1、 控制原理（II）王晶信息學(xué)院學(xué)學(xué) 時(shí)：時(shí)： 4848（包含上機(jī)（包含上機(jī)4 4學(xué)時(shí)）學(xué)時(shí)）自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 厲玉鳴等主編，化厲玉鳴等主編，化學(xué)工業(yè)出版社，學(xué)工業(yè)出版社，20052005年年 自動(dòng)控制原理（第四版）胡壽松主編，自動(dòng)控制原理（第四版）胡壽松主編，國(guó)防工業(yè)出版社，國(guó)防工業(yè)出版社，20022002年年 自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 孫亮等主編，北京孫亮等主編，北京工業(yè)大學(xué)出版社工業(yè)大學(xué)出版社 19991999年年控制原理例題習(xí)題集，周春暉，厲玉鳴主控制原理例題習(xí)題集，周春暉，厲玉鳴主編，化工出版社（歸納總結(jié)，例題分析）編，化工出版社（歸納總結(jié)，例題分析）自動(dòng)控制原理實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書，本

2、校自動(dòng)自動(dòng)控制原理實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書，本校自動(dòng) 化系編化系編學(xué)習(xí)方式：學(xué)習(xí)方式：教教 材：材：參考書：參考書：習(xí)題集：習(xí)題集：實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書：實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書：授課、習(xí)題、實(shí)驗(yàn)、考試授課、習(xí)題、實(shí)驗(yàn)、考試第第7 7章章 狀態(tài)空間分析設(shè)計(jì)方法狀態(tài)空間分析設(shè)計(jì)方法線性系統(tǒng)理論的兩大分支線性系統(tǒng)理論的兩大分支 經(jīng)典控制論經(jīng)典控制論現(xiàn)代控制論現(xiàn)代控制論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)拉普拉斯變換拉普拉斯變換線性代數(shù)、矩陣分線性代數(shù)、矩陣分析析系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)狀態(tài)空間表達(dá)狀態(tài)空間表達(dá)處理域處理域頻域頻域時(shí)域時(shí)域應(yīng)用對(duì)象應(yīng)用對(duì)象SISO系統(tǒng)系統(tǒng)MIMO系統(tǒng)系統(tǒng)本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容現(xiàn)代控制論的重要現(xiàn)代控制論的重要分支：狀

3、態(tài)空間設(shè)計(jì)方法分支：狀態(tài)空間設(shè)計(jì)方法 系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型 狀態(tài)空間模型的建立、與傳遞狀態(tài)空間模型的建立、與傳遞函數(shù)描述之間的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)描述之間的相互轉(zhuǎn)化； 系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析 狀態(tài)空間運(yùn)動(dòng)分析；能控性和狀態(tài)空間運(yùn)動(dòng)分析；能控性和能觀性的基本概念與判據(jù)、能控、能觀能觀性的基本概念與判據(jù)、能控、能觀標(biāo)準(zhǔn)形及結(jié)構(gòu)分解；標(biāo)準(zhǔn)形及結(jié)構(gòu)分解； 系統(tǒng)綜合系統(tǒng)綜合 基于狀態(tài)空間模型的控制系統(tǒng)基于狀態(tài)空間模型的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)計(jì)。極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)計(jì)。第一節(jié)第一節(jié) 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型 7.1.1 7.1.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)的基本概念系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)的

4、基本概念 7.1.2 7.1.2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 7.1.3 7.1.3 由機(jī)理分析建立狀態(tài)空間表達(dá)式由機(jī)理分析建立狀態(tài)空間表達(dá)式 7.1.4 7.1.4 由微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式由微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式 7.1.5 7.1.5 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 7.1.6 7.1.6 狀態(tài)空間表達(dá)式與傳遞函數(shù)矩陣狀態(tài)空間表達(dá)式與傳遞函數(shù)矩陣7.1.1 7.1.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)的基本概念系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)的基本概念表示系統(tǒng)在過去、現(xiàn)在和未來(lái)時(shí)刻的狀況表示系統(tǒng)在過去、現(xiàn)在和未來(lái)時(shí)刻的狀況狀態(tài)狀態(tài)能夠完全描述系統(tǒng)行為的最小一組變量，能

5、夠完全描述系統(tǒng)行為的最小一組變量，只要給定了當(dāng)前時(shí)刻的這組變量以及未來(lái)只要給定了當(dāng)前時(shí)刻的這組變量以及未來(lái)時(shí)刻作用在系統(tǒng)上的輸入，那么系統(tǒng)在未時(shí)刻作用在系統(tǒng)上的輸入，那么系統(tǒng)在未來(lái)任意時(shí)刻的行為就可以完全確定。來(lái)任意時(shí)刻的行為就可以完全確定。 狀態(tài)變量狀態(tài)變量選取的不唯一性以完全表征系統(tǒng)的狀態(tài)變量為元構(gòu)成的向以完全表征系統(tǒng)的狀態(tài)變量為元構(gòu)成的向量就是狀態(tài)向量量就是狀態(tài)向量 狀態(tài)向量狀態(tài)向量)()()()(21txtxtxtxn以以n n個(gè)狀態(tài)變量為基底所構(gòu)成的個(gè)狀態(tài)變量為基底所構(gòu)成的n n維空間就維空間就稱為狀態(tài)空間，狀態(tài)空間中的一點(diǎn)就代稱為狀態(tài)空間，狀態(tài)空間中的一點(diǎn)就代表系統(tǒng)在某一特定時(shí)刻的

6、狀態(tài)。表系統(tǒng)在某一特定時(shí)刻的狀態(tài)。 狀態(tài)空間狀態(tài)空間7.1.2 7.1.2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述外部描述外部描述傳遞函數(shù)：不表征系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：不表征系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部變量，只反映外部變量組內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部變量，只反映外部變量組輸入與輸出間的因果關(guān)系輸入與輸出間的因果關(guān)系內(nèi)部描述內(nèi)部描述狀態(tài)空間，能夠完全表征狀態(tài)空間，能夠完全表征系統(tǒng)的一切動(dòng)力學(xué)特征：系統(tǒng)的一切動(dòng)力學(xué)特征：不完全描述完全描述（1 1）狀態(tài)方程：輸入作用引起系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化，）狀態(tài)方程：輸入作用引起系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化，通常為動(dòng)態(tài)過程，可以采用微分方程來(lái)表示：通常為動(dòng)態(tài)過程，可以采用微分方程來(lái)表示：（2 2）

7、輸出方程：狀態(tài)和輸入的改變決定了輸出的變）輸出方程：狀態(tài)和輸入的改變決定了輸出的變化，通常屬于變量之間的相互轉(zhuǎn)換，可用一般的代數(shù)化，通常屬于變量之間的相互轉(zhuǎn)換，可用一般的代數(shù)方程表示：方程表示：)()()(tButAxtx)()()(tDutCxty系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的結(jié)構(gòu)示意圖系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的結(jié)構(gòu)示意圖 問題：?jiǎn)栴}：1 什么是狀態(tài)？什么是狀態(tài)？2 狀態(tài)是否唯一？狀態(tài)是否唯一？1兩種描述方式的比較：兩種描述方式的比較：例例1考慮傳遞函數(shù)考慮傳遞函數(shù) 11)(ssH系統(tǒng)不穩(wěn)定，欲使其穩(wěn)定，可在系統(tǒng)不穩(wěn)定，欲使其穩(wěn)定，可在H H（s s）前面）前面串聯(lián)一個(gè)補(bǔ)償器串聯(lián)一個(gè)補(bǔ)償器 得：得：11)(ss

8、sHc111111)()(sssssHsHc系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：理論上，零極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)穩(wěn)定理論上，零極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)穩(wěn)定實(shí)際中，系統(tǒng)往往會(huì)出現(xiàn)失效或達(dá)到飽和實(shí)際中，系統(tǒng)往往會(huì)出現(xiàn)失效或達(dá)到飽和從狀態(tài)空間的角度分析上述實(shí)現(xiàn)中主要變量從狀態(tài)空間的角度分析上述實(shí)現(xiàn)中主要變量的演變過程的演變過程 系統(tǒng)狀態(tài)方程為系統(tǒng)狀態(tài)方程為21222112xyvxxuxxvxx求解可得：求解可得： )( 5 . 0) ( ,2) (10202101vexeexetxyvexetxtttttt為卷積運(yùn)算7.1.3 7.1.3 由機(jī)理分析建立狀態(tài)空間表達(dá)式由機(jī)理分析建立狀態(tài)空間表達(dá)式 建立狀態(tài)空間表達(dá)式的方法建立狀態(tài)

9、空間表達(dá)式的方法: :一是機(jī)理分析，一是機(jī)理分析，選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量，建立其狀態(tài)空間表達(dá)式；選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量，建立其狀態(tài)空間表達(dá)式；二是由其他已知的系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述轉(zhuǎn)化得到狀態(tài)二是由其他已知的系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述轉(zhuǎn)化得到狀態(tài)空間表達(dá)式。空間表達(dá)式。例：試列寫下面兩種簡(jiǎn)單系統(tǒng)例：試列寫下面兩種簡(jiǎn)單系統(tǒng)電路系統(tǒng)和力電路系統(tǒng)和力學(xué)系統(tǒng)的機(jī)理方程，選擇適當(dāng)?shù)淖兞孔鳛闋顟B(tài)學(xué)系統(tǒng)的機(jī)理方程，選擇適當(dāng)?shù)淖兞孔鳛闋顟B(tài)變量，并建立相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。變量，并建立相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。 解解：(1)(1)彈簧彈簧- -質(zhì)量質(zhì)量- -阻尼器系統(tǒng)，外加拉阻尼器系統(tǒng)，外加拉力力F Fi i為輸入，質(zhì)量單元的位移為輸入，質(zhì)量單元

10、的位移y y為輸出，為輸出，根據(jù)牛頓第二定律可得根據(jù)牛頓第二定律可得: :其中合力：其中合力： 整理得：整理得：選定變量：選定變量：得到狀態(tài)方程：得到狀態(tài)方程：22ddtymFmafkiFFFFkyFktyfFfddiFkytyftymdddd22121xyxyx ,yyFuiumxmkxmftxxtx1dddd12221212121011010 xxyumxxmfmkxxx(2) RLC(2) RLC電路，設(shè)電路，設(shè)e ei i為輸入，電壓為輸入，電壓e ec c為為輸出，根據(jù)基本電路定律有：輸出，根據(jù)基本電路定律有：選擇狀態(tài)變量為選擇狀態(tài)變量為 ，可推導(dǎo)出，可推導(dǎo)出2 2個(gè)一階個(gè)一階微分方

11、程組：微分方程組： 寫成狀態(tài)方程：寫成狀態(tài)方程： 再根據(jù)輸出再根據(jù)輸出 ，可得相應(yīng)的輸出方程為：，可得相應(yīng)的輸出方程為： 2110 xxCy112211010RxxxuLLCLxx12211dd11ddxtxuLxLCxLRtxiedtiCRitiL 1ddidtxix21,dtiCeyc 1值得注意的是：狀態(tài)變量選擇的不同，得到的狀值得注意的是：狀態(tài)變量選擇的不同，得到的狀態(tài)空間表達(dá)式也是不同的，這點(diǎn)與傳遞函數(shù)所態(tài)空間表達(dá)式也是不同的，這點(diǎn)與傳遞函數(shù)所代表的外部描述不同，對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，如果輸代表的外部描述不同，對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，如果輸入和輸出確定，那么傳遞函數(shù)就是唯一確定的，入和輸出確定，那么傳

12、遞函數(shù)就是唯一確定的，而狀態(tài)空間描述則根據(jù)狀態(tài)變量選擇的不同而而狀態(tài)空間描述則根據(jù)狀態(tài)變量選擇的不同而不同，同一個(gè)系統(tǒng)可以具有不同的狀態(tài)空間表不同，同一個(gè)系統(tǒng)可以具有不同的狀態(tài)空間表達(dá)式。達(dá)式。問題：例如上面例題中提到的問題：例如上面例題中提到的RLC電路，如果以電路，如果以作為一組狀態(tài)變量，作為一組狀態(tài)變量， 則狀態(tài)空間表達(dá)為則狀態(tài)空間表達(dá)為.?cexix21,代數(shù)等價(jià)：給定一線性定常系統(tǒng)代數(shù)等價(jià)：給定一線性定常系統(tǒng) ，如，如果引入一非奇異變換：果引入一非奇異變換： 其中其中P P是非奇異矩是非奇異矩陣，經(jīng)過狀態(tài)變換后，系統(tǒng)可以寫成陣，經(jīng)過狀態(tài)變換后，系統(tǒng)可以寫成 系統(tǒng)的不同的狀態(tài)空間描述就

13、是同一個(gè)系統(tǒng)在系統(tǒng)的不同的狀態(tài)空間描述就是同一個(gè)系統(tǒng)在不同的坐標(biāo)系下的表征不同的坐標(biāo)系下的表征),(DCBA,Pxx 1PAP xPBu 由于坐標(biāo)系的選擇帶有人為的性質(zhì)，而系統(tǒng)的由于坐標(biāo)系的選擇帶有人為的性質(zhì)，而系統(tǒng)的特性卻帶有客觀性，因此系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性卻帶有客觀性，因此系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的不變性和不變屬性就反映出系統(tǒng)的固有特征。不變性和不變屬性就反映出系統(tǒng)的固有特征。 1()AP xBux x ()AxBuPAxBuyCxDu1P xDuCxDu那么就稱這兩個(gè)狀態(tài)空間描述是代數(shù)等價(jià)的。那么就稱這兩個(gè)狀態(tài)空間描述是代數(shù)等價(jià)的。27.1.4 7.1.4 由微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式由微分方

14、程建立狀態(tài)空間表達(dá)式僅限于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)：僅限于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)：ububyayaymmnnn0)(0) 1(1)(.引入微分算子引入微分算子 dtdp/，則系統(tǒng)可以寫成，則系統(tǒng)可以寫成: : .010111ubpubupbyapyaypaypmmnnnuapapapbpbpbynnnmm011101.分情況討論：分情況討論：Case1：當(dāng)當(dāng)mn時(shí)時(shí) 則系統(tǒng)方程則系統(tǒng)方程 可以改寫為：可以改寫為： .0) 1 (1)(0) 1 (1) 1(1)(ybybybyuyayayaymmnnn引入中間變量：引入中間變量：uapapapynnn0111.1uapapapbpbpbynn

15、nmm011101.選取狀態(tài)選取狀態(tài)) 1() 1 (21,nnyxyxyx可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述： xbbyuxaaaxmn0,100100000100110(1)12(2)23(1)1( )(1)(1)1101120 1()(1)101120 1.nnnnnnnnnmmmmxyxxyxxyxxyaya ya yuaxa xa xuyb yb yb yb xb xb x .0) 1 (1)(0) 1 (1) 1(1)(ybybybyuyayayaymmnnnCase2：當(dāng)：當(dāng)mn時(shí)時(shí) 首先將系統(tǒng)方程有理分式嚴(yán)格真化：首先將系統(tǒng)方程有理分式嚴(yán)格真化：uapapa

16、pabbpabbpabbbynnnnnnnnnn01110011111.)()(.)(按照上面的算法可以轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間形式，經(jīng)過中按照上面的算法可以轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間形式，經(jīng)過中間變量間變量 的作用，上式可以寫成下面的形式：的作用，上式可以寫成下面的形式：yubyabbyabbyabbyuyayayaynnnnnnnnnn)()(.)(.00)1(11)1(110)1(1)1(1)(選擇與選擇與mnmn情況下相同的狀態(tài)變量：情況下相同的狀態(tài)變量：)1()1(21,nnyxyxyxuapapapbpbpbynnnmm011101.ubxabbabbyuxaaaxnnnnnn1100110,10010

17、000010上述嚴(yán)格真有理分式按照上面的算法可以轉(zhuǎn)換成狀上述嚴(yán)格真有理分式按照上面的算法可以轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間形式，狀態(tài)是一樣的，得到的狀態(tài)方程表達(dá)態(tài)空間形式，狀態(tài)是一樣的，得到的狀態(tài)方程表達(dá)形式也是一樣的，唯一不同的就是輸出方程中比形式也是一樣的，唯一不同的就是輸出方程中比m m n n情況多了一項(xiàng)情況多了一項(xiàng) ：狀態(tài)方程為：狀態(tài)方程為：ubxabbabbubyabbyabbyabbynnnnnnnnnnnn110000)1(11)1(11)()(.)(ubn優(yōu)點(diǎn)：利用控制系統(tǒng)的微分方程系數(shù)優(yōu)點(diǎn)：利用控制系統(tǒng)的微分方程系數(shù) 直接列寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。直接列寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。 舉例：

18、寫出下列系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)舉例：寫出下列系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)解：上述兩個(gè)系統(tǒng)分屬于解：上述兩個(gè)系統(tǒng)分屬于mnm0都有都有x1=x2，這就表，這就表明該電路系統(tǒng)是不完全能控的。明該電路系統(tǒng)是不完全能控的。 例三例三 由由 的聯(lián)系判斷能觀性的聯(lián)系判斷能觀性yx 0125CA輸出輸出y(ty(t)=x1(t),)=x1(t),且且x1x1與與x2x2完全解耦，完全解耦，x2x2到到y(tǒng) y的通道被的通道被切斷，所以切斷，所以x1x1能觀測(cè)，能觀測(cè)，x2x2不能觀測(cè)。不能觀測(cè)。01215CA輸出輸出y(ty(t)=x1(t),)=x1(t),注意注意x1x1受受x2x2影響，所以不能簡(jiǎn)單影響，所以不能簡(jiǎn)單

19、判定判定x1x1能觀測(cè)，能觀測(cè)，x2x2不能觀不能觀測(cè)測(cè)。例四例四 兩聯(lián)系通道的作用可能抵消兩聯(lián)系通道的作用可能抵消左圖中，輸入為電壓，兩左圖中，輸入為電壓，兩個(gè)電感流過的電流是狀個(gè)電感流過的電流是狀態(tài)變量，輸出是電流態(tài)變量，輸出是電流i。如果外加電壓如果外加電壓u=0，對(duì)任，對(duì)任意兩個(gè)相等的非零初始意兩個(gè)相等的非零初始狀態(tài)，都會(huì)有電流狀態(tài)，都會(huì)有電流i0，也就是說(shuō)從輸出根本無(wú)也就是說(shuō)從輸出根本無(wú)法判斷系統(tǒng)的初始狀態(tài)法判斷系統(tǒng)的初始狀態(tài)是什么，說(shuō)明該電路是是什么，說(shuō)明該電路是不完全能觀的。不完全能觀的。 6能控性定義能控性定義 對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng) 如果對(duì)于非零初始狀態(tài)如果對(duì)于非零

20、初始狀態(tài)x x0 0，都存在某一時(shí)刻，都存在某一時(shí)刻 和一個(gè)無(wú)約束的容許控制和一個(gè)無(wú)約束的容許控制 ，使得狀態(tài)由，使得狀態(tài)由初始點(diǎn)轉(zhuǎn)移到初始點(diǎn)轉(zhuǎn)移到t1t1時(shí)刻的原點(diǎn)，則稱此初始狀態(tài)時(shí)刻的原點(diǎn)，則稱此初始狀態(tài)x0 x0是能控是能控的。如果狀態(tài)空間中所有的非零初始狀態(tài)都是能控的，的。如果狀態(tài)空間中所有的非零初始狀態(tài)都是能控的，那么就稱系統(tǒng)是完全能控的。那么就稱系統(tǒng)是完全能控的。無(wú)約束容許控制中無(wú)約束表示的是輸入分量的幅值無(wú)限制，無(wú)約束容許控制中無(wú)約束表示的是輸入分量的幅值無(wú)限制，可以任意大到所要求的值。容許控制就是說(shuō)控制作用要可以任意大到所要求的值。容許控制就是說(shuō)控制作用要滿足狀態(tài)方程解存在且唯

21、一的條件，具體的說(shuō)就是要保滿足狀態(tài)方程解存在且唯一的條件，具體的說(shuō)就是要保證輸入證輸入u的每個(gè)分量在的每個(gè)分量在J上是平方可積的。上是平方可積的。JtBuAxx ,0,11tJt, 0),(1tttu7.3.1 基本概念基本概念1、上述定義中，只要求能夠找到這樣的控制輸入上述定義中，只要求能夠找到這樣的控制輸入u，使得使得t0時(shí)刻的非零狀態(tài)經(jīng)過一段時(shí)間之后轉(zhuǎn)移到狀時(shí)刻的非零狀態(tài)經(jīng)過一段時(shí)間之后轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間中的坐標(biāo)系原點(diǎn)，而對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡不態(tài)空間中的坐標(biāo)系原點(diǎn)，而對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡不作任何要求和限制，這就是說(shuō)能控性是表征系統(tǒng)作任何要求和限制，這就是說(shuō)能控性是表征系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)

22、定性的特性定性的特性2 2、上述定義中規(guī)定從非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，如、上述定義中規(guī)定從非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)，如果改成由零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到非零狀態(tài)，就稱之為系統(tǒng)果改成由零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到非零狀態(tài)，就稱之為系統(tǒng)狀態(tài)是能達(dá)的。對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)，其能控狀態(tài)是能達(dá)的。對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)，其能控性和能達(dá)性是等價(jià)的，而對(duì)于離散系統(tǒng)和時(shí)變系性和能達(dá)性是等價(jià)的，而對(duì)于離散系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，二者嚴(yán)格來(lái)講是不等價(jià)的。統(tǒng)，二者嚴(yán)格來(lái)講是不等價(jià)的。 說(shuō)明說(shuō)明能觀測(cè)性定義：能觀測(cè)性定義： 對(duì)給定的零輸入方程，對(duì)給定的零輸入方程，在初始時(shí)刻在初始時(shí)刻t0存在非零的初始狀態(tài)存在非零的初始狀態(tài)x(t0)=x0（未知）。（未知）

23、。如果存在這樣一個(gè)有限時(shí)刻如果存在這樣一個(gè)有限時(shí)刻t10，通過，通過t0,t1段有限段有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)所測(cè)得的輸出時(shí)間區(qū)間內(nèi)所測(cè)得的輸出y(t)可以確定出系統(tǒng)的初始可以確定出系統(tǒng)的初始狀態(tài)狀態(tài)x(t0)，那么就把，那么就把x0稱作是可觀測(cè)狀態(tài)。如果狀稱作是可觀測(cè)狀態(tài)。如果狀態(tài)空間中所有的非零狀態(tài)都是可觀測(cè)的，那么就稱態(tài)空間中所有的非零狀態(tài)都是可觀測(cè)的，那么就稱系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的。系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的。0)0( , ,xxCxyJtAxx線性定常系統(tǒng)的能控性判定線性定常系統(tǒng)的能控性判定 1格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是存在這線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是存在

24、這樣一個(gè)時(shí)刻樣一個(gè)時(shí)刻t t1 100，使得格拉姆矩陣，使得格拉姆矩陣 是非奇異的是非奇異的 dteBBetWttATAtcT101), 0(7.3.2能控性與能觀測(cè)性判據(jù)能控性與能觀測(cè)性判據(jù)注意：注意：格拉姆矩陣判據(jù)主要應(yīng)用于理論分析，這是因格拉姆矩陣判據(jù)主要應(yīng)用于理論分析，這是因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，首先要計(jì)算出矩陣指數(shù)函數(shù)為在實(shí)際應(yīng)用中，首先要計(jì)算出矩陣指數(shù)函數(shù)eAt，而當(dāng)而當(dāng)A的維數(shù)較大時(shí)并非易事，利用格拉姆矩陣判據(jù)的維數(shù)較大時(shí)并非易事，利用格拉姆矩陣判據(jù)可以推出一個(gè)較為實(shí)用的能控性判據(jù)，即秩判據(jù)。可以推出一個(gè)較為實(shí)用的能控性判據(jù)，即秩判據(jù)。 由格拉姆矩陣求將狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)所需的控制輸入：由

25、格拉姆矩陣求將狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)所需的控制輸入：根據(jù)運(yùn)動(dòng)分析，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)為根據(jù)運(yùn)動(dòng)分析，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)為 對(duì)于能控系統(tǒng)總可以找到對(duì)于能控系統(tǒng)總可以找到t t1 1時(shí)刻及作用在時(shí)刻及作用在t0,t1t0,t1上上的容許控制的容許控制u(tu(t) )，使得系統(tǒng)在，使得系統(tǒng)在t t1 1時(shí)刻轉(zhuǎn)移到零點(diǎn)，時(shí)刻轉(zhuǎn)移到零點(diǎn)，即即tttAAtBuxtx0d)(ee)()(0XxBuxBuxBuxtxttAtttAAttttAAt00)(0)(01 ,d)(e d)(ee d)(ee)(01010111011根據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)，格拉姆矩陣的逆必定存在，根據(jù)格拉姆矩陣判據(jù)，格拉姆矩陣的逆必定存在，于是就可以這

26、樣選取控制輸入：于是就可以這樣選取控制輸入：0101T),(e )(xttWBtucAt解釋：解釋：無(wú)論系統(tǒng)的初始狀態(tài)無(wú)論系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0位于狀態(tài)空間中的何處，位于狀態(tài)空間中的何處，都可以按照上述公式中控制作用的選取方法，使得都可以按照上述公式中控制作用的選取方法，使得在在t1時(shí)刻能夠?qū)⑾到y(tǒng)狀態(tài)從初始點(diǎn)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間時(shí)刻能夠?qū)⑾到y(tǒng)狀態(tài)從初始點(diǎn)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間零點(diǎn)。這種控制的選擇又稱為零點(diǎn)。這種控制的選擇又稱為按能控性格拉姆矩陣按能控性格拉姆矩陣方式選取方式選取。一般來(lái)說(shuō)，如果系統(tǒng)是能控的，能夠把。一般來(lái)說(shuō)，如果系統(tǒng)是能控的，能夠把系統(tǒng)由初始狀態(tài)系統(tǒng)由初始狀態(tài)x0轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)的輸入控制有很多種，轉(zhuǎn)

27、移到原點(diǎn)的輸入控制有很多種，這是因?yàn)槟芸匦詫?duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡沒有任何要求。這是因?yàn)槟芸匦詫?duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的軌跡沒有任何要求。但相比較而言，在所有可以完成同一狀態(tài)轉(zhuǎn)移目的但相比較而言，在所有可以完成同一狀態(tài)轉(zhuǎn)移目的的控制輸入中，按格拉姆矩陣方式選取的控制輸入的控制輸入中，按格拉姆矩陣方式選取的控制輸入最好，它的耗能是最小的。最好，它的耗能是最小的。 2秩判據(jù)秩判據(jù)線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是稱矩陣稱矩陣 為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的能控性判別陣能控性判別陣nBABAABBrankn12BABAABBn 123PBH秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是對(duì)矩陣線

28、性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是對(duì)矩陣A的所有特征值的所有特征值 ，均有下式成立：，均有下式成立：即即 是左互質(zhì)的。是左互質(zhì)的。 nii,.,2 , 1 ,復(fù)數(shù)域或CsnBAsIrankninBAIranki , ,.,2 , 1 , BAsI和74PBH特征向量判據(jù)特征向量判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是A不能有與不能有與B的所有列相正交的非零左特征向量，即對(duì)的所有列相正交的非零左特征向量，即對(duì)A的任的任一特征值一特征值 使同時(shí)滿足使同時(shí)滿足的特征向量的特征向量 i0 ,BATTiT05約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)約當(dāng)規(guī)范型判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必

29、要條件是線性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是Case1:Case1:當(dāng)當(dāng)A矩陣的特征根兩兩相異時(shí)，在導(dǎo)出的對(duì)矩陣的特征根兩兩相異時(shí)，在導(dǎo)出的對(duì)角線規(guī)范型角線規(guī)范型中，矩陣中，矩陣 不包含元素全為零的行。不包含元素全為零的行。 uBxxn1100BCase2:A的特征值為的特征值為時(shí)，導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型時(shí)，導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型那么矩陣那么矩陣 中對(duì)應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊的最后一行行向量是線中對(duì)應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊的最后一行行向量是線性無(wú)關(guān)的。換句話說(shuō)，矩陣中對(duì)應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊的最性無(wú)關(guān)的。換句話說(shuō)，矩陣中對(duì)應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊的最后一行行向量中無(wú)零行，且對(duì)應(yīng)同一特征根的這些后一行行向量中無(wú)零行，且對(duì)應(yīng)同一特征根的這些行分別是線性無(wú)

30、關(guān)的。行分別是線性無(wú)關(guān)的。nikiii12211),(,),(),(且重重重uBBxJJxii1100B舉例舉例: :給出了約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型給出了約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 標(biāo)準(zhǔn)型中一共有三個(gè)約當(dāng)塊，系統(tǒng)是完全能控的，標(biāo)準(zhǔn)型中一共有三個(gè)約當(dāng)塊，系統(tǒng)是完全能控的，必須保證必須保證B矩陣中對(duì)應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊的最后一行非零，矩陣中對(duì)應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊的最后一行非零，即是即是b3,b5,b6b3,b5,b6是非零的行向量，對(duì)應(yīng)同一特征根是非零的行向量，對(duì)應(yīng)同一特征根 的這些行的這些行b3,b5b3,b5分別是線性無(wú)關(guān)的。分別是線性無(wú)關(guān)的。 ubbbbbbxx654321211111011011例例1： 若若 ，則系統(tǒng)是能控的，則系統(tǒng)

31、是能控的 若若 ，則，則x1,x2,x4不能控，不能控，x3能控能控30134014A40000210B00400000B例例2：給出線性定常系統(tǒng)給出線性定常系統(tǒng), ,判斷其能控性判斷其能控性 uxx011050100001解：解：1 1、秩判據(jù)、秩判據(jù): :因此系統(tǒng)是完全能控的。因此系統(tǒng)是完全能控的。30505011112rankBAABBrankrankQc2、PBH判據(jù)：判據(jù)：首先計(jì)算出特征值首先計(jì)算出特征值 ，分，分別計(jì)算別計(jì)算 是否都等于是否都等于n， 5, 1BAIranki30550115010015 30550115010015 3015011101000 321rankBAI

32、rankrankBAIrankrankBAIrank線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性判定線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性判定1格拉姆矩陣判據(jù)格拉姆矩陣判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是存在這線性定常系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是存在這樣一個(gè)時(shí)刻樣一個(gè)時(shí)刻t10，使得格拉姆矩陣，使得格拉姆矩陣 是非奇異的。是非奇異的。 和時(shí)變系統(tǒng)一樣，定常系統(tǒng)的格拉姆矩陣判據(jù)主要和時(shí)變系統(tǒng)一樣，定常系統(tǒng)的格拉姆矩陣判據(jù)主要應(yīng)用于理論分析，這是因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，首先要應(yīng)用于理論分析，這是因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，首先要計(jì)算出矩陣指數(shù)函數(shù)計(jì)算出矩陣指數(shù)函數(shù)eAt，而當(dāng)，而當(dāng)A的維數(shù)較大時(shí)并不的維數(shù)較大時(shí)并不容易容易dtCeCetWt

33、AtTtAoT101), 0(2秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是線性定常系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是我們稱矩陣我們稱矩陣QoQo為系統(tǒng)的能觀測(cè)性判別陣，這個(gè)結(jié)論完為系統(tǒng)的能觀測(cè)性判別陣，這個(gè)結(jié)論完全是由線性定常系統(tǒng)能觀測(cè)性的格拉姆矩陣的非奇全是由線性定常系統(tǒng)能觀測(cè)性的格拉姆矩陣的非奇異性推導(dǎo)而來(lái)，與格拉姆矩陣判據(jù)是完全等價(jià)的。異性推導(dǎo)而來(lái)，與格拉姆矩陣判據(jù)是完全等價(jià)的。 nCACACACrankrankQno123PBH秩判據(jù)秩判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是對(duì)矩線性定常系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是對(duì)矩陣陣A的所有特征值的所有特征值 ，均有下式成立：，均有下

34、式成立：即即sI-A和和C是右互質(zhì)的。是右互質(zhì)的。 nii,.,1 ,復(fù)數(shù)域或CsnAsICrankninAICranki , ,.,2 , 1 , 4PBH特征向量判據(jù)特征向量判據(jù) 線性定常系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是線性定常系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是A不能不能有與有與C的所有行相正交的非零右特征向量，即對(duì)的所有行相正交的非零右特征向量，即對(duì)A的任一特征值的任一特征值 使同時(shí)滿足使同時(shí)滿足 的特征向量的特征向量 。i0 ,CAi05約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)線性定常系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是線性定常系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是Case1 當(dāng)當(dāng)A矩陣的特征根兩兩相異時(shí)，在導(dǎo)出的對(duì)

35、角矩陣的特征根兩兩相異時(shí)，在導(dǎo)出的對(duì)角線規(guī)范型線規(guī)范型中，矩陣中，矩陣 不包含元素全為零的列。不包含元素全為零的列。 xccxCyxxnn11100CCase2:A的特征值為的特征值為時(shí)，導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型時(shí)，導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型那么由矩陣那么由矩陣 中對(duì)應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊的第一列列向量是中對(duì)應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊的第一列列向量是線性無(wú)關(guān)的。換句話說(shuō)，矩陣中對(duì)應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊線性無(wú)關(guān)的。換句話說(shuō)，矩陣中對(duì)應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊的第一列列向量中無(wú)零列，且對(duì)應(yīng)同一特征根的的第一列列向量中無(wú)零列，且對(duì)應(yīng)同一特征根的這些列分別是線性無(wú)關(guān)的。這些列分別是線性無(wú)關(guān)的。nikiii12211),(,),(),(且重重重xCCyxJJxii11

36、00iC舉例：給出了約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型舉例：給出了約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 標(biāo)準(zhǔn)型中共有三個(gè)約當(dāng)塊，要保證系統(tǒng)是完全能觀標(biāo)準(zhǔn)型中共有三個(gè)約當(dāng)塊，要保證系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的，則測(cè)的，則C C矩陣中對(duì)應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊的第一列非零，矩陣中對(duì)應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊的第一列非零，即即c1,c4,c6c1,c4,c6是非零的列向量，對(duì)應(yīng)同一特征根的這是非零的列向量，對(duì)應(yīng)同一特征根的這些列分別是線性無(wú)關(guān)的，即對(duì)應(yīng)特征根些列分別是線性無(wú)關(guān)的，即對(duì)應(yīng)特征根 的列的列c1,c4c1,c4是線性無(wú)關(guān)的。是線性無(wú)關(guān)的。xccccccyxx654321211111011011例：給出線性定常系統(tǒng)例：給出線性定常系統(tǒng)試用上述判據(jù)來(lái)判定給定系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測(cè)性。

37、試用上述判據(jù)來(lái)判定給定系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測(cè)性。xyuxx011011050100001解：秩判據(jù)：解：秩判據(jù)：系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的。系統(tǒng)是完全能觀測(cè)的。30511010112rankCACACrankrankQo5, 1PBHPBH判據(jù)：判據(jù)：首先計(jì)算出特征值首先計(jì)算出特征值 ，分別計(jì)，分別計(jì)算算 是否都等于是否都等于n n， AICranki35501500015011355015000150113150110000011321rankAICrankrankAICrankrankAICrank8給定線性定常系統(tǒng)給定線性定常系統(tǒng) ：則它的對(duì)偶系統(tǒng)則它的對(duì)偶系統(tǒng) 為：為： d對(duì)偶原理對(duì)偶原理 能控性和

38、能觀測(cè)性無(wú)論是從概念上還是從判據(jù)的形式能控性和能觀測(cè)性無(wú)論是從概念上還是從判據(jù)的形式上都是對(duì)偶的，這種對(duì)偶關(guān)系反映了系統(tǒng)的能控問上都是對(duì)偶的，這種對(duì)偶關(guān)系反映了系統(tǒng)的能控問題與估計(jì)問題之間的對(duì)偶性題與估計(jì)問題之間的對(duì)偶性 對(duì)偶系統(tǒng)定義對(duì)偶系統(tǒng)定義mpnRyCxyRuRxBuAxx , ,pTmnTTRWzBWRVRzVCzAz , , 給定系統(tǒng)和對(duì)偶系統(tǒng)的方塊圖是對(duì)偶的給定系統(tǒng)和對(duì)偶系統(tǒng)的方塊圖是對(duì)偶的 對(duì)偶系統(tǒng)對(duì)偶系統(tǒng)又稱為又稱為伴隨系統(tǒng)伴隨系統(tǒng)，可以看出給定系統(tǒng)和對(duì)，可以看出給定系統(tǒng)和對(duì)偶系統(tǒng)之間的狀態(tài)維數(shù)一致，而給定系統(tǒng)的輸入，偶系統(tǒng)之間的狀態(tài)維數(shù)一致，而給定系統(tǒng)的輸入，輸出維數(shù)分別等于

39、對(duì)偶系統(tǒng)的輸出和輸入維數(shù)。輸出維數(shù)分別等于對(duì)偶系統(tǒng)的輸出和輸入維數(shù)。 給定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是狀態(tài)點(diǎn)在狀態(tài)空間中由t0到t的正時(shí)向轉(zhuǎn)移，而對(duì)偶系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是協(xié)狀態(tài)點(diǎn)在狀態(tài)空間中由t到t0的反時(shí)向轉(zhuǎn)移。 設(shè) 和 是給定系統(tǒng)和對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則必成立 ),(0tt),(0ttd),(),(00ttttTd對(duì)偶原理：對(duì)偶原理： 給定系統(tǒng)和對(duì)偶系統(tǒng)在能控性和能觀測(cè)性上具有以給定系統(tǒng)和對(duì)偶系統(tǒng)在能控性和能觀測(cè)性上具有以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：下對(duì)應(yīng)關(guān)系： 給定系統(tǒng)的完全能控性等價(jià)于對(duì)偶系統(tǒng)的完全能觀給定系統(tǒng)的完全能控性等價(jià)于對(duì)偶系統(tǒng)的完全能觀測(cè)性，給定系統(tǒng)的完全能觀測(cè)性等價(jià)于對(duì)偶系統(tǒng)的測(cè)性，給定系統(tǒng)的完全能觀測(cè)性等價(jià)

40、于對(duì)偶系統(tǒng)的完全能控性。完全能控性。可根據(jù)能控性和能觀測(cè)性的秩判據(jù)對(duì)上述對(duì)偶原理進(jìn)可根據(jù)能控性和能觀測(cè)性的秩判據(jù)對(duì)上述對(duì)偶原理進(jìn)行證明。行證明。 驗(yàn)證：驗(yàn)證：給定系統(tǒng)的能控性判別矩陣對(duì)偶系統(tǒng)的能觀測(cè)性判別矩陣 BAABBQnc1TnnTTTTToBAABBABABBQ11)(二者秩完全相同 給定系統(tǒng)的能觀測(cè)性判別矩陣對(duì)偶系統(tǒng)的能控性判別矩陣 1noCACACQTnTnTTTToCACACCACACQ11)(二者秩完全相同 7.3.3 7.3.3 單輸入單輸出系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀測(cè)單輸入單輸出系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型規(guī)范型 對(duì)于完全能控或是完全能觀測(cè)的線性定常系統(tǒng)，如果單從能控性或是能觀

41、測(cè)性這兩個(gè)基本特性出發(fā)構(gòu)造出一個(gè)非奇異變換，那么就可以把系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述在這一線性變換下，轉(zhuǎn)化成只有能控系統(tǒng)或能觀測(cè)系統(tǒng)才具有的標(biāo)準(zhǔn)形式。通常把這種標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)空間描述稱為能控規(guī)范型，能觀測(cè)規(guī)范型。 能控性規(guī)范型能控性規(guī)范型 給定系統(tǒng)給定系統(tǒng) ，且系統(tǒng)是完全能，且系統(tǒng)是完全能控的，有控的，有特征多項(xiàng)式為特征多項(xiàng)式為 cxybuAxx , :nbAAbbrankn10111)()det(asasassAsInnn定義常數(shù)定義常數(shù)cbabcAabcAcbabcAabcAcbacAbcbnnnnnnnnn121102312112111011111nnnaaabAbbAP構(gòu)造變換矩陣構(gòu)造變換矩陣在

42、變換在變換 下，可以導(dǎo)出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型下，可以導(dǎo)出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型 其中其中xPx111011101,100 ,10000010nccnccPcbPbaaaAPPAxcyubxAxccc,舉例：給定系統(tǒng)舉例：給定系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：特征多項(xiàng)式為： xyuxx1011103001202116116)()det(213ssssAsI非奇異變換矩陣：非奇異變換矩陣： 以及構(gòu)造常數(shù)以及構(gòu)造常數(shù) 28182882332101132154038161101600113911103101PP，10,n10611220212cbacAbabcAcbacAbcb得到系統(tǒng)的能控性標(biāo)準(zhǔn)型：得到系統(tǒng)的能控性標(biāo)準(zhǔn)型：

43、1610100 ,6116100010ccccbA能觀測(cè)規(guī)范型能觀測(cè)規(guī)范型 對(duì)上述給定系統(tǒng)，矩陣對(duì)上述給定系統(tǒng)，矩陣A的特征多項(xiàng)式及常數(shù)定義不的特征多項(xiàng)式及常數(shù)定義不變，利用能觀測(cè)性與能控性的對(duì)偶關(guān)系，可以定義變，利用能觀測(cè)性與能控性的對(duì)偶關(guān)系，可以定義非奇異變換矩陣非奇異變換矩陣ccAcAaaaQnnn11111011則利用變換關(guān)系則利用變換關(guān)系 ，導(dǎo)出系統(tǒng)的能觀測(cè)規(guī)范型：，導(dǎo)出系統(tǒng)的能觀測(cè)規(guī)范型： 其中Qxx xcyubxAxooo,100, ,10000100011101101cQcQbbaaaQAQAonono討論：討論：1.能控性規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型是通過一種簡(jiǎn)單的，明能控性規(guī)范型和

44、能觀測(cè)規(guī)范型是通過一種簡(jiǎn)單的，明顯的方式把系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述與反應(yīng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特顯的方式把系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述與反應(yīng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的特征多項(xiàng)式聯(lián)系起來(lái)，這對(duì)于討論系統(tǒng)的綜合性的特征多項(xiàng)式聯(lián)系起來(lái)，這對(duì)于討論系統(tǒng)的綜合控制及觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題給予了很大的方便，如討論控制及觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題給予了很大的方便，如討論極點(diǎn)配置問題上，利用規(guī)范型中系統(tǒng)矩陣與特征多極點(diǎn)配置問題上，利用規(guī)范型中系統(tǒng)矩陣與特征多項(xiàng)式之間的關(guān)系可以輕易的寫出經(jīng)過配置后的能控項(xiàng)式之間的關(guān)系可以輕易的寫出經(jīng)過配置后的能控規(guī)范型，與原始系統(tǒng)加以比較就可以很容易的找到規(guī)范型，與原始系統(tǒng)加以比較就可以很容易的找到相應(yīng)的控制輸入相應(yīng)的控制輸入u，其他一些

45、控制問題，如鎮(zhèn)定，跟，其他一些控制問題，如鎮(zhèn)定，跟蹤等都可以轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)臉O點(diǎn)配置問題，另外觀測(cè)蹤等都可以轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)臉O點(diǎn)配置問題，另外觀測(cè)器的設(shè)計(jì)也是基于能觀規(guī)范型提出的。器的設(shè)計(jì)也是基于能觀規(guī)范型提出的。2.2.代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性保持不變。此外，代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性保持不變。此外，對(duì)于完全能控（觀測(cè)）的兩個(gè)等價(jià)系統(tǒng)來(lái)講，雖然對(duì)于完全能控（觀測(cè)）的兩個(gè)等價(jià)系統(tǒng)來(lái)講，雖然自身的狀態(tài)空間表達(dá)不一樣，但是他們的能控（觀自身的狀態(tài)空間表達(dá)不一樣，但是他們的能控（觀測(cè)）規(guī)范型完全一樣。測(cè)）規(guī)范型完全一樣。 97.3.4 7.3.4 結(jié)構(gòu)分解結(jié)構(gòu)分解 本節(jié)從系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程角度來(lái)討論不完

46、全能控或不完本節(jié)從系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程角度來(lái)討論不完全能控或不完全能觀測(cè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，即把狀態(tài)方程按照能控全能觀測(cè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，即把狀態(tài)方程按照能控性或能觀測(cè)性或同時(shí)按照二者進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。把系性或能觀測(cè)性或同時(shí)按照二者進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解。把系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)以明顯的方式區(qū)分成能控的，不能控的，統(tǒng)的結(jié)構(gòu)以明顯的方式區(qū)分成能控的，不能控的，或是能觀測(cè)，不能觀測(cè)，或者分解成能控且能觀測(cè)或是能觀測(cè)，不能觀測(cè)，或者分解成能控且能觀測(cè)部分，能控但不能觀測(cè)部分，不能控但能觀測(cè)部分部分，能控但不能觀測(cè)部分，不能控但能觀測(cè)部分以及不能控又不能觀測(cè)四部分。以及不能控又不能觀測(cè)四部分。 研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解，一方面是為了了解系統(tǒng)的結(jié)研

47、究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解，一方面是為了了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，另一方面可以看出狀態(tài)空間描述與輸入輸構(gòu)特性，另一方面可以看出狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述之間的本質(zhì)差別。出描述之間的本質(zhì)差別。 對(duì)線性系統(tǒng)加以結(jié)構(gòu)分解是基于結(jié)論：對(duì)線性系統(tǒng)加以結(jié)構(gòu)分解是基于結(jié)論：兩個(gè)代數(shù)等價(jià)兩個(gè)代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)或是說(shuō)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性非奇異變換，并不會(huì)改系統(tǒng)或是說(shuō)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性非奇異變換，并不會(huì)改變系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性，也不改變系統(tǒng)的不完變系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性，也不改變系統(tǒng)的不完全能控及不完全能觀測(cè)程度。全能控及不完全能觀測(cè)程度。 按能控性分解按能控性分解 不完全能控系統(tǒng)不完全能控系統(tǒng) ， 在在n個(gè)狀態(tài)中只個(gè)狀態(tài)中只有有k個(gè)是能控的

48、，其余個(gè)是能控的，其余n-k個(gè)狀態(tài)是不能控的，按能個(gè)狀態(tài)是不能控的，按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解就是找到這控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解就是找到這k個(gè)能控的狀態(tài)，并寫個(gè)能控的狀態(tài)，并寫出能控子系統(tǒng)與不能控子系統(tǒng)分別對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程，出能控子系統(tǒng)與不能控子系統(tǒng)分別對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程，采用的方法就是采用的方法就是線性非奇異變換。線性非奇異變換。 ),(CBAnkrankQc非奇異變換矩陣的構(gòu)造非奇異變換矩陣的構(gòu)造從從 中任意選取中任意選取k個(gè)線性無(wú)關(guān)列，記個(gè)線性無(wú)關(guān)列，記作作 ，此外在從此外在從n維實(shí)數(shù)空間中任意選取維實(shí)數(shù)空間中任意選取n-k個(gè)線性無(wú)關(guān)列向量個(gè)線性無(wú)關(guān)列向量 ，并保證這，并保證這n-k個(gè)個(gè)列向量與原來(lái)的列向量

49、與原來(lái)的k個(gè)列向量都是線性無(wú)關(guān)的，這樣個(gè)列向量都是線性無(wú)關(guān)的，這樣就組成了非奇異變換矩陣：就組成了非奇異變換矩陣： BAABBQnc1kpp1nkpp1nkkppppP11通過非奇異變換通過非奇異變換 ，就可以把原系統(tǒng)按能控性，就可以把原系統(tǒng)按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解：進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解： xPx1cccccccccxxCCxCPyuBxxAAABuPxAPPx001211注意：非奇異變換矩陣注意：非奇異變換矩陣P P任意的，所以結(jié)構(gòu)分解后得到任意的，所以結(jié)構(gòu)分解后得到的系統(tǒng)總體形式上雖然都一樣，但矩陣中具體的元素的系統(tǒng)總體形式上雖然都一樣，但矩陣中具體的元素值是不同的，唯一確定不變的是值是不同的，唯一確

50、定不變的是 ( (能控部分系統(tǒng)矩能控部分系統(tǒng)矩陣陣) )是是k k維的，（不能控部分系統(tǒng)矩陣）是維的，（不能控部分系統(tǒng)矩陣）是n-kn-k維的。維的。 cAcA在這樣的分解規(guī)范表達(dá)式中，系統(tǒng)被明顯的分解成能在這樣的分解規(guī)范表達(dá)式中，系統(tǒng)被明顯的分解成能控部分和不能控部分。控部分和不能控部分。能控部分的能控部分的k維方程為：維方程為：ccccccccxCyuBxAxAx12n-kn-k維不能控子系統(tǒng)：維不能控子系統(tǒng)： ccccccxCyxAx方塊圖：舉例舉例:重新排序：重新排序： xyuxx43217534003130134014243124312431243100753431400003000

51、1301004xxxxyuxxxxxxxx討論：討論： 不能控部分是系統(tǒng)內(nèi)部完全不受外加作用控制的。不能控部分是系統(tǒng)內(nèi)部完全不受外加作用控制的。 經(jīng)線性非奇異變換后，系統(tǒng)特征值不變，即經(jīng)線性非奇異變換后，系統(tǒng)特征值不變，即)det(*)det(0det)det()det(12ccccAsIAsIAsIAAsIAsIAsI系統(tǒng)特征值被分成兩部分，能控振型，不能控振型。系統(tǒng)特征值被分成兩部分，能控振型，不能控振型。 經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)保持不變，即：經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)保持不變，即：可見系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是一種不完全的描述可見系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是一種不完全的描述, ,只能反應(yīng)只能反應(yīng)出

52、系統(tǒng)能控部分的特征值。出系統(tǒng)能控部分的特征值。cccccccccccccBAsICBAsIAsICCBAsIAAsICCBAsICsG1111121)(0)(0)(00)()(10按能觀測(cè)性分解按能觀測(cè)性分解 ),(CBAnkrankQo 不完全能觀測(cè)系統(tǒng)不完全能觀測(cè)系統(tǒng) ， 在在n個(gè)狀態(tài)中個(gè)狀態(tài)中只有只有k個(gè)是能觀測(cè)的，其余個(gè)是能觀測(cè)的，其余n-k個(gè)狀態(tài)是不能觀測(cè)的，個(gè)狀態(tài)是不能觀測(cè)的，按能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解就是找到這按能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解就是找到這k個(gè)能觀測(cè)的狀個(gè)能觀測(cè)的狀態(tài)，并寫出能觀測(cè)子系統(tǒng)與不能觀測(cè)子系統(tǒng)分別對(duì)態(tài)，并寫出能觀測(cè)子系統(tǒng)與不能觀測(cè)子系統(tǒng)分別對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程，采用的方法就是應(yīng)

53、的狀態(tài)方程，采用的方法就是線性非奇異變換線性非奇異變換。 非奇異變換矩陣的構(gòu)造非奇異變換矩陣的構(gòu)造從從 中任意選取中任意選取k個(gè)線性無(wú)關(guān)行，記作個(gè)線性無(wú)關(guān)行，記作 ， 再?gòu)脑購(gòu)膎維實(shí)數(shù)空間中任選維實(shí)數(shù)空間中任選n-k個(gè)線性無(wú)關(guān)行向量個(gè)線性無(wú)關(guān)行向量 并保證這并保證這n-k個(gè)行向量與原來(lái)的個(gè)行向量與原來(lái)的k個(gè)行向量都是線性無(wú)關(guān)個(gè)行向量都是線性無(wú)關(guān)的，這樣就組成了非奇異變換矩陣：的，這樣就組成了非奇異變換矩陣： nkqq,11noCACACQTTkTqq1TTnTkTkTqqqqQ11通過非奇異變換通過非奇異變換 ，就可以把原系統(tǒng)按能觀測(cè)，就可以把原系統(tǒng)按能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解：性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解： Q

54、xx 注意注意：非奇異變換矩陣：非奇異變換矩陣Q Q是任意的，所以結(jié)構(gòu)分解后是任意的，所以結(jié)構(gòu)分解后得到的系統(tǒng)總體形式上雖然都一樣，但矩陣中具體得到的系統(tǒng)總體形式上雖然都一樣，但矩陣中具體的元素值是不同的，唯一確定不變的是的元素值是不同的，唯一確定不變的是 ( (能觀測(cè)能觀測(cè)子系統(tǒng)矩陣子系統(tǒng)矩陣) )是是k k維的，維的， （不能觀測(cè)子系統(tǒng)矩陣）是（不能觀測(cè)子系統(tǒng)矩陣）是n-kn-k維的。維的。 oooooooooxxCxCQyuBBxxAAAQBuxQAQx001211oAoA在這樣的分解規(guī)范表達(dá)式中，系統(tǒng)被明顯的分解成能在這樣的分解規(guī)范表達(dá)式中，系統(tǒng)被明顯的分解成能觀測(cè)部分和不能觀測(cè)部分，

55、其中能觀測(cè)部分的觀測(cè)部分和不能觀測(cè)部分，其中能觀測(cè)部分的k維維方程為：方程為：n-kn-k維不能觀測(cè)子系統(tǒng)：維不能觀測(cè)子系統(tǒng)：oooooooxCyuBxAxuBxAxAxooooo21討論：討論： 系統(tǒng)的輸出完全體現(xiàn)了可測(cè)狀態(tài)，而不能觀測(cè)部分沒系統(tǒng)的輸出完全體現(xiàn)了可測(cè)狀態(tài)，而不能觀測(cè)部分沒有輸出與之對(duì)應(yīng)。有輸出與之對(duì)應(yīng)。經(jīng)線性非奇異變換后，系統(tǒng)特征值不變，即經(jīng)線性非奇異變換后，系統(tǒng)特征值不變，即系統(tǒng)特征值被分成兩部分：能觀測(cè)和不能觀測(cè)特征值。系統(tǒng)特征值被分成兩部分：能觀測(cè)和不能觀測(cè)特征值。)det(*)det(0det)det()det(21ooooAsIAsIAsIAAsIAsIAsI 經(jīng)非

56、奇異變換后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)保持不變，即：經(jīng)非奇異變換后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)保持不變，即：可見系統(tǒng)的傳遞函數(shù)只能反應(yīng)出系統(tǒng)能觀測(cè)部分的特可見系統(tǒng)的傳遞函數(shù)只能反應(yīng)出系統(tǒng)能觀測(cè)部分的特征值，是一種不完全的描述。征值，是一種不完全的描述。oooooooooooooBAsICBBAsIAsICBBAsIAAsICBAsICsG1111211)()(0)(000)()(規(guī)范分解規(guī)范分解 如果系統(tǒng)是不完全能控且不完全能觀測(cè)的，那么單純對(duì)系統(tǒng)如果系統(tǒng)是不完全能控且不完全能觀測(cè)的，那么單純對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行一次分解（按能控性或是能觀測(cè)性）并不可能對(duì)整個(gè)系進(jìn)行一次分解（按能控性或是能觀測(cè)性）并不可能對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有完全的

57、了解，這時(shí)必須進(jìn)行二次分解，在能觀測(cè)統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有完全的了解，這時(shí)必須進(jìn)行二次分解，在能觀測(cè)性分解的基礎(chǔ)上進(jìn)行能控性分解，這樣才可能對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性分解的基礎(chǔ)上進(jìn)行能控性分解，這樣才可能對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有更好的了解。有更好的了解。 把同時(shí)按照能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解稱為規(guī)范分解。把同時(shí)按照能控性和能觀測(cè)性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解稱為規(guī)范分解。 注意：規(guī)范分解時(shí)必須先按能觀測(cè)性進(jìn)行分解，然后再進(jìn)行注意：規(guī)范分解時(shí)必須先按能觀測(cè)性進(jìn)行分解，然后再進(jìn)行能控性分解，而不能先對(duì)系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解，然后再分能控性分解，而不能先對(duì)系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解，然后再分別對(duì)能控子系統(tǒng)和不能控子系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解，其原因就別對(duì)能控子系

58、統(tǒng)和不能控子系統(tǒng)按能觀測(cè)性分解，其原因就在于按能控性分解后得到的能控性子系統(tǒng)的輸出和不能控子在于按能控性分解后得到的能控性子系統(tǒng)的輸出和不能控子系統(tǒng)的輸出之和才是整個(gè)系統(tǒng)真正的輸出，系統(tǒng)的能觀測(cè)性系統(tǒng)的輸出之和才是整個(gè)系統(tǒng)真正的輸出，系統(tǒng)的能觀測(cè)性反映的是輸出對(duì)狀態(tài)的觀測(cè)能力，它與子系統(tǒng)的輸出和對(duì)狀反映的是輸出對(duì)狀態(tài)的觀測(cè)能力，它與子系統(tǒng)的輸出和對(duì)狀態(tài)的觀測(cè)能力是不同的，所以分別對(duì)能控子系統(tǒng)和不能控子態(tài)的觀測(cè)能力是不同的，所以分別對(duì)能控子系統(tǒng)和不能控子系統(tǒng)再按能觀測(cè)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，得到的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的。系統(tǒng)再按能觀測(cè)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，得到的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的。 首先進(jìn)行能觀測(cè)性分解得：首先進(jìn)行能觀測(cè)

59、性分解得： 能觀測(cè)和不能觀測(cè)狀態(tài)中同時(shí)都包括能控和不能控能觀測(cè)和不能觀測(cè)狀態(tài)中同時(shí)都包括能控和不能控的兩部分，為此要對(duì)能觀測(cè)子系統(tǒng)和不能觀測(cè)子系的兩部分，為此要對(duì)能觀測(cè)子系統(tǒng)和不能觀測(cè)子系統(tǒng)再按照能控性進(jìn)行分解：統(tǒng)再按照能控性進(jìn)行分解：oooooooooxxCxCQyuBBxxAAAQBuxQAQx001211ocococcooccooccoocococcoocococcoocococcoxxxxCCxCyuBBxxxxAAAAAAAAAuBxAxxxx 423432311200000000000系統(tǒng)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)傳遞函數(shù)為只反應(yīng)出能控且能觀測(cè)那部分的特征值，而不能控或只反應(yīng)出能控且能觀測(cè)那部

60、分的特征值，而不能控或是不能觀測(cè)那部分的特征值模態(tài)再傳遞函數(shù)中并沒是不能觀測(cè)那部分的特征值模態(tài)再傳遞函數(shù)中并沒有體現(xiàn)。這些不能控或是不能觀測(cè)的模態(tài)代表了系有體現(xiàn)。這些不能控或是不能觀測(cè)的模態(tài)代表了系統(tǒng)的內(nèi)部特征，在有關(guān)文獻(xiàn)中被稱為隱藏模態(tài)。所統(tǒng)的內(nèi)部特征，在有關(guān)文獻(xiàn)中被稱為隱藏模態(tài)。所以說(shuō)狀態(tài)空間描述要比輸入輸出描述全面，它不光以說(shuō)狀態(tài)空間描述要比輸入輸出描述全面，它不光能夠反應(yīng)出系統(tǒng)的外部特征，同時(shí)也可以體現(xiàn)系統(tǒng)能夠反應(yīng)出系統(tǒng)的外部特征，同時(shí)也可以體現(xiàn)系統(tǒng)的內(nèi)部特征。的內(nèi)部特征。cococoBAsICBAsICsG11)()()(信息傳遞：信息傳遞： 不可控，不可觀，進(jìn)：由不可控不可控，不可