1、2.1 矩矩 陣陣一、矩陣概念的引入一、矩陣概念的引入 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 線性方程組線性方程組的解取決于的解取決于系數(shù)系數(shù)aij和和常數(shù)項常數(shù)項bj ( i =1, 2, , n, j =1, 2, , m ). mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211對線性方程組的對線性方程組的研究可轉化為對研究可轉化為對這張數(shù)表的研究這張數(shù)表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為 2. 某航空公司在某航空公司在A, B, C, D四城四城市之間開

2、辟了若干航線市之間開辟了若干航線, 如圖所示表如圖所示表示了四城市間的航班圖示了四城市間的航班圖, 如果從如果從A到到B有航班有航班, 則用帶箭頭的線連接則用帶箭頭的線連接A與與B.ABCD四城市間的航班圖情況常用表格來表示四城市間的航班圖情況常用表格來表示:發(fā)站發(fā)站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班. 為了便于計算為了便于計算, 把表中的把表中的 改成改成1, 空白地方填空白地方填上上0, 就得到一個數(shù)表就得到一個數(shù)表:1111111000000000這個數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況這個數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.mnmmnnaaaaaaaaa21222211121

3、1二、矩陣的定義二、矩陣的定義 定義定義: 由由m n個數(shù)個數(shù) aij ( i =1, 2, , m; j =1, 2, , n )排成的排成的 m 行行 n 列的數(shù)表列的數(shù)表:稱為稱為m行行n列的矩陣列的矩陣. 簡稱簡稱 m n 矩陣矩陣. 記作記作 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211簡記為簡記為: A = Am n = ( aij )m n = ( aij ). 這這m n個數(shù)個數(shù)aij稱為稱為矩陣矩陣A的的(第第 i 行第行第 j 列列)元素元素. 元素是實數(shù)的矩陣稱為元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣實矩陣, 元素是復數(shù)的矩元素是復數(shù)的矩陣稱為陣稱為復矩陣復矩陣.例如例如

4、: 34695301是一個是一個2 4實矩陣實矩陣; 2222222613i是一個是一個3 3復矩陣復矩陣; 421是一個是一個1 4(實實)矩陣矩陣; 9532是一個是一個3 1(實實)矩陣矩陣; 4是一個是一個1 1(實實)矩陣矩陣.例如例如: 2222222613i是一個是一個3 階方陣階方陣.幾種特殊矩陣幾種特殊矩陣 (1) 行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣的矩陣A, 稱為稱為n階方陣階方陣. 也可記作也可記作An, n 00000021的方陣的方陣, 稱為稱為(2) 形如形如(或或), 其中其中 1, 2, , n不全為零不全為零. 記作記作diag( 1, 2, , n)

5、(3) 如果如果En= diag( 1, 2, , n) = diag(1, 1, , 1), 則稱則稱En為為(n階階)單位矩陣單位矩陣, 或簡稱或簡稱單位陣單位陣. 簡記為簡記為E. (4) 只有一行只有一行(列列)的矩陣稱為的矩陣稱為行行(列列)矩陣矩陣(或或行行(列列)向量向量). ,21naaaA ,21 naaaB (5) 元素全為零的矩陣稱為元素全為零的矩陣稱為零矩陣零矩陣, m n 階零矩陣階零矩陣記作記作Om n或或O. (6) 設設A = ( aij )為為 n 階方陣階方陣, 對任意對任意 i, j, 如果如果aij = aji都成立都成立, 則稱則稱A為為對稱矩陣對稱矩

6、陣; 如果如果aij = aji 都成立都成立, 則稱則稱A為為反對稱矩陣反對稱矩陣; 例如例如: 643452321A 043402320BA為對稱矩陣為對稱矩陣, B為反對稱矩陣為反對稱矩陣.,131,213321 zyxBA例例1: 設設解解: 由于矩陣由于矩陣A =B, 則由矩陣相等的定義則由矩陣相等的定義,已知已知A =B, 求求x, y, z.x=2, y=3, z=2.得得: 2. 兩個矩陣兩個矩陣A = ( aij )與與B = ( bij )為同型矩陣為同型矩陣, 并且并且對應元素相等對應元素相等, 即即 aij = bij ( i =1, 2, , m; j =1, 2,

7、, n )則稱則稱矩陣矩陣A與與B相等相等, 記作記作A=B.同型矩陣與矩陣相等的概念同型矩陣與矩陣相等的概念1. 兩個行列數(shù)對應相等的矩陣稱為兩個行列數(shù)對應相等的矩陣稱為同型矩陣同型矩陣.例如例如:為為同型矩陣同型矩陣. 9101735,642531BA(1) 矩陣的概念矩陣的概念: m行行n列的數(shù)表列的數(shù)表 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211(2) 特殊矩陣特殊矩陣 方陣方陣 ;nm 行矩陣與列矩陣行矩陣與列矩陣;單位矩陣單位矩陣;零矩陣零矩陣.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021矩陣與行列式有何區(qū)別矩陣與行列式有何區(qū)別? 矩陣與行列式有本質的區(qū)