1、2在微分學中在微分學中,)(1 xx.11)(arctan2xx反過來反過來,11)(x Cx )1ln(.5sec)(2x Cx 5tan51復雜，怎樣求？復雜，怎樣求？問題：如果右端函數較問題：如果右端函數較?tan2x ）（如如3例例,cos)(sinxx xsin是是xcos的的原原函函數數.),0(1lnxxxxln是是x1在區間在區間), 0(內的原函數內的原函數. 如果在區間如果在區間I內，內，定義：定義：可可導導函函數數)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函數數)(xF就就稱稱為為)(xf導函數為導函數為)(xf，或或dxx

2、f)(在在區區間間I內內原原函函數數. .一、原函數與不定積分的概念一、原函數與不定積分的概念4原函數存在定理：原函數存在定理：簡言之簡言之 連續函數一定有原函數連續函數一定有原函數. 問題：問題：(1) 原函數如果存在原函數如果存在, 哪有多少？哪有多少？例例,cos)(sinxx .cos)(sinxCx （ 為任意常數）為任意常數）C(2) 如何表示或它們之間的關系如何？如何表示或它們之間的關系如何？5關于原函數的說明：關于原函數的說明：（1）若）若 ，則對于任意常數，則對于任意常數 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函數數.（2）若）若 和和 都是都是 的原函

3、數，的原函數，)(xF)(xG)(xf則則CxGxF )()(（ 為任意常數）為任意常數）C證證 )()()()(xGxFxGxF 因為因為0)()( xfxfCxGxF )()(所以所以（ 為任意常數）為任意常數）C.)()(CxGxF 即即.)(窮多個窮多個的原函數存在，則有無的原函數存在，則有無如果如果xf結論1結論1.)()()()(的的全全體體原原函函數數為為的的一一個個原原函函數數，則則是是若若xfCxFxfxF結結論論2 26任意常數任意常數積分號積分號被積函數被積函數不定積分的定義：不定積分的定義：在在區區間間I內內，CxFdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量

4、函數函數)(xf的的帶有任意帶有任意 常數項的原函數常數項的原函數稱稱為為)(xf在在區區間間I內內的的不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. .)(作作求求不不定定積積分分的的全全體體原原函函數數的的過過程程稱稱求求xf7例例1 1 求求.5dxx 解解,)6(56xx因因.665Cxdxx所以所以解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx8例例3 3 設曲線通過點設曲線通過點(1,2),且其上任一點處的切線斜且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍率等于這點橫坐標的兩倍,求此曲線方程求此曲線方程.解解設曲線方程為設曲線方程為)

5、,(xfy 根據題意知根據題意知,2xdxdy即即)(xf是是x2的一個原函數的一個原函數.,22Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點由曲線通過點(1,2), 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy9函函數數)(xf的的原原函函數數的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線.顯然，求不定積分得到一積分曲線族顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知),()(xfdxxfdxd,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF結論結論 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的.10實例實例

6、xx 11.11Cxdxx 啟示啟示能否根據求導公式得出積分公式？能否根據求導公式得出積分公式？結論結論既然積分運算和微分運算是互逆的，既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據求導公式得出積分公式因此可以根據求導公式得出積分公式.)1( 二、二、 基本積分基本積分表11基基本本積積分分表表 kCkxkdx()1(是常數是常數););1(1) 2(1 Cxdxx;|ln) 3(Cxxdx說明說明 , 0 x,lnCxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx12 dxx211) 4(;arctanCx dxx211) 5 (;arcsinCx x

7、dxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos) 8 ( xdx2sec;tanCx xdx2sin) 9 ( xdx2csc;cotCx 13 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax14例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據積分公式（根據積分公式（2）Cxdxx 11 15例5例5dxxx 31 dxx34Cx 134134.331Cx 例6例6 dxx5.5ln5Cx 16 dxxgxf)()(

8、)1(;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf （此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）三、三、 不定積分的性質不定積分的性質故等式成立故等式成立.17 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數數，)0 k例例7 7 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 18例例8 8 求積分求積分解解.)1 (122dxxxxx dxxxxx )1 (122dxxxxx )1 ()1 (22dx

9、xx 1112dxxdxx 1112.|lnarctanCxx19例例9 9 求積分求積分解解.)1 (21222dxxxx dxxxx )1 (21222dxxxxx )1 (12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 20例例1010 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 說明說明以上幾例中的被積函數都需要進行以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.21例例 1111 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點在點)(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜

10、率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲線與y軸的交軸的交點為點為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程. 解解,sinsec2xxdxdy dxxxy )sin(sec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy22例12例12dxxx 22sincos1dxxxxx 2222sincoscossindxxdxx 22sin1cos1.cottanCxx 例13例13dxxxx cossin12sindxxxxxxx cossin)cos(sincossin222 dxxxxxcossin)cos(sin2.cossinCx