1、線性代數線性代數4.2 4.2 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量 4. .2 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量 工程技術中的一些問題工程技術中的一些問題 如如振動問題振動問題和和穩定性穩定性問題問題可歸結為可歸結為求一個方陣的特征值和特征向量求一個方陣的特征值和特征向量的問的問題題. . 數學中諸如數學中諸如方陣的對角化方陣的對角化及及解微分方程組解微分方程組的問的問題題 也都要用到也都要用到特征值特征值的理論的理論. . 4. .2 方陣的特征值與特征向量方陣的特征值與特征向量 一、特征值與特征向量的一、特征值與特征向量的概念概念二、特征值與特征向量的二、特征值與特征

2、向量的求法求法三、特征值與特征向量的三、特征值與特征向量的性質性質提示提示 v定義定義1設設A是是n階矩陣階矩陣 如果數如果數 和和n維維非零列向量非零列向量x使成立使成立 Ax x （ Annxn1 xn1 ）那么那么 數數 稱為方陣稱為方陣A的的特征值特征值 非零列向量非零列向量x 稱為方陣稱為方陣A的的對應于特征值對應于特征值 的的特征向量特征向量. . Ax x Ax Ex (A E)x 0或或( E-A)x 0 齊次方程齊次方程(A E)x 0或或( E-A)x 0有非零解有非零解 |A E| 0或或| E-A| 0 . .一、特征值與特征向量的概念一、特征值與特征向量的概念注注 (

3、1) 特征向量特征向量x0, 特征值特征值問題是針對問題是針對方陣方陣而言的而言的. (2) 由由Ax x 知知, A作用非零向量作用非零向量 x 后后 x x, 即即 x 變為原來的變為原來的 倍倍.v特征值的求法特征值的求法 |A E| 0的根的根 ，就是方陣就是方陣A的特征值的特征值.v特征多項式特征多項式與與特征方程特征方程 設設A為為n階方陣階方陣 則稱則稱 的的n次多項式次多項式f( ) |A E|為為方陣方陣A的特征多項式的特征多項式 稱稱|A E| 0為為方陣方陣A的特征方程的特征方程. . 二、特征值與特征向量的二、特征值與特征向量的求法求法v特征向量的求法特征向量的求法 齊

4、次方程齊次方程(A E)x 0的的非零解非零解 x，就是方陣就是方陣A的對應于特征值的對應于特征值 的特征向量的特征向量. .提示提示 Ax x(A E)x 0 齊次方程齊次方程(A E)x 0有非零解有非零解|A E| 0. .111212122211 nnnnnnAEaaaaaaaaa n n階矩陣在復數范圍內一般階矩陣在復數范圍內一般有有n n個特征值，個特征值，2 2個根一樣叫個根一樣叫二重根，三個根一樣叫三重二重根，三個根一樣叫三重根。根。v特征值與特征向量的求解步驟特征值與特征向量的求解步驟 設設A為為n階方陣階方陣 (1) |A E| 0 = A的特征值的特征值 i .(2) (

5、A iE)x 0 = 非零解非零解 x =pi 就是就是A的對應于特征值的對應于特征值 i的特征向量的特征向量.v特征值的求法特征值的求法 |A E| 0的根的根 ，就是方陣就是方陣A的特征值的特征值.二、特征值與特征向量的二、特征值與特征向量的求法求法v特征向量的求法特征向量的求法 齊次方程齊次方程(A E)x 0的非零解的非零解 x，就是方陣就是方陣A的對應于特征值的對應于特征值 的特征向量的特征向量. .111212122211 nnnnnnAEaaaaaaaaa v特征值的求法特征值的求法 | E A| 0的根的根 ，就是方陣就是方陣A的特征值的特征值. | E A|A E| (1)n

6、設設A為為n階方陣階方陣 111212122211 nnnnnnE Aaaaaaaaaa v特征值的求法特征值的求法 |A E| 0的根的根 ，就是方陣就是方陣A的特征值的特征值.二、特征值與特征向量的二、特征值與特征向量的求法求法v特征向量的求法特征向量的求法 齊次方程齊次方程(A E)x 0的非零解的非零解 x，就是方陣就是方陣A的對應于特征值的對應于特征值 的特征向量的特征向量. .2)1)(2(201034011| EA 補充例補充例1 求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. . 201034011A 解解 A的特征多項式為的特征多項式為 所以所以A的特征值為的特征值為

7、1 2 2 3 1（注意重值不丟掉）（注意重值不丟掉）. . 得基礎解系得基礎解系p1 (0 0 1)T 對于對于 1 2 解方程解方程(A 2E)x 0 即即所以所以kp1(k 0)是對應于是對應于 1 2的全部特征向量的全部特征向量. . 123310041001000 xxx 10,x20,x 3x 為為自自由由未未知知數數. .關系式關系式Ax x 310100410010100000系數矩陣（A- E）=行最簡 ( (k k 0)0)特征特征向量是非向量是非0 0列列向量向量2)1)(2(201034011| EA 補充例補充例1 求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.

8、 . 201034011A 解解 A的特征多項式為的特征多項式為 所以所以A的特征值為的特征值為 1 2 2 3 1. . 得基礎解系得基礎解系p2 (1 2 1)T 得基礎解系得基礎解系p1 (0 0 1)T 對于對于 1 2 解方程解方程(A 2E)x 0 所以所以k1 p1(k1 0)是對應于是對應于 1 2的全部特征向量的全部特征向量. . 對于對于 2 3 1 解方程解方程(A E)x 0 所以所以k2 p2(k2 0)是對應于是對應于 2 3 1的全部特征向量的全部特征向量. . 123210042001010 xxx 31212xxxx 2) 2)(1(314020112|EA

9、314020112A 例例2 求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. . 解解 A的的特征多項式特征多項式為為 所以所以A的特征值為的特征值為 11 2 3 2. . 得基礎解系得基礎解系 得基礎解系得基礎解系p1 (1 0 1)T 對于對于 11 解方程解方程(A E)x 0 所以對應于所以對應于 11的全部特征向量為的全部特征向量為kp1(k 0). . 對于對于 2 3 2 解方程解方程(A 2E)x 0 所以對應于所以對應于 2 3 2的的全部特征向量全部特征向量為為k2p2 k3p3(k2,k3不同時為不同時為0). . p2 (0 1 1)T p3 (1 0 4)T

10、4112000411AE 3124.xxxv性質性質1 設設n階矩陣階矩陣A與它的轉置矩陣與它的轉置矩陣AT 有相同的特征多項式，有相同的特征多項式，有相同的特征值有相同的特征值. 三、特征值與特征向量的三、特征值與特征向量的性質性質v性質性質2 設設n階矩陣階矩陣A (aij)的特征值為的特征值為 1 2 n 則則 (1) 1 2 n a11 a22 ann (2) 1 2 n |A|. . 證證 |AT E|= |A E|.= | ( A E)T|= |AT ( E)T|注注: A的所有特征值的和的所有特征值的和,稱為稱為A的跡的跡,記作記作tr(A).例例4 方陣方陣A是奇異矩陣是奇異矩

11、陣方陣方陣A至少有一個特征值至少有一個特征值是是0.方陣方陣A是可逆是可逆(非奇異非奇異)矩陣矩陣方陣方陣A沒有沒有0 特征值特征值. 例例5 設設 是方陣是方陣A的特征值的特征值 證明證明 (1) 2是是A2的特征值的特征值 (2) k + l 是是 k A+l E的特征值的特征值, 其中其中k ,l為實數為實數 (3)若若A可逆可逆,則則 1是是 A 1的特征值的特征值 證證 因為因為 是是A的特征值的特征值 故有故有p 0 使使Ap p. . 于是于是 (1)A2p 2p (Ap) A( p) A(Ap)所以所以 2是是A2的特征值的特征值,且且p是是A2的對應于特征值的對應于特征值 2

12、的特征向量的特征向量. . 因為因為p 0 知知 0 有有p A 1p 由由Ap p (3)當當A可逆時可逆時 (2) (k A+l E) p k A p +l E p所以所以k + l 是是 k A+l E的特征值的特征值,且且p是是k A+l E的對應于特征值的對應于特征值k + l的特征向量的特征向量. . k p +l p (k +l)p有有A 1p 1p 所以所以 1是是 A 1的特征值的特征值.且且p是是A 1的對應于特征值的對應于特征值 1的特征向量的特征向量. .(4) k 是是 Ak 的特征值的特征值 (5) ( )是是 (A)的特征值的特征值;其中其中 (A) a0E a1

13、A amAm是是方陣方陣A的多項式的多項式 ( ) a0 a1 am m是是 的多項式的多項式 . . v性質性質3（根據例（根據例5） 設設 是方陣是方陣A的特征值的特征值 則則 (1) 2是是A2的特征值的特征值 (2) k + l 是是 k A+l E的特征值的特征值, 其中其中k ,l為實數為實數 (3)若若A可逆可逆,則則 1是是 A 1的特征值的特征值 三、特征值與特征向量的三、特征值與特征向量的性質性質v定理定理1 設設 1 2 m是方陣是方陣A的的m個不同特征值個不同特征值 p1 p2 pm依次是與之對應的特征向量依次是與之對應的特征向量 則則p1 p2 pm線性無線性無關關.

14、 .即即 方陣方陣A的對應于不同特征值的特征向量線性無關的對應于不同特征值的特征向量線性無關. .三、特征值與特征向量的三、特征值與特征向量的性質性質 補充補充例例2 設設3階矩陣階矩陣A的特征值為的特征值為1 1 2 求求|3A 2E|. . 解解 記記 (A) =3A 2E, 故故 (A)的特征值為的特征值為 有有 ( ) =3 2 (1) 31 2=1 (2) 32 2=4 ( 1) 3( 1) 2= 5,(5) ( )是是 (A)的特征值的特征值;其中其中 (A) a0E a1A amAm是是方陣方陣A的多項式的多項式 ( ) a0 a1 am m是是 的多項式的多項式 . . v性質

15、性質2 設設n階矩陣階矩陣A (aij)的特征值為的特征值為 1 2 n 則則 (1) 1 2 n a11 a22 ann (2) 1 2 n |A|. . 20. . 1 ( 5) 4 于是于是 | (A) |= |3A 2E| v性質性質2 設設n階矩陣階矩陣A (aij)的特征值為的特征值為 1 2 n 則則 (1) 1 2 n a11 a22 ann (2) 1 2 n |A|. . 補充補充例例3 設設3階矩陣階矩陣A的特征值為的特征值為1 1 2 求求|A* 3A 2E|. . (3)若若A可逆可逆,則則 1是是 A 1的特征值的特征值 (5) ( )是是 (A)的特征值的特征值;

16、其中其中 (A) a0E a1A amAm是是方陣方陣A的多項式的多項式 ( ) a0 a1 am m是是 的多項式的多項式 . . 因為因為A的特征值全不為的特征值全不為0 知知A可逆可逆 故故A* |A|A 1. . 而而|A| 1 2 32 所以所以 解解2A 1 3A 2E. . A* 3A 2E 把上式記作把上式記作 (A) 故故 (A)的特征值為的特征值為 有有 ( )2 1 3 2 (1)1 ( 1)3 (2) 3 9. . ( 1)( 3) 3 |A* 3A 2E| 于是于是v特征值與特征向量的特征值與特征向量的定義定義 設設A是是n階矩陣階矩陣 如果數如果數 和和n維非零列向

17、量維非零列向量x使成立使成立 Ax x 那么那么 數數 稱為方陣稱為方陣A的的特征值特征值 非零向量非零向量x 稱為方陣稱為方陣A的的對應于特征值對應于特征值 的的特征向量特征向量. . 小結小結v特征值與特征向量的特征值與特征向量的求法求法 設設A為為n階方陣階方陣 (1) |A E| 0 = A的特征值的特征值 i .(2) (A iE)x 0 = 非零解非零解 x =pi 就是就是A的對應于特征值的對應于特征值 i的特征向量的特征向量.v性質性質1 設設n階矩陣階矩陣A與與AT 有相同的特征值有相同的特征值. v性質性質2 設設n階矩陣階矩陣A (aij)的特征值為的特征值為 1 2 n 則則 (1) 1 2 n a11 a22 ann (2) 1 2 n |A