1、溫馨提示:此套題為 WordWord 版，請按住 Ctrl,Ctrl,滑動鼠標滾軸，調節合 適的觀看比例，答案解析附后。關閉WordWord 文檔返回原板塊。課時提升作業十五雙曲線的簡單性質一、選擇題（每小題 5 分，共 25 分）1.雙曲線 x2 =1 的實軸長是（）3A.2B2;彪C.4D.1【解析】選 A.a2=1，所以 2a=2,即實軸長為 2.2.（2019 福州高二檢測）經過點 P（2, -2），且與雙曲線 C:-y2=1有【解析】選 A.設與雙曲線 C: -y2=1 有相同漸近線的雙曲線方程是 辭2.-y2=入（入工 0），又雙曲線經過點 P（2, -2），所以入二-4=-2，即

2、雙曲22線方程為-=1.243.（2019 贛州高二檢測）已知雙曲線 C: =1（a0, b0）的漸近線方程為 y= x,則 C 的離心率為（）相同漸近線的雙曲線方程是（）【解析】選 C.因為雙曲線 C:呂-=1（a0, b0）的漸近線方程為 y=x= x,得二，則 C 的離心率 e=-.a 2 a 2a X a/24.（2019 九江高二檢測）已知雙曲線 C:=1 的焦距為 10,點 P（2 ,包丄bz1）在 C 的漸近線上，則 C 的方程為（）B. =1S 20C. =180 20屮y心D. -=120 80【解析】選 A.由 2c=10 得 c=5,h因為點 P（2，1）在直線 y= x

3、 上,a所以=1.a又因為a2+b2=25,所以=20, b2=5,故雙曲線的方程為丁廣1【補償訓練】等軸雙曲線的一個焦點是 F1（-6，0），則它的標準方程是所以 a+a=6，所以 a=18.故雙曲線方程為-=1.Io lo5.（2019 全國卷H）已知 A, B 為雙曲線 E 的左、右頂點，點 M 在 E【解析】選 B.設等軸雙曲線方程為y一弋-0).20 5()IS 1S8 88 &上, ABM 為等腰三角形，且頂角為 120,則 E 的離心率為（）A. 三B.2C. VD. . 2【解析】選 D.設雙曲線方程為0, b0），如圖所示,|AB|=|BM|，/ ABM=120，過點 M 作

4、 MNLx 軸，垂足為 N,在 Rt BMN 中，|BN|=a , |MN|=la,故點 M 的坐標為 M（2a,匚輕 a），代入雙曲線方程得 a2=b2=c2-a2，即 c2=2a2，所以 e二關復二、填空題（每小題 5 分，共 15 分）6. （2019 陜西高考）若拋物線 y2=2px（p0）的準線經過雙曲線 x2-y2=1的一個焦點，貝 S p=_.【解析】雙曲線 x2-y2=1 的左焦點為（-誘玄,0），故拋物線 y2=2px 的準線為 x=- . 1,所以-二，所以 p=2 答案：2.2二 二7. 若雙曲線-=1 的離心率 e=2,則 m二16 ir-【解析】c2=a2+b2=16

5、+m 又因為 e 蔦,所以 e=2= ，所以 m=48.答案：48【補償訓練】若雙曲線二-=1（b0）的漸近線方程為 y= x，則 b 等于4 b*2【解析】雙曲線一-一=1 的漸近線方程為 y= x,又漸近線方程為 y=4h22 x,故 b=1.2答案：18. 頂點間距離為 6,漸近線方程為 y=fX,則雙曲線的方程為 _ .【解題指南】根據漸近線方程表示出雙曲線方程，由方程及兩頂點間距離列方程，但要對參數分情況討論.【解析】設以 y= X 為漸近線的雙曲線方程為 0 時，a2=4 入，所以 2a=2.二=6,即入,4當入0 時，a2=-9 入，所以 2a=2勒=6，即入=-1.所以雙曲線的

6、方程為=1 或-=1.36194答案：0, b0）.由題意知二二.D 3所以所求的雙曲線方程為-=110. 焦點在 x 軸上的雙曲線，它的兩條漸近線的夾角為:，焦距為 12,求此雙曲線的方程及離心率.【解析】由已知可設雙曲線的方程為=1（a0，b0），所以兩條漸近線為 y= x.IT因為兩條漸近線的夾角為，故分兩種情況,n n即 y= x 的傾斜角為或.HH當 y= x 的傾斜角為時，所以 =tan =亍，所以*=，即 a2=3b2.因為雙曲線過點PC :，2），所以一-=1,a3盼24a2=-,3rb2= 3.解方程組；：得故所求雙曲線方程為-y2-x2=1.43設所求雙曲線方程為- =1

7、（a0，b0） .計bz因為 e=，所以 e= =1二，3包亠所以二a 3（2 = $解方程組. 得9一49.b2=4.a2又 2c=12，所以 c=6.由 c2=a2+b2, 得 b2=9, a2=27.所以雙曲線方程為 =1,27 9c 62 0, b0）的右焦點為 F,左、右頂點為 A, A,過 F 作AA的垂線與雙曲線交于 B, C 兩點，若 AB 丄 AC,則該雙曲線的漸近線斜率為()A. 士B. 士2 2C. 士 1D. 士 厲【解析】選 C.由題意知 F(c , 0), A(-a ,0) , A(a ,0)，其中 尸淼齊卜護. 聯立忖_幺.可解得 B?斗 I，C ：， 所以您:說

8、匕亍，啟二二一.：j又因為 AB 丄 AC,L4所以 J_ 二-=(c+a)(c-a)-=0,包厶解得 a=b,所以該雙曲線的漸近線斜率為士 1.二、填空題(每小題 5 分，共 10 分)3._ (2019 吉安高二檢測)已知雙曲線的漸近線方程為 y= x，且實軸長 為 2,則雙曲線的標準方程為.【解析】(1)當焦點在 x 軸上時，由題意知 2a=2,所以 a=1,又因為-二？b-,3.丄所以雙曲線的標準方程為 X2- L=1.4當焦點在 y 軸上時，由題意知 2a=2,所以 a=1,又因為 u ?百,所以雙曲線的標準方程為 y2-亍=1.2習2綜上可得雙曲線的方程為 X2- =1 或 y2-

9、=1.49答案：x2-=1 或 y2-寧=14g【誤區警示】易對雙曲線的概念和漸近線之間的關系理解不全而漏掉一解.【補償訓練】若雙曲線二-=1（a0）的離心率為 2,則 a=_【解析】因為 b= 2，所以 c=.畔.|黑r-rprC vS2+3所以二-=2，a a所以 a=1.答案：14.（2019 廣州高二檢測）雙曲線-=1（a0,b0）的離心率為 2,則一a2ba3的最小值為_ .【解析】雙曲線=1（a0, b0）的離心率為 2,包亠b*則 c=2a,匚b和1 c2-aa+l 3a2+l 1、2唐所以=a+ .3a 3a 3a 3a 3當且僅當 a=，即 a=時，一的最小值為3a33a三、

10、解答題（每小題 10 分，共 20 分）5.已知雙曲線關于兩坐標軸對稱，且與圓 x2+y2=10 相交于點 P（3，-1），若此圓過點 P 的切線與雙曲線的漸近線平行，求此雙曲線的方程【解析】切點為 P（3，-1）的圓的切線方程為 3x-y=10，因為雙曲線的一條漸近線平行于此切線，且雙曲線關于兩坐標軸對稱 所以雙曲線的漸近線方程為 3x 士 y=0.當焦點在 x 軸上時，設雙曲線方程為 一一=1（a0, b0）, 則其漸近線方程為 y= x,即=3,aa則雙曲線方程可化為 一=1，a39a2因為雙曲線過點 P（3，-1），所以-=1，所以 a2二二，b2=80,所以所求雙曲線方程為 E-=1

11、.T80當焦點在 y 軸上時，設雙曲線方程為-=1（a0，b0），則漸近線方程為 y=?x，即二=3，b則雙曲線方程可化為-=1，9b2b2因為雙曲線過點 P（3，-1），所以-=1,得-亠 1 無解.綜上可知所求雙曲線方程為 刖-=1.80g【一題多解】切點為 P（3，-1）的圓的切線方程為 3x-y=10.因為雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關于兩坐標軸對稱. 所以雙曲線的兩條漸近線方程為3x y=0，設所求的雙曲線方程為 9x2-y2二入（入工 0），因為點 P（3, -1）在所求雙曲線上，所以入=80.2 2所以所求雙曲線方程為 P-=1.806.設 F1， F2分別為雙曲線一

12、-=1 的左、右焦點，A，A 分別為這個雙 曲線的左、右頂點，P 為雙曲線右支上的任意一點，求證：以 A1A2為直 徑的圓既與以 PF2為直徑的圓外切，又與以 PF 為直徑的圓內切.【解題指南】設 N M 分別是 PF, PF2的中點，只要證明|0M|=a+|PF2| , 并且|0N|= |PFi|-a 即可.注意點 P 在雙曲線的右支上，Fi, F2是雙曲線 的兩個焦點，滿足了使用定義的條件特征，故應從雙曲線的定義入手 去探索證明的途徑.【證明】如圖，以 AA 為直徑的圓的圓心為 0,半徑為 a，令 M N 分 別是PF2，PF 的中點，由三角形中位線的性質，得|0M = |PFi|.又根據雙曲線的定義，得|