1、42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析41 剛體平面運動的簡化與分解剛體平面運動的簡化與分解43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析44 剛體轉動的合成剛體轉動的合成第第四四章章 剛剛體體的的平平面面運運動動剛體平面運動的分解剛體平面運動的分解 剛體平面運動簡化剛體平面運動簡化 剛體平面運動方程剛體平面運動方程剛體平面運動實例剛體平面運動實例41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動實例剛體平面運動實例41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動實例剛體平面運動實例41 剛體平面運動簡化與分解剛體

2、平面運動簡化與分解剛體平面運動實例剛體平面運動實例41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動實例剛體平面運動實例(1) 剛體平面運動特點剛體平面運動特點 剛體上所有各點均在平行于某剛體上所有各點均在平行于某固定平面的平面內運動。固定平面的平面內運動。41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解 剛體平行剛體平行于某固定平面作平面運動，于某固定平面作平面運動，以平行于該固定平面的另一以平行于該固定平面的另一平面截割這剛體，得一截面平面截割這剛體，得一截面S，稱為平面圖形。，稱為平面圖形。平面圖形平面圖形(2) 剛體平面運動簡化剛體平面運動簡化41 剛體平面運動簡化與分解

3、剛體平面運動簡化與分解 剛體的平面運動，可以簡化為平面圖形在其自身平面剛體的平面運動，可以簡化為平面圖形在其自身平面內的運動來研究。內的運動來研究。平面運動簡化平面運動簡化41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化實例剛體平面運動簡化實例41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解 剛體的平面運動，剛體的平面運動，可以簡化為平面圖形可以簡化為平面圖形在其自身平面內的運在其自身平面內的運動來研究。動來研究。 平面圖形平面圖形 S 的位置可用的位置可用其上任一線段如其上任一線段如AB 來確定，來確定， 而線段而線段AB的位置又可用的位置又可用A 點的坐標點的坐標 xA

4、 、yA和線段和線段AB與與 x 軸的夾角軸的夾角 來確定。來確定。 點點 A 稱為稱為基點基點。41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解)()()(321tftfytfxAA 剛體平面運動方程剛體平面運動方程41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解當平面圖形當平面圖形 S 運動時，坐標運動時，坐標 xA 、yA和夾角和夾角 一般都是隨時間一般都是隨時間 t 而而變化的，分別為時間變化的，分別為時間 t 的單值連的單值連續函數，即續函數，即這就是平面圖形這就是平面圖形S 的的運動方程，也就是運動方程，也就是剛體平面運動的運動方程剛體平面運動的運動方程。 例例4-1 4-1

5、曲柄滑塊機構中曲柄滑塊機構中OA=r , AB=lOA=r , AB=l，曲柄，曲柄OAOA以等角速度以等角速度繞繞O O軸轉動。求軸轉動。求1 1連桿的平面運動方程；連桿的平面運動方程；2 2連桿上連桿上P P點點(AP=l1)(AP=l1)的運動軌跡、速度與加速度。的運動軌跡、速度與加速度。 (xP ,yP)xyOAPBl41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解ttlrrl,sinsinsinsin,解解：由圖中的幾何關系，有由圖中的幾何關系，有(1) 連桿的平面運動方程連桿的平面運動方程(xP ,yP)xyOAPBl41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解)sin(a

6、rcsinsin,costlrtrytrxAA,tlllrytlrltrxPPsin)-(,)sin(1cos121連桿的平面運動方程為連桿的平面運動方程為(2) 連桿上連桿上P點的運動方程點的運動方程(xP ,yP)xyOAPBl41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解 tlrtlr222sin)(211)sin(12cos21sin2tt,tlllrytlrltrxPPsin)-(,)sin(1cos121應用泰勒公式，忽略應用泰勒公式，忽略4次方以上的項，有次方以上的項，有tlrtlrlrlxPcos2)(41cos)(4112121,tlllryPsin)-(141 剛體平面

7、運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解所以得連桿的平面運動方程為所以得連桿的平面運動方程為41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解)sin221(sin21tlrltrxvPPx,tlllryvPPycos)-(1 )cos2(cos212tlrltrxaPPx ,tlllryaPPysin)-(12 (3) 連桿上連桿上P點的速度與加速度點的速度與加速度41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解tlrtlrlrlxPcos2)(41cos)(4112121,tlllryPsin)-(1連桿的平面運動方程為連桿的平面運動方程為41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解3

8、 . .剛體平面運動的分解剛體平面運動的分解故由此可知故由此可知剛體的平面運動可以看成是平移和轉動的合成運剛體的平面運動可以看成是平移和轉動的合成運動。動。 剛 體 的 平剛 體 的 平面運動可分解為面運動可分解為隨同基點的平移隨同基點的平移和相對基點的轉和相對基點的轉動。動。41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解 剛體的平面運動可分解為隨同基點的平移和相剛體的平面運動可分解為隨同基點的平移和相對基點的轉動。對基點的轉動。41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動的分解演示剛體平面運動的分解演示41 剛體平面運動

9、簡化與分解剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動的分解演示剛體平面運動的分解演示41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動的分解演示剛體平面運動的分解演示41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動的分解演示剛體平面運動的分解演示41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解特別強調特別強調1. 剛體的平面運動分解成隨基點的平移和相對于基點的轉剛體的平面運動分解成隨基點的平移和相對于基點的轉 動時，基點的選擇是任意的。動時，基點的選擇是任意的。l平移的軌跡、各點的速度和平移的軌跡、各點的速度和 加速度都與基點的位置有關。加速度都與基點的位置有關。l轉動的角

10、速度和角加速度轉動的角速度和角加速度都與都與 基點的位置無關。基點的位置無關。注意上面二條的含義是指注意上面二條的含義是指41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解1、以為以為 A 基點分解基點分解 2、以、以B為基點分解為基點分解1. 證明平移局部與基點的選證明平移局部與基點的選 擇有關。擇有關。41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解2. 證明轉動局部與基點的選擇無關證明轉動局部與基點的選擇無關12,dddd12tt常量而而故求導可得故求導可得212222ddddtt41 剛體平面運動簡化與分解剛體平面運動簡化與分解ttdddd12 由上式由上式212222ddddtt

11、由此可見，平面圖形也即平面運動剛體在相對轉動中的角速度由此可見，平面圖形也即平面運動剛體在相對轉動中的角速度和角加速度對不同基點是相同的，從而證得轉動局部與基點的選擇無關。和角加速度對不同基點是相同的，從而證得轉動局部與基點的選擇無關。 因為平移系因為平移系(動系動系)相對定相對定參考系沒有方位的變化，平面參考系沒有方位的變化，平面圖形的角速度和角加速度既是圖形的角速度和角加速度既是平面圖形相對于平移系的平面圖形相對于平移系的相對相對角速度角速度和和角加速度角加速度，也是平面，也是平面圖形相對于定參考系的圖形相對于定參考系的絕對角絕對角速度速度和和角加速度角加速度。41 剛體平面運動簡化與分解

12、剛體平面運動簡化與分解,dddd12tt212222ddddtt 基基 點點 法法速度投影法速度投影法速度瞬心法速度瞬心法yxOS42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析yxvBAvAvABA 未知。未知。繞基點繞基點 A的圓周運動。的圓周運動。vr= vBA= AB 隨基點隨基點A的平動，的平動， ve = vA 。B點點 。固連于地球。固連于地球。以以A點為原點的平移系點為原點的平移系 Axy。vA42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析定系定系Oxy基點基點A平移系平移系Axy平面圖形平面圖形S平面圖形的角速度平面圖形的角速度 基點速度基點速度 vA速度合成定理速度合成定理 va=

13、ve+ vryxOSyxvBAvAvABA點點B繞點繞點A轉動的速度轉動的速度 vBAyxOSyxvBAvAvABA42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析vBva= vB， ve= vA， vr= vABreavvv根據速度合成定理根據速度合成定理注意到注意到那么有那么有應用速度合成定理應用速度合成定理上式等號兩側上式等號兩側 分別向分別向AB連線上連線上投影投影，因為因為vBA垂直于垂直于AB，所以所以vBA在在AB上投影等于零。上投影等于零。 cos cosBAvv那么那么有有SBvAvAvBAvB42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析 例例4-2 4-2 曲柄滑塊機構中，曲曲柄滑

14、塊機構中，曲柄柄OAOAr r，以勻角速度，以勻角速度 00繞繞O O 軸軸轉動，連桿轉動，連桿ABABl l。在圖示情形下。在圖示情形下連桿與曲柄垂直。求該瞬時連桿與曲柄垂直。求該瞬時(1) (1) 滑塊的速度滑塊的速度vBvB；(2) (2) 連桿連桿ABAB的角的角速度速度AB AB 。BA0O042 平面運動的速度分析平面運動的速度分析BA0O0畫出速度合成矢量圖畫出速度合成矢量圖。vAvABvBvA解：解：42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析連桿連桿AB作平面運動。作平面運動。A 點速度點速度 vA ， vA=r 0以以A為基點。應用速度合成定理為基點。應用速度合成定理運運 動

15、動 演演 示示42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析(1)求該瞬時求該瞬時滑塊的速度滑塊的速度vB由速度合成矢量圖可得滑塊由速度合成矢量圖可得滑塊的速度：的速度：000coscosrvvABBA0O0vAvABvBvA042 平面運動的速度分析平面運動的速度分析方向鉛直向上。方向鉛直向上。000tantanlrlvAlvABAB(2) 求該瞬時求該瞬時連桿連桿AB的角速度的角速度AB 42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析BA0O0vAvABvBvA0順時針轉向順時針轉向解：解：應用速度投影定理應用速度投影定理 cos cosBAvvvA=r 0 ， 0， 0 cos 0BAvv co

16、s 00rvBBA0O00vBvA42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析 v v ABBABA有有因為因為從而有從而有應用速度投影定理無法求得連桿應用速度投影定理無法求得連桿AB的角速度。的角速度。 例例4-3 4-3 如圖輪心以如圖輪心以vOvO勻速直線運動，且純滾動。勻速直線運動，且純滾動。桿的桿的DEDE長為長為2R2R。試求在這瞬時桿。試求在這瞬時桿DEDE的角速度。的角速度。42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析ABCDEO30 xDvOOER602R解：先求先求B點的速度。點的速度。OBvvvvBOO222OOOBOvRvRRv以以O點為基點分析點為基點分析B 點的速度，有

17、點的速度，有BOOBvvv42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析ABCDEO30 xDvOOERvBOvO45vB2R 考慮車輪在任意瞬時位置，因車輪滾動而不滑考慮車輪在任意瞬時位置，因車輪滾動而不滑動，故有動，故有RvRxtOOdd,RxORCMCOxO1O1COMxyrxO另外，又以另外，又以B作為基點分析作為基點分析D 點的速度，有點的速度，有DBBDvvv也可以用投影法，有也可以用投影法，有15sin60sinBDvv42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析ABCDEO30 xDvOOER45vBOvOvBvDBvB4560vD152R)4560sin()60180sin(DBv

18、v60sin15sinBDvv75cos30cosBDvvRvDDE2 例例4-4 4-4 如圖平面鉸鏈機構。如圖平面鉸鏈機構。已知桿已知桿O1A的角速度是的角速度是1 ，桿，桿O2B的角速度是的角速度是2，轉向如圖，轉向如圖，且在圖示瞬時，桿且在圖示瞬時，桿O1A鉛直，鉛直，桿桿AC 和和O2B水平，而桿水平，而桿BC對鉛對鉛直線的偏角直線的偏角30；又；又O2B=b，O1A= b。試求在這瞬時。試求在這瞬時C 點點的速度。的速度。3O1AO2BC1230 xy42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析運運 動動 演演 示示42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析O1AO2BC1230 x

19、y先求出先求出A點和點和B點的速度。有點的速度。有bAOvA1113bBOvB222vA 和和 vB 的方向如圖。的方向如圖。以以A點為基點分析點為基點分析C 點的速度，有點的速度，有CAACvvv另外，又以另外，又以B作為基點分析作為基點分析C 點的速度，有點的速度，有CBBCvvv比較以上兩式，有比較以上兩式，有CBBCAAvvvv1242 平面運動的速度分析平面運動的速度分析連桿連桿AC 和和BC 均作平面運動。均作平面運動。解：沿沿x 軸投影上式，軸投影上式， 得得30 cosCBAvvbvvvvCBCBxBxCx1330cos0bvvvvvCBBCByByCy2130sinCBBCA

20、AvvvvbvvACB1230 cos方向如圖方向如圖把把 式分別投影到式分別投影到x，y 軸上，有軸上，有 CBBCvvvO1AO2BC1230 xy42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析由此求得由此求得于是得于是得2221212212122243bbvvvCyCxC1213,tanCxCyCvvxvO1AO2BC1230 xybvvvvCBCBxBxCx1330cos0bvvvvvCBBCByByCy2130sin42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析 例例4-54-5 圖示一連桿機構，曲圖示一連桿機構，曲柄柄AB和圓盤和圓盤CD分別繞固定軸分別繞固定軸A和和D轉動。轉動。BCE為

21、三角形構件，為三角形構件，B，C為銷釘連接。設圓盤以勻為銷釘連接。設圓盤以勻速速n0=40 rmin1順時針轉向轉順時針轉向轉動，尺寸如圖。試求圖示位置動，尺寸如圖。試求圖示位置時曲柄時曲柄AB的角速度的角速度AB和構件和構件BCE上點上點E的速度的速度vE。 ADCBE012050100506042 平面運動的速度分析平面運動的速度分析運運 動動 演演 示示42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析ADCBE0120501005060ABCBvvcos根據數據，得到：根據數據，得到： 100srad 19. 4602n6.22 ,131250120120cos22故故 smm 272cos1

22、0CDvB曲柄曲柄AB的角速度的角速度 1srad 09.2ABvBAB解： C點速度已知，點速度已知， ，B點速點速度垂直于曲柄度垂直于曲柄AB。根據速度投影定理。根據速度投影定理得得0 CDvC1求曲柄求曲柄AB的角速度的角速度AB 。42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析構件構件BCE 作平面運動作平面運動 。順時針順時針ADCBE120501005060 由于構件由于構件BCE上上C點的速度點的速度vC垂直垂直于于CE，根據速度投影定理可知根據速度投影定理可知E點的點的速度速度vE也應垂直于也應垂直于CE。應用速度投影應用速度投影定理，定理， vB與與vE在在BE連線上的投影相等，

23、連線上的投影相等，即即 cos)cos(EBvv式中式中 6 .26arctanBCCE所以所以E點的速度點的速度1smm 199cos)cos(BEvv2求求E點的速度。點的速度。42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析水平向右水平向右 例例4-6 4-6 如下圖，半徑為如下圖，半徑為R R的車輪，沿直線軌道作無滑的車輪，沿直線軌道作無滑動的滾動，輪心動的滾動，輪心O O以勻速以勻速vOvO前進。求輪緣上前進。求輪緣上A A，B B，C C和和D D各各點的速度。點的速度。 CABD42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析應用速度合成定理，輪緣上應用速度合成定理，輪緣上C點的速度可點的速

24、度可表示為表示為 CABD解：解：COOCvvv因為輪心因為輪心O的速度，應選的速度，應選O點為基點。點為基點。其中其中 vCO 的方向，其大小的方向，其大小vCO =R 。RvO由于車輪只滾不滑，因此車輪的角速度為由于車輪只滾不滑，因此車輪的角速度為順時針，順時針，42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析車輪作平面運動。用基點法分析求解。車輪作平面運動。用基點法分析求解。0OOOCOOxCvvRvvvv, 0yCv0CvCABDO以以O點為基點點為基點 ，各點的速度求得如下：，各點的速度求得如下： OAvv2A點：點：BOOBvvvOBvv2B點點：ODvv2D點：點：42 平面運動的速度

25、分析平面運動的速度分析AOOAvvvvAO =R = vO,vvvAOOAvBO =R = vO ,DOODvvvvDO =R = vO ,CABDO以以C點為基點，各點的速度求得如下：點為基點，各點的速度求得如下： A點：點：CBCBvvvOBvRv22B點點：D點：點：42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析CACAvvvvA= vAC =2R = 2vO,vC0CDCDvvvODvRv22 討論思考以思考以C點為基點，求點為基點，求A、B、D各點速度時的特點各點速度時的特點? 42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析S設平面圖形設平面圖形S上某點上某點A的速度的速度vA ，平面，平面

26、圖形的角速度圖形的角速度 。1瞬心的定義瞬心的定義 某瞬時平面運動剛體上速度為零的點稱為某瞬時平面運動剛體上速度為零的點稱為瞬時速瞬時速 度中心，度中心，簡稱為簡稱為速度瞬心。速度瞬心。2瞬心的存在瞬心的存在APvA速度為零的點可能在哪出現？速度為零的點可能在哪出現？答：答：速度為零的點可能出現在速度為零的點可能出現在 vA的垂直線的垂直線 AP上。上。ASvAPvAvACvCv42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析 過過A點作點作vA的垂直線的垂直線PA，PA上各點的速度由兩局部組成：上各點的速度由兩局部組成：跟隨基點平移的速度跟隨基點平移的速度vA 牽連速度，各點相同；牽連速度，各點相

27、同； 相對于基點轉動的速度相對于基點轉動的速度vPA相對速度相對速度 ，自，自A點起線性分布。點起線性分布。（2）瞬心瞬心的存在的存在速度為零的點可能出現在速度為零的點可能出現在 vA 的垂直線的垂直線AP上。上。 因為因為PA線上各點相對于基點轉動的速度與線上各點相對于基點轉動的速度與A點的速度方向相反，其大小正比于該點到點的速度方向相反，其大小正比于該點到A點的距離，故必有一點點的距離，故必有一點Cv 的速度滿足的速度滿足0ACvvvvvAACACvv由此求得由此求得AvvAC速度為零的點速度為零的點Cv即為該瞬時平面圖形的速度瞬心。即為該瞬時平面圖形的速度瞬心。ASvAPvAvACvCv

28、42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析2瞬心的存在瞬心的存在AvvAC3速度瞬心法速度瞬心法SCvvAACvCvBB42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析 求出速度瞬心求出速度瞬心Cv 的位置和平面圖形的角速的位置和平面圖形的角速度度 ，就可求得平面運動剛體上所有點的就可求得平面運動剛體上所有點的速速度，這種方法稱為速度瞬心法。度，這種方法稱為速度瞬心法。 假設在某瞬時以速度瞬心Cv為基點，那么平面圖形上任一點M的速度大小vMCMMCvvv其方向其方向MCv，指向與，指向與轉向一致。轉向一致。 平面圖形平面圖形上各點的上各點的速度分布，與圖形在該速度分布，與圖形在該瞬時以角速度瞬時以角

29、速度 繞繞速度瞬心速度瞬心Cv 作定軸轉動時一作定軸轉動時一樣。樣。 根據速度合成定理，平面圖形上根據速度合成定理，平面圖形上任意點任意點(例如例如B點點)為為vB= vA+ vBA其中其中 vA vCv0， vBA vBCvvB vBCv BCv42平面運動的速度分析平面運動的速度分析vBSCvvABACvC 圖形內各點的速度的大小與該點圖形內各點的速度的大小與該點到速度瞬心的距離成正比，其方向垂到速度瞬心的距離成正比，其方向垂直于該點與速度瞬心的連線，指向轉直于該點與速度瞬心的連線，指向轉動前進的一方。動前進的一方。第一種情形第一種情形4 速度瞬心位置確實定速度瞬心位置確實定42 平面運動

30、的速度分析平面運動的速度分析 某瞬時平面圖形上某瞬時平面圖形上A，B兩點的速度方位，那么這兩點速兩點的速度方位，那么這兩點速度的垂線的交點就是速度瞬心。度的垂線的交點就是速度瞬心。第二種情形第二種情形42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析 平面圖形上兩點的速度矢量的大小與方向，而且二矢量平面圖形上兩點的速度矢量的大小與方向，而且二矢量互相平行、方向相同，但二者都不垂直于兩點的連線。那么速互相平行、方向相同，但二者都不垂直于兩點的連線。那么速度瞬心在無窮遠處。度瞬心在無窮遠處。 此時平面運動剛體的角速度此時平面運動剛體的角速度0Av 該瞬時各點速度均平行，且大小相該瞬時各點速度均平行，且大小

31、相等，其分布與平移時速度一樣，這種情等，其分布與平移時速度一樣，這種情形稱為形稱為瞬時移動瞬時移動。第二種情形第二種情形42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析 平面圖形上兩點的速度矢量的大小與方向，而且二矢平面圖形上兩點的速度矢量的大小與方向，而且二矢量互相平行、方向相同、大小相等，都垂直于兩點的連線，量互相平行、方向相同、大小相等，都垂直于兩點的連線，那么速度瞬心仍在無窮遠處。那么速度瞬心仍在無窮遠處。 此時平面運動剛體的角速度此時平面運動剛體的角速度0Av 該瞬時平面運動剛體仍處于該瞬時平面運動剛體仍處于瞬時平移狀態瞬時平移狀態。第三種情形第三種情形42 平面運動的速度分析平面運動的速

32、度分析 平面圖形上兩點的速度矢量的大小與方向，而且二矢量平面圖形上兩點的速度矢量的大小與方向，而且二矢量互相平行，并且都垂直于兩點的連線。那么速度瞬心在兩點速互相平行，并且都垂直于兩點的連線。那么速度瞬心在兩點速度矢端連線與度矢端連線與AB延長線的交點處。延長線的交點處。第四種情形第四種情形42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析當平面運動剛體在一固定平面上作純滾動時，其接觸點即為速度當平面運動剛體在一固定平面上作純滾動時，其接觸點即為速度瞬心。瞬心。 瞬時性：瞬時性：不同的瞬時，有不同的速度瞬心；因此瞬心具有不同的瞬時，有不同的速度瞬心；因此瞬心具有 加速度。加速度。5速度瞬心的特點速度瞬

33、心的特點42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析 唯一性唯一性：某一瞬時只有一個速度瞬心；某一瞬時只有一個速度瞬心； 瞬時轉動特性：瞬時轉動特性：平面圖形在某一瞬時的運動都可以視為繞平面圖形在某一瞬時的運動都可以視為繞這一瞬時的速度瞬心作瞬時轉動。這一瞬時的速度瞬心作瞬時轉動。注意瞬時平移與平移的區別：注意瞬時平移與平移的區別：瞬時平移各點的速度相同，瞬時平移各點的速度相同， 但是加速度不同。但是加速度不同。42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析找出以下平面運動剛體的速度瞬心。找出以下平面運動剛體的速度瞬心。BAO2 2BAO1O21 1 練習題42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析

34、BAOvA4 4BAOvO3 342 平面運動的速度分析平面運動的速度分析找出以下平面運動剛體的速度瞬心。找出以下平面運動剛體的速度瞬心。 練習題四連桿機構中，四連桿機構中， 。DBADlABlBO ,23 ,1OA以角速度0繞O軸轉動。求1B和D點的速度；2AB桿的角速度。45o90o90o0O1OBAD42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析例例4-7 4-7 作作vA和和vB的垂線，相交于的垂線，相交于Cv，此，此即即桿桿AB的的速度瞬心。速度瞬心。45o90o90oO1OBADCv 解：解：機構中桿機構中桿AB作平面運動，桿作平面運動，桿OA和和O1B都作定軸轉動。都作定軸轉動。圖中

35、的幾何關系：圖中的幾何關系：lDClACvv453 , 223lBCABlOAv23 , 242 平面運動的速度分析平面運動的速度分析 A，B二點的速度二點的速度vA和和vB的方向的方向都可以確定。都可以確定。002lOAvA00322232llACvvAAB003223 llACvBCvvAABvB1求求B和和D點的速度。點的速度。42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析lDClACvv453 , 223lBCABlOAv23 , 2因為因為A點的速度點的速度所以，連桿所以，連桿AB 的角速度的角速度順時針轉向順時針轉向B點的速度點的速度45o90o90oO1OBADCv0025 3225

36、3llDCvABvD45o90o90oO1OBADCv42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析00322232llACvvAAB連桿連桿AB 的角速度的角速度D點的速度點的速度lDClACvv453 , 223lBCABlOAv23 , 2 例例4-4 4-4 如下圖，半徑為如下圖，半徑為R R的車輪，沿直線軌道作無滑的車輪，沿直線軌道作無滑動的滾動，輪心動的滾動，輪心O O以勻速以勻速vOvO前進。求輪緣上前進。求輪緣上A A，B B，C C和和D D各各點的速度。用瞬心法求解點的速度。用瞬心法求解 CABD42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析CABDOxy利用速度利用速度vO，可求

37、得車輪的角速度為，可求得車輪的角速度為此此與以與以O點為基點求出的角速度點為基點求出的角速度完全相完全相同，說明圖形的角速度與基點選擇無關。同，說明圖形的角速度與基點選擇無關。 車輪上點車輪上點B的速度垂直于連線的速度垂直于連線CB，大小為大小為OBvRBCv22同理，可求得輪緣上其它各點的速度，結果與前面基點法所求結果相同。同理，可求得輪緣上其它各點的速度，結果與前面基點法所求結果相同。 解:RvOCvOO（順時針）（順時針）42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析車輪作平面運動。用瞬心法分析求解。車輪作平面運動。用瞬心法分析求解。因為車輪滾而不滑，所以其速度瞬心在與地面相接觸的因為車輪滾

38、而不滑，所以其速度瞬心在與地面相接觸的C點處。點處。 例例4-9 4-9 如下圖，節圓半徑為如下圖，節圓半徑為r r的行星齒輪的行星齒輪IIII由曲柄由曲柄OAOA帶動在節圓半徑帶動在節圓半徑為為R R 的固定齒輪的固定齒輪 I I 上作無滑動的滾動。曲柄上作無滑動的滾動。曲柄OAOA以勻角速度以勻角速度O O 轉動。求轉動。求在圖示位置時，齒輪在圖示位置時，齒輪IIII節圓上節圓上M1M1，M2M2，M3M3和和M4M4各點的速度。圖中線段各點的速度。圖中線段M3M4M3M4垂直于線段垂直于線段M1M2M1M2。 OAM2M4M1M3CRr42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析OAM2M

39、4M1M3CRr 行星齒輪行星齒輪 II 作平面運動。因為行星輪作平面運動。因為行星輪 II滾而不滑滾而不滑，所以其速度瞬心在二輪接觸點所以其速度瞬心在二輪接觸點C處，利用瞬心法進行求解。為此先求輪處，利用瞬心法進行求解。為此先求輪 II 的的角速度。角速度。解：OOArROAv)(所以輪所以輪 II 上上 M1，M2 ，M3 和和 M4 各點的速度分別為：各點的速度分別為： , 01cvvOrRCMv)(222, )(2343OrRCMvv各點的速度方向如下圖。各點的速度方向如下圖。 因為因為A點的速度點的速度因此輪因此輪 II 的角速度的角速度OrrR（逆時針）（逆時針）rAC42 平面運

40、動的速度分析平面運動的速度分析 例例4-10 4-10 在雙滑塊搖桿機構中，滑塊在雙滑塊搖桿機構中，滑塊A A和和B B可沿水平導槽滑可沿水平導槽滑動，搖桿動，搖桿OCOC可繞定軸可繞定軸O O轉動，連桿轉動，連桿CACA和和CBCB可在圖示平面內運動，可在圖示平面內運動，且且CB=lCB=l。當機構處于圖所示位置時，滑塊。當機構處于圖所示位置時，滑塊A A的速度的速度vAvA，試求該，試求該瞬時滑塊瞬時滑塊B B的速度的速度vBvB以及連桿以及連桿CBCB的角速度的角速度CBCB。試用速度瞬心。試用速度瞬心法求解。法求解。 606030OABC42 平面運動的速度分析平面運動的速度分析606

41、030OABCACvv解：由圖可知，由圖可知，P1A=P1C，所以，所以P1P242 平面運動的速度分析平面運動的速度分析連桿連桿AC 和和BC 均作平面運動。均作平面運動。對于連桿對于連桿AC：其速度瞬心在點其速度瞬心在點A和和C速度速度vA和和vC垂線的交點垂線的交點P1。對于連桿對于連桿BC：其速度瞬心在點其速度瞬心在點B和和C速度速度vB 和和vC垂線的交點垂線的交點P2。因為因為 lCBCP3330 tan2故得連桿故得連桿CB角速度角速度ACCBvlCPv32于是滑塊于是滑塊B 速度的大小為速度的大小為 AACBBvvllBPv23322水平向右水平向右 逆時針逆時針加速度合成定理

42、加速度合成定理43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析 設在平面運動剛體上取點設在平面運動剛體上取點A為基點，其速度為為基點，其速度為 aA ，平面圖形，平面圖形S也即平也即平面運動剛體的角速度為面運動剛體的角速度為，角加速度為，角加速度為 。分析圖形上任一點。分析圖形上任一點B 的加速度。的加速度。將將B點的運動視為復合運動。點的運動視為復合運動。動系動系以以A點為原點的平移系點為原點的平移系 。 絕對運動絕對運動未知。未知。 相對運動相對運動繞基點繞基點 A的圓周運動。的圓周運動。 牽連運動牽連運動隨基點隨基點A的平移。的平移。 ae = aA動點動點B點點 。定系定系固連于地球。固

43、連于地球。ABaaBAttr相對切向加速度相對切向加速度 2nnrABaaBA相對法向加速度相對法向加速度 SBAa tBAa nBA43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析將將B點的運動視為復合運動。點的運動視為復合運動。動系動系以以A點為原點的平移系點為原點的平移系 。 絕對運動絕對運動未知。未知。 相對運動相對運動繞基點繞基點 A的圓周運動。的圓周運動。 牽連運動牽連運動隨基點隨基點A的平移。的平移。 ae = aA動點動點B點點 。定系定系固連于地球。固連于地球。ABaaBAttr相對切向加速度相對切向加速度 2nnrABaaBA相對法向加速度相對法向加速度 SBAa tBAa

44、nBA由點的加速度合成定理由點的加速度合成定理有有ntBABAABaaaa此即用基點法求點的加速度的根本公式。此即用基點法求點的加速度的根本公式。nrtreaaaaareaaaaaBntBABAABAAaaaaaSA 點的絕對點的絕對 運動軌跡運動軌跡B 點的絕對點的絕對 運動軌跡運動軌跡BAyxaAaBBAaAaABAatBAanBAaBA43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析aBAaABAatBAanBAaBntBABAABAABaaaaaa43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析此即用基點法求點的加速度的根本公式。此即用基點法求點的加速度的根本公式。有結論：有結論： 例例4

45、-11 4-11 曲柄滑塊機構，曲柄滑塊機構，OAr，ABl，曲柄以勻角速度，曲柄以勻角速度0繞繞O軸轉動。求：圖示瞬時，滑塊軸轉動。求：圖示瞬時，滑塊B的加速度的加速度aB和連桿和連桿AB的的角加速度角加速度 AB 。90o30oOBA43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析90o30oOBA3tan3000lrlvABAB解：43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析 應用速度分析的多種方法可求得連桿應用速度分析的多種方法可求得連桿AB 的角速度的角速度AB ，此處視為。此處視為。連桿連桿AB作平面運動。作平面運動。1. 速度分析速度分析90o30oOBA2 加速度分析加速度分析

46、A點的加速度點的加速度:20raA43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析選點選點A為基點，那么滑塊為基點，那么滑塊B的加速度的加速度其中，其中，, 2nRaaAA, tABBAABa連桿的角加速度連桿的角加速度 AB 尚屬未知。暫時尚屬未知。暫時假定假定 AB 沿逆鐘向，故沿逆鐘向，故 如圖所示。如圖所示。tBAantBABAABaaaa2nABBAABa各加速度如下圖。各加速度如下圖。 滑塊滑塊B 的加速度的加速度aB的方向的方向為水平并假定向左，大小待求。為水平并假定向左，大小待求。90o30oOBA30AB43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析2. 加速度分析加速度分析n

47、tBABAABaaaa其中，其中，, 2nRaaAA, tABBAABa2nABBAABa分別沿分別沿BA和和AB的方向投影上式，得的方向投影上式，得, 30cosnBABaat30sinBAABaaa由此求得滑塊由此求得滑塊B的加速度的加速度連桿連桿AB的角加速度的角加速度20273230coslaanABB20t)27333(laBAAB202738逆時針逆時針 例例4-12 4-12 如下圖，在外嚙合行星齒輪機構中，系桿如下圖，在外嚙合行星齒輪機構中，系桿O1O = lO1O = l，以勻角速度以勻角速度11繞繞O1O1軸轉動。大齒輪軸轉動。大齒輪固定，行星輪固定，行星輪半徑為半徑為r

48、r，在輪在輪上只滾不滑。設上只滾不滑。設A A和和B B是輪緣上的兩點，是輪緣上的兩點，A A點在點在O1OO1O的延長的延長線上，而線上，而B B點那么在垂直于點那么在垂直于O1OO1O的半徑上。試求點的半徑上。試求點A A和和B B 的加速度。的加速度。 43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析O1OABCO1OABC 輪輪作平面運動，其中心作平面運動，其中心O的速度和加速度分別為：的速度和加速度分別為：, 1lvO21laO1rlrvO輪輪的速度瞬心在的速度瞬心在C點，那么輪點，那么輪的角速度的角速度 因為因為1和和都為常量，所以輪都為常量，所以輪的角的角加速度為零，那么有加速度為

49、零，那么有解：043 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析順時針順時針各加速度的大小為各加速度的大小為, 2122nrlraAOO1OABCnAOa)1(2121221nrllrllaaaAOOA所以由圖可知所以由圖可知A點的加速度的方向沿點的加速度的方向沿AO，它的，它的大小為大小為0tAOa43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析(1) 求求A點的加速度。點的加速度。選選O為基點，應用加速度合成定理為基點，應用加速度合成定理ntAOAOOAaaaa, 21laO輪輪的角速度的角速度1rlrvO角加速度角加速度方向如圖。方向如圖。0O1OABCntBOBOOBaaaa2212n21

50、rllaaaBOOB所以所以B點的加速度大小為點的加速度大小為它與半徑它與半徑OB間的夾角為間的夾角為lrrllaaBOOarctanarctanarctan21221n(2) 求求B點的加速度。點的加速度。nBOaBa選選O為基點，應用加速度合成定理為基點，應用加速度合成定理,2122nrlraBO,21laO0tBOa其中其中43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析方向如圖。方向如圖。 例例4-13 4-13 如圖所示，在橢圓規的機構中，曲柄如圖所示，在橢圓規的機構中，曲柄OD以勻以勻角速度角速度繞繞O軸轉動，軸轉動，OD=AD=BD=l，求當求當 時，規時，規尺尺AB的角加速度和的

51、角加速度和A點的加速度。點的加速度。 60yOBAxD43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析運運 動動 演演 示示43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析yOBAxD 曲柄曲柄OD 繞繞O軸轉動，規尺軸轉動，規尺AB作平面運動。作平面運動。AB上的上的 D點加速度點加速度 ，laD2ntADADDAaaaa設規尺設規尺 AB 的角速度為的角速度為AB ，可由基點法或瞬心法求得，可由基點法或瞬心法求得AB解：其中其中 的大小的大小 ， 方向沿方向沿AB 。 atAD 大小未知，垂直于大小未知，垂直于AD，其方向暫設，其方向暫設如圖。因為如圖。因為A點作直線運動，可設點作直線運動，可

52、設aA的方向如的方向如圖所示。圖所示。ADaABAD2nnADa取取AB上的上的D點為基點，點為基點，A點的加速度點的加速度nADatADalADaABAD22n則則43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析yOBAxDnADatADa將上式在將上式在y 軸上投影，得軸上投影，得由上式解得由上式解得yxn)2cos(cosADDAaaasincos sin0ntADADDaaalllaaaADDA222n60cos60cos cos)2cos(0cossin)(cossinsin22ntllaaaADDAD0tADaADAB規尺規尺 AB角加速度角加速度ntADADDAaaaa由于由于aA

53、為負值，故為負值，故aA的實際方向與原假設的方向相反的實際方向與原假設的方向相反。對式對式43 平面運動的加速度分析平面運動的加速度分析將上式在將上式在x軸上投影，得軸上投影，得剛體繞兩個平行軸轉動的分解剛體繞兩個平行軸轉動的分解同向轉動的合成同向轉動的合成反向轉動的合成反向轉動的合成 44 剛體繞平行軸轉動的合成剛體繞平行軸轉動的合成 平面運動除了可以分解為平移與轉動外，在某些情況下也可看作是繞平面運動除了可以分解為平移與轉動外，在某些情況下也可看作是繞兩個平行軸轉動的復合運動。兩個平行軸轉動的復合運動。 以右圖行星輪系作為引例說明，不難看出在運動過以右圖行星輪系作為引例說明，不難看出在運動

54、過程中，圖中齒輪程中，圖中齒輪上的點上的點A A作圓周運動，此時如將動系作圓周運動，此時如將動系OxyOxy固連于曲柄固連于曲柄OAOA，那么齒輪的平面運動可以分解為，那么齒輪的平面運動可以分解為繞兩個平行軸的轉動：繞兩個平行軸的轉動：0OxAyCxy 當平面運動剛體內有一個點作圓周運動時，當平面運動剛體內有一個點作圓周運動時，那么該平面運動可以分解為繞平行軸的兩個轉動。那么該平面運動可以分解為繞平行軸的兩個轉動。 反之，繞某軸轉動的剛體，假設轉軸本身同時又反之，繞某軸轉動的剛體，假設轉軸本身同時又繞另一與之平行的軸轉動，那么這剛體的合成運動就是繞另一與之平行的軸轉動，那么這剛體的合成運動就是

55、具有上述特征的平面運動。具有上述特征的平面運動。 (1) 齒輪齒輪隨同曲柄隨同曲柄OA一起繞垂直于輪面的固定一起繞垂直于輪面的固定軸軸O的轉動，這是的轉動，這是牽連運動牽連運動； 2 2齒輪齒輪相對于曲柄繞自身中心軸相對于曲柄繞自身中心軸A A的轉動，的轉動，那么是相對運動。那么是相對運動。44 剛體繞平行軸轉動的合成剛體繞平行軸轉動的合成 有結論：有結論： 假定相對轉動和牽連轉動的轉軸位置及其角速度的大小和方向，求剛體合成運假定相對轉動和牽連轉動的轉軸位置及其角速度的大小和方向，求剛體合成運動絕對運動的轉軸位置及其角速度的大小和方向。動絕對運動的轉軸位置及其角速度的大小和方向。 用用r r

56、，ee和和aa分別代表剛體的相對、牽連和絕對角速度矢量，其中分別代表剛體的相對、牽連和絕對角速度矢量，其中rr和和ee沿的平行軸畫出。又用沿的平行軸畫出。又用rr、ee和和aa代表這些矢量的模。代表這些矢量的模。這時矢量這時矢量r和和e的指向相同。圖形的指向相同。圖形S的牽連運動的牽連運動是繞定軸是繞定軸O的轉動，相對運動是繞動軸的轉動，相對運動是繞動軸O的轉動，假的轉動，假定兩個轉動都是逆鐘向的。定兩個轉動都是逆鐘向的。revvvM, ee OMv圖形內任一點圖形內任一點M的絕對速度的絕對速度其中其中SOxOerMvMvevrrrMOv44 剛體繞平行軸轉動的合成剛體繞平行軸轉動的合成2.2

57、.剛體繞平行軸轉動的合成re OPOP 在連線在連線OO上的各點，其上的各點，其ve與與vr的方向相反。如果選取此線段上的一點的方向相反。如果選取此線段上的一點P，使，使vPe和和vPr的大小相等，的大小相等，erOPOP或或那么點那么點P P的絕對速度等于零。可見點的絕對速度等于零。可見點P P是圖形是圖形S S在該在該瞬時的速度瞬心。通過瞬心瞬時的速度瞬心。通過瞬心P P且平行于軸且平行于軸O O和軸和軸OO的軸稱為圖形的軸稱為圖形S S的瞬軸，即為剛體合成運動的轉軸。的瞬軸，即為剛體合成運動的轉軸。動系連桿動系連桿OO上的點上的點O 具有速度具有速度e OOvo因此因此 a OPvoee

58、eeaOPOPOPOPOPOPOOSOxOervPrPvPevO即即44 剛體繞平行軸轉動的合成剛體繞平行軸轉動的合成 剛體合成運動的轉軸位置剛體合成運動的轉軸位置 剛體絕對運動的角速度剛體絕對運動的角速度點點O又可看成是剛體即圖形又可看成是剛體即圖形S上的一個點。所以根據速度瞬心法可知上的一個點。所以根據速度瞬心法可知rea轉向與轉向與e和和r的轉向相同。的轉向相同。 當剛體同時繞平行軸作同向轉動時，合成運動是繞另一平行的瞬軸的同向轉當剛體同時繞平行軸作同向轉動時，合成運動是繞另一平行的瞬軸的同向轉動。絕對角速度的大小等于牽連角速度與相對角速度大小之和。瞬軸在原兩平行動。絕對角速度的大小等于

59、牽連角速度與相對角速度大小之和。瞬軸在原兩平行軸的平面上，并在這兩軸之間；瞬軸到這兩軸的距離與剛體繞這兩軸轉動的角速軸的平面上，并在這兩軸之間；瞬軸到這兩軸的距離與剛體繞這兩軸轉動的角速度大小成反比。度大小成反比。綜合綜合 ， 兩式可得結論：兩式可得結論：erOPOPrea如沿各軸作出各角速度矢如沿各軸作出各角速度矢aa、ee和和rr，那么角速度矢合成關系如下圖。，那么角速度矢合成關系如下圖。考慮到式考慮到式 ，可得絕對角速度，可得絕對角速度a的大小的大小 erOPOPOOPareeeaOPOP44 剛體繞平行軸轉動的合成剛體繞平行軸轉動的合成SOOer從而該點從而該點P的絕對速度等于零的絕對

60、速度等于零，這個點就是圖形在該瞬時的速度瞬心。這個點就是圖形在該瞬時的速度瞬心。rePPvv 這時矢量這時矢量r與與e指向相反。下面分別討論這兩個角速度大小不等和相等的兩指向相反。下面分別討論這兩個角速度大小不等和相等的兩種情形。種情形。 假定假定re ，且，且re 此時在圖形內連線此時在圖形內連線OO 的的O 端延長端延長線上可以選取一點線上可以選取一點P，使使即滿足關系式即滿足關系式erOPOPvPrPvPe44 剛體繞平行軸轉動的合成剛體繞平行軸轉動的合成考慮到式考慮到式eeeeaPOOPPOPOOPPOOO從而從而可得絕對角速度可得絕對角速度a的大小的大小era( (當當re ) 它的