1、第9章線性系統的狀態空間分析與綜合F重點與難點一、基本概念1線性系統的狀態空間描述（1）狀態空間概念狀態反映系統運動狀況，并可用以確定系統未來行為的信息集合。狀態變量確定系統狀態的一組獨立（數目最少）變量，它對于確定系統的運動狀態是必需的，也是充分的。狀態向量以狀態變量為元素構成的向量。狀態空間以狀態變量為坐標所張成的空間。系統某時刻的狀態可用狀態空間上的點來表示。狀態方程狀態變量的一階導數與狀態變量、輸入變量之間的數學關系，一般是關于系統的一階微分（或差分）方程組。輸出方程輸出變量與狀態變量、輸入變量之間的數學關系。狀態方程與輸出方程合稱為狀態空間描述或狀態空間表達式。線性定常系統狀態空間表

2、達式一般用矩陣形式表示：（x=Ax+Bu|y二Cx+Du（2）狀態空間表達式的建立。系統狀態空間表達式可以由系統微分方程、結構圖、傳遞函數等其他形式的數學模型導出。（3）狀態空間表達式的線性變換及規范化。描述某一系統的狀態變量個數（維數）是確定的，但狀態變量的選擇并不唯一。某一狀態向量經任意滿秩線性變換后，仍可作為狀態向量來描述系統。狀態變量選擇不同，狀態空間表達式形式也不一樣。利用線性變換的目的在于使系統矩陣A規范化，以便于揭示系統特性，利于分析計算。滿秩線性變換不改變系統的固有特性。根據矩陣A的特征根及相應的獨立特征向量情況，可將矩陣A化為三種規范形式：對角形、約當形和模式矩陣。（4）線性

3、定常系統狀態方程解。狀態轉移矩陣0（t）（即矩陣指數eAt）及其性質：i. o(0)=Iii. 0(t)=AO(t)=0(t)Aiii. °(t+1)=e(t)°(土t)=e(土t)e(t)121221iv. 帖(t)(-1)v. °(t)k=°(kt)vi. exp(At)exp(Bt)=exp(A+B)t(AB=BA)vii. exp(P-1APt)二P-1exp(At)P(P非奇異)求狀態轉移矩陣O(t)的常用方法：拉氏變換法O(t)=LT(sIA)-1(9.2)級數展開法119.3)9.4)eAt=I+At+A212+hAktk+2k!齊次狀態方

4、程求解x(t)=O(t)x(0)非齊次狀態方程式(9.1)求解x(t)=O(t)x(0)+1tO(tT)Bu(t)dT(9.5)0(5)傳遞函數矩陣及其實現傳遞函數矩陣G(s):輸出向量拉氏變換式與輸入向量拉氏變換式之間的傳遞關系G(s)=C(sIA)-1B+D(9.6)傳遞函數矩陣的實現：已知傳遞函數矩陣G(s)，找一個系統A,B,C,D使式(9.6)成立，則將系統A,B,C,D稱為G(s)的一個實現。當系統階數等于傳遞函數矩陣階數時，稱該系統為G(s)的最小實現。傳遞函數矩陣的實現并不唯一。實現的常用標準形式有可控標準形實現、可觀測標準形實現、對角形實現和約當形實現等。(6)線性定常連續系

5、統的離散化及其求解對式(9.1)表示的線性定常數連續系統進行離散化，導出的系統離散狀態空間描述為/x(k+1)=O(T)x(k)+G(T)u(k)'y(k)二Cx(k)+D(k)gqA259其中e(t)=e(t)iTG(T)=fTe(T)BdT0離散狀態方程式(9.1)的解為x(k)=ek(T)x(0)+七1ek-1-i(T)G(T)u(i)(9.9)i=02. 線性系統的可控性與可觀測性(1) 系統的(狀態)可控性。設系統狀態方程為X=Ax+Bu,若在有限時間間隔tet,t內存在無約束的分段連續控制函數u(t)，能使系統從任意初始狀態x(t)轉移0f0到任意的終止狀態x()，則稱系統

6、是狀態完全可控的，簡稱可控。線性定常連續系統可控性常用判據：1) rankBABA2BAn-1B=n(9.10)2) 當A為對角矩陣且特征根互異時，輸入矩陣B中無全零行(當矩陣A有相同特征根時不適用)。當A為約當矩陣且相同特征根分布在一個約當塊內時，輸入矩陣中與約當塊最后一行對應的行中不全為零，且輸入矩陣中與相異特征根對應的行不全為零(當相同特征根分布在兩個或兩個以上約當塊時不適用)。3) (sI-A)-1B的行向量線性無關。4) 單輸入系統A,B為可控標準形。5) 單輸入單輸出系統，當由狀態空間表達式導出的傳遞函數沒有零極點對消時，系統可控、可觀測(對多輸入多輸出系統不適用)。連續系統狀態方

7、程離散化后的可控性：連續系統不可控，離散化的系統一定不可控；連續系統可控，離散化后的系統不一定可控(與采樣周期的選擇有關)。(2) 系統輸出可控性。設系統狀態空間表達式為式(9.1),若在有限時間間隔tet,t內，存在無約束的分段連續控制函數u(t)，能使系統從任意初始輸出y(t)轉0f0移到最終內測量到的輸出y(t)，則稱系統是輸出完全可控的，簡稱輸出可控。f輸出可控性判據為rankCBCABCAn-1BD=q(C陣的行數)狀態可控性與輸出可控性是兩個不同的概念，其間沒有必然聯系。單輸入單輸出系統，若輸出不可控，則系統或不可控或不可觀測。(3) 系統狀態可觀測性。已知輸出u(t)及有限時間間

8、隔tet,t內測量到的輸出0fy(t)，若能唯一確定初始狀態x(t)，則稱系統是完全可觀測的，簡稱可觀測。0常用可觀測性判據：2611）rankCTAtCt.（At）n-1Ct=n（9.11）2）當A為對角矩陣且有相異特征值時，輸出矩陣無全零列（A陣有相同特征值時不適用）。當A為約當陣且相同特征值分布在一個約當塊時，輸出矩陣中與約當塊最前一列對應的列不全為零，輸出矩陣中與相異特征值對應的列不全為零（相同特征值分布在兩個或更多個約當塊時不適用）。3）C（sI-A）-1的列向量線性無關。4）單輸出系統A,C為可觀測標準形。連續系統離散化后的可觀測性：連續系統不可觀測，離散化后一定不可觀測；連續系統

9、可觀測，離散化后不一定可觀測（與采樣周期的選擇有關）。對偶原理：線性系統SA,B,C與SAt,Ct,Bt互為對偶系統。若系統S可控，121則S可觀測；若系統S可觀測，則S可控。212（4）線性定常系統的規范分解。從可控性、可觀測性出發，狀態變量可分解為可控可觀測x、可控不可觀測x-、不可控可觀測x_和不可控不可觀測x四類。以此對應cocococo將狀態空間劃分為四個子空間，系統也對應分解為四個子系統，這稱為系統的規范分解。研究規范分解能更明顯地提示系統結構特性和傳遞特性。3. 線性定常系統的狀態反饋與狀態觀測器（1）狀態反饋與極點配置。用狀態反饋實現閉環極點任意配置的充要條件是被控系統可控。狀

10、態反饋不改變系統的零點，只改變系統的極點。在引入狀態反饋后，系統可控性不變，但其可觀測性不一定與原系統一致。單輸入無零點系統在引入狀態反饋后不會出現零極點對消，故其可觀測性與原系統保持一致。（2）輸出反饋（到狀態微分處）與極點配置。用輸出反饋實現閉環極點任意配置的充要條件是被控系統可觀測。輸出反饋不改變系統的零點。在引入輸出反饋后不改變系統的可觀測性，但其可控性不一定與原系統保持一致。（3）輸出到輸入參考點的常值增益反饋可以配置的閉環極點數為minn,p+q-1，式中p二rankB,q二rankC，故一般情況下不能像輸出到狀態微分處反饋那樣任意配置系統閉環極點。（4）狀態觀測器及其設計。若被控

11、系統A,B,C可觀測，則其狀態可用形如X二（A-HC）X+Bu+Hy（9.12）的全維狀態觀測器給出估值。矩陣H按任意配置極點的需要來選擇，以決定狀態誤差衰減的速率。分離定理：若被控系統可控可觀測，當用狀態觀測器估值形成狀態反饋時，其系統的極點配置和觀測器設計可分別獨立進行。即矩陣K與H的設計可分別獨立進行。4. 李雅普諾夫穩定性分析(1) 李雅普諾夫意義下的穩定性：平衡狀態：在無外部激勵的條件下，系統能維持在某個狀態而不變化，即丘|二0x=Xe則稱x為一個平衡狀態。e零狀態是線性系統的平衡狀態，且當系統矩陣非奇異時，零狀態是唯一的平衡狀態李雅普諾夫穩定性：若要求IIx(t)-X11<&

12、#163;>0，存在8(£,t)>0，只要0e0IIx(t)XII<8(t,t)，上述條件更可滿足，則稱系統在x處穩定。0e0e(2)李雅普諾夫第二法(直接法)：標量函數V(x)(如二次型函數)的定號性：正定、正半定、負定、負半定、不定。李雅普諾夫穩定性定理：設系統狀態方程為x=f(X,t)，其平衡狀態滿足f(0,t)=0，并設在原點鄰域存在V(x,t)對X的連續一階偏導數，則有定理1：若V(x,t)正定，V(x,t)負定，則原點是漸近穩定的。定理2：若V(x,t)正定，V(x,t)負半定，Vx(t;x,t),t在非零狀態不恒為零，00則原點是漸近穩定的。定理3：若

13、V(x,t)正定，V(x，t)負半定，Vx(t;x,t),t在非零狀態存在恒為零，00則原點是李雅普諾夫意義下穩定的。定理4：若V(x,t)正定，V(x,t)正定，則原點是不穩定的。當平衡狀態不在原點時，可通過坐標變換將其置于原點上，坐標變換不改變系統的固有性質。(3) 線性定常連續系統的李雅普諾夫穩定性分析。設系統狀態方程為X=Ax,A為非奇異矩陣，故原點是唯一平衡狀態。取二次型函數V(x)作為可能的李雅普諾夫函數，即V(x)=xTPx則V(x)=xtQx=xt(AtP+AP)x系統漸近穩定的充要條件是：給定一正定實對稱矩陣Q，有唯一的正定實對稱矩陣P，AtP+AP=Q成立。xtPx是系統的

14、一個李雅普諾夫函數。線性定常離散系統x(k+1)=ox(k)，零平衡狀態X=0漸近穩定的充要條件是：e任意給定一個正定實對稱矩陣Q，存在一個正定實對稱矩陣P，滿足李雅普諾夫方程。etpqp=q純量函數Vx(k)=XT(k)Px(k)是該離散系統的一個李雅普諾夫函數。如果沿系統任一狀態軌跡運動(x(k)=0除外)，其AVx(k)=xT(k)Qx(k)MO,則Q可取正半定矩陣。二、基本要求1線性系統的狀態空間描述(1)正確理解狀態空間有關概念。(2)熟練掌握建立元件、系統狀態空間表達式的方法。(3)掌握狀態空間表達式向可控、可觀測標準形、對角形、約當形等規范形式變換的基本方法。(4)熟練掌握系統實

15、現的常用方法。(5) 熟練掌握依狀態空間表達式A,B,C,D求系統傳遞矩陣G(s)的方法。(6) 熟練掌握線性系統狀態方程求解方法。特別要掌握狀態轉移矩陣0(t)的性質及求取方法。2線性系統的可控性和可觀測性(1) 正確理解可控性、可觀測性的基本概念。(2) 熟練掌握判定系統可控、可觀測性的充要條件及有關方法。(3) 理解可控性、可觀測性與系統傳遞函數的關系。(4) 理解線性系統規范分解的作用和意義，了解規范分解的一般方法。3線性定常系統的狀態反饋與狀態觀測器(1) 正確理解利用狀態反饋任意配置系統極點的有關概念，熟練掌握按系統指標要求確定狀態反饋矩陣K的方法。(2) 正確理解利用輸出反饋任意配置系統極點的有關概念，熟練掌握指標要求確定輸出反饋矩陣H的方法。(3) 正確理解分離定理，熟練掌握依狀態觀測器要求設計觀測器的方法