nnnnnnnvuvu（也收斂也收斂, ,且

12、有且有思考：若思考：若k=0？性質(zhì)性質(zhì)1 如如果果且當(dāng)收斂時(shí)且當(dāng)收斂時(shí)和和 1 nnku則則具有相同的斂散性，具有相同的斂散性， 1nnu第21頁/共155頁22解解 121)1(5nnnn 1)1(5nnn 121nn5)1(15)1(511 nnnnnn收斂收斂第22頁/共155頁23. 61521)1(51 nnnn故故, 121121 121nn,211是等比級(jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù)又又 nn，首項(xiàng)是首項(xiàng)是公比公比21, 121 q收斂收斂解解第23頁/共155頁24注注: :( (1 1) ) 不不能能由由 1)(nnnvu收收斂斂推推出出 1nnu、 1nnv收收斂斂； ( (2 2) )

13、若若 1nnu收收斂斂, ,而而 1nnv發(fā)發(fā)散散, ,則則 1)(nnnvu發(fā)發(fā)散散. . 證：證：矛盾矛盾. .假設(shè)假設(shè)收斂，收斂，)(1nnnvu 收斂，收斂，故故 1nnv)(11nnnnnnuvuv 由于由于第24頁/共155頁25去掉、添加或改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng)去掉、添加或改變級(jí)數(shù)中的有限項(xiàng), ,不會(huì)影不會(huì)影響它的斂散性響它的斂散性( (但收斂級(jí)數(shù)的和可能要改變但收斂級(jí)數(shù)的和可能要改變).). 性質(zhì)性質(zhì)3 3性質(zhì)性質(zhì)4 4 收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后仍收斂任意加括號(hào)后仍收斂, ,且其和不變且其和不變. . 證證記記級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列為為 nkknuS1, ,

14、 加加括括號(hào)號(hào)后后的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列記記為為 nA, , 則則nA實(shí)際上是實(shí)際上是nS的一個(gè)子數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列, , 故故由由nS的的收收斂斂性性可可知知nA的的收收斂斂性性, ,且且其其極極限限不不變變. . 注注 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂. )11()11(推論推論 如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)則原級(jí)數(shù)也發(fā)散數(shù)也發(fā)散. . 例如例如 )()()(987654321uuuuuuuuu,21sA ,52sA ,93sA 第25頁/共155頁261. 1. 1)1(2nnn 1)1(12nnn 2

15、. 2. 2. 0)4531(nnn 4/1153/111 649 . . 收斂；收斂； 例例4 4判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性：判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性： 004531nnnn收斂收斂。 第26頁/共155頁273. 3. 11005110321nn 4. 4. n21614121 發(fā)散發(fā)散. . 。有限項(xiàng)后新級(jí)數(shù)仍收斂有限項(xiàng)后新級(jí)數(shù)仍收斂其加上其加上的等比數(shù)列，收斂，將的等比數(shù)列，收斂，將公比為公比為解：解：51511 nn 1n1nn121n21n214121解：解：第27頁/共155頁28例：例：試把無限循環(huán)小數(shù)試把無限循環(huán)小數(shù) 3. 0表示成一個(gè)等比級(jí)數(shù)，并表示成一個(gè)等比級(jí)數(shù)，并求出級(jí)數(shù)和求出級(jí)

16、數(shù)和。解：解： 003. 003. 03 . 03. 0 21103 . 0103 . 03 . 0 0103 . 0nn是公比是公比, 1101 q首項(xiàng)為首項(xiàng)為0.3的等比級(jí)數(shù)，收斂。的等比級(jí)數(shù)，收斂。其和為其和為311013 . 01 第28頁/共155頁291.1.由定義由定義, ,若若ssn, ,則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂; ;2.2.當(dāng)當(dāng)0lim nnu, ,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散; ;一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念和性質(zhì)二、基本審斂法二、基本審斂法三、等比級(jí)數(shù)和調(diào)和級(jí)數(shù)的收斂性三、等比級(jí)數(shù)和調(diào)和級(jí)數(shù)的收斂性第29頁/共155頁30一、一、填空題填空題: : 1 1、

17、 若若nnan242)12(31 , ,則則 51nna= =_； 2 2、 若若nnnna! , ,則則 51nna= =_； 3 3、 若級(jí)數(shù)為若級(jí)數(shù)為 642422xxxx則則 na_； 4 4、 若級(jí)數(shù)為若級(jí)數(shù)為 97535432aaaa則則 na_； 5 5、 若級(jí)數(shù)為若級(jí)數(shù)為 615413211 則當(dāng)則當(dāng) n_時(shí)時(shí) na_；當(dāng)；當(dāng) n_時(shí)時(shí) na_； 6 6、 等比級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù) 0nnaq, ,當(dāng)當(dāng)_時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)_時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散 . . 練習(xí)題練習(xí)題第30頁/共155頁31三、由定義判別級(jí)數(shù)三、由定義判別級(jí)數(shù) )12)(12(1751531311nn的收斂性的收斂性. . 四

18、、判別下列級(jí)數(shù)的收斂性四、判別下列級(jí)數(shù)的收斂性: : 1 1、 n31916131； 2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn； 3 3、 nn101212014110121 . . 第31頁/共155頁32練習(xí)題答案練習(xí)題答案第32頁/共155頁331.1.定義定義: :，中中各各項(xiàng)項(xiàng)均均有有如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)01 nnnuu這種級(jí)數(shù)稱為這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù). .2.2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件: :定理定理一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法法 正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂的的充充分分必必要要條條件件是是它它的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列

19、ns有有上上界界. . 這是因這是因?yàn)闉?, 0 nu所以所以 nsss21即即 ns單調(diào)增加單調(diào)增加, ,因此它有極限當(dāng)且僅當(dāng)它有上界因此它有極限當(dāng)且僅當(dāng)它有上界. .第33頁/共155頁34且且), 2, 1( nvunn, , 證明證明nnuuus 21 1nnv 設(shè)設(shè),nnvu , . 1收斂收斂 nnu均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvu第一比較判別法第一比較判別法nvvv 21則則 (1) (1) 若若 1nnv收斂收斂, ,則則 1nnu收斂；收斂； (2) (2) 若若 1nnu發(fā)散，則發(fā)散，則 1nnv發(fā)散發(fā)散. . (2)(2)是是(1)(1)的等價(jià)命題的

20、等價(jià)命題. . 則則即即 1nnu的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列有有上上界界， 第34頁/共155頁35從某項(xiàng)起從某項(xiàng)起, ,恒有恒有nnkvu , ,)0( k. . 判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 121sinnn的的收收斂斂性性. . 因因?yàn)闉?nn2121sin0 , , 而而 121nn收收斂斂, , 解解例例1 12.比較審斂法的不便比較審斂法的不便: 須有參考級(jí)數(shù)須有參考級(jí)數(shù). 所以由第一比較判別法原級(jí)數(shù)收斂所以由第一比較判別法原級(jí)數(shù)收斂.第35頁/共155頁36oyx)1(1 pxyp1234當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí), , 而而調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 11nn發(fā)發(fā)散散, , 當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí), ,用用積積分分判判別

21、別法法: : 當(dāng)當(dāng)nxn 1時(shí)時(shí), ,ppxn11 , , 于于是是有有 nnppnxn1d1 nnpxx1d 解解例例2 2，nnp11 第36頁/共155頁372 n, , 而而 111)1(111211 pnnpnpp, ,收斂收斂, , nnppnxn1d1 nnpxx1d ，1)1(11111 ppnnp綜上綜上，第37頁/共155頁38重要參考級(jí)數(shù)重要參考級(jí)數(shù): : 幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù), , p- -級(jí)數(shù)級(jí)數(shù), , 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù). .例如例如：.2112pp1112，故發(fā)散，故發(fā)散級(jí)數(shù)，其中級(jí)數(shù)，其中也是也是，故收斂；，故收斂；級(jí)數(shù)，其中級(jí)數(shù)，其中為為 ppnnnn第38頁/共1

22、55頁39例：例：判別判別.1112的的收收斂斂性性 nn解解：因因?yàn)闉?2111nn , , 而而 221nn收收斂斂, , 的的收收斂斂性性 2211nn例：例：判別判別解解：,221112222nnnn 因因?yàn)闉?222數(shù)也收斂數(shù)也收斂收斂，根據(jù)判別法原級(jí)收斂，根據(jù)判別法原級(jí)而而 nn.斂斂根據(jù)判別法原級(jí)數(shù)也收根據(jù)判別法原級(jí)數(shù)也收第39頁/共155頁40因?yàn)橐驗(yàn)閚n111 , , 而而 21nn發(fā)發(fā)散散, , 所所以以原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散. . （但但 211nn如如何何？） 解解例例 211nn第40頁/共155頁41例例 證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù) 1)1(1nnn是發(fā)散的是發(fā)散的. 證明證明

23、,2111)1(1nnnn ,211 nn發(fā)散發(fā)散而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù).)1(11 nnn發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)第41頁/共155頁42, ,設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果如果,limlvunnn , ,當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí); ;則則(1) (1) 兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性兩級(jí)數(shù)有相同的斂散性 l0 (3) (3) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散, ,則則 1nnu發(fā)散發(fā)散; ; l (2) (2) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，若時(shí)，若收斂收斂, ,則則收斂收斂; ;0 l 1nnv 1nnu第42頁/共155頁43證明證明lvunnn lim)1(由由, 02 l 對(duì)于對(duì)于,N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn 22llv

24、ullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證.（2 2）若若0 l, , 由由極極限限定定義義, ,取取1 , ,存存在在自自然然數(shù)數(shù)N, , 當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), ,恒恒有有1 nnvu, , 即即 nnvu , , 由由比比較較審審斂斂法法可可知知, , （3 3）若若 l, ,則則0lim nnnuv, ,由由( (2 2) )即即得得結(jié)結(jié)論論. . 第43頁/共155頁44而而 21nn發(fā)散發(fā)散, , 例例5 5 211nn，1111lim nnn例例6 6 2211nn，1111lim22 nnn解解：解解：收斂，收斂，而而 221nn

25、收收斂斂 2211nn)01(），（ 所以由第二比較判別法知原級(jí)數(shù)發(fā)散所以由第二比較判別法知原級(jí)數(shù)發(fā)散. .第44頁/共155頁45例例7 7 2211nnn，解解1111lim2 nnnn例例8 8 2211lnnn，1111lnlim22 nnn收斂收斂. . 發(fā)散，發(fā)散，而而 21nn故原級(jí)數(shù)發(fā)散故原級(jí)數(shù)發(fā)散.收收斂斂 221nn第45頁/共155頁46討討論論 21nnan的的斂斂散散性性. .)0( a ( (1 1) ) 當(dāng)當(dāng)1 a時(shí)時(shí), , 故故原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂； 例例9 9解解nnnaan11lim nnnana lim11lim nnan0ln1limlimlim aaa

26、xanxxLxxnn1 第46頁/共155頁47討討論論 21nnan的的斂斂散散性性. .)0( a (2) (2) 當(dāng)當(dāng)10 a時(shí)時(shí), , 故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散. . 例例9 9解解nannn11lim 發(fā)散，發(fā)散，而而 11nnnnann lim,1 xxaxx limaaxxln11limL 第47頁/共155頁48設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), , 證略證略. .第48頁/共155頁49注：注：1.此方法優(yōu)點(diǎn)：不用找參考級(jí)數(shù)此方法優(yōu)點(diǎn)：不用找參考級(jí)數(shù)。2.缺點(diǎn)：當(dāng)缺點(diǎn)：當(dāng)1 時(shí)此方法失效時(shí)此方法失效。,11發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nn,112收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nn) 1( 第49頁/

27、共155頁50!1)!1(11nnuunn 11 n, 10 n121 n, 例例1111 1! 1nn 12nnn例例1212nnuunnnn22111 nn21 收斂收斂. .解解收斂收斂. .解解第50頁/共155頁51例例1313 1)12)(12(1nnn解解)12)(12(1)32)(12(11 nnnnuunn, 1 n所以用比值法無法判斷所以用比值法無法判斷. .用比較法用比較法, ,，411)12)(12(1lim2 nnnn故原級(jí)數(shù)收故原級(jí)數(shù)收斂斂. .收斂，收斂， 121nn第51頁/共155頁52假假設(shè)設(shè)0 , ,討討論論 11npnn 的的收收斂斂性性. . （1 1

28、）若若1 , ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂； （2 2）若若1 , ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散； （3 3）若若1 , , 原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 111npn, , 則則1 p時(shí)時(shí)收收斂斂, , 1 p時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散. . 例例1414解解nppnnnnnuu 11)1(11 1)1(1 ppnn ， n第52頁/共155頁53練習(xí)：判定下列級(jí)數(shù)的收斂性練習(xí)：判定下列級(jí)數(shù)的收斂性.2sin. 11 nn .231. 21 nnn.!2. 31 nnnnn.10!. 41 nnn收斂收斂收斂收斂收斂收斂發(fā)散發(fā)散第53頁/共155頁54.2sin. 11 nn )1(:解解nn22sin 收斂，收斂，而而 12n

29、n 由第一比較判別法知由第一比較判別法知.2sin1收斂收斂 nn )2(:解解), 0(122sinlim nnn 收斂，收斂，而而 12nn 由第二比較判別法知由第二比較判別法知.2sin1收斂收斂 nn 第54頁/共155頁55.231. 21 nnn)1(:解解)2(:解解 nnnn31231lim收斂，收斂，而而 131nn由第二比較判別法知由第二比較判別法知nnnn233lim , 1)32(11lim nn.2311收斂收斂 nnn nnnn21231lim收斂，收斂，而而 121nnnnnn232lim , 01)23(1lim nn由第二比較判別法知由第二比較判別法知.231

30、1收斂收斂 nnn第55頁/共155頁56.!2. 31 nnnnn:解解nnnnnnnnnnuu!2)1()!1(2111 nnnn)1(2 nn)11(2 euunnn2lim1 , 1 .收收斂斂由由比比值值判判別別法法知知原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)第56頁/共155頁57.10!. 41 nnn:解解nnnnnnuu10!10)!1(11 ,101 n,lim1 nnnuu.發(fā)發(fā)散散由由比比值值判判別別法法知知原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)第57頁/共155頁58 本節(jié)討論一般的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)本節(jié)討論一般的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), , 即各項(xiàng)符號(hào)即各項(xiàng)符號(hào)不盡相同的變號(hào)級(jí)數(shù)不盡相同的變號(hào)級(jí)數(shù)( (任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)). ). 如級(jí)

31、數(shù)如級(jí)數(shù)11112( 1)sin(1)!nnnnnn 及及 下面討論任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判別法下面討論任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判別法. .首先討首先討論其中的一種各項(xiàng)正負(fù)相間的特殊情形論其中的一種各項(xiàng)正負(fù)相間的特殊情形 交錯(cuò)級(jí)交錯(cuò)級(jí)數(shù)數(shù), , 它是一種常見而有實(shí)用價(jià)值的特殊級(jí)數(shù)它是一種常見而有實(shí)用價(jià)值的特殊級(jí)數(shù). .二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法第58頁/共155頁59定義定義: : 正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù). . nnnnnaaaaaa1432111)1()1(萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件)0( na其中

32、其中稱稱萊布尼茨萊布尼茨型級(jí)數(shù)型級(jí)數(shù) 1.1.交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)第59頁/共155頁60另另一一方方面面, , 即即 2mS有有上上界界, , 記記 SSmm 2lim, , 由由條條件件( (2 2) )可可知知, , SSmm 12lim, , 得得 SSnm lim, 即即原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂, , 第60頁/共155頁61且且 01lim nn, , 是是萊萊布布尼尼茨茨型型級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), , 故故收收斂斂. . 111)1(npnn( (0 p) ) 是萊布尼茨型級(jí)數(shù)是萊布尼茨型級(jí)數(shù), ,故收斂故收斂. . 例例1515 41312111)1(11nnn解解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)這是交錯(cuò)級(jí)數(shù), ,

33、例例1616第61頁/共155頁62判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 21)1(nnnn的的收收斂斂性性. . 解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單單調(diào)調(diào)遞遞減減故故函函數(shù)數(shù) xx1limlim nnannn又又, 0 原級(jí)數(shù)收原級(jí)數(shù)收斂斂.例例1717第62頁/共155頁63由于任意常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的符號(hào)不一定同號(hào),因而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判別法對(duì)它來說是不適用的.但當(dāng)我們定義定義: :若級(jí)數(shù) 每項(xiàng)取絕對(duì)值構(gòu)成的級(jí)數(shù) 收斂,1nnu 1nnu 便可借助于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判別法來研究它了.1nnu 1nnu 例如級(jí)數(shù)是條件收斂的.是絕對(duì)收斂的;1211( 1)nnn 111( 1)nnn 它

34、的每一項(xiàng)取絕對(duì)值后組成的級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù),考察收斂, 則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂; 1nnu 則稱級(jí)數(shù)1nnu 若級(jí)數(shù)發(fā)散, 而級(jí)數(shù)條件收斂.2 2、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂與與條件收斂條件收斂定義定義: : 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù). .第63頁/共155頁64定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. . 證明證明令令 )(21nnnuuu 即即 1nnu為為 1nnu的的所所有有非非負(fù)負(fù)項(xiàng)項(xiàng)組組成成的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), , 顯顯然然 nnuu , , 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法可知由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法可知, , 1nnu

35、收收斂斂, , 而而 nnnuuu 2, , 由由 1nnu的的收收斂斂性性可可知知, , 1nnu收收斂斂. . ， 0 , 00 ,nnnuuu, 2 , 1 n即絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必收斂即絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必收斂. . 第64頁/共155頁65說明說明1 1 所有正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂都是絕對(duì)收斂所有正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂都是絕對(duì)收斂. . 2 2 一切判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判別法都可用來判定一切判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判別法都可用來判定任意常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂任意常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂, , 從而收斂從而收斂. .定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. . 即絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必收斂即絕對(duì)

36、收斂的級(jí)數(shù)必收斂. . 而不能斷定它必為發(fā)散而不能斷定它必為發(fā)散, , 注意注意:此時(shí)需進(jìn)一步用其他方法來判此時(shí)需進(jìn)一步用其他方法來判1nnu 的斂散性的斂散性.定定1nnu (1) 當(dāng)當(dāng) 發(fā)散時(shí)發(fā)散時(shí), 就只能斷定就只能斷定非絕對(duì)收斂非絕對(duì)收斂,1nnu 但但 11nn發(fā)發(fā)散散; ; 如如 111) 1(nnn收收斂斂, , 第65頁/共155頁66(3) 若用比值法和根值法判別級(jí)數(shù)若用比值法和根值法判別級(jí)數(shù) , , 得出級(jí)數(shù)得出級(jí)數(shù) 1nnu 1nnu 定理定理8.88.8 若任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 滿足條件滿足條件1nnu 發(fā)散發(fā)散,則可斷言級(jí)數(shù)則可斷言級(jí)數(shù)一定發(fā)散一定發(fā)散.1nnu 定

37、理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. . 即絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必收斂即絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必收斂. . , nnnuu1lim |lim1nnnuu 第66頁/共155頁67如級(jí)數(shù)收斂的定義如級(jí)數(shù)收斂的定義, ,級(jí)數(shù)的一些基本性質(zhì)級(jí)數(shù)的一些基本性質(zhì)等進(jìn)行判別等進(jìn)行判別. .注注（3 3） 對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu 首先判斷它是否絕對(duì)收斂首先判斷它是否絕對(duì)收斂1nnu 再看它是否為交錯(cuò)級(jí)數(shù)再看它是否為交錯(cuò)級(jí)數(shù); ; 1nnu 是否收斂是否收斂););( (即用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判即用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法別法, ,判別判別若是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，就用若是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，就用萊布尼茲判別法判別萊布尼茲

38、判別法判別是否收斂是否收斂;若前面方法失效若前面方法失效,就考慮用其它方法就考慮用其它方法;第67頁/共155頁68故故原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂. . 而而 121nn收斂收斂, , 故故原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂. . 例例1818 132)1(nnn例例1919 12sinnnn 第68頁/共155頁69 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性，如果收斂判定下列級(jí)數(shù)的斂散性，如果收斂 判定是絕對(duì)收斂還是條件收斂判定是絕對(duì)收斂還是條件收斂. .31cos(1)nnnn 33cos1 (1)nnnnn 解因解因3231lim11nnnn 而而由比較判別法的極限形式知由比較判別法的極限形式知故原級(jí)數(shù)故原級(jí)數(shù)

39、絕對(duì)絕對(duì)收斂收斂. .收斂，收斂，311nnn 例例2020111(2)( 1)(0,0)nnababn 第69頁/共155頁70111(2)( 1)(0,0)nnababn 11lim,1nabnbn 解因解因11nn 而而發(fā)散，發(fā)散，從而原級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂；從而原級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂； 但它卻是滿足萊布尼茲條件但它卻是滿足萊布尼茲條件的交錯(cuò)級(jí)數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù), 即滿足：即滿足：故原級(jí)數(shù)條件收斂故原級(jí)數(shù)條件收斂. .;01limlim bnaannn1)1(11 nnanbabnaa第70頁/共155頁71若若1 , ,則則原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散； 若若1 , ,原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 1)1(npnn, ,

40、因因此此當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)時(shí)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂； 當(dāng)當(dāng)10 p時(shí)時(shí)條條件件收收斂斂. . 設(shè)設(shè)0, 0 p, ,討討論論 1)(npnn 的的收收斂斂性性. . nnppnnn)()() 1(lim1 , 若若1 , ,則則原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂； 例例2121解解nnnuu1lim 第71頁/共155頁72討討論論級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)) 1( 111 xxnn的的收收斂斂范范圍圍. . 若若1 x, , 所所以以級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散； 則則 0111lim nnx, , 若若1 x, , 則則 1111limlim nnnnnnxxuu 故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂； 最最后后, ,若若1 x, ,則則

41、 21 nu, ,發(fā)發(fā)散散. . 所所以以級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂范范圍圍為為1 x. . 例例2222解解x1 ，1 第72頁/共155頁73正正 項(xiàng)項(xiàng) 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審審斂斂法法4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3. 按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);1.;,則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂若若SSn2.;, 0,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) nun第73頁/共155頁74思考思考題題 設(shè)設(shè)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, , 能能否否推推得得 12nnu收收斂斂 ? ? 反反之之是是否否成成立立? ? 若若是是任任

42、意意項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)呢呢? ? 解答解答若若 1nnu收收斂斂， nnnuu2lim nnu lim由比較審斂法知由比較審斂法知 收斂收斂. 12nnu，0 若若為為任任意意項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,則則不不能能推推出出, , 如如 1)1(nnn收斂收斂, , 但但 11nn發(fā)散發(fā)散. . 反之不成立反之不成立.例如例如： 121nn收斂收斂, 11nn發(fā)散發(fā)散.第74頁/共155頁75P137 習(xí)題習(xí)題8.22單號(hào)單號(hào)3單號(hào)單號(hào)4. 5. 第75頁/共155頁761.1.定義定義: :,120 xxxnn例如級(jí)數(shù)例如級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念 )()()()(211xuxux

43、uxunnn第76頁/共155頁77 則稱點(diǎn)則稱點(diǎn) x0 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一個(gè)數(shù)的一個(gè)收斂點(diǎn)收斂點(diǎn). 1)( nnxu,)()()(21 xuxuxun 在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 中，若令中，若令 x 取定義域中某取定義域中某一確定值一確定值 x0 ，則得到一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)則得到一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).)()()(00201 xuxuxun若上述數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，若上述數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂， 反之，若上述數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)反之，若上述數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，散， 則稱點(diǎn)則稱點(diǎn) x0 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的的發(fā)散點(diǎn)發(fā)散點(diǎn).2.2.收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域: : 10)( nnxu第77頁/共155頁78 上述級(jí)數(shù)的和上述

44、級(jí)數(shù)的和 S 也隨之也隨之變動(dòng)，變動(dòng)， 稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收收斂域斂域,發(fā)散點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合，稱為發(fā)散點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合，稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的的發(fā)散域發(fā)散域. .收斂點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合收斂點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合， 若若 x0 是收斂域內(nèi)的一個(gè)值，是收斂域內(nèi)的一個(gè)值， 因此必有一個(gè)因此必有一個(gè)和和 S(x0) 與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)， 即即.)()()()(002010 xuxuxuxSn當(dāng)當(dāng) x0 在收斂域內(nèi)變動(dòng)時(shí)，在收斂域內(nèi)變動(dòng)時(shí)，就得到一個(gè)定義在收斂域上的函數(shù)就得到一個(gè)定義在收斂域上的函數(shù) S(x)，即即.)()()()(21 xuxuxuxSn3.3.和函數(shù)和函數(shù): :第7

45、8頁/共155頁79 如果如果我我們仿照數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的情形，們仿照數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的情形， 將函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)將函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的前的前n 項(xiàng)項(xiàng)和記為和記為 Sn(x) ， 且稱為部分和函數(shù)，且稱為部分和函數(shù)，這個(gè)函數(shù)這個(gè)函數(shù) S (x) 就稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的就稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)和函數(shù).即即Sn(x), )()()(21xuxuxun 那么在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域內(nèi)有那么在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域內(nèi)有. )()(limxSxSnn , )(記余項(xiàng)記余項(xiàng)若以若以xrn, )()()(xSxSxrnn 則在收斂域內(nèi)同樣有則在收斂域內(nèi)同樣有.0)(lim xrnn， )()()()(21xuxuxuxSn. Ix 若收斂域記為若

46、收斂域記為I第79頁/共155頁80注意注意 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題的收斂問題,實(shí)質(zhì)上實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題.例：例： 討論級(jí)數(shù)討論級(jí)數(shù), )1,1( nnnxxxx201,)1,1(時(shí)時(shí)并并且且當(dāng)當(dāng) x有有和函數(shù)和函數(shù) 的收斂域、和函數(shù)及發(fā)散域的收斂域、和函數(shù)及發(fā)散域.解解易知此級(jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù)，易知此級(jí)數(shù)是等比級(jí)數(shù)，時(shí)級(jí)數(shù)收斂，時(shí)級(jí)數(shù)收斂，故當(dāng)公比故當(dāng)公比1| x即即收斂域收斂域是是.11,(）， 即發(fā)散域是即發(fā)散域是即：即：，xxS 11)(時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)公比當(dāng)公比1| x).1 , 1(,11120 xxxxxxnnn第80頁/共

47、155頁81求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)nnnxn)11()1(1 的收斂域的收斂域. 解解由達(dá)朗貝爾判別法，由達(dá)朗貝爾判別法，)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x當(dāng)當(dāng),20時(shí)時(shí)或或即即 xx原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂., 11 x例例, 111)2( x當(dāng)當(dāng), 11 x第81頁/共155頁82, 111)2( x當(dāng)當(dāng), 11 x,02時(shí)時(shí)即即 x原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散.,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 1)1(nnn級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂收斂;,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 11nn級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)發(fā)散發(fā)散;)., 0)2,( 故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域?yàn)闉? 1|1|)3( x當(dāng)當(dāng), 20 xx或或求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)nn

48、nxn)11()1(1 的收斂域的收斂域. 例例第82頁/共155頁831.1.定義定義: :形如形如nnnxxa)(00 的級(jí)數(shù)稱為的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù). . 其中其中na為為冪級(jí)數(shù)系數(shù)冪級(jí)數(shù)系數(shù). 2.2.收斂性收斂性: :,120 xxxnn例如級(jí)數(shù)例如級(jí)數(shù);,1收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;,1發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x);1 , 1( 收斂域收斂域);, 1 1,( 發(fā)散域發(fā)散域特特別別, ,取取00 x, ,則則得得 0nnnxa, , 第83頁/共155頁84二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性形如形如 00)(nnnxxa 202010)()(xxaxxaa的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

49、稱為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù), 其中數(shù)列其中數(shù)列),1 , 0( nan下面著重討論下面著重討論00 x 0nnnxa nnxaxaxaa2210例如例如, 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)1,110 xxxnn為冪級(jí)數(shù)的為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)系數(shù) .即是此種情形即是此種情形. .的情形的情形, 即即 nnxxa)(0稱稱 .)(0的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于xx .冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的關(guān)關(guān)于于x.變變量量代代換換互互化化顯顯然然，兩兩種種形形式式可可通通過過第84頁/共155頁85 則稱冪級(jí)則稱冪級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的，數(shù)為不缺項(xiàng)的，), 2 , 1 , 0(0 0 naxannnn中中設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)否則稱為缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)否則稱為缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù).

50、例如冪級(jí)數(shù)例如冪級(jí)數(shù) nnnnnxxxxx264220)1(1)1(缺缺 x 的奇次冪，的奇次冪，叫缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，叫缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)，又如又如 nnnnnxxxx)1(1)1(20是不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)是不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù).第85頁/共155頁86ox發(fā)發(fā) 散散發(fā)發(fā) 散散收斂收斂 發(fā)散發(fā)散若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù) 0nnnxa,0點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂在在xx 則對(duì)滿足不等式則對(duì)滿足不等式0 xx 的一切的一切 x 冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.反之反之, 若當(dāng)若當(dāng)0 xx 0 xx 的一切的一切 x , 該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散 . 時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散 ,則對(duì)滿足不等則對(duì)滿足不等式式證證: 設(shè)設(shè) 00nn

51、nxa, 0lim0 nnnxa收斂收斂, 則必有則必有),2,1(0 nMxann于是存在于是存在常數(shù)常數(shù) M 0, 使使絕絕 對(duì)對(duì) 收收 斂斂第86頁/共155頁87nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 證畢證畢,0 xx ,00收收斂斂等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnxxM ,0收收斂斂 nnnxa;)(0收收斂斂絕絕對(duì)對(duì)因因此此級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知, , ,)2(0時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)xx 由由(1)(1)結(jié)結(jié)論論,第87頁/共155頁88xo R R幾何說明幾何說明收斂區(qū)間收斂區(qū)間發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域. 00

52、 Rxannn，時(shí)時(shí)，若若當(dāng)當(dāng)Rx 冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)Rx 該冪級(jí)數(shù)發(fā)散該冪級(jí)數(shù)發(fā)散 ， 定義定義: :則稱正數(shù)則稱正數(shù)R為冪級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)的的 0nnnxa由由Abel Abel 定理可以看出定理可以看出, , 0nnnxa中心的區(qū)間中心的區(qū)間. 的收斂域是以原點(diǎn)的收斂域是以原點(diǎn)為為.收收斂斂半半徑徑(R , R ) 稱為稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間.可能收斂也可能發(fā)散可能收斂也可能發(fā)散 .Rx 注：注：(R , R ) 加上收斂的端點(diǎn)稱為加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域收斂域.第88頁/共155頁89, 0 R規(guī)定規(guī)定, R問題問題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑? ?.

53、 00 Rxannn，時(shí)時(shí)，若若當(dāng)當(dāng)Rx 冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)Rx 該冪級(jí)數(shù)發(fā)散該冪級(jí)數(shù)發(fā)散 ， 定義定義: :則稱正數(shù)則稱正數(shù)R為冪級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)的的 0nnnxa.收收斂斂半半徑徑第89頁/共155頁90 xaaxaxauunnnnnnnnnnn 1111limlimlim)0(0 nnnnaxa的系數(shù)滿足的系數(shù)滿足,lim1 nnnaa;1 R; R.0 R證證:1) 若若 0,當(dāng)當(dāng),1 x 原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)當(dāng),1 x 原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散. x即即 1 x時(shí)時(shí),1) 當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)時(shí),2) 當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)時(shí),3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),即即時(shí)時(shí),則則 1 x因此級(jí)數(shù)的收斂

54、半徑因此級(jí)數(shù)的收斂半徑.1 R第90頁/共155頁912) 若若, 0 xaauunnnnnn 11limlim x, 10 x ; R絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 ,對(duì)任意對(duì)任意 x 原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)因此因此3) 若若, , x 即對(duì)除即對(duì)除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散 ,. 0 R因因此此，收收斂斂半半徑徑證畢證畢說明說明: :據(jù)此定理據(jù)此定理 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為1lim nnnaaR第91頁/共155頁92求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域. . 1 x時(shí)時(shí), , 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 01nn, , 發(fā)散發(fā)散; ; 1 x時(shí)時(shí), ,

55、級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 0)1(nnn, , 收收斂斂, , 收收斂斂域域?yàn)闉?1 , 1 . . 例例1 1 0nnnx解解1lim nnnaaR，11lim nnn第92頁/共155頁93.!)2(;!1)1(00nnnnxnxn 解解: (1) limlim1 nnnnaaR!1n)1(lim nn 所以收斂域?yàn)樗允諗坑驗(yàn)? ),( (2) limlim1 nnnnaaR!n! ) 1( n11lim nn0 所以級(jí)數(shù)僅在所以級(jí)數(shù)僅在 x = 0 處收斂處收斂 .規(guī)定規(guī)定: 0 ! = 1! )1(1 n第93頁/共155頁94求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 1122nnnx的收斂域的收斂域. 3523222

56、xxx級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為缺少偶次冪的缺少偶次冪的項(xiàng)項(xiàng)法法，直直接接應(yīng)應(yīng)用用達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時(shí)時(shí)即即 x例例3 3解解第94頁/共155頁95, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時(shí)時(shí)即即 x級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,211 n級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,211 n級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散,級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散,所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樗栽?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.2, 2( 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂, 1212 x當(dāng)當(dāng),2時(shí)時(shí)即即 x 1122nnnx1lim nnnaaR第95頁/共155頁9

57、6nnxnn202) !(! )2( 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的收斂半徑 .解解: 級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng)級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),是亞標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)，是亞標(biāo)準(zhǔn)型冪級(jí)數(shù)， nnnnaaRlimlim1! )1(2!)1( 2 nn2!2nn nlim1)(2n)1(2)1(2 nn2141 第96頁/共155頁97 12)1(nnnnx求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)的收斂域的收斂域.解解: 令令 ,1 xt級(jí)數(shù)變?yōu)榧?jí)數(shù)變?yōu)閚nntn 121 nnnnaaRlimlim1nn21)1(211 nnnnnnn2)1(2lim1 2 當(dāng)當(dāng) t = 2 時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為,11 nn此級(jí)數(shù)發(fā)散此級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng) t = 2 時(shí)時(shí)

58、, 級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為,)1(1 nnn此級(jí)數(shù)條件收斂此級(jí)數(shù)條件收斂;因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)橐虼思?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?22 t故原級(jí)數(shù)的收斂域故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)闉?212 x即即.31 x第97頁/共155頁98 112)5(nnnx求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)的收斂域的收斂域.解解: 令令 ,5 xt級(jí)數(shù)變?yōu)榧?jí)數(shù)變?yōu)?211 nntn1lim nnnaaR1 當(dāng)當(dāng) t = 1 時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為,11 nn此級(jí)數(shù)發(fā)散此級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng) t = 1 時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為,)1(1 nn此級(jí)數(shù)也發(fā)散此級(jí)數(shù)也發(fā)散;因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)橐虼思?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?11 t故原級(jí)數(shù)的收斂域故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)闉? 151 x即即.64 x第

59、98頁/共155頁99P154 習(xí)題習(xí)題8.41.（2）（4）（6）（8） 第99頁/共155頁100第四節(jié)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)（冪級(jí)數(shù)（2 2） 第100頁/共155頁101且收斂半徑仍為且收斂半徑仍為R. . xxxS0d)( 00dnxnnxxa，101 nnnxna xnnnxxa00d)(第101頁/共155頁102 0)()(nnnxaxS 0)(nnnxa， 11nnnxna(2) (2) 端點(diǎn)處的收斂性可能發(fā)生變化端點(diǎn)處的收斂性可能發(fā)生變化. . 且收斂半徑仍為且收斂半徑仍為R. . 第102頁/共155頁103解解冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求積積分分后后所所得得冪冪冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0 n

60、nx例例 1討論討論.域域級(jí)數(shù)的收斂級(jí)數(shù)的收斂,120 nnnxxxx收斂半徑收斂半徑 R = 1 ，逐項(xiàng)求積分后得逐項(xiàng)求積分后得 011nnnx.132132 nxxxxn收斂域：收斂域： (- 1,1)d(d)(0000 xxxxnxnxnn 第103頁/共155頁104易求得它的收斂半徑仍為易求得它的收斂半徑仍為 R = 1.;111)(01是收斂的是收斂的 nnn當(dāng)當(dāng) x = 1 時(shí)時(shí)，發(fā)散發(fā)散.當(dāng)當(dāng) x = 1 時(shí)，冪級(jí)數(shù)為時(shí)，冪級(jí)數(shù)為 011nnnx.132132 nxxxxn，級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 011nn故冪級(jí)數(shù)故冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?1,1). 011nnnx思考：思考：兩個(gè)冪級(jí)