1、第二章二次函數7.最大面積是多少一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：由簡單的二次函數y=x2開始，然后是y=ax2,y=ax2+c,最后是y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k,y=ax2+bx+c,學生已經掌握了二次函數的三種表示方式和性質。學生的活動經驗基礎：通過第七節的學習,學生已經經歷了由實際問題轉化為數學問題的過程,對解決這類問題有了處理經驗。二、教學任務分析本節課將進一步利用二次函數解決問題,是上一節內容的進一步升華和提高,具體的教學目標如下：（一）知識與技能能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數關系,并能夠運用二次函數的知識解決實際問題中的最大（?。┲担ǘ?/p>

2、過程與方法1通過分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數關系,培養學生的分析判斷能力2通過運用二次函數的知識解決實際問題,培養學生的數學應用能力（三）情感態度與價值觀1經歷探究長方形和窗戶透光最大面積問題的過程,進一步獲得利用數學方法解決實際問題的經驗,并進一步感受數學模型思想和數學知識的應用價值2能夠對解決問題的基本策略進行反思,形成個人解決問題的風格3進一步體會數學與人類社會的密切聯系,了解數學的價值,增進對數學的理解和學好數學的信心,具有初步的創新精神和實踐能力教學重點1 經歷探究長方形和窗戶透光最大面積問題的過程，進一步獲得利用數學方法解決實際問題的經驗，并進一步感受數學模型思

3、想和數學知識的應用價值.2 能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數關系，并能夠運用二次函數的知識解決實際問題.教學難點能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數關系，并能運用二次函數的有關知識解決最大面積的問題.三、教學過程分析本節課分為五個環節，分別是：創設問題情境引入新課、歸納升華、課堂練習活動探究、課時小結、課后作業第一環節創設問題情境，引入新課上節課我們利用二次函數解決了最大利潤問題，知道了求最大利潤就是求二次函數的最大值，實際上就是利用二次函數來解決實際問題.解決這類問題的關鍵是要審清題意，明確要解決的是什么，分析問題中各個量之間的關系，建立數學模型。在此基礎

4、上，利用我們所學過的數學知識，逐步得到問題的解答過程.本節課我們將繼續利用二次函數解決最大面積的問題.活動內容：由四個實際問題構成1. 問題一：如下圖，在一個直角三角形的內部作一個長方形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上.(1) 設長方形的一邊AB=xm,那么AD邊的長度如何表示？(2) 設長方形的面積為ym2，當x取何值時，y的值最大？最大值是多少?問題一的設計目的：對于這個問題，教師將其作為例題，不論是對問題本身的分析，還是具體的解法過程，都將作出細致、規范的講解和示范。具體的過程如下:分析：(1)要求AD邊的長度，即求BC邊的長度，而BC是厶EBC中的一邊，因此可以用三角形相似求出

5、BC.由厶EBCEAF，得更二匹即EAAF二BC.所以AD二BC=?(40x).403043(2)要求面積y的最大值，即求函數y=ABAD=x-(40-x)的最大值，就4轉化為數學問題了.下面請小組開始討論并寫出解題步驟.(1)vBC/AD，EBCsAEAF.EBEABCAF又AB=x,BE=40-x.40-xBC40-30BC=-(40-x).AD=BC=-(40-x)=30-x.44(2)y=ABAD=x(30-3x)=3x2+30x443 2(x2-40x+400-400)43 2=3(x2-40x+400)+30043 2=(x-20)2+300.4當x=20時，y最大=300.即當x

6、取20m時，y的值最大，最大值是300m2.2. 問題二：將問題一變式：“設AD邊的長為xm,貝?？深}會怎樣呢?解：tDC/AB,FDCsFAE.DCFD疋一頁./AD=x,FD=30x.匹30-x40一30.4-DC一(30x).4AB=DC=(30x).3y=ABAD=x-(30x)42x+40x34(x15)2+300.當x=15時，y最大=300.即當AD的長為15m時，長方形的面積最大，最大面積是300m2.活動目的：在活動解決之初（末），揭示該問題與問題一的關系3.問題三：對問題一再變式如圖,在一個直角三角形的內部作一個矩形ABCD，其中點A和點D分別在兩直角邊上,BC在斜邊上.M

7、(1) .設矩形的一邊BC=xm,那么AB邊的長度如何表示？(2) .設矩形的面積為ym2,當x取何值時,y的最大值是多少？活動目的：有了前面兩題作基礎，這個問題可以留給學生自己解決，作為練習4.問題四：某建筑物的窗戶如下圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15m.當x等于多少時，窗戶通過的光線最多(結果精確到0.01m)?此時，窗戶的面積是多少？分析：x為半圓的半徑，也是矩形的較長邊，因此x與半圓面積和矩形面積都有關系.要求透過窗戶的光線最多，也就是求矩形和半圓的面積之和最大，即-2,2xy+'x最大，而由于4y+4x+3x+nx=7x

8、+4y+nx=15，所以y=215-7-x121215-7x-x1.面積S=nx+2xy=nx+2x=nx+4 2242x(15-7x-x)=_3.厶乂牛7.5x,這時已經轉化為數學問題即二次函數了，只要2化為頂點式或代入頂點坐標公式中即可.解：T7x+4y+nx=15，157x兀x-y=4設窗戶的面積是S(m2)，則12S=nx+2xy=nx2+2x21 2|x(15-7x-二x)=-nx+2 22=一3.5x+7.5x15、_一3.5(x一x)7_-3.5(x-l5)2+1575.14392當x_151.07時，14c1575S最大_心4.02.392即當x1.07m時，S最大4.02m2

9、，此時，窗戶通過的光線最多.實際教學效果：問題四中的數量關系，較前面3個問題，處理起來比較繁瑣，教師要給予學生及時的指導和幫助。第二環節歸納升華活動內容：同學們能否根據前面的例子作一下總結，解決此類問題的基本思路是什么呢？與同伴進行交流.活動目的：通過前面例題的學習和感受，學生討論交流，在教師的幫助下歸納出：基本流程為：理解題目分析已知量與未知量'轉化為數學問題.解決此類問題的基本思路是：(1) 理解問題；(2) 分析問題中的變量和常量以及它們之間的關系；(3)用數學的方式表示它們之間的關系；(4) 做函數求解；(5) 檢驗結果的合理性，拓展等.第三環節課堂練習，活動探究活動內容：1. 用48米長的竹籬笆圍建一矩形養雞場，養雞場一面用磚砌成，另三面用竹籬笆圍成，并且在與磚墻相對的一面開2米寬的門（不用籬笆），問養雞場的邊長為多少米時，養雞場占地面積最大？最大面積是多少？2. 正方形ABCD邊長5cm,等腰三角形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,點B、C、Q、R在同一直線I上，當解答下列問題:C、Q兩點重合時，等腰PQR以1cm/s的速度沿直線I向左方向開始勻速運動，ts后正方形與等腰三角形重合部分面積為Scm2，當t=3s時，求S的值；當