1、2.4 2.4 麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律（Maxwell s law of distribution of speeds）描述氣體分描述氣體分子的無規則子的無規則熱運動熱運動全同粒子，按位置全同粒子，按位置分布是均勻的分布是均勻的如何描述分子的速如何描述分子的速率和速度率和速度二二 . 麥克斯韋速率分布函數麥克斯韋速率分布函數 1859年麥克斯韋（年麥克斯韋（Maxwell）導出了理氣在）導出了理氣在無外場的平衡態（無外場的平衡態（T）下，）下， 分子速率分布函數為：分子速率分布函數為：22/v2/3v)2(4v)v(2kTmekTmNddNf不同溫度不同溫度質量下，質量下，分子按

2、速分子按速率的分布率的分布函數。函數。在在800-800+dv800-800+dv速率區間，單位速速率區間，單位速率區間分子數占總分子數之比率區間分子數占總分子數之比什么含義當62310)800(/800,273,102fsmVkTgm舉例：調查成年人的身高分布情舉例：調查成年人的身高分布情況，并描述之況，并描述之將所有人的身高一將所有人的身高一一羅列一羅列第一無統計意義第一無統計意義（分布）（分布）第二無統計規律第二無統計規律（描述）（描述）統計抽樣調查方法統計抽樣調查方法100人m1.50-1.55m1.50-1.55m的人數的人數1301301.45 1.50 1.55 1.60 1.6

3、5 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95總人數總人數138013801.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.561.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.951.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95兩個問題兩個問題縱坐標數字僅對該次調查有效，縱坐標數字僅對該次調查有效，不能反映總體情況不能反映總體情況橫軸縱軸不橫軸縱軸不一一對應一一對應無法得出任無法得出任意區間的人意區間的人數數身高身高1.531.53的人不的人不是是130001

4、3000?1.53-1.55?1.53-1.55的人的人數數比如比如統計圖應該：統計圖應該：hN在在h-h+h-h+h h身高區間，單位身高區間，單位身高的人數身高的人數例如：例如：13000/13000/（1.55-1.55-1.50)=26001.50)=2600人人/cm/cmdhdN在在h-h+dhh-h+dh身高區間，即身高區間，即h h高度處單位身高高度處單位身高的人數占總人數之比的人數占總人數之比平均速度與平均速度與瞬時速度的瞬時速度的關系關系NdhdNhf)(在在h-h+dhh-h+dh身高區間，即身高區間，即h h高度處單位身高高度處單位身高的人數的人數人群按身高的分布函數人

5、群按身高的分布函數二二 . 麥克斯韋速率分布函數麥克斯韋速率分布函數 1859年麥克斯韋（年麥克斯韋（Maxwell）導出了理氣在）導出了理氣在無外場的平衡態（無外場的平衡態（T）下，）下， 分子速率分布函數為：分子速率分布函數為：22/v2/3v)2(4v)v(2kTmekTmNddNf分子數按速率的分布函數分子數按速率的分布函數,是用同一尺度，是用同一尺度，-單位速率間隔和百分比來談分布的，單位速率間隔和百分比來談分布的，它避免了分子數它避免了分子數N和速率間隔的大小對和速率間隔的大小對分布的影響分布的影響NdvdNvf)(在在v-v+dv速度區間，即速度速度區間，即速度v v處單位速度處

6、單位速度區間分子數占總分子數之比區間分子數占總分子數之比dvvNfdN)(dvdN在在v-v+dvv-v+dv速度區間，即速度速度區間，即速度v v處單位速度處單位速度區間的分子數區間的分子數速度區間速度區間v-v+dvv-v+dv的分子數的分子數21)(dvvNfN速度區間速度區間v1-v2v1-v2的分子數的分子數問題問題1717：列式求速率在：列式求速率在700m/s-700m/s-800m/s800m/s分子數占總分子數的比率分子數占總分子數的比率800700800700)()(dvvfNdvvNf f(v)0v v +dvNNfvvvdd)( T，m 一定一定vm 氣體分子的質量氣體

7、分子的質量 01dvvf歸一化條件歸一化條件曲線下面的總面積等于曲線下面的總面積等于1。在左圖上的幾何意義為：在左圖上的幾何意義為：三三. 三種統計速率三種統計速率 1.最概然（可幾）速率（最概然（可幾）速率（most probable speed） f(v)0vpT，m 一定一定v，得：，得：由由 vv vv0d)(dP fTRTmkT22vp處在最概然速率處在最概然速率 v p 附近附近的分子數占總分子數的百分比最大。的分子數占總分子數的百分比最大。如圖示如圖示iiiiiNN vv分立情況下：分立情況下：連續情況下：連續情況下：vi v， i NNNN00ddvvvv NNNvvd0 0d

8、)(vvvfNi dNv=N f (v)dv，2.平均速率（平均速率（average speed）平均速率平均速率對麥氏速率分布經計算得：對麥氏速率分布經計算得：88vRTmkT 0d)()(vvvvf 規律：任意規律：任意v v 的函數的函數 ( (v v) )對對全體分子的平均值都可以用全體分子的平均值都可以用速率分布函數由上式求得：速率分布函數由上式求得：（與前同）（與前同）排序：排序： 3. 方均根速率（方均根速率（root-mean-square speed） RTmkT33v2mkTf3d)(022 vvvv（麥）（麥）73. 1:60. 1:41. 13:8:2:2p v v v

9、 討論分子平均平動動能時用；討論分子平均平動動能時用； 討論分子碰撞問題時用；討論分子碰撞問題時用； 討論分子的速率分布時用。討論分子的速率分布時用。pvv2v 例例18 設某氣體的速率分布函數設某氣體的速率分布函數)0(02vv v ，a )(vf)(00vv ，求：求：（1）常量）常量 a 和和 v0 的關系的關系v（2）平均速率）平均速率)(vfvv00為為解：解：1d)(0 vvf3000231dd)(0vvvvvvaaf （1）歸一化條件）歸一化條件303v aNNf 0d)(vvvv（2）設總分子數為）設總分子數為N， 002dvvvv a則則 0d)(vvvf404va 0403

10、043)3(41vvv （3） 202000d)(d)(vvvvvvvvvfNNf對否？對否？不對！不對！ 上式分母上的上式分母上的N應為應為 200d)(vvvNf 202000d)(d)(vvvvvvvvff323424)()(00vvaa vv 083例例19 19 容積為容積為30L30L的容器內，裝有的容器內，裝有20g20g氣體，容器內壓強為氣體，容器內壓強為0.50.5大氣壓，求大氣壓，求氣體分子的最概然速率氣體分子的最概然速率例例20 20 求溫度為求溫度為300K300K時，時，氮氣分子的平均速率，氮氣分子的平均速率，方均根速率方均根速率smMPVVp/109 . 322sm

11、RTsmRTNN/5173476822大氣的組成大氣的組成 地球形成之初，大氣中應有大量的氫、氦，地球形成之初，大氣中應有大量的氫、氦，但很多但很多H2H2分子和分子和HeHe原子的方均根速率超過了地原子的方均根速率超過了地球表面的逃逸速率球表面的逃逸速率(11.2km/s)(11.2km/s)，故現今地球大，故現今地球大氣中已沒有氫和氦了。但氣中已沒有氫和氦了。但N2N2和和O2O2分子的方均根分子的方均根速率只有逃逸速率的速率只有逃逸速率的1/251/25，故地球大氣中有大，故地球大氣中有大量的氮氣量的氮氣 ( (大氣質量的大氣質量的76%)76%)和氧氣和氧氣( (大氣質大氣質量的量的2

12、3%)23%)。(h2(h2方均根速率方均根速率,1900m/s),1900m/s)L金屬金屬蒸汽蒸汽速率選擇器速率選擇器屏屏vt =LLv1 21v=t =,tt =令令得得：2通過改變通過改變可獲得不同速率區間的分子?？色@得不同速率區間的分子。2.分子速率分布的測定分子速率分布的測定斯特恩實驗斯特恩實驗100200100200速率區間速率區間(m/s) 百分數百分數200300200300300400300400400500400500500600500600600700600700700800700800800900800900900900100100分分子子 實實速速 驗驗率率 數數分

13、分 據據布布的的20.6 %20.6 %1.4 %1.4 %8.1 %8.1 %16.5 %16.5 %21.4 %21.4 %15.1 %15.1 %9.2 %9.2 %4.8 %4.8 %2.0 %2.0 %0.9 %0.9 % 1859年麥克年麥克斯韋從理論上斯韋從理論上得到速率分布得到速率分布定律。定律。 1920年斯特年斯特恩從實驗上證恩從實驗上證實了速率分布實了速率分布定律。定律。%0 100 200 300 400 500 600 700 800 900%0 100 200 300 400 500 600 700 800 900實驗曲線實驗曲線:六六. . 氣體分子的平均自由程（

14、氣體分子的平均自由程（mean free pathmean free path）汽油瓶問題汽油瓶問題:1858年克勞修年克勞修斯研究聲音和斯研究聲音和氣體分子速率氣體分子速率是同數量級的是同數量級的,但聲音和氣味但聲音和氣味卻不能同時到卻不能同時到達達粒子走了一條粒子走了一條艱難曲折的路艱難曲折的路B線度線度 10-8m碰撞規律碰撞規律使氣體使氣體由非平由非平衡態衡態平衡態平衡態實現實現能量能量均分均分使分使分子速子速度有度有穩定穩定分布分布氣體分子自由程氣體分子自由程線度線度 1010-8-8m m一個分子連續兩次碰一個分子連續兩次碰撞之間經歷的平均撞之間經歷的平均 自自由路程叫平均自由程由

15、路程叫平均自由程 zvz一個分子單位時間里一個分子單位時間里受到平均碰撞次數叫受到平均碰撞次數叫平均碰撞頻率平均碰撞頻率單位時間內分子經歷的單位時間內分子經歷的平均距離平均距離 ，平均碰撞，平均碰撞 次次zv設分子設分子 A A 以相對平以相對平均速率均速率 運動，其運動，其它分子可設為靜止它分子可設為靜止. .平均碰撞頻率平均碰撞頻率(mean collision frequency)(mean collision frequency)Zu 2 2d dd du2 d n n單位時間內分子單位時間內分子 A A 走走 u u ，相應的圓柱體體積為相應的圓柱體體積為 ，則則uunz 碰撞截面運

16、動方向上,以 d 為半徑的圓柱體內的分子都將與分子A碰撞.該圓柱體的面積 就叫碰撞截面統計理論可計算統計理論可計算vu2所以所以vndz22nd221二、真空的概念二、真空的概念P1PdkT22nkTP P理論公式表明理論公式表明zvlZl但容器的線度但容器的線度l 實際分子的平均自由程就是容器的線度實際分子的平均自由程就是容器的線度l微觀上的真空與壓強無關微觀上的真空與壓強無關時時l例例21 直徑直徑5厘米的容器厘米的容器 內部充滿氮氣內部充滿氮氣,真空度真空度10-3 Pa 已知氧分子有效直徑已知氧分子有效直徑d=3.7*10-10m) 求求: 常溫常溫( (293K) )下平均自由程的理

17、論計算值下平均自由程的理論計算值 解：解：kTPn 2931038. 110233317m/1047. 2nd221172101047. 2107 . 321m66. 6例例22 22 求常溫常壓下（求常溫常壓下（300K300K，1.0131.013* *10105 5Pa)Pa)氧氣分子的氧氣分子的 ，已知氧分子有效直，已知氧分子有效直徑徑d=2.0d=2.0* *1010-10-10m) m) zand)(1030. 2272mpdkT)1 (1074. 7292svvndz)(1078. 183smRtzv2.10 氣體的輸運過程氣體的輸運過程氣體的輸運過程輸運過程：氣體由非平衡態過渡

18、到平輸運過程：氣體由非平衡態過渡到平衡態的過程衡態的過程非平衡態：系統各部分物理性質不均勻物理量熱運動形式輸運過程物理現象定向速度交換動量動量輸運粘滯現象密度交換質量質量輸運擴散現象溫度交換能量能量輸運熱傳導現象輸運過程與物理性質不均輸運過程與物理性質不均勻程度及氣體分子熱運動勻程度及氣體分子熱運動程度有關程度有關1、粘滯現象與動量輸運、粘滯現象與動量輸運（1）為什么交換動量，會產生內摩擦力）為什么交換動量，會產生內摩擦力VbVa)(skgdtdm)(skgdtdmVbVa列車A、B速度分別為為Va、Vb，并排行駛，特殊機械以 的速率將A、B的物質互換，求額外加多大力使A、B速度不變)(skgdtdm解：對解：對A A，設速度方向為正方向，設速度方向為正方向單位時間獲得沖量單位時間獲得沖量= =單位時間獲得動量減失去動量單位時間獲得動量減失去動量)(VbVadtdmdtdpFtmVatmVbtp由于交換物由于交換物質質A A受反向，受反向，B B受正向，大受正向，大小為小為 的力。的力。)(VbVadtdm(2)(2)牛頓粘滯定律牛頓粘滯定律sdzdvdtdpF（3 3）微觀分析）微觀分析 由于分子熱運動，不同流層分子相由于分子熱