1、1 1CH4 CH4 向量組的線性相關性向量組的線性相關性2 2向量組的線性相關性向量組的線性相關性n n維向量的概念維向量的概念向量組的線性相關性向量組的線性相關性線性相關性的判別定理線性相關性的判別定理向量組的秩向量組的秩向量空間向量空間3 3 1 1 N N維向量的概念維向量的概念4 4個數組成的有序數組個數組成的有序數組12,na aa稱為一個稱為一個維向量維向量，其中稱為第個，其中稱為第個分量分量（坐標坐標）. .iai維向量寫成一行，稱為維向量寫成一行，稱為行矩陣行矩陣，也就是，也就是行向量行向量，12naaa 如：如：記作記作, , ,. .維向量寫成一列，稱為維向量寫成一列，稱

2、為列矩陣列矩陣，也就是，也就是列向量列向量，（VectorVector）（naaa,.,21 5 52 2、元素全為零的向量稱為元素全為零的向量稱為零向量零向量（Null VectorNull Vector）. .3 3、維數相同的列（行）、維數相同的列（行）向量同型向量同型. .元素是復數的向量稱為元素是復數的向量稱為復向量復向量（Complex VectorComplex Vector）.1 1、元素是實數的向量稱為元素是實數的向量稱為實向量實向量（Real VectorReal Vector）. .4 4、對應分量相等的、對應分量相等的向量相等向量相等.6 6 1122(),nnabab

3、ab 12,nkkkakaka 1122,nnababab 1212(),(),nnaaab bb ,.,.,向量的加法與數乘合稱為向量的向量的加法與數乘合稱為向量的線性運算線性運算. .Rkaaan ），（,.,21 7 7（1 1） （交換律）（交換律）（2 2） （結合律）（結合律）()() （3 3）O （4 4）()O ( (設設, , ,均是維向量均是維向量, ,，為實數為實數) )（5 5）1 （6 6）()()() （7 7）() （8 8）() 8 8.,),(21T21維維向量空間向量空間叫做叫做集合集合維向量的全體所組成的維向量的全體所組成的nRxxxxxxXRnnnn

4、.,),(3叫做叫做三維向量空間三維向量空間的集合的集合三維向量的全體所組成三維向量的全體所組成RzyxzyxrRT 9 91010 11,1,0T ，設設3(3,4,0)T 20,1,1T ，12331,(,)21 .11 其中( , )求求解解 12312332， (4,4, 1) .T123321033 12 11 4010 (0,1,2) .T 123 012 1031 11 11 4010 441 11111122nnxxxb 線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應11112211211222221122n

5、nnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 1212(,.,)nnxxbx 即即Axb 或或121212mA 其第其第個列個列向量向量記作記作12jjjmjaaa 12(,.,)nA 個維個維行向量行向量. .按行分塊按行分塊111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 按列分塊按列分塊個維個維列向量列向量. .其第個行其第個行向量向量記作記作 12,iiiinaaa 矩陣與向量的關系中矩陣與向量的關系中注意什么是向量的注意什么是向量的個個數數、什么是向量的、什么是向量的維維數數，二者必須分清，二者必須分清. .13132 2 向量組的線性相關性向量組

6、的線性相關性1414一、向量組的線性相關性定義一、向量組的線性相關性定義1212,0k kkk 向向量量共共線線不不全全為為零零的的數數使使得得123123,0k kkkkk 向向量量共共面面不不全全為為零零的的數數, , 使使得得1212,0,0kkkk 向向量量不不共共線線若若則則123123,0,0kkkkkk 向向量量不不共共面面若若則則線性相關線性無關1515的一個的一個線性組合線性組合則稱則稱 為向量為向量 定義定義 2 2mmakakak 2211 使得使得一組實數一組實數若存在若存在設設n n維向量維向量,2121mmkkkaaa， ,maa12a線性表示線性表示或稱或稱 能由

7、向量能由向量 ,maa12a)(組成的集合叫做組成的集合叫做向量組向量組. .所所或同維數的行向量或同維數的行向量若干個同維數的列向量若干個同維數的列向量161612,.,(s1),s 向向量量組組稱稱為為線線性性相相關關 如如果果定義312,., ,sk kk存存在在不不全全為為零零的的數數使使得得0.2211 sSkkk 112212.0,.0Ssskkkkkk若若則則否否則則稱稱線線性性無無關關, , 如果向量組中有零向量,則向量組一定線性相關. 一個向量a=0線性相關,而 時線性無關0 兩個向量線性相關 它們對應分量成比例即即171712,., s 向向量量組組線線性性相相關關方方程程

8、1122.0 .ssxxx 有有非非零零解解i.e.1211121211212222n11n22(,.,) ,.0.0 .0Tiiiinssssnssaaaa xa xa xa xa xa xa xa xa x 設設方方程程組組 有有非非零零解解二、判別方法1.向量個數 未知數的個數 向量維數 方程的個數 (無)(沒)(沒)1818121(1,2,3,4,3) ,(1,2,0,5,1) ,TT 例例 . .設設34(2,4, 3, 19,6) ,(3,6, 3, 24,7)TT1234,. 試試判判斷斷的的線線性性相相關關性性11223344:0kkkk解解 設設123412341341234

9、123423 02246 03 33 04519240367 0kkkkkkkkkkkkkkkkkkk 即即1919對對系系數數矩矩陣陣進進行行初初等等行行變變換換1123224630334519243167A 10110134.000000000000同同解解方方程程組組1342340340kkkkkk 341,0,kk有有無無窮窮多多解解. .取取得得到到方方程程組組的的一一組組解解12341, 3,1,0kkkk (,)=()(,)=()1234300, 即即有有: :1234,. 故故線線性性相相關關202012126 ,(,)( ).mmaaaAaaamR Am 定定理理向向量量組組

10、線線性性相相關關它它所所構構成成的的矩矩陣陣的的秩秩小小于于向向量量個個數數；向向量量組組線線性性無無關關0|,| 121 naaan n線線性性無無關關維維向向量量個個推推論論線線性性相相關關維維向向量量個個時時當當推推論論nm nm, 2 線性相關線性相關維向量維向量個個特別地特別地n n1: 2.212112s,.,(2)s 定定理理1 1: :向向量量組組線線性性相相關關存存在在一一個個向向量量是是其其余余向向量量的的線線性性組組合合或或可可被被其其他他向向量量線線性性表表出出( (示示) ). .維維單單位位向向量量為為），（例例n,.,2 , 1.,0 1 . 0 2n ii 12

11、,.,n 故故線線性性相相關關第i個分量12,.,),nn ( (為為任任意意 維維向向量量1122 .nn 則則12,.,.n 而而線線性性無無關關3.222212s,.,(2)s 定定理理: :向向量量組組線線性性相相關關存存在在一一個個向向量量是是它它前前面面向向量量的的線線性性組組合合12s,.,(2)s 推推論論: :設設是是由由非非零零向向量量組組成成的的,(2)iis 向向量量組組 若若每每個個向向量量都都不不是是它它12s,., 前前面面向向量量的的線線性性組組合合, ,則則線線性性無無關關. .從向量組中找盡量多的線性無關向量2323例例 2 2,742,520,111321

12、 aaa已知已知.,21321相相關關性性的的線線性性及及向向量量組組試試討討論論向向量量組組aaaaa解解，矩陣矩陣梯形梯形施行初等行變換成行階施行初等行變換成行階對矩陣對矩陣),(321aaa2424 321,aaa，可見可見2),(321 aaaR 751421201 550220201 00022020112rr 13rr 2325rr ；線線性性相相關關故故向向量量組組321,aaa,2),(21 aaR同同時時.,21線性無關線性無關故向量組故向量組aa2525例例 3 3. ., , , ,., , , )2(. , , 21132221121線線性性相相關關性性討討論論設設線線

13、性性無無關關已已知知向向量量組組ssssbbbaabaabaabsaaa 證一證一1 122.0,ssx bx bx b 設設, 0)(.)()(1322211 aaxaaxaaxss即即, 0)(.)()(122111 ssssaxxaxxaxx亦亦即即，故有，故有線性無關線性無關因因saaa.,212626.,21線線性性無無關關為為奇奇數數時時向向量量組組所所以以當當sbbbs 為為偶偶數數為為奇奇數數列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數數行行ss; 0; 21)(111.000.00.11000.01110.001s1 0 .0 0 0 132211sssxxxxxxxx.,21

14、線性相關線性相關為偶數時向量組為偶數時向量組當當sbbbs2727121. 2 ,.m 定定理理如如果果向向量量，線線性性無無關關，.,21線線性性表表示示且且表表達達式式唯唯一一，能能由由則則m 三、性質12,.,m 而而向向量量組組，線線性性相相關關282812s: ,., 定定理理3 3 若若線線性性無無關關123: ,., r 2 2. .定定理理若若線線性性相相關關整體無關部分無關部分相關整體相關12r+1,.,.,.rm 則則也也線線性性相相關關.則則它它的的任任一一部部分分組組也也線線性性無無關關2929 3. 4 定定理理設設1212,(1,2,),rp jjp jjjjrjp

15、 jaaaajmaa 有有相相同同的的線線性性相相關關性性與與則則mm ,., ,.,2121的一個排列的一個排列為為其中其中npppn,.,2 , 1,.,2130301212112s12s12s12(,.,),1,2,.,(,.,),.,.,.,.,.,iiiiniiiininsaaaisaaaa 設設則則稱稱為為的的延延長長向向量量組組也也稱稱為為的的截截短短向向量量組組定義 12s5: ,.,. 4 4 定定理理若若線線性性無無關關則則其其延延長長組組也也線線性性無無關關1: r, n.nr 推推論論維維向向量量組組線線性性無無關關 在在每每個個向向量量相相同同的的位位置置添添加加個個

16、分分量量后后得得到到的的 維維向向量量組組仍仍線線性性無無關關12s5 : ,.,. 定定理理 若若線線性性相相關關 則則其其截截短短組組也也線線性性相相關關3131練習練習 設向量組設向量組 130,Tk ， 212,Tk ， ， 3021 ，線性相關，則線性相關，則 . .3 .1kor k 32324 4 向量組的秩向量組的秩33334 4 向量組的秩向量組的秩向量組等價向量組等價極大線性無關組與向量組的秩極大線性無關組與向量組的秩向量組的秩與矩陣秩的關系向量組的秩與矩陣秩的關系矩陣的秩與矩陣的運算矩陣的秩與矩陣的運算34341212,:,.mlRSSR設有兩個向量組：及若組中的每個向量

17、都能由向 量組線性表示1.1.定義定義4 4SR組組能能由由組組線線性性表表示示，,), 2 , 1(ljj 即對每個向量即對每個向量使使存存在在數數,21mjjjkkk一、向量組等價一、向量組等價.RS若向量組與向量組能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價SR稱 組能由組線性表示35351122jjjmjmkkk 1112121222121212,lllmmmmlkkkkkkkkk 從而從而 1212,jjmmjkkk .)(數矩陣數矩陣稱為這一線性表示的系稱為這一線性表示的系矩陣矩陣ijlmkK 3636，由此可知由此可知 ； ln2122221112112121,bbbbbbbbbaaac

18、ccllnnln，若若nllmnmBAC :一表示的系數矩陣一表示的系數矩陣為這為這B，線線性性表表示示的的列列向向量量組組組組能能由由矩矩陣陣量量列列向向的的則則矩矩陣陣AC373712m 11121121222212llmmmllaaaaaaaaa ：為這一表示的系數矩陣為這一表示的系數矩陣的行向量組線性表示，的行向量組線性表示，的行向量能由的行向量能由同時同時ABC,38382.2.性質性質 1 1）自反性）自反性 2 2）對稱性）對稱性3 3）傳遞性）傳遞性具有以上性質的關系稱為等價關系具有以上性質的關系稱為等價關系39391 1 定義定義7 712,rRaaa設設向向量量組組的的一一

19、個個部部分分組組，滿滿足足;,)(21線線性性無無關關raaai()R則則稱稱此此部部分分組組 是是向向量量組組的的一一個個極極大大線線性性無無關關組組簡簡稱稱極極大大無無關關組組( ).iiR向向量量組組中中任任意意向向量量可可由由此此部部分分組組線線性性表表示示二、極大線性無關組與向量組的秩二、極大線性無關組與向量組的秩極大線性無關組所含向量的個數稱為向量組的秩4040.0組組的的秩秩為為規規定定只只含含零零向向量量的的向向量量組等價組等價向量組與它的極大無關向量組與它的極大無關.般般不不是是惟惟一一的的向向量量組組的的極極大大無無關關組組一一.含含向向量量的的個個數數相相等等但但每每一一

20、個個極極大大無無關關組組中中41417 定定 理理向向 量量 組組 與與 它它 的的 任任 意意 一一 個個 極極 大大 線線 性性 無無 關關 組組 等等 價價 R,S,rs定定理理8 8 設設向向量量組組的的秩秩為為向向量量組組 的的秩秩為為 RS.rs 若若 向向量量組組能能由由向向量量組組 線線性性表表示示，則則42420101: : , :, .rsARaaBSbbrs 證證明明 設設 向向量量組組 的的一一個個極極大大無無關關組組為為向向量量組組 的的一一個個極極大大無無關關組組為為，要要證證0, RRRS因因為為組組能能由由組組 線線性性表表示示組組能能由由 組組線線性性表表示示

21、，使使得得即即存存在在系系數數矩矩陣陣),(ijsrkK 000, SSRS組組能能由由組組線線性性表表示示 所所以以組組能能由由組組線線性性表表示示，4343 srsrsrkkkk111111),(),( )0( 0 1 KXxxKsrrsr簡記為簡記為，則方程組，則方程組如果如果有有非非零零解解，0),( 1 Kxs 有非零解，有非零解，即即0),(1 Xr 0 .Srs 與與線線性性無無關關矛矛盾盾，所所以以），從從而而方方程程組組有有非非零零解解（因因rsKR )( 44447 R,S,rs定定理理設設向向量量組組的的秩秩為為向向量量組組 的的秩秩為為 RS.rs 若若 向向量量組組能

22、能由由向向量量組組 線線性性表表示示，則則等等價價的的向向量量組組的的秩秩相相等等推推論論 12 推推論論任任意意連連個個線線性性無無關關的的等等價價的的向向量量組組 所所含含向向量量個個數數相相等等( (反反之之不不對對) )4545三、向量組的秩與矩陣秩的關系三、向量組的秩與矩陣秩的關系464612mA 其第其第個列個列向量向量記作記作12jjjmjaaa 12(,.,)nA 個維個維行向量行向量. .按行分塊按行分塊111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 按列分塊按列分塊個維個維列向量列向量. .其第個行其第個行向量向量記作記作 12,iiiinaaa 矩陣與向量的關系

23、中矩陣與向量的關系中注意什么是向量的注意什么是向量的個個數數、什么是向量的、什么是向量的維維數數，二者必須分清，二者必須分清. .4747，：向向量量組組對對于于只只含含有有限限個個向向量量的的maaaA,21. ),(21maaaA 它它可可以以構構成成矩矩陣陣. 8行行秩秩列列秩秩矩矩陣陣的的秩秩定定理理 4848.)0()(),(21時時顯顯然然成成立立當當，設設 rrARaaaAm證證，關關組組無無的的列列向向量量組組的的一一個個極極大大列列是是所所在在的的因因此此ArDrrDr得得知知所所在在的的列列線線性性無無關關；+1Ar又又由由中中所所有有階階子子式式均均為為零零，1Ar 知知

24、中中任任意意個個列列向向量量都都線線性性相相關關. .0 rDr 階階子子式式并并設設, r所所以以列列向向量量組組的的秩秩等等于于().AR A類類似似可可證證矩矩陣陣的的行行向向量量組組的的秩秩也也等等于于.為為系系數數矩矩陣陣的的齊齊次次線線性性方方程程組組只只有有零零解解r否否則則以以這這 列列1r 從從而而原原矩矩陣陣存存在在非非零零的的階階子子式式，矛矛盾盾. .49491212,(,).mmaaaR aaa向向量量組組的的秩秩也也記記作作：從上述證明中可見從上述證明中可見rDA若若是是矩矩陣陣的的一一個個最最高高階階非非零零子子式式，關關組組向向量量組組的的一一個個極極大大無無的

25、的列列列列即即是是所所在在的的則則ArDr. r列向量組的秩等于列向量組的秩等于5050的的線線性性組組合合關關系系對對應應的的列列向向量量組組有有相相同同與與B10 ABA 初初等等行行變變換換定定理理矩矩陣陣，則則 的的列列向向量量5151.,ERTif ABP is I MPAB 證明證明 1212,ssn sn sAB ， ， ， ， ， 12， ， ，sPAP iiP 即即 12， ，sPPP 12s 設設的某些列的某些列12,piii 有關系有關系12120piipilll則相應的則相應的1212piipilll 1212piipil Pl Pl P 1212piipiP lll

26、0 具有相同的具有相同的線性關系線性關系. .12,piii 即即中列向量組中列向量組12,piii與與中列向量組中列向量組5252 :例例.,(2,4,4,9),2,7)(1,1,9)2,2,1,(,6,6)1,1,(,(2,1,4,3)54321并并將將其其余余向向量量線線性性表表出出的的一一個個極極大大線線性性無無關關組組，求求向向量量組組TTTTT 5353解：解：123452111211214(,)4622436979A 設設矩矩陣陣A對對施施行行初初等等行行變變換換變變為為行行階階梯梯形形矩矩陣陣1 12 140 11 10.0 00130 0000A 行行101040110300

27、01300000 ，54543,故故列列向向量量組組的的極極大大無無關關組組含含 個個向向量量1 2 4而而三三個個非非零零行行的的非非零零首首元元在在 、 、 三三列列，124,.aaa所所以以為為列列向向量量組組的的一一個個極極大大無無關關組組( )3R A 所所以以，1234512345,.a a a a ab b b b b因因為為向向量量之之間間與與向向量量之之間間有有相相同同的的線線性性關關系系5555現在現在,3344215bbbb 因此因此3b,21bb ,213aaa .3344215aaaa 5656總結：求極大線性無關組及向量的線性表示的總結：求極大線性無關組及向量的線性

28、表示的方法方法方法方法1：矩陣的初等行變換法：矩陣的初等行變換法（1 1）以向量組中的向量為列向量作矩陣）以向量組中的向量為列向量作矩陣（2 2）對矩陣作初等行變換，化為行階梯形（行最簡形）對矩陣作初等行變換，化為行階梯形（行最簡形）（3 3）取每行第一個非零元所在的列，即為所求）取每行第一個非零元所在的列，即為所求方法方法2：錄選法：錄選法（1 1）在向量組中選一個非零向量）在向量組中選一個非零向量（2 2）再選一個與）再選一個與1 1 的對應分量不成比例的向量的對應分量不成比例的向量2 （3 3）再選一個不能由）再選一個不能由1 2 線性表出的向量線性表出的向量3 線性表出的向量線性表出的

29、向量5757()(,)()()R AR PAR AQR PAQP Q 為為可可逆逆矩矩陣陣四、矩陣的秩與矩陣的運算四、矩陣的秩與矩陣的運算5858例例14.14.).,(),(11nkaaAC 設設，而而)(ijbB ).(),(min)(BRARABR )()( ARABR 先先證證明明kmknnmCBA 設設證證明明 : nknknkbbbbaa111111),(),( 則則5959).()(ARCR 因因此此),()(, TTTTTBRCRABC 由由上上面面證證明明知知因因的的列列向向量量組組線線性性表表示示，的的列列向向量量組組能能由由即即矩矩陣陣AC).()(BRCR 即即6060

30、練習練習. .()()().R ABR AB 6161.線線性性表表示示能能由由向向量量組組只只需需證證明明向向量量組組AB組組組組和和，并并設設設設兩兩個個向向量量組組的的秩秩都都為為BAr .00組組線線性性表表示示組組能能由由組組線線性性表表示示，故故組組能能由由因因BABA證明證明: :rrrKbbaa),(),(11 15 . ,.AB例例向向量量組組 能能由由向向量量組組 線線性性表表示示 且且它它們們的的秩秩相相等等.等價等價與向量組與向量組則向量組則向量組BA,:,:1010rrbbBaaA和和的的極極大大無無關關組組依依次次為為使使階方陣階方陣即有即有rKr6262raaRK

31、Rrr ),()( 1故故.),(10raaRAr 組線性無關，故組線性無關，故因因.)()(rKRrKRrr ，因因此此但但,),(),( 111 rrrrKaabbK可逆，并有可逆，并有于是矩陣于是矩陣.00組組線線性性表表示示組組能能由由即即AB. 組線性表示組線性表示組能由組能由從而從而AB63635 5 向量空間向量空間6464向量空間概念基與維數向量的坐標6565說明說明.,VRV 則則若若;,VVV 則則若若一、向量空間的概念一、向量空間的概念.VV所所謂謂封封閉閉，是是指指在在集集合合中中可可以以進進行行加加法法及及乘乘數數兩兩種種運運算算，結結果果還還在在集集合合中中定義定義

32、1 1設設V V 為為 n n 維向量的集合，如果集合維向量的集合，如果集合V V非空，非空，且集合且集合V V 對于對于加法加法及及數乘數乘兩種運算兩種運算封閉封閉，那么就稱，那么就稱集合集合V V 為為向量空間向量空間6666例例2 2是向量空間,),0(2T2RxxxxxVnn因為若因為若,),0(,),0(T2T2VbbbVaaann,), , 0(T22Vbababann則.),0(T2Vaaan例例1 1 .，就就是是一一個個向向量量空空間間維維向向量量的的全全體體nRn6767例例3 3.,),1 (2T2不是向量空間RxxxxxVnn因為若因為若.)2,2,2(2T2Vaaan

33、 則則，Vaaan T2),1(例例4 4.)0 , 0 ,0(T，稱為零空間，稱為零空間是一個向量空間是一個向量空間 xV練習練習1 1., 0),(321T321是否是向量空間？RxxxxxxxxVi., 1),(321T321是否是向量空間？RxxxxxxxxVi練習練習2 2.是向量空間.不是向量空間6868例例5 5n設設， 為為兩兩個個已已知知的的維維向向量量，集集合合,Lx R.是一個向量空間是一個向量空間.這這個個向向量量空空間間稱稱為為由由向向量量， 生生成成的的向向量量空空間間12maaa一一般般地地，由由向向量量組組， ，生生成成的的向向量量空空間間為為,212211RaaaxLmmm 696912(1),;r 線線性性無無關關12(2),.,.rV 中中任任一一向向量量都都可可由由線線性性表表示示那么，向量組那么，向量組 就稱為向量就稱為向量的一個的一個r, 21V基基， 稱為向量空間稱為向量空間 的的維數，維數，并稱并稱 為為 維向量維向量空間空間VrVr二、向量空間的基與維數二、向量空間的基與維數定義定義2 2 設設 是向量空間，如果是向量空間，如果 個向量個向量 ，且滿足，且滿足r,21 VVr ,若若V V 的維數為的維數為r r，記做，記做dimdimV V= =r r7070只含有零向量的向量空間只含有零向量的向量空間