1、第第8章章截截 面面 的的 幾幾 何何 性性 質(zhì)質(zhì) 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 靜矩、形心及其相互關(guān)系靜矩、形心及其相互關(guān)系 慣性矩的概念及計(jì)算方法慣性矩的概念及計(jì)算方法 慣性矩的平行移軸公式慣性矩的平行移軸公式 組合截面慣性矩計(jì)算組合截面慣性矩計(jì)算 單元學(xué)習(xí)目標(biāo)單元學(xué)習(xí)目標(biāo)遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué) 靜矩、形心及其相互關(guān)系靜矩、形心及其相互關(guān)系 慣性矩的概念及計(jì)算方法慣性矩的概念及計(jì)算方法 慣性矩的平行移軸公式慣性矩的平行移軸公式 組合截面慣性矩計(jì)算組合截面慣性矩計(jì)算遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)截面對(duì)于一個(gè)構(gòu)件或者結(jié)構(gòu)來說是非常重要的，下面我們列舉一下工

2、程當(dāng)中常見的幾種截面：槽鋼角鋼工字型遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué) 在工程中，我們總是希望在滿足安全條件的前提下，在工程中，我們總是希望在滿足安全條件的前提下，盡可能地使用較少的材料，以取得較好的經(jīng)濟(jì)效果，由此盡可能地使用較少的材料，以取得較好的經(jīng)濟(jì)效果，由此就會(huì)遇到一些與構(gòu)件的截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，這就會(huì)遇到一些與構(gòu)件的截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，這些量統(tǒng)稱為些量統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)。截面的幾何性質(zhì)是影響構(gòu)件的承載力的重要因素之截面的幾何性質(zhì)是影響構(gòu)件的承載力的重要因素之一。一般工程問題，截面的幾何性質(zhì)主要包括：形心、靜一。一般工程問題，截面的幾何性質(zhì)主要包括：形心、靜矩

3、、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、形心主軸和矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、形心主軸和形心主矩等。工程力學(xué)中，研究桿件的應(yīng)力與變形，研究形心主矩等。工程力學(xué)中，研究桿件的應(yīng)力與變形，研究失效問題以及強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題，都要涉及到與截失效問題以及強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問題，都要涉及到與截面的幾何性質(zhì)有關(guān)的量。面的幾何性質(zhì)有關(guān)的量。遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)AyAzSdAzAySd截面截面A對(duì)于對(duì)于 y 軸的靜矩軸的靜矩截面截面A對(duì)于對(duì)于 z 軸的靜矩軸的靜矩zyOdAyzrA注意： 靜矩是一個(gè)代數(shù)量，可正、可負(fù)或?yàn)榱悖混o矩是一個(gè)代數(shù)量，可正、可負(fù)或?yàn)榱悖?同一截面對(duì)不同坐標(biāo)軸的靜

4、矩不同；同一截面對(duì)不同坐標(biāo)軸的靜矩不同； 靜矩的常用單位是靜矩的常用單位是m3或或mm3。一一. .靜矩靜矩遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)AyAzSdAzAySdzyOdAyzrA,AAdzASzAyCAAdyASyAzCzCyCC點(diǎn)點(diǎn)C (zC，yC)稱為截面形心，稱為截面形心，通過形心的坐標(biāo)軸稱為形心軸。通過形心的坐標(biāo)軸稱為形心軸。v 1、截面對(duì)形心軸的靜矩為零；、截面對(duì)形心軸的靜矩為零；v 2、若截面對(duì)某軸的靜矩為零，、若截面對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸必為形心軸。則該軸必為形心軸。v 3、已知靜矩可確定截面的形、已知靜矩可確定截面的形心坐標(biāo)；已知截面的形心坐標(biāo)心坐標(biāo)；已知截面的形心坐標(biāo)可確

5、定靜矩。可確定靜矩。二二. .形心位置形心位置遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)由若干個(gè)簡(jiǎn)單截面（如矩形、圓形、三角形等）組成由若干個(gè)簡(jiǎn)單截面（如矩形、圓形、三角形等）組成的截面稱為組合截面。組合截面對(duì)于某一軸的靜矩等于各的截面稱為組合截面。組合截面對(duì)于某一軸的靜矩等于各組成部分對(duì)同一軸的靜矩的代數(shù)和，即組成部分對(duì)同一軸的靜矩的代數(shù)和，即niniCiiyCiizzAS yAS11,niiniCiiyCniiniCiizCAzAASz AyAASy1111,也可以通過靜矩來計(jì)算組合截面的形心位置，即也可以通過靜矩來計(jì)算組合截面的形心位置，即其中其中Ai、zCi、yCi分別表示第分別表示第 i 個(gè)簡(jiǎn)單

6、截面的面積及形心坐個(gè)簡(jiǎn)單截面的面積及形心坐標(biāo)。標(biāo)。三三. .組合截面形心位置組合截面形心位置遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)101080120212211AAAzAzAAzziiCmm3 .201080110101101035mmyC7 .341080110101101060試確定下圖的形心。試確定下圖的形心。zyC2C1C1(0,0)C2(-35,60) 【例例I-1】【解】方法一：方法一：用正面積法求解。將截面分割為兩個(gè)矩形，用正面積法求解。將截面分割為兩個(gè)矩形，建立坐標(biāo)系如圖所示。建立坐標(biāo)系如圖所示。形心形心C坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（-20.3，34.7）。）。C遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)mm

7、3 .201107080120)11070(5C1（0,0）C2（5,5）【解】方法二：方法二：用負(fù)面積法求解。將截面分割為兩個(gè)矩形，用負(fù)面積法求解。將截面分割為兩個(gè)矩形，建立坐標(biāo)系如圖所示。建立坐標(biāo)系如圖所示。101080120C2負(fù)面積zyC1212211AAAzAzAAzziiCmmyC3 .20C形心形心C坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（-20.3， -20.3）。）。這兩種方法所得到的形心坐標(biāo)不同這兩種方法所得到的形心坐標(biāo)不同是由于選擇不同的坐標(biāo)系引起的。是由于選擇不同的坐標(biāo)系引起的。遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)2022-5-511zy4040試確定下圖形心解 ：按組合圖形解 1. 正面積法，圖形

8、分割為三圖(a)0 CzCyAyAyiiCC1（y為對(duì)稱軸）7 .46 40 20 20)60(3200280032002)20(800C3C2321332211AAAyAyAyA遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)2022-5-5128080圖(b)2.負(fù)面積法，圖形分割如圖(b)212211AAyAyAAyAyiiC 40 40負(fù)面積C2zy746.C1)(406400)( 20160016006400遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)2022-5-513 y例h0zASSSy3z2z1zC z三根10號(hào)槽鋼焊成一體，求整個(gè)截面的形心,cm52. 1z0 y為對(duì)稱軸，形心在y 軸上各種規(guī)格品種的型鋼

9、，幾何尺寸、參數(shù)可查型鋼表 p370)5)(748.12(2)1052. 1(748.12cy12C21C1A3yA2yA cm17. 7,cm748.12A21cm10h zc x x y y(形心)0z3748.12解：遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)試確定等腰梯形面積的形心和對(duì)底邊的靜矩。試確定等腰梯形面積的形心和對(duì)底邊的靜矩。abhC1C2zyO截面對(duì)底邊的靜矩截面對(duì)底邊的靜矩2211yAyASz3213221hahhbhbah262形心位置形心位置0CzbabahASyzC23C 【例例I-2】【解】遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)CL6TU6h-a2+a()22yhSba（）解：解：b

10、 ha2422遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)bhABCOzy解解: :)(,zhhbDEbDEhzhdzDEzzdzzhhbdSy)( hAyyzdzzhhbdSS0)(積分得積分得：203261312bhzzhhbShy3)21(hbhSy遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué) 靜矩、形心及其相互關(guān)系靜矩、形心及其相互關(guān)系 慣性矩的概念及其計(jì)算慣性矩的概念及其計(jì)算方法方法 慣性矩的平行移軸公式慣性矩的平行移軸公式 組合截面慣性矩計(jì)算組合截面慣性矩計(jì)算遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)AyAdzI2AzAdyI2截面對(duì)截面對(duì) y 軸的慣性矩軸的慣性矩截面對(duì)截面對(duì) z 軸的慣性矩軸的慣性矩APAdrI2截面

11、對(duì)截面對(duì)O點(diǎn)的極慣性矩點(diǎn)的極慣性矩zyOdAyzrA注意： 慣性矩恒為正值；慣性矩恒為正值； 同一截面對(duì)不同坐標(biāo)軸的慣性矩不同；同一截面對(duì)不同坐標(biāo)軸的慣性矩不同； 慣性矩的常用單位是慣性矩的常用單位是m4或或mm4。遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)zyOdAyzrAAIi AIiyyzz,力學(xué)計(jì)算中，常將慣性矩寫力學(xué)計(jì)算中，常將慣性矩寫成截面面積成截面面積A與某一長(zhǎng)度（稱為與某一長(zhǎng)度（稱為慣性半徑）平方的乘積，即慣性半徑）平方的乘積，即或或22,yyzzAiI AiI注意： 慣性半徑恒為正值；慣性半徑恒為正值； 同一截面對(duì)不同坐標(biāo)軸的慣性半徑不同；同一截面對(duì)不同坐標(biāo)軸的慣性半徑不同； 慣性矩的常

12、用單位是慣性矩的常用單位是m或或mm。遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)zyOdAyzrAAyzAzdyI截面對(duì)截面對(duì) yz 軸的慣性積軸的慣性積注意： 慣性積是一個(gè)代數(shù)量，慣性積是一個(gè)代數(shù)量，可正、可負(fù)或?yàn)榱悖豢烧⒖韶?fù)或?yàn)榱悖?慣性積是對(duì)一對(duì)坐標(biāo)軸而言的，這與靜矩、慣性矩和慣性積是對(duì)一對(duì)坐標(biāo)軸而言的，這與靜矩、慣性矩和慣性半徑是不同的；慣性半徑是不同的； 慣性積的常用單位是慣性積的常用單位是m4或或mm4； 如果如果一對(duì)相互垂直的軸中一個(gè)坐標(biāo)軸通過截面形心，則一對(duì)相互垂直的軸中一個(gè)坐標(biāo)軸通過截面形心，則截面對(duì)這一對(duì)軸的慣性積為零，反之，如果截面對(duì)一對(duì)軸截面對(duì)這一對(duì)軸的慣性積為零，反之，如果截面

13、對(duì)一對(duì)軸的慣性積為零，則其中一軸必通過截面形心。的慣性積為零，則其中一軸必通過截面形心。遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)zy（對(duì)稱軸）二、性質(zhì)二、性質(zhì)：1.PzyIIIz z說明：兩側(cè)對(duì)稱的面積微分說明：兩側(cè)對(duì)稱的面積微分1A1yzyzdAI顯然該情況對(duì)全部圖形都如此顯然該情況對(duì)全部圖形都如此2. I 可分割組合可分割組合3. 若若 y 、 z之一之一 是對(duì)稱軸是對(duì)稱軸2dA1dAyy0A2dA IA2dA)z(則則 Iyz = = 02A2yzdA2yy 坐標(biāo)同值同號(hào)，坐標(biāo)同值同號(hào)，z 坐標(biāo)同值反號(hào)，坐標(biāo)同值反號(hào)，積分中相互抵消：積分中相互抵消：遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)已知：圓截面直徑已

14、知：圓截面直徑d，求：求：Iy， Iz， IP。drdrdACyz取圓環(huán)微元面積取圓環(huán)微元面積rdrAd2202dPAdrI3224202drdrrd 【例例I-3】【解】6424dIIIPzy遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué) 【例例I-4】【解】已知：矩形截面已知：矩形截面b h，求：，求：Iy， Iz 。Cyzbhz dzdA2ydydA1分別取平行于分別取平行于 x 軸和軸和 y 軸的微元面積，軸的微元面積，hdz dA bdydA2,11232122222bhbdyydAyIhhhhz123hbIy遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)24求慣性矩（對(duì)稱軸）yzh/2h/2H/2H/2B/2B/

15、2b/2b/2 A2zAdyIyzIzI0 yzI慣性積解：因二軸為對(duì)稱軸12BH3 21A22A12AdyAdy12bh3A1A2遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)25求圖形慣性矩 ， zIyIzzII1 求 , zIyyyIII21解： 求 yI10107070606020zy12201403)( 212120103)(4610972mm.121601203)( 461018mmz212140503)(兩腰負(fù)面積圖形分割為三：圖形仍分割為三：222zI遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)名稱名稱定義定義量綱量綱關(guān)系關(guān)系性質(zhì)性質(zhì)靜矩靜矩慣性矩慣性矩極慣性矩極慣性矩慣性積慣性積Sy AzAd , Sz

16、AyAdIy AzA2d, Iz AyA2dIyz AyzAdIApA2dL3L4L4L4CyCzAzSyASIAiyy22zzi AI zypIII對(duì)形心軸靜矩為零對(duì)形心軸靜矩為零對(duì)對(duì)稱軸慣積為零對(duì)對(duì)稱軸慣積為零遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué) 靜矩、形心及其相互關(guān)系靜矩、形心及其相互關(guān)系 慣性矩的概念及計(jì)算方法慣性矩的概念及計(jì)算方法 慣性矩的平行移軸公式慣性矩的平行移軸公式 組合截面慣性矩計(jì)算組合截面慣性矩計(jì)算 遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué) 平行移軸定理平行移軸定理（parallel-axis theorem）是指截面對(duì)于互）是指截面對(duì)于互相相平行的坐標(biāo)軸平行的坐標(biāo)軸的慣性矩、慣性積之間有

17、如下關(guān)系：的慣性矩、慣性積之間有如下關(guān)系：abAIIAaIIAbIIyz1z1y2z1z2y1yAzyOz1y1O1ab其中：其中：A為截面面積，為截面面積，x、 y軸為軸為形心軸形心軸， x1、 y1為為分別與分別與x、y軸平行的軸，軸平行的軸，a、b分別為相應(yīng)平行軸之分別為相應(yīng)平行軸之間的距離。間的距離。遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)AzyOz1y1O1abdAyzy1z1證明：證明：A111z1yA211zA211yAdzyIAdyIAdzI 根據(jù)慣性矩和慣性積的定義顯然有根據(jù)慣性矩和慣性積的定義顯然有 即推導(dǎo)即推導(dǎo)Iy、Iz、Iyz與與 Iy1、Iz1、Iy1z1的關(guān)系，的關(guān)系，x、y

18、軸為形心軸。軸為形心軸。 y1=ya， z1=zb 同時(shí)還應(yīng)有同時(shí)還應(yīng)有 代入上式得代入上式得 遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)AzyOz1y1O1abdAyzy1z1證明：證明：AzyAzAyAdbzayIAdayIAdbzI112121abAbSaSIIAaaSIIAbbSIIzyyzzyzzzyyy11212122即即 y1=ya z1=zb A111z1yA211zA211yAdzyIAdyIAdzI遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)AzyOz1y1O1abdAyzy1z1abAbSaSIIAaaS2IIAbbS2IIzyyz1z1y2zz1z2yy1y由于由于 y、z 軸通過截面形心，軸通

19、過截面形心，所以所以SySz0，即有，即有abAIIAaIIAbIIyz1z1y2z1z2y1y證明：證明：證畢證畢利用平行移軸定理可以通利用平行移軸定理可以通過已知截面對(duì)一對(duì)坐標(biāo)的慣性過已知截面對(duì)一對(duì)坐標(biāo)的慣性矩和慣性積，求其對(duì)另一對(duì)坐矩和慣性積，求其對(duì)另一對(duì)坐標(biāo)的慣性矩與慣性積。標(biāo)的慣性矩與慣性積。遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)abAIIAaIIAbIIyz1z1y2z1z2y1y 因?yàn)槊娣e及包含因?yàn)槊娣e及包含 a2、b2 的項(xiàng)恒為正，故自形心軸移至的項(xiàng)恒為正，故自形心軸移至與之平行的任意軸，慣性矩總是增加的。與之平行的任意軸，慣性矩總是增加的。 a、b為原坐標(biāo)系原點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，要

20、注意二為原坐標(biāo)系原點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，要注意二者的正負(fù)號(hào)；二者同號(hào)時(shí)者的正負(fù)號(hào)；二者同號(hào)時(shí)abA為正，異號(hào)時(shí)為負(fù)。所以，為正，異號(hào)時(shí)為負(fù)。所以，移軸后慣性積有可能增加也可能減少。移軸后慣性積有可能增加也可能減少。 在在所有互相平行的軸中，對(duì)形心軸的慣性矩是最小的所有互相平行的軸中，對(duì)形心軸的慣性矩是最小的。此時(shí)此時(shí)a=0，b=0.遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)試求三角形對(duì) z、z1 軸的慣性矩zb/2b/2h/2h/2Oyz1ydy矩形矩形zzII21243bh23221bhhIIzCzzC2322bhhhIIzCz262423bhhbhIzC363bh923633bhbh43bh123bh

21、Iz矩形矩形 【例例I-5】【解】C遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)34例2 求圖示圓對(duì)其切線AB的慣性矩。解 ：此題求解兩種方法： 一是按定義直接積分； 二是用平行移軸定理B 建立形心坐標(biāo),求圖形對(duì)形心軸 的慣性矩。64d2III4Pyx 244454641664ABxddddIIAAdxyOxyx4I2II32dI 遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)80802020解（解（1 1）確定）確定形心形心軸軸Z Z的位置：的位置：先求形心位置先求形心位置取取y y為對(duì)稱軸，形心必位于對(duì)為對(duì)稱軸，形心必位于對(duì)稱軸上。稱軸上。Zc=0Zc=0Z1CZyc20 80 90 20 80 4020 80 265

22、()iicAyyAmm（2)2)求求I IZ ZZIIzIzIIIIy遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)Z80802020ICycZCZC48321027.1056258020122080)25(mAIIIZZICI48321033.1856258020128020)25(mAIIIIZZIICII48106 .290mIZyZIIzIzIII遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué) 例例4-54-5：求圖示平面圖形對(duì)：求圖示平面圖形對(duì)y y、z z軸的慣性矩軸的慣性矩 IyIy、 I IZ ZCL6TU11yzaad（y y為對(duì)稱軸、過形心）為對(duì)稱軸、過形心）646128212223343daddadII

23、IyIIyIyIIIII解（解（1 1）求）求IyIy（2)2)求求I IZ Z: :ZIIZIzIII2遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué)yzaad12)2(3adIz21284ddd22823dda22823Z*ZcII32 d12)2(3adIzI22)32)(8(dadIIcIIzzIIIIIII22224)32(8)32)(8(128daddddIzII遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué) 靜矩、形心及其相互關(guān)系靜矩、形心及其相互關(guān)系 慣性矩的概念及其計(jì)算方法慣性矩的概念及其計(jì)算方法 慣性矩的平行移軸公式慣性矩的平行移軸公式 組合截面慣性矩計(jì)算組合截面慣性矩計(jì)算 遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工程力學(xué) 工程計(jì)算中應(yīng)用最廣泛的是組合截面的形心主慣性矩，工程計(jì)算中應(yīng)用最廣泛的是組合截面的形心主慣性矩，即截面對(duì)于通過其形心的主軸之慣性矩。為此，必須首先即截面對(duì)于通過其形心的主軸之慣性矩。為此，必須首先確定截面的確定截面的形心形心以及以及形心主軸形心主軸的位置。的位置。 因?yàn)榻M合截面都是由一些簡(jiǎn)單截面組成，在確定其形因?yàn)榻M合截面都是由一些簡(jiǎn)單截面組成，在確定其形心、形心主軸以至形心主矩時(shí)，心、形心主軸以至形心主矩時(shí)，通常不采用積分法通常不采用積分法，而是，而是利用利用簡(jiǎn)單截面的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)單截面的幾何性質(zhì)以及平行移軸定理，按以下步驟以及平行移軸定理，按以