1、1曲線積分習題課 一、內容提要及教學要求一、內容提要及教學要求 1 會計算兩類曲線積分會計算兩類曲線積分 () dtttttfdsyxfL )()()(),(),()122 dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),()2這里下限這里下限對應于對應于L的起點，上限的起點，上限對應于對應于L的終點。的終點。 2cos、cos的求法：的求法：),(),(:tytxL )()()(,)()()(cos,cos2222tttttt T起點起點A 、終點、終點B分別對應分別對應參數參數、。 (當當時取負號時取負號) 2 兩類曲線積分的關系兩類曲線積分的關系 LLds

2、yxQyxPQdyPdxcos),(cos),( 33 格林公式格林公式 為單連通域為單連通域公式公式DQdyPdxdxdyyPxQLD.)()1 為復連通域為復連通域DQdyPdxdxdyyPxQlLD.)( 2） D的面積的面積.21xdydxyAL 3）注意格林公式）注意格林公式 應用的條件：應用的條件：P,Q具有一階連續偏具有一階連續偏導，導，L為封閉曲線。若不滿足，則應為封閉曲線。若不滿足，則應(i) 挖洞。挖洞。(ii) 添添線成為封閉曲線。線成為封閉曲線。4與路徑無關與路徑無關 LQdyPdx42211(, )(, )LxyPdxQdyPdxQdyxy 2121),(),(21y

3、yxxdyyxQdxyxP 2121),(),(21xxyydxyxPdyyxQ（1） 條件條件 （2）應用）應用5 全微分求積全微分求積6 4個等價條件個等價條件5與路徑無關的四個等價命題與路徑無關的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區區域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續續的的一一階階偏偏導導數數, ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . LQdyPdxD與路徑無關與路徑無關內內在在)1( CDCQdyPdx閉曲線閉曲線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內存在內存在在在),()3(xQyPD ,)4(內內在在等等價價命命題題6 (1)已知已知, 134:22

4、 yxL Ldsxyyx)sin(432222222(2):,LLxyaxy ds 已已知知 為為圓圓周周2222(3):,Lxyzayx已已知知 為為圓圓周周二、典型例題二、典型例題 例例1 填空填空 L的長度為的長度為a LxdsayaxL,)(:)4(222為圓周為圓周已知已知222Lyz ds 7 LyxdyyxfdxyxfyLyxyxf),(),(3,14),()5(22逆時針方向逆時針方向是橢圓的是橢圓的具有連續的二階偏導，具有連續的二階偏導，在在設設(6),|LxdyydxIxy 計計算算:| 1.Lxy 逆逆時時針針方方向向822(sin)(cos),xxLIeymy dxey

5、m dyLyaxx 例例計計算算其其中中 為為上上半半圓圓周周逆逆時時針針方方向向的的有有向向弧弧。223(cos2)(2sin )(0,0)(,)2xxLeyxydxx yey dyLAB 例例證證明明曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無關關。若若 為為以以到到的的任任意意簡簡單單曲曲線線，計計算算積積分分的的值值。逆逆時時針針方方向向為為計計算算例例2)1(42222 yxLyxxdyydxL9例例5 計算計算 Lyyyxdyyxyxedxeyx223349)8()(194:22 yxL順時針方向順時針方向 Lyxdyyxdxyx22)()(6例例L：y=2x2上從上從A( ，0)到到22B(

6、 ，0)的一段有向弧段。的一段有向弧段。 例例 7 7 設設曲曲線線積積分分 Ldyxydxxy)(2與與路路徑徑無無關關, 其其中中 具具有有連連續續的的導導數數, 且且0)0( , 計計算算 )1 ,1()0,0(2)(dyxydxxy. 10例例8 計算計算,222 dzxdyzdxyI為為x2+y2+z2=a2(z0)與與x2+y2ax（a0）之交線，）之交線，從從x軸正向看去為逆時針方向。軸正向看去為逆時針方向。 的的單單位位切切向向量量。是是曲曲線線為為一一常常向向量量任任意意簡簡單單閉閉曲曲線線，平平面面上上的的為為證證明明曲曲線線積積分分例例LtkxoyLdstkIL, 0),

7、cos(9 11 (1) 已知已知, 134:22 yxL Ldsxyyx)sin(4322.1212)43(22adsdsyxLL 解：解：, 134:22 yxL又又L關于關于x軸對稱，而軸對稱，而sin(xy)關于關于y為奇函數，所以為奇函數，所以 Ldsxy0)sin(于是于是 I = 12a。 L的長度為的長度為a，求，求即即3x2+4y2=12，所以，所以1222222(2):,LLxyaxy ds 已已知知 為為圓圓周周求求222222(3):,2xyzayxyz ds 已已知知 為為圓圓周周求求222(2)2LLxy dsadsa 解解222222(3)22yz dsxyz d

8、sadsa 解解 LxdsayaxL,)(:)4(222為圓周為圓周已知已知222aaxxdsL 解解：2202)cos(aadaaxdsL 或或：13 LyxdyyxfdxyxfyLyxyxf),(),(3,14),()5(22求求逆逆時時針針方方向向是是橢橢圓圓的的具具有有連連續續的的二二階階偏偏導導，在在設設 62333),(),(3 DDxyyxLyxdxdydxdyffdyyxfdxyxfy利用格林公式利用格林公式解解.1|:|,|)6(逆逆時時針針方方向向計計算算 yxLyxydxxdyIL DLAdxdyydxdyxI42)11(14逆逆時時針針方方向向的的有有向向弧弧。上上半半

9、圓圓周周為為其其中中計計算算例例2,)cos()sin(2xaxyLdymyedxmyyeILxx OAmyPxQ 解解利利用用格格林林公公式式：添添上上,OA DOAxxLxxmdxdydymyedxmyyedymyedxmyye)cos()sin()cos()sin(228)2(21maam 0)cos()sin( OAxxdymyedxmyye28ma 原原式式15計計算算積積分分的的值值。的的任任意意簡簡單單曲曲線線，到到為為以以與與路路徑徑無無關關。若若證證明明曲曲線線積積分分例例),2()0 , 0()sin2()2cos(322 BALdyyeyxdxxyyeLxx yexyyP

10、xQxsin4 易易驗驗證證解解 ),2()0,0(22)sin2()2cos( dyyeyxdxxyyexx原原式式 02220)cos2(dyyeydxex1442 e),2()0,0(22cos ）（或或：原原式式yxyex 1442 e16逆逆時時針針方方向向為為計計算算例例1)1(42222 yxLyxxdyydxLyPxQyx 時時，易易驗驗證證當當解解)0 , 0(),(取取l：x2+y2=r2，逆時針方向，逆時針方向,則則 22112222 DlLdxdyrxdyydxryxxdyydx1719422 yx解：解：L： 364922 yx即即 LyyLdyyxyxedxeyx)

11、8()(36133 DdxdyyPxQ361例例5 計算計算 Lyyyxdyyxyxedxeyx223349)8()(194:22 yxL順時針方向順時針方向 注：注： 應充分利用應充分利用L的方程簡化被積函數。的方程簡化被積函數。 Dyydxdyexye)(36133（利利用用對對稱稱性性）0)(36133 Ddxdyxy18 Lyxdyyxdxyx22)()(6例例L：y=2x2上從上從A( ，0)到到22B( ，0)的一段有向弧段。的一段有向弧段。 解：解： 22yxyxP 22yxyxQ 2222222222)(2)(2)()(yxyxyxyxyyxyxyP 2222222222)(2

12、)(2)(yxyxyxyxxyxyxxQ 所以所以 xQyP )0(22 yx1922 取取l為為x2+y2=2上從點上從點A( ，0)經上半圓到點經上半圓到點B( ，0)的有向曲線，則的有向曲線，則 02cos2)sin(cos2)sin2)(sin(cos2d lL d 022)cossincossincossin( 0d或或 llLdyyxdxyx)()(21 BAlBA21210)0(21)1(12122 dxxdxdyD 0Ddxdy222OxyAB20。到到沿沿曲曲線線其其中中計計算算)2, 0(cos2)0 ,2(:,)()3()3().6(3 BxyALyxdyxydxxyL

13、,)(664yxyxyPxQ 解解：2:)()3()3(131 yxLyxdyxydxxyL，原原式式 023)3()3()2( dyxydxxy 4 46)2(3 Ddxdy21例例 7 7 設曲線積分設曲線積分 Ldyxydxxy)(2與路徑無與路徑無關關, 其中其中 具有連續的導數具有連續的導數, 且且0)0( , 計算計算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy. 積積分分與與路路徑徑無無關關xQyP ， 解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 ,1()0,0(2

14、)(dyxydxxy 由由xyxy2)( cxx 2)( )1 , 1()0,0(22dyxdxxy.21 10100ydydx22.),(:)2(:)1(, 1)1()(),(2)().7(2AxLxAyxydxxdyIL并并求求確確定定曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無關關。的的單單連連通通區區域域內內證證明明在在任任一一不不包包圍圍原原點點閉閉曲曲線線。正正向向為為包包圍圍原原點點一一周周的的任任一一導導數數連連續續，的的一一階階為為常常數數已已知知 解：在不含原點的單連域內，任作兩條起點為解：在不含原點的單連域內，任作兩條起點為A終終點為點為B的光滑曲線的光滑曲線C1、C2。 再補充一條

15、光滑曲線再補充一條光滑曲線C3使使C1+C3和和C2 +C3成為包圍原成為包圍原點的正向曲線（如圖所示）點的正向曲線（如圖所示） C2C3OC1ABxy則由題設知則由題設知 ACCCC 3231所以有所以有 21222)(2)(CCyxydxxdyyxydxxdy 23由由C1、C2的任意性知，在不含原點的單連通域內，的任意性知，在不含原點的單連通域內，該曲線積分與路徑無關。該曲線積分與路徑無關。 （2） 由（由（1）知，在）知，在(x，y)(0，0)時，應恒有時，應恒有 yPxQ 即即 )2)()2)(22yxyyyxxx 即即 2222222)2)(42)()2)()( 2)(yxyyxy

16、xxxyx 1|ln2| )(|ln,2)()(Cxxdxxdxxx 2)(Cxx 1)1( 由由2)(xx 取取L：x2+2y2=1，取逆時針方向。則，取逆時針方向。則 LLydxxdyyxydxxdyA222 22)1(1 Ddxdyxxxxxx2)()(),(2)( 24起點對應起點對應= 0，終點處，終點處=2 例例8 計算計算,222 dzxdyzdxyIO Oxy, 0sin8sin83203332 dadadxy,432 adyz, 02 dzx所以所以 34aI 解：解： )20( )cos1(2 ax2sin az sin2ay 為為x2+y2+z2=a2(z0)與與x2+y

17、2ax（a0）之交線，）之交線，從從x軸正向看去為逆時針方向。軸正向看去為逆時針方向。25 是用是用y=z去截去截x2+y2+z2=1所得截痕，從所得截痕，從z軸軸看去沿逆時針方向。看去沿逆時針方向。 ,xyzdz解：解：在在xOy平面上的投影曲線平面上的投影曲線L為為x2+2y2=1（z=0），），取逆時針方向。取逆時針方向。 )20( ,sin21,cos: yxL所以所以的參數方程為：的參數方程為： )20( cos x sin22 z sin22 y起點對應起點對應=0，終點對應，終點對應=2。 dIcos21sincos21220 d)sin(sin424202 d)sin(sin2

18、4202 )22143221(2 162 26的的單單位位切切向向量量。是是曲曲線線為為一一常常向向量量簡簡單單閉閉曲曲線線，平平面面上上的的任任意意為為證證明明曲曲線線積積分分例例LtkxoyLdstkIL, 0),cos(9 )()(:tytxL 設設證證明明)cos,cos,2222 t則則22coscos|),cos(babatktktk LdstkI),cos(22coscosLabdsab Lbdyadxba221利用格林公式利用格林公式： I=0272sinsinsinsinsinsin2).2).10 ,0| ),(: LxyLxyLxydxyedyxedxyedyxedxyedyxeDLyxyxD的的正正向向邊邊界界，證證明明：為為已已知知平平面面區區域域考考研研題題右右邊邊證證明明： 0sinsinsinsin)().1dxeedxyedyxexxLxy Dxydxdyee)(.sinsin左左邊邊或或用用格格林林公公式式： Dxydxdyee)(sinsin右右邊邊右右邊邊根根據據輪輪換換對對稱稱：