1、3Answer to Chapter 19.設S為群G的一個非空子集，在 G中定義一個關系aRb當且僅當ab- 1 S證明 這是一個等價關系的充分必要條件為S是一子群.Proof. ”必要性”：假設R為G上的等價關系，下證S為G的子群。對任意的a, b S,我們需證ab- 1 S。對任意的b S, be-1 = b S，由關系的定義知，bRe。因為R為等價關系，所以eRb。對任意的a, b S，則我們有aRe, eRb，由等價關系的 傳遞性，我們有aRb,推出ab-1 S。”充分性”：假設S為G的一個子群，下證 R為G上的一個等價關系。1) ?a G, aa- 1 = e S ? aRa;2)

2、 ?a, b G，若 aRb,則 ab- 1 S。因為 S < G，所以(ab- 1)- 1 = ba- 1 S ? bRa;3) ?a, b,c G,若aRb, bRc,則 ab- 1 S, bc- 1 S，由 S為子群知 ab- 1bc- 1 = ac- 1 S ? aRc;12.證明：如果在一階為2n的群中有一個n階子群，它一定是正規子群。Proof.設|G| = 2n, H < G, |H | 二 n。我們需證？g G, gH = Hg。1)如果 g H ,那 么gH = H = Hg顯然成立；2)如果gH，考慮由H誘導的G的左右陪集的劃分，G = H UgH = H UH

3、g.我們有gH = Hg。17.如果G為一交換群，證明G中全體有限階元素組成一子群。Proof.設S表示G的階有限元素全體， e S,所以S非空。設x, y S，且o(x)= m, o(y) = n。易知 o(y- 1) = o(y) = n。所以(xy- 1)mn = e,推出 xy- 1 S。特別 地，S < G。20.設H, K為群G的子群，證明HK為子群當且僅當 HK二KH。Proof.方法一：若 HK < G，下證 HK = KH。對任意 h H, k K, (kh)- 1 = h- 1 k- 1 HK。由 HK < G之HK 對逆元封閉，所以 kh = (h- 1

4、k- 1)- 1 HK， 由kh的任意性，KH ? HK。對任意 h H, k K, HK < G知k- 1h- 1 HK，特別地存在 x H, y K ,xy = k- 1h- 1。兩邊同時取逆，hk = y- 1x- 1 KH，由hk的任意性知HK ? KH .假設 HK = KH，下證 HK < G。對任意的 hk1,h2k2 HK , hk1(h2k2)- 1 = h1k1k21h21，由 HK = KH 知，存在 h H, k K 使得 hk = k1k21h21，所以 h1&(h2k2)- 1 = h1hk HK。特別地，HK < G。方法二：易知對任意的

5、子群 H < G，我們有H二H-1二x-1|x H.女口 果HK < G,我們有 HK = (HK )- 1 = K- 1H- 1 = KH。反之，如果 HK 二 KH ， 我們有(HK )(HK )- 1 ? HKK - 1H- 1 ? HKH - 1 = HKH ? HHK ? HK。特另H 地,?x, y HK, xy- 1 HK，所以 HK < G。Proof.易知H AK < H ,考慮H關于子群H AK的陪集的劃分。H = hi(H AK) U -Uhm(H AK),由Lagrange 定理知 m 二詁尋° HK = (hi(H AK ) U Um

6、(H AK )K ,因為 H AK < K ,所以HK = (hi(H A K ) U -Uhm(H A K ) K ? hiK U UhmK顯然hiK U UmK ? HK，所以HK = hiK U UmK，我們只需要證明上述并 為不交并。假設hiK A hj K = ?，由陪集的定義知，hiK = hj K ,推出hih- 1 K , 但是hih- 1 H，所以 hih-1 H AK。特別地，hi(H AK ) = hj (H AK )，與 H AK 的 劃分矛盾，所以上述交為不交并。因此|HK | = m|K | =|H AK |22.Proof. i) MN = Um gm mN

7、。因為 N 為正規子群，所以？m M, mN = Nm 。 所以 MN 二 Uk cm mN = Um cm Nm = NM ;ii) 由i)知，MN < G。對任意的 g G, gMN = MgN = MNg，所以 MN ? G;iii) 定義f : MN f Mmn f m對任意的a MN，如果a = mn二mini,我們有mim = nin-特 別地， mi im M, nin-i N 所以 mi im = e = nin-， i.e. m = mi, n二ni。上述定義為良定的；顯然f為滿射。下證 f為群同態.對 任意的 mni, m2n2 MN ， minm2n2 = mim2

8、n 'n2 (事實上可以證明此 時M 與N 乘法交換,i.e. mn 二 nm )，所以 f (mi門何2n2) = f (mim2n n2)= mim2 = f (m in)f(m2n2)。易知kerf = N ,由同態基本定理知 MN/N 三M。23.Proof. i)對任意的 x, y C(S), a S, ya = ay ? y- ia = ay- i，所以 xy- ia = axy- i，特別地 xy- i C(S),所以 C(S) < G;對任意 x N (S), x- iSx = S ? xSx - i 二 S,特別地，X- i N (S)。對任意的 x, y N

9、(S), xy- iS(xy- i)- i 二 S，所以 xy - i N (S)，特別地 N (S) < G。ii) C(s)? N (S) ? ?g N (S),gC(S)g i ? C(S) ? ?g N(S),x C(S),gxg- i C(S) ? ?a S,gxg- ia(gxg- i)- i = a.因為 g N (S),所以 g- iag = b S。 所以 gxg- ia(gxg- i)- i = gxg- iagx- ig- i = gxbx- ig- i = gbg- i = a。25.Proof.設|G| = 4，由Lagrange定理知，G中非單位元素的階為 2

10、,4。i)若G中含有階為4的元素g，則G = e,g,g2,g3|g4 = e。2)若G中沒有階為4的元素，則任意非單位元的元素的階為2。令e = a G ,則H二e,a為G的子群。因為|G| = 2|H |，所以另取bH ,則G = H UbH = H U Hb。易知 ab = ba,所以 G = e, a, b, ab|ab = ba。因為群同構保持元素的階，所以1),2)中的不同構。26.Proof.設G的階為p。由Lagrange定理G中的非單位元素的階為p。所以G = e,g,gp- 1|°(g)= p。定義n : G f Z/p Zg f 1容易驗證n為群同構。所以任意的

11、 p階群與Z/pZ同構。28.Proof.不是，因為(Z,巧不是交換群。34.Proof.先證明(radl, +)為交換群。對任意的x, y radl , xn I, ym I，只需證明(x - y) radI。由于L為交換環，易知(x - y)max m,n i。由于l為交換環，則 只需證明?a L, a ? radl ? radl。而？x radl, (ax)n = anxn, xn I ? (a；)" I ? ax radl。40.Proof.定義映射(T: L f La f xa對任意的a L ,存在ya L使得j(ya) = xya = a。特別的g為滿射，但是L為有限集，

12、所以g為一一的。易知o(1) = x, (r(yx ) = x，所以yx = 1。Chapter 21、設G為有限群，N ? G, |N |與|G/N |互素。如果元素a的階整除|N|,則a N。證明：考慮自然同態 n： G f G/N ,由同態的基本性質知 o( n(a)|o(a)。由o(a)|N |得，o( u(a)|N | 而Lagrange 定理知 o( u(a)|G/N |，所以 o( Ma)|(|N |, |G/N |) = 1，特別地 a N。3、如果群G中元素a的階與正整數k互素，則方程xk = a在 a 內恰有一解。證明：設a的階為n。由帶余除法知存在 x, y Z使得xn

13、+ yk = 1。即有ayk = a，特 別地ay為方程xk = a的解。假設az也是上述方程的解，則有zkyk(z- y)k= ezya = ay ? a(? n|(z- y)k ? n|z- y ? a = ay.4、 證明在一群中，元素ab與 ba的階相同。證明：我們只需要證明：(ab)n = e ? (ba)n = e. (ab)n = a(ba)n-1 b = e ?(ba)n- 1 = (ba)-1 ? (ba)n = e.Remark: 1)可以利用共軛元素具有相同的階，而ab = a(ba)a- 1;2)元素a, b的階有限，推不出乘積的階有限 .7、證明有理數加法群 Q+的任

14、一有限生成的子群為循環群。證明：事實上只需要證明G =< a,b >? Q為循環群即可。不妨設a = p/q, b =r/t，其中(p,q)二(r, t) = 1。則易知 G = < (ptqtT > .8設G是一個有限生成的交換群。如果G的每個生成元是有限階元素，則G是有限群。證明：不妨設G = < X1, ,Xn >，其中Xi的階為mi。則由生成的定義及G為交換群知nG = X 11 -Xn |0 < li < mi特別的 |G| < nn=1 mi. nRemark: 一般來說|G| =n=1 mi，如二面體群。14、提示：任意的置換可以寫成互不相交的循環的乘積，對任意的n S5, (i 1, i2,，ik)(j 1,j t) S5,Mi 1, i2, , ik)(j 1,，j t) n 1 = ( n(i1), - - - , nik)( Tt(j 1), - - - , Mj t) 特別地，共軛的元素寫成不相交的循環的乘積具有相同的形式。16、證明：設a(H1 AH2)是H 1 AH 2的任意的左陪集，下證a(H 1 AH 2) = a