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文檔簡介
1、洛洛必必達達法法則則型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 定義定義.00)()(lim,)()(,)()(型型未未定定式式或或稱稱為為那那末末極極限限大大都都趨趨于于零零或或都都趨趨于于無無窮窮與與兩兩個個函函數(shù)數(shù)時時或或如如果果當(dāng)當(dāng) xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlimbxaxx00)00()( .)()(lim)()(lim);()()(lim)(;)()()(),()(;)()(,)(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxax那末那末或為無窮大或為無窮大存在存在都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外點
2、點點的某領(lǐng)域內(nèi)點的某領(lǐng)域內(nèi)在在都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時時當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)3021定理定理定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則. .,該該法法則則仍仍然然成成立立時時當(dāng)當(dāng)x例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23 )00()00(例例3 3解解.1arctan2limxxx
3、 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原原式式. 1 )00()( axbxxcoscoslim0 例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 注意:洛必達法則是求未定式的一種有效方法,注意:洛必達法則是求未定式的一種有效方法,但與
4、其它求極限方法結(jié)合使用,效果更好但與其它求極限方法結(jié)合使用,效果更好. .例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原原式式2limxxe 2limxxe . 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定式化為洛必達法則可解決將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型的類型 . .),00()( 型型 0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或例例8
5、 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步驟步驟:步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 例例1010解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotliml
6、n10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對數(shù)得取對數(shù)得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達法則失效。洛必達法則失效。)cos11(limxxx 原原式式. 1 注意:洛必達法則的使用條件注意:洛必達法則的使用條件)122(lim1323xxxxx例例200111221limtttttx) 111221(lim2xxxxtttt211211
7、lim002)1 (21)21 (lim232300ttt4114例例)11ln(lim2nnnn)11ln(lim2xxxx201)1ln(limtttttxttt2111lim02115例例3sin0211limxaaxxx)()(limsinsin121130 xaaxxxx30ln)sin(limxaxxxaxxxln3cos1lim20aln61xxx )(110)cot1(lim16220 xxx例例xxxxxx222220sincossinlim42220cossinlimxxxxxxxxxxcossinlim030cossinlimxxxxx203sinlim2xxxx32三、
8、小結(jié)洛必達法則洛必達法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對對數(shù)數(shù)令令gfy 13723P習(xí)題4 , 3),15,14,13,11, 9 , 7 , 6 , 4 , 2( 1思考題思考題設(shè)設(shè))()(limxgxf是是不不定定型型極極限限,如如果果)()(xgxf 的的極極限限不不存存在在,是是否否)()(xgxf的的極極限限也也一一定定不不存存在在?舉舉例例說說明明.思考題解答思考題解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(顯然顯然 )()(limxgxfx1cos1limxx 極限不存在極限不存在但但 )()(limxgxfxx
9、xxxsinlim 1 極限存在極限存在一、一、 填空題:填空題:1 1、 洛必達法則除了可用于求洛必達法則除了可用于求“00” ,及” ,及“ ”兩種”兩種類型的未定式的極限外,也可通過變換解決類型的未定式的極限外,也可通過變換解決_,_,_,_,_,等型的未定式,等型的未定式的求極限的問題的求極限的問題. .2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_.3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 用洛必達法則求下列極限:用洛必達法則求下列極限:1 1、22)2(sinlnlimxxx ; 2 2、xxxarctan)11ln(lim ;3 3、xxx2cotlim0; 4 4、)1112(lim21 xxx;5 5、xxxsin0lim ; 6 6、xxxtan0)1(lim ;7 7、xxx)arctan2(lim . .三、三、 討論函數(shù)討論函數(shù) 0,0,)1()(2111xexexxfxx當(dāng)
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