1、統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl1第6章統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布總體和樣本的分布 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量抽樣分布及抽樣分布及抽樣分布定理抽樣分布定理統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl26.1 總體和樣本的分布總體和樣本的分布l 6.1.1 統(tǒng)計(jì)推斷中的總體及總體分布統(tǒng)計(jì)推斷中的總體及總體分布l 要了解研究對(duì)象的整體情況要了解研究對(duì)象的整體情況,最理想的方法似乎是最理想的方法似乎是進(jìn)行普查進(jìn)行普查,但實(shí)際上這樣做往往是不必要、不可能但實(shí)際上這樣做往往是不必要、不可能或不允許的或不允許的.l 如如,要研究燈泡壽命要研究燈泡壽命,由于壽命試驗(yàn)是破壞性的由于壽命試驗(yàn)是破壞性的,逐逐個(gè)試驗(yàn)是不允許的個(gè)試驗(yàn)是不允許的.從所研

2、究的全體對(duì)象中從所研究的全體對(duì)象中,抽取一抽取一小部分來進(jìn)行試驗(yàn)小部分來進(jìn)行試驗(yàn)(稱為抽樣稱為抽樣),根據(jù)這一小部分所根據(jù)這一小部分所顯示的統(tǒng)計(jì)特性顯示的統(tǒng)計(jì)特性,來推斷來推斷整體整體的統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性.統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl3總體是根據(jù)一定的目的確定的所要研究的事物的全體，總體是根據(jù)一定的目的確定的所要研究的事物的全體，它是由客觀存在的、具有某種共同性質(zhì)的眾多個(gè)別事物它是由客觀存在的、具有某種共同性質(zhì)的眾多個(gè)別事物構(gòu)成的整體。構(gòu)成的整體。總體是總體是研究對(duì)象的全體。l 在具體的統(tǒng)計(jì)推斷中,我們感興趣的是總體單位的某個(gè)或某些數(shù)量特征。例如研究某種型號(hào)燈泡的壽命這一數(shù)量特征。總體的含義抽象為

3、所感興趣的變量的所有取值，我們可以想象，這些值的出現(xiàn)有不同的頻率，假設(shè)這批燈泡有無限多個(gè)，那么頻率就收斂到了概率，從而有了使用壽命這個(gè)隨機(jī)變量的概率分布。這個(gè)分布稱為總體或總體分布。總體（總體分布）是對(duì)客觀對(duì)象變量取值情況的數(shù)學(xué)描述。總體所含個(gè)體的數(shù)目稱為總體容量總體容量.這這樣要研究的總體實(shí)質(zhì)上是某個(gè)概率分布樣要研究的總體實(shí)質(zhì)上是某個(gè)概率分布, 因此我們將因此我們將總體總體定義為一個(gè)隨機(jī)變量定義為一個(gè)隨機(jī)變量X. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中“總體”這個(gè)基本概念從本質(zhì)上講：總體就是一個(gè)隨機(jī)變量總體就是一個(gè)隨機(jī)變量。統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl4從社會(huì)統(tǒng)計(jì)到數(shù)理統(tǒng)計(jì)總體的演化從社會(huì)統(tǒng)計(jì)到數(shù)理統(tǒng)計(jì)總體的演化組成元素

4、組成元素具體對(duì)象具體對(duì)象組成元素組成元素重復(fù)數(shù)字重復(fù)數(shù)字組成元素組成元素?cái)?shù)字的取值數(shù)字的取值及其概率：及其概率：分布分布研究的標(biāo)志數(shù)字的取值和重復(fù)的頻率例：研究班級(jí)同學(xué)的身高例：研究班級(jí)同學(xué)的身高班級(jí)的同學(xué)的集合（全體同學(xué)）組成元素：每位同學(xué)（具體對(duì)象）同學(xué)身高的集合組成元素：身高的數(shù)字（重復(fù)數(shù)字）身高的取值及其概率組成元素：身高的分布統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl5對(duì)所研究的對(duì)象對(duì)所研究的對(duì)象,我們常常關(guān)心某一項(xiàng)或幾項(xiàng)指標(biāo)我們常常關(guān)心某一項(xiàng)或幾項(xiàng)指標(biāo).總體：總體：研究對(duì)象的某項(xiàng)變量值的全體.個(gè)體：個(gè)體：組成總體的每一個(gè)基本元素.例如例如: 某工廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命的全體是一個(gè)總體,而每一個(gè)燈泡的

5、使用壽命是一個(gè)個(gè)體.而每個(gè)男生的身高是一個(gè)個(gè)體. 我校男生的身高的全體是一個(gè)總體,總體所含個(gè)體的數(shù)目稱為總體容量總體容量.統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl6 一般地,我們是從總體中抽取一部分,比如說 n 個(gè)進(jìn)行觀測(cè),再根據(jù)這 n 個(gè)觀測(cè)值去推斷總體的性質(zhì).在總體X中,抽取 n 個(gè)個(gè)體 12,.,nXXX這n個(gè)個(gè)體稱為總體X的一個(gè).就是抽取樣本的過程.樣本中所含個(gè)體的數(shù)目n稱為樣本容量樣本容量.由于 是從總體X中隨機(jī)抽取出來的可能結(jié)果,12,.,nXXX是n個(gè)隨機(jī)變量,但是在抽取之后,它們都是,樣本樣本通過觀測(cè)或試驗(yàn)的方法，獲得的總體中一部分個(gè)體的集合，稱為樣本，每個(gè)個(gè)體的取值稱為樣本點(diǎn)。 6.1.1統(tǒng)

6、計(jì)推斷中的樣本及樣本分布統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl7l如隨機(jī)抽取n只燈泡，試驗(yàn)得到其使用壽命(x1, x2,xn)，稱這n個(gè)確定的數(shù)值(x1, x2,xn)是燈泡使用壽命總體的一個(gè)樣本。但是，當(dāng)燈泡樣本點(diǎn)的使用壽命還未觀測(cè)出來時(shí)，只能將每個(gè)樣本點(diǎn)看作與總體同分布的隨機(jī)變量，這是因?yàn)槊總€(gè)樣本點(diǎn)的可能取值范圍和某個(gè)值出現(xiàn)的可能性與總體是一樣的，這時(shí)樣本記為(X1, X2Xn)。 統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl8l在相同的條件下對(duì)總體X進(jìn)行n次重復(fù)獨(dú)立的觀察。將n次觀察結(jié)果按試驗(yàn)的次序記為X1， X2， Xn （ 大寫英語字母表示） 。由于X1， X2， Xn 是對(duì)隨機(jī)變量X觀察的結(jié)果，且各次觀察是在相同的

7、條件下獨(dú)立進(jìn)行的，所以有理由認(rèn)為X1， X2， Xn是相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的，且都是與總體X具有相同相同分布的分布的隨機(jī)變量。這樣得到的X1， X2， Xn 稱為來自總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，n稱為這個(gè)樣本的容量。以后無另外說明，所得的樣本都是指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl9 n次觀察一經(jīng)完成，我們就得到一組實(shí)數(shù)x1，x2， xn （ 小寫英語字母表示） ，它們依次是隨機(jī)變量X1， X2， Xn的觀察值，稱為樣本觀測(cè)值。對(duì)于有限總體，采用放回抽樣就能得到簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，但放回抽樣使用起來不方便，當(dāng)個(gè)體的總數(shù)N比樣本的容量n大得多時(shí)，在實(shí)際中可將不放回抽樣近似地當(dāng)作放回抽樣來處理統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch

8、5 suyl10簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的兩個(gè)最基本的特性：(1) 獨(dú)立性12,.,nXXX是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.12,.,nXXX即中各個(gè)隨機(jī)變量的取值互不影響,這時(shí)稱 (2) 代表性 （ 同分布性）即樣本中的每個(gè)樣本點(diǎn)都與總體同分布； 即 中每一個(gè)隨機(jī)變量都與總體X有相同的概率分布.12,.,nXXX6.1.2統(tǒng)計(jì)推斷中的樣本及其性質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl11總體和樣本的關(guān)系總體和樣本的關(guān)系數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，樣本和總體具有相同的分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，樣本和總體具有相同的分布 取值取值1概率概率0.2取值取值2：概率概率0.4取值取值3：取值取值0.1分布分布總體總體樣品樣品X1總體的分布：總體的分布：總體中重復(fù)

9、數(shù)字取各值的概率總體中重復(fù)數(shù)字取各值的概率 分布總體分布總體 總體各個(gè)值的概率可以認(rèn)為是有相應(yīng)比重的個(gè)體取該值。 隨機(jī)樣本隨機(jī)樣本 由于每一個(gè)體都有均等被抽中的概率，因而樣本取總體各個(gè)值的概率即樣本分布與總體分布相同。樣品樣品X2樣品樣品Xn。統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl12總體 樣本 樣本觀察值 理論分布 是從手中已有的資料樣本觀察值,去推斷總體的情況總體分布.決定了樣本取值樣本取值的概率規(guī)律,也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律,因而可以用樣本觀察值去推斷總體推斷總體.是聯(lián)系兩者的橋梁.統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl136.2 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量分布的概念統(tǒng)計(jì)量分布的概念 在統(tǒng)計(jì)推斷中，總體信息是未

10、知的，但從總體中抽取的樣本中含有總體的信息，統(tǒng)計(jì)推斷就是利用樣本的信息來推測(cè)總體的信息。然而樣本的信息是隱蔽的，不明顯的，必須要經(jīng)過必要的加工處理才能用來推斷總體信息，構(gòu)造樣本統(tǒng)計(jì)量是加工樣本提出總體信息的有效手段之一。統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl146.2.1 統(tǒng)計(jì)量及統(tǒng)計(jì)量的分布統(tǒng)計(jì)量及統(tǒng)計(jì)量的分布如果如果樣本X1， ，Xn的函數(shù)T(X1， ，Xn)不含不含未知參數(shù)，則稱未知參數(shù)，則稱T(X1， ，Xn)是總體X的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量有以下兩個(gè)特征： 統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)； 統(tǒng)計(jì)量不能含有未知的總體參數(shù)。 統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl15判斷下列是否為統(tǒng)計(jì)量1,nXX21()niiTX2211(

11、)1niiSXXn0XZ1211nniiXXXXXnn(1)( ),nXX12XX0.5m是是是是是是統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl16?,),(,22321哪哪些些不不是是些些是是統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量判判斷斷下下列列各各式式哪哪為為未未知知為為已已知知其其中中樣樣本本的的一一個(gè)個(gè)是是來來自自總總體體設(shè)設(shè) NXXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT.是是不是不是.),(),(,21212121的觀察值是則稱的樣本值是相應(yīng)于樣本設(shè)nnnnXXXfxxxfXXXxxx222612321()TXXX是是是是是是是是統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl

12、17nikiknikikXXnBXnA11,)(11中心矩原點(diǎn)矩2.樣本k階矩,1. 11niiXnX樣本均值,)()(112122SSXXnSnii標(biāo)準(zhǔn)差樣本均方差樣本方差6.2.2 幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl18樣本均值和方差的性質(zhì)l 1.均值的性質(zhì)l 2.方差的性質(zhì)bxaybaxyii則設(shè),)(1)(),()(XDnXDXEXE22211()nniiiiXXXnX)()(2XDsE統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl19證明：)(1)(),()() 1 (XDnXDXEXEununEXnXEnXnEXEnii1)(1)(1)1()(1nnnXDnXnDXDniinii2221211)(

13、1)1()(niiniiXnXXX1212)()2(22222222221212221)()()(2)(222)(XnXnXXnXnXXnXnXnXXXnXXXXXXXXXiiiiiniiniiinii統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl20)()()3(2XDsE)(111)(2222XnXnnXXSii22222222222222222) 1(11)(11)(11)()()(11)()(11)(11)(nnnununnunnnunnXnEEXXDnXnEEXnXnXEnSEii統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl213.3.順序統(tǒng)計(jì)量順序統(tǒng)計(jì)量)()2()1(nXXX順序統(tǒng)計(jì)量順序統(tǒng)計(jì)量：對(duì)于樣本X1， X2，

14、Xn ，如果按照升冪排列，得到稱稱X（1）， X（2）， X（n） 為順序統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl22l 利用順序統(tǒng)計(jì)量可以計(jì)算一些常用的統(tǒng)計(jì)量：l（1）最大順序統(tǒng)計(jì)量和最小順序統(tǒng)計(jì)量l（2）樣本中位數(shù)l（3）樣本極差l（4）樣本的p分位數(shù)l（5）樣本的切尾均值統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl23統(tǒng)計(jì)量的分布統(tǒng)計(jì)量的分布統(tǒng)計(jì)量分布的概念統(tǒng)計(jì)量分布的概念 統(tǒng)計(jì)量既然是隨機(jī)變量的函數(shù)，那么它也應(yīng)該是隨機(jī)變量，并有其概率分布，統(tǒng)計(jì)量的分布也稱為抽樣分布。抽樣分布和統(tǒng)計(jì)推斷有著密切的聯(lián)系。統(tǒng)計(jì)量提出以后，必須要知道其分布才能在統(tǒng)計(jì)推斷中使用，因?yàn)橹挥兄懒私y(tǒng)計(jì)量的分布，才能利用概率論對(duì)總體的特征進(jìn)行推

15、斷，并得到相應(yīng)的推斷的置信度。所以在統(tǒng)計(jì)推斷中，一項(xiàng)重要的工作就是尋找統(tǒng)計(jì)量和導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量的分布。我們從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來討論統(tǒng)計(jì)量分布的概念。統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl24 例例6.3 設(shè)有一總體設(shè)有一總體N=3 (2，4，6)。以樣本容量。以樣本容量n=1、n=2、n=4及及n=8，從總體中進(jìn)行復(fù)置抽樣，抽出全部可能的樣本于，從總體中進(jìn)行復(fù)置抽樣，抽出全部可能的樣本于表表6.1。 表表6.1中列出這些不同樣本容量的中列出這些不同樣本容量的 抽樣分布，并在圖抽樣分布，并在圖4.1用方柱形圖表示其分布形狀。用方柱形圖表示其分布形狀。由表中第一列當(dāng)由表中第一列當(dāng)N=3，n=1的總體平均數(shù)和方差為：的總

16、體平均數(shù)和方差為： y 當(dāng)樣本容量依次為當(dāng)樣本容量依次為2、4、8時(shí)，其時(shí)，其 相應(yīng)為相應(yīng)為4、4、4；其其 相應(yīng)為相應(yīng)為4/3、2/3、1/3。即。即 ， 。y2yyny22383)46()44()42()(222122/NyNii43123)642(1/NyNii統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl25n=1 1n=2 2n=4 4n=8 8yffff2 24 46 61 11 11 12 23 34 45 56 61 12 23 32 21 12.02.02.52.53.03.03.53.54.04.04.54.55.05.05.55.56.06.01 14 41010161619191616101

17、04 41 12.002.002.252.252.502.502.752.753.003.003.253.253.503.503.753.754.004.004.254.254.504.504.754.755.005.005.255.255.505.505.755.756.006.001 18 8363611211226626650450478478410161016110711071016101678478450450426626611211236368 81 139816561平均數(shù)4444方 差8/34/32/31/3yy 表表6.1 各種不同樣本容量的樣本平均數(shù)各種不同樣本容量的樣本平

18、均數(shù)( )的抽樣分布的抽樣分布 yy統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl26n=1n=2圖圖6.1 各種不同樣本容量的各種不同樣本容量的 分布方柱形圖分布方柱形圖 y統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl27圖圖6 6.1 各種不同樣本容量的各種不同樣本容量的 分布方柱形圖分布方柱形圖 yn=4n=8統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl28 從這個(gè)例子我們可以了解關(guān)于樣本均值的分布，即所有可能樣本計(jì)算出的均值所服從的分布（直方圖驗(yàn)證了中心極限定理）。但是在實(shí)際工作中，總體的容量遠(yuǎn)不止3，總體的分布也是十分復(fù)雜的，統(tǒng)計(jì)量也各有不同，象這樣一一列舉給出統(tǒng)計(jì)量的分布是行不通的，我們必須借助于總體分布的類型來討論統(tǒng)計(jì)量的分布的情況。后面我

19、們將集中討論正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量分布的問題，通常稱為樣本的精確分布。統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl29統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl30 6.3抽樣分布及抽樣分布定理抽樣分布及抽樣分布定理主要內(nèi)容 2分布 t 分布 F分布 抽樣分布的重要定理抽樣分布的重要定理統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl31 為了討論統(tǒng)計(jì)量的分布，本節(jié)首先介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的三個(gè)著名分布，它們是t分布，2分布和F分布。參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷問題中這三個(gè)分布有廣泛的應(yīng)用。 統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl326.3.16.3.12分布21,nXX2221nXX22( )n分布的定義 為獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)的隨機(jī)變量列，則稱隨機(jī)變量：所服從

20、的分布為自由度是n的 分布，記為2統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl332(n)分布實(shí)質(zhì)上就是參數(shù)為n/2,1/2的分布，即2(n)的密度函數(shù)為/ 211222( /2),0( )0,0nnxnxexf xx統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl342分布隨著自由度增加，分布漸近于正態(tài)。圖圖4-1 2的概率密度曲線的概率密度曲線統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl35（1）期望與方差）期望與方差 若X 2(n)，則E(X)= n，D(X)=2n。2. 2分布的性質(zhì)特征分布的性質(zhì)特征22242241()13 122xiiiDXEXEXx edx )(12niiXD22211()() nniiiiiEEXDXEXn22211( )(

21、)2nniiiiDnDXDXn統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl36（2）分布可加性 若X 2(n1)，Y 2(n2 )， X， Y獨(dú)立，則 X + Y 2(n1+n2 )。統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl37（3）關(guān)于自由度）關(guān)于自由度統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl38統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl39l (4) 為便于今后的應(yīng)用，現(xiàn)在我們引入上側(cè)分位數(shù)的概念. 所謂一個(gè)分布的上側(cè)分位數(shù)就是指這樣一個(gè)數(shù)，它使相應(yīng)分布的隨機(jī)變量不小于該數(shù)的概率為,比如，若記2變量的上側(cè)分位數(shù)為 ，則滿足222()p統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl40通過Excel查分位點(diǎn)，函數(shù)為CHIINV統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl411. t分布構(gòu)造和密度函數(shù)構(gòu)

22、造和密度函數(shù)).n( tn/T t(n)稱為自由度為n的t分布。6.3.2 t 分布t(n)(n) 的概率密度為 t,)nt1()2n(n)21n() t ( f21n2若 N(0, 1), 2(n), 與 獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl42分子是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量分子是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量分母是自由度為分母是自由度為n的卡方隨機(jī)變量的卡方隨機(jī)變量分子分母相互獨(dú)立，且滿足構(gòu)造公式分子分母相互獨(dú)立，且滿足構(gòu)造公式t分布的三個(gè)要點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl43t分布的圖像統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl44 t分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布類似，他們都是對(duì)稱分布。但是t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布也是有區(qū)別的。t分布尾部厚，即服從

23、分布的隨機(jī)變量取到尾部值的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布略大。而對(duì)于接近原點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)，t分布的值比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的值小。因而t分布曲線尾部又厚于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而峰低于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。圖圖4-2t(n)密度函數(shù)曲線密度函數(shù)曲線統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl45 2. 2. t t分布的性質(zhì)特征分布的性質(zhì)特征 (1) f(t)(1) f(t)關(guān)于t=0t=0(縱軸)對(duì)稱。 (2) f(t)(2) f(t)的極限為N(0N(0，1)1)的密度函數(shù)，即 x,e21) t () t ( flim2tn2)(nt (3)(3) t分布的數(shù)學(xué)期望與方差 t分布的數(shù)學(xué)期望與方差分別是( )0E t ( )/(2)2D tn nn

24、，統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl46)() 10(nttP，稱滿足條件：對(duì)于給定的( )tnt的點(diǎn)為 分的上布分位點(diǎn) 。)()(1ntnt：由概率密度的對(duì)稱性知.)(45zntn時(shí)，當(dāng))(nt)(1nt統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl47通過Excel可得分位點(diǎn)，函數(shù)為TINVl 如查 對(duì)話框?qū)?.2，2525, 1 . 0n統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl48統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl496.3.3 F分布 若 1 2(n1)， 2 2(n2)， 1， 2獨(dú)立，則).n,n(Fn/n/F212211 稱為第一自由度為n1 ，第二自由度為n2的F分布,其概率密度為 0y, 00y,)ynn1)(2n()(y)n/n)

25、(2nn()y(h2/ )nn(2122n12n2/n2121211111. F分布構(gòu)造和密度函數(shù)構(gòu)造和密度函數(shù)統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl50分子是自由度為分子是自由度為n1的卡方隨機(jī)變量的卡方隨機(jī)變量分母是自由度為分母是自由度為n2的卡方隨機(jī)變量的卡方隨機(jī)變量分子分母相互獨(dú)立，且滿足構(gòu)造公式分子分母相互獨(dú)立，且滿足構(gòu)造公式F分布的三個(gè)要點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl511234560.20.40.60.81234560.20.40.60.8m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15 m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15,

26、 n = 10F F分布密度函數(shù)圖分布密度函數(shù)圖統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl52 2.F-分布性質(zhì)特征分布性質(zhì)特征（1） F分布的數(shù)學(xué)期望和方差分布的數(shù)學(xué)期望和方差222( )(2)2nE Fnn 2212221222(2)( )(4)(2) (4)n nnD Fnn nn 統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl53（2）自由度 F分布有兩個(gè)自由度，稱為第一自由度和第二自由度，分別對(duì)應(yīng)構(gòu)成F分布的分子和分母的自由度。兩個(gè)自由度的不同組合和形成F分布曲線的不同形態(tài)，這在F分布的圖形中已經(jīng)清楚看到了。F分布的兩個(gè)自由度還有一個(gè)重要性質(zhì)，它們是可以互相轉(zhuǎn)化的。 統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl54（3）F分布的分布的上側(cè)臨界

27、值上側(cè)臨界值是指滿足下式的是指滿足下式的 12( ,)F n n臨界值121212(,)( ( ,)( ,)( )Fn nP F n nF n nf x dx統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl55).,(/1),( F1221nnFFnnF則若),(/1),(12211nnFnnF結(jié)論：),() 10(21nnFFP，稱滿足條件：對(duì)于給定的12( ,)Fn nF的點(diǎn)為 分的上布分位點(diǎn)),(21nnF統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl56 ( ,)( ,)P F n mF n m11( ,)( ,)PF n mF n m1 ( , )( ,)P F m nF n m1 ( , )1( ,)P F m nF n m

28、11( , )( ,)Fm nF n m因?yàn)閯t.11( , )( ,)Fm nF n m統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl57統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl58 例例6-9 設(shè)X1, X2 , X9 相互獨(dú)立，服從正態(tài)分布N(0,16)， Y1, Y2 , Y16相互獨(dú)立，服從正態(tài)分布N(0,9)， X1, X2 , X9 與Y1, Y2 , Y16 相互獨(dú)立，求隨機(jī)變量1292221216XXXZYYY所服從的分布。129(0,9 16)XXXN因1291() (0,1)12XXXN故統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl59從而根據(jù)t分布的構(gòu)造，則12912922221612161112 (16)1316iiXXXXX

29、XztYYYY1(0,1) ,1,2,163iYNi 又216211(16)3iiY故統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl60 例例6-106-10 設(shè)總體X1, X2 , X6服從N(0,1)分布。 試確定常數(shù)c , 使cY 服從2。) 3 , 0 (, ) 3 , 0 (654321NXXXNXXX) 1 , 0 (31,31654321NXXXXXX265423213131XXXXXX故因此1/3.c ) 2 (312Y22123456()()YXXXXXX統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl616.3.4 抽樣分布的重要定理抽樣分布的重要定理 本節(jié)的前面部分，為我們提供了討論統(tǒng)計(jì)量的分布可以利用的結(jié)論，下面開始討論總體服從正態(tài)分布場(chǎng)合的抽樣分布，這是因?yàn)樵趹?yīng)用中許多隨機(jī)變量的概率分布或是正態(tài)分布，或是近似正態(tài)的。 統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5 suyl62 定理定理6.1 抽抽樣分布的重要定理樣分布的重要定理設(shè)X為一個(gè)正態(tài)總體，即其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本為。則有2S與X相互獨(dú)立；設(shè)母體1,nXX; )/,(2nNX(1 1)(2 2)2( ,)XN 則(3) 1()() 1(2222nXXsni統(tǒng)計(jì)學(xué)-ch5