1、 人教人教A必修必修4教材解讀教材解讀 杭州長征中學杭州長征中學 朱成萬朱成萬 第一章 三角函數三角函數 第二章第二章 平面向量平面向量 三角函數是基本初函數，它是描述周三角函數是基本初函數，它是描述周期現象的重要數學模型，在數學和其他領期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用域中具有重要的作用.在本模塊中，通過實在本模塊中，通過實例，學習三角函數及其基本性質，體會三例，學習三角函數及其基本性質，體會三角函數在解決具有周期變化規律的問題中角函數在解決具有周期變化規律的問題中的作用的作用.內容 標準目標表述 大綱目標表述 任意角弧度 了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化

2、。 理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進行弧度與角度的換算。三角函數 借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義。借助單位圓中的三角函數線推導出誘導公式（/2, 的正弦、余弦、正切），能畫出y=sin x, y=cos x, y=tan x的圖像，了解三角函數的周期性。借助圖像理解正弦函數、余弦函數在0，2，正切函數在（/2，/2）上的性質（如單調性、最大和最小值、圖像與x軸交點等）。 理 解 同 角 三 角 函 數 的 基 本 關 系 式 ：sin2x+cos2x=1，sinx/cosx=tan x。結合具體實例，了解y=Asin（x+）的實際意義；能借助計算器或計算機畫出y

3、=Asin（x+）的圖像，觀察參數A，對函數圖像變化的影響。會用三角函數解決一些簡單實際問題，體 會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型。 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，并會利用單位圓中的三角函數線表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數的基本關系式：掌握正弦、余弦的誘導公式。 會用單位圓中的三角函數線畫出正弦函數、正切函數的圖象，并在此基礎上由誘導公式畫出余弦函數的圖象；了解周期函數與最小正周期的意義；了解奇偶函數的定義；并通過它們的圖象理解正弦函數、余弦函數、正切函數的性質以及簡化這些函數圖象的繪制過程；會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數y

4、=Asin(x+)的簡圖，理解A、的物理意義。三、綱標比較三、綱標比較刪減刪減：任意角的余切、正割、余割，：任意角的余切、正割、余割， 已知三角函數求角，已知三角函數求角， 反三角函數符號，反三角函數符號，削弱削弱：任意角概念、弧度制概念、：任意角概念、弧度制概念、 同角三角函數基本關系式、誘導公式同角三角函數基本關系式、誘導公式 三角函數周期性的一般討論作為選學內容三角函數周期性的一般討論作為選學內容加強加強：三角函數作為刻畫現實世界的數學模型，：三角函數作為刻畫現實世界的數學模型， 借助單位圓理解三角函數的概念、性質，借助單位圓理解三角函數的概念、性質， 通過建立三角函數模型解決實際問題等

5、。通過建立三角函數模型解決實際問題等。l內容接近原來教材內容接近原來教材l強調三角函數的函數強調三角函數的函數 “ “味道味道” ” l單位圓貫穿整個三角教學單位圓貫穿整個三角教學l三種函數：正弦、余弦、正切三種函數：正弦、余弦、正切l研究角度：定義、圖象、性質研究角度：定義、圖象、性質l三角變換獨立成章三角變換獨立成章l刻畫周期現象的數學模型刻畫周期現象的數學模型 l借助借助單位圓認識弧度單位圓認識弧度l用單位圓定義三角函數用單位圓定義三角函數l用單位圓推導同角關系和誘導公式用單位圓推導同角關系和誘導公式l用單位圓討論三角函數圖像和性質用單位圓討論三角函數圖像和性質l用單位圓研究和（差）角公

6、式用單位圓研究和（差）角公式1cossin22xxsin)2cos(序號序號單位圓的幾何性質單位圓的幾何性質三角函數的基本性質三角函數的基本性質1 1R=1R=12 2圓周長圓周長=2=2周期性周期性3 3關于關于x x軸對稱軸對稱cos(-cos(-x x) )cos cos x x 4 4關于關于y y軸對稱軸對稱cos(-cos(-x x) )-cos-cos x x5 5關于關于y y x x對稱對稱6 6旋轉對稱性旋轉對稱性和（差）角公式和（差）角公式7 7反射對稱性反射對稱性和化積和化積 l 概念較多學生自學再講授1.11.1任意角和弧度制：任意角和弧度制：l 恒等式的化簡、證明難

7、度要控制恒等式的化簡、證明難度要控制 只需圍繞三種三角函數只需圍繞三種三角函數1.21.2任意角的三角函數任意角的三角函數教學要求教學要求 設任意角設任意角，它的終邊與單位圓交于點它的終邊與單位圓交于點P（x,y）,那么那么: y叫做叫做的正弦，即的正弦，即sin=y; x叫做叫做的余弦的余弦. 即即cos=x 1.2 1.2 任意角的三角函數任意角的三角函數教后反思教后反思章建躍：照顧老師的習慣章建躍：照顧老師的習慣做法：盡量回避此類練習做法：盡量回避此類練習第第2版：增加旁白版：增加旁白“坐標之坐標之比比”網友：誘導公式兩節課太浪費時間。我十分鐘就可以解決問題，網友：誘導公式兩節課太浪費時

8、間。我十分鐘就可以解決問題，保證學生懂。保證學生懂。課標：強調讓學生經歷知識發生、發展過程，在思考、探究中主課標：強調讓學生經歷知識發生、發展過程，在思考、探究中主動構建知識。動構建知識。教學中要創設情境，促成學生發現誘導公式教學中要創設情境，促成學生發現誘導公式. . 1.1.復習復習: :公式二一；單位圓與三角函數線等公式二一；單位圓與三角函數線等. . 2.2.提出提出P26P26探究問題，給學生思考時間，由學生發現：探究問題，給學生思考時間，由學生發現：終邊與角終邊與角 的終邊關于原點、的終邊關于原點、x x軸、軸、y y軸和直線軸和直線y=xy=x對稱的各類角對稱的各類角的各種表示方

9、法，借助單位圓，通過圖形觀察，由學生發現的各種表示方法，借助單位圓，通過圖形觀察，由學生發現公式二至四。公式二至四。3.3.引導學生，概括四組公式，認識它們的作用引導學生，概括四組公式，認識它們的作用. . 4.4.安排的例題與練習，熟悉公式，理解化歸與轉化思想安排的例題與練習，熟悉公式，理解化歸與轉化思想. .（公式五、六的教學可同上安排）（公式五、六的教學可同上安排）1.3 1.3 誘導公式誘導公式1.4 1.4 三角函數的圖象與性質三角函數的圖象與性質（）P39例51、不講復合函數的單調性，可不可以講此題、不講復合函數的單調性，可不可以講此題2、問題要求是否太高？、問題要求是否太高？3、

10、如何鋪設臺階？、如何鋪設臺階？新增內容，新增內容，4個例題個例題 較難較難突出描述周期變化的數學模型突出描述周期變化的數學模型體現化歸轉化、方程與函數、數形體現化歸轉化、方程與函數、數形結合等思想方法在研究解決問題中結合等思想方法在研究解決問題中的作用的作用. 熟悉內容為主，教學方式有變熟悉內容為主，教學方式有變 整體把握為主，滲透思想方法整體把握為主，滲透思想方法 函數味道為主，變換運算少用函數味道為主，變換運算少用 課本題目為主，少量補充拓展課本題目為主，少量補充拓展實際背景實際背景向向 量量線性運算線性運算向量及其向量及其基本概念基本概念向量的向量的數量積數量積向量的應用向量的應用坐標表

11、示坐標表示基本定理基本定理 目標：理解平面向量及其運算的意義，目標：理解平面向量及其運算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數學、能用向量語言和方法表述和解決數學、物理中的一些問題。物理中的一些問題。 定位：溝通代數、幾何與三角函數的定位：溝通代數、幾何與三角函數的一種工具一種工具“工具性工具性”。平面向量的平面向量的實際背景及實際背景及基本概念基本概念 通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示。量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示。 理解向量的概念，掌握向量的理解向量的概念，掌握向量的

12、幾何表示，了解共線向量的概念。幾何表示，了解共線向量的概念。 向量的線形向量的線形運算運算 通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義。通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義。 通過實例，掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以通過實例，掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義。及兩個向量共線的含義。 了解向量的線性運算性質及其幾何意義。了解向量的線性運算性質及其幾何意義。 掌握向量的加法與減法。掌握向量的加法與減法。 掌握實數與向量的積，理解兩掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件。個向量共線的充要條件。 平面向量的平面向量的基本定理及基本定理

13、及坐標表示坐標表示 了解平面向量的基本定理及其意義。了解平面向量的基本定理及其意義。 掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。掌握平面向量的正交分解及其坐標表示。 會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算。會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算。 理解用坐標表示的平面向量共線的條件。理解用坐標表示的平面向量共線的條件。 了解平面向量的基本定理，理了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算。面向量的坐標運算。 平面向量的平面向量的數量積數量積 通過物理中通過物理中“功功”等實例，理解平面向量數量積的含義及等實例，理解平面向量數量積的含義及其物

14、理意義。其物理意義。 體會平面向量的數量積與向量投影的關系。體會平面向量的數量積與向量投影的關系。 掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算。掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算。 能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。平面向量的垂直關系。 掌握平面向量的數量積及其幾何意掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。掌握向量垂直的條件。掌握平面兩點間的距離公式，掌

15、握掌握平面兩點間的距離公式，掌握線段的定比分點和中點坐標公式，線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用；掌握平移公式。并且能熟練運用；掌握平移公式。 向量的應用向量的應用 經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發展運算能力和解決實際問題的能力。問題等的工具，發展運算能力和解決實際問題的能力。 三、綱標比較三、綱標比較 增加：正交分解、增加：正交分解、向量的應用向量的應用 刪減：刪減：定比分點、中點公式

16、，平移公式。定比分點、中點公式，平移公式。 加強：加強：向量的實際背景、幾何意義向量的實際背景、幾何意義 削弱：向量垂直的條件削弱：向量垂直的條件1 1、強調整體把握向量的基本內容、強調整體把握向量的基本內容2 2、突出向量的物理背景與幾何背景、突出向量的物理背景與幾何背景3 3、強調向量的工具作用、強調向量的工具作用4 4、強調向量法的基本思想、強調向量法的基本思想5.15.1向量向量5.25.2向量的加法與減法向量的加法與減法5.35.3實數與向量的積實數與向量的積5.45.4平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算5.55.5線段的定比分點線段的定比分點5.65.6平面向量的數量積及平面向量

17、的數量積及運算律運算律5.75.7平面向量數量積的坐平面向量數量積的坐標表示標表示5.85.8平移平移 2.5.12.5.1平面幾何中向量方法平面幾何中向量方法 2.5.22.5.2向量在物理中的應用舉例向量在物理中的應用舉例 3.13.1用向量推導用向量推導cos(-cos(-) ) 必修必修5 5：向量推導余弦定理：向量推導余弦定理 選修選修2-12-1；空間向量與立體幾何；空間向量與立體幾何 向量幾何向量幾何不依賴于坐標系的解析幾何不依賴于坐標系的解析幾何（1 1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問示問題中涉及的幾何

18、元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；題轉化為向量問題；（2 2）通過向量運算研究幾何元素之間的關系，）通過向量運算研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；如距離、夾角等問題；（3 3）把運算結果）把運算結果“翻譯翻譯”成幾何關系。成幾何關系。 觀點觀點1：偏了，應該考坐標運算，學生可以拿分。：偏了，應該考坐標運算，學生可以拿分。 觀點觀點2：應強調幾何物理背景，避開幾何意義，片：應強調幾何物理背景，避開幾何意義，片面強調代數運算是也是偏了！面強調代數運算是也是偏了！ 觀點觀點3：從新思考向量的：從新思考向量的“工具工具”作用作用 觀點觀點4向量基本思想向量基本思想向量幾何向量幾何. 在平面

19、中，O, A, B三點不共線，且1| , 2|OBABOAOBOAABOBOA求；表示向量，用向量)2() 1 (21平面向量的實際背景及其基本與概平面向量的實際背景及其基本與概念念約約2課時課時22平面向量的線性運算平面向量的線性運算約約3課時課時23平面向量基本定理及坐標表示平面向量基本定理及坐標表示 約約2課時課時24平面向量的數量積平面向量的數量積約約2課時課時25平面平面向量應用舉例向量應用舉例約約2課時課時復習小結復習小結約約1課時課時 第第1 1課時：向量的物理背景與概念、課時：向量的物理背景與概念、 向量幾何表示。向量幾何表示。 第第2 2課時：向量的幾何表示、課時：向量的幾何

20、表示、 平行向量、相等向量與共線向平行向量、相等向量與共線向 防止平面幾何中平行和共線的概念對向防止平面幾何中平行和共線的概念對向量的平行、共線概念的干擾量的平行、共線概念的干擾 第第1 1課時：向量加法運算及其幾何意義課時：向量加法運算及其幾何意義 第第2 2課時：向量減法運算及其幾何意義課時：向量減法運算及其幾何意義 第第3 3課時：向量數乘運算及其幾何意義。課時：向量數乘運算及其幾何意義。 與數的運算進行類比與數的運算進行類比 第第1 1課時：平面向量基本定理、課時：平面向量基本定理、 正交分解、坐標表示正交分解、坐標表示 第第2 2課時：坐標運算、共線的坐標表示課時：坐標運算、共線的坐

21、標表示 平面向量基本定理是核心內容之一平面向量基本定理是核心內容之一通過探究活動，通過探究活動，引導學生自主得出引導學生自主得出先讓學生分析向量先讓學生分析向量e1、e2可能的位可能的位置，區分出共線、置，區分出共線、不共線兩種情況，不共線兩種情況，作出兩種情況下作出兩種情況下3e12e2、e12e2，共線時共線時“不能不能”，不共線時不共線時“總能總能” 問題問題1：取一個與數軸方向相同的向量記為：取一個與數軸方向相同的向量記為a，那么，那么與數軸平行的所有向量與向量與數軸平行的所有向量與向量a有什么關系？有什么關系？ 問題問題2：取一個與數軸不平行的向量記為：取一個與數軸不平行的向量記為b

22、，那么向，那么向量量b可以表示怎樣的向量？可以表示怎樣的向量？ 問題問題3：對平滑的斜坡上受重力下滑的物體，你能將：對平滑的斜坡上受重力下滑的物體，你能將引起下滑的重力分解成哪幾個力？引起下滑的重力分解成哪幾個力？ 問題問題4：取一個與向量：取一個與向量a和和b都不平行的向量都不平行的向量c，那么，那么向量向量c可以用向量可以用向量a和和b表示出來嗎？表示出來嗎？ 第第1 1課時：數量積物理背景及其含義課時：數量積物理背景及其含義 第第2 2課時：數量積坐標表示、模、夾角課時：數量積坐標表示、模、夾角 用向量的數量積定義推導有關結論用向量的數量積定義推導有關結論 教學中建議采用探究法，要求學生

23、自己利教學中建議采用探究法，要求學生自己利用向量的數量積定義推導有關結論，這些結論用向量的數量積定義推導有關結論，這些結論可以看成是定義的一個推論，教學中應當讓學可以看成是定義的一個推論，教學中應當讓學生獨立完成，教師作適當點評生獨立完成，教師作適當點評 第第1 1課時：平面幾何中的向量方法課時：平面幾何中的向量方法 第第2 2課時：向量在物理中應用舉例課時：向量在物理中應用舉例是基礎，是技能是基礎，是技能是語言，是工具是語言，是工具是方法，是思想是方法，是思想3.1.1 兩角差的余弦公約1課時3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式約1課時3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式約1課時

24、小結復習約1課時3.2簡單的三角恒等變換約3課時小結復習約1課時 本章學習的主要內容是兩角和與差的本章學習的主要內容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，以及運用這些公正弦、余弦和正切公式，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換。式進行簡單的恒等變換。 通過本章的學習，要使學生在學習三通過本章的學習，要使學生在學習三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發展推理能力和運算能力，使學生體會三發展推理能力和運算能力，使學生體會三角恒等變換的工具性作用，學會它們在數角恒等變換的工具性作用，學會它們在數學中的一些應用。學中的一些應用。內容內容 標準標準目標表述目標表述 大綱

25、大綱目標表述目標表述 兩角差的余弦 經歷用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用。 兩角和與差及二倍角的正弦與余弦和正切 能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系。 掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；通過公式的推導，了解它們的內在聯系，從而培養邏輯推理能力。 三角恒等變換 能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括引導導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。 能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角

26、公式，但不要求記憶）。 已知三角函數值求角 會由已知三角函數值求角，并會用符號arcsinx、arccosx、 arctanx表示。比較比較刪減刪減：已知三角函數求角，：已知三角函數求角， 反三角函數符號，反三角函數符號，加強：加強：經歷用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進經歷用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用。一步體會向量方法的作用。從知識內容看從知識內容看基本同老教材基本同老教材從數學變換角度看從數學變換角度看兩者有同有異兩者有同有異從先后順序看從先后順序看在三角函數、向量之后在三角函數、向量之后從思想方法層面看從思想方法層面看體現多種思想方法體現多種思想方法從習題難易看從習題難易看足以對付高考足以對付高