1、一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1.和分別作為兀的近似數(shù)具有（）和（）位有效數(shù)字.A.4和3B.3和22.C.3和4D.4和4則A=()1A.61B.31C.22D.33.通過點(diǎn)匕yo）W"的拉格朗日插值基函數(shù)lo"Jli2滿足（）A.l丄,l"A0B.l"x)l"x)=1oo=0,11C.l"x)l"x)=100=1,11D.l0"x0)=1,l1"x1)=14.設(shè)求方程f"x）=0的根的牛頓法收斂,則它具有（）斂速。A.超線性B.平方C.線性D.三次x+2x+x=0123<2x+

2、2x+3x=3123x3x=25用列主元消元法解線性方程組Ix13x2=作第一次消元后得到的第3個(gè)方程（）.A.x2+x3=22x+x=3C.232 x+l5x=3.5B.23x0.5x=1.5D.23單項(xiàng)選擇題答案得評卷分人二、填空題（每小題3分，共15分）1. 設(shè)X=（2,3,4）T,則|Xll=,IIXll2二2. -階均差f（Xo,13C（3）=C（3）二C（3）=-3. 已知n=3時(shí)，科茨系數(shù)08128，那么C（3）=3f（x）=x4+2x01,2-4. 因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上滿足，所以f"x）=0在區(qū)間內(nèi)有根。y'=三+yx25.取步長h=°，用歐拉法解初值問

3、題Iy(i)=_的計(jì)算公式.填空題答案1y=1.已知函數(shù)1+x2的一組數(shù)據(jù):01210.50.2三、計(jì)算題（每題15分，共60分）f（15）段線性插值函數(shù)，并計(jì)算丿的近似值.求分計(jì)算題1.答案1.解xe0'1,L(x)=汩x1+音x0.5=10.5xx2x一112L(x)=x0.5+x0.2=0.3x+0.8xeI22215所以分段線性插值函數(shù)為L(x)=<1一0.5xxe0,10.8一0.3xxe1,2L(1.5)=0.8-0.3x1.5=0.3510x一x一2x=7.2123<一x+10x一2x=8.3123八_,/匕|丄%口/11一x一x+5x=4.22.已知線性萬程

4、組I123(1)寫出雅可比迭代公式、高斯一塞德爾迭代公式;X（0=（000）對于初始值X'0'0，應(yīng)用雅可比迭代公式、高斯一塞德爾迭代公式分別計(jì)算X（保留小數(shù)點(diǎn)后五位數(shù)字）.計(jì)算題2.答案x=01x+0.2x+0.721 23x=0.1x一0.2x+0.832 131解原方程組同解變形為、x3=0.2x1+0.2x2+0.84雅可比迭代公式為x(m+1)=0.1x(m)+0.2x(m)+0.721 23x(m+1)=0.1x(m)0.2x(m)+0.832 13x(m+1)=0.2x(m)+0.2x(m)+0.84(m=01).I312(m=叩)高斯一塞德爾迭代法公式x(m+i

5、)=0.1x(m)+0.2x(m)+0.721 23x(m+1)=0.lx(m+1)0.2x(m)+0.832 13x(m+1)=02x(m+1)+02x(m+1)+0.84I312(m=°,1)用雅可比迭代公式得X(1)=G.72000,0.83000,0.84000)用高斯-塞德爾迭代公式得X(1)=(0.72000,0.90200,1.16440)r1213.用牛頓法求方程x33x1=0在之間的近似根1)請指出為什么初值應(yīng)取22)請用牛頓法求出近似根，精確到.計(jì)算題3.答案3.解f(x)=x33x1f(1)=3<0f(2)=1>055f(x)=3x2-3,f(x)=

6、12x,f(2)=24>0，故取x=2作初始值迭代公式為x=xnn-1f(xE)=Xn1n1x33x1n1n13x23n12x3+1、(或(n-1)3*；11丿,n=1,2,55x0=2,x=23xU.8888921x=2X33+=1.8888913xQ1丿2 X幾888893+*1.87945xx1=0.00944>0.0001212 嚴(yán)79453+=1.879393 xH.8794521丿證明：求積公式中含有三個(gè)待定系數(shù)，即ArAo,Ai,將fG)=1兀x2分別代入求積公式,方程的根x*Q187939j1dx4.寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計(jì)算積分01+x計(jì)算題4.答案

7、4解梯形公式j(luò)bf(xxu-f(a)+f(b)a2確定下列求積公式中的待定系數(shù)，并證明確定后的求積公式具有3次代數(shù)精確度jhf(x=Af(h)+Af(0)+Af(h)J-101證明題答案并令其左右相等，得A+A+A=2h101<h(AA)=0iih2(A+A)=-h3-113A=A=hA=得-1一3，0_3。所求公式至少有兩次代數(shù)精確度。又由于Jhx3dx=(-h+G)33X4dx豐-(-h)+-(4)-h33故？(x加=3f(-h)+3f(o)+3f(h)具有三次代數(shù)精確度。填空(共20分，每題2分)f(x,x)=122.設(shè)一階差商f(x)-f(x)3223xx32f(x,x)=f(x

8、)f(x)14321=3xx212161=542=2則二階差商f(X1，X2,"3)=3.設(shè)X=(2,-3,-1)t,則|X吩IIXII=4.求方程x2-x-L25二0的近似根，用迭代公式x“+1.25，取初始值x0二1，那么X15.6、<解初始值問題I/11、J51丿y'=f-x,y)y-xo)=yo近似解的梯形公式是yk+1，則A的譜半徑心(也)=x設(shè)f-x)=3x2+5,x=kh,k=0,1,2,.,則fx,x,x=nn+1n+2fLx,x,xnn+1n+27、.和,x=n+38、若線性代數(shù)方程組AX二b的系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代

9、都9、解常微分方程初值問題的歐拉(Euler)方法的局部截?cái)嗾`差填空題答案f(x,x)-f(x,x)2一(一3)11CC1cJ2、3、和"I44、5、yk+k+i，yk+i）6、P(A)=x67、fx,x,x=3,fx,x,x,x=00(h)nn+1n+2nn+1n+2n+38、收斂9、nn+1n+2n+310、y=10+古二、計(jì)算題（共75分，每題15分）13f(x)=x2,1xo=45x1=1,xr19（1）試求f（x）在1上的三次Hermite插值多項(xiàng)式H（x）使?jié)M足H(xj)=f(xj),j=0,1,2,.H'(x1)=f'(x1)h（x以升冪形式給出。（2）

10、寫出余項(xiàng)R（x）=f（x）H（x）的表達(dá)式計(jì)算題1.答案、H(x)=142632331x3+x2+x1225450450252.已知2吩)的礦。)滿足WE耳白，試問如何利用機(jī)4構(gòu)造一個(gè)收斂的簡單迭代函數(shù)*，使1二吩"二0,1收斂計(jì)算題2.答案12、由x=gx)可得x-3x=gx)-3xx=-2®(x)一3x)=屮(x)1 11因屮'(x)=一一仲'(x)-3),故屮'(x)=-cp'x)-3<_<12 221故x=屮(x)=(p(x)3x,k=0,l,.收斂。k+1k2kk3.試確定常數(shù)A,B，C和a，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的

11、代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少它是否為Gauss型的計(jì)算題3.答案3、A=C=10,B=16,a=99，該數(shù)值求積公式具有5次代數(shù)精確度，它是Gauss型的<4.推導(dǎo)常微分方程的初值問題Iy'=f(x,y)y(xo)=yo的數(shù)值解公式:h.、y=y+(y'+4y'+y')n+1n-13n+1nn-1(提示：利用Simpson求積公式。)計(jì)算題4.答案4、數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對方程y'=f(x)在區(qū)間xn-1,巴+1上積分,y(x)=y(x)+爭f(x,y(x)dxn+1n-1得x”一，記步長為h,f1f（x,y（x）dx對

12、積分用Simpson求積公式得爭f(x,y(x)dx6n-1nn+13n+1nn-1Xn-1所以得數(shù)值解公式：兒+1一兒-1+3°”+】*"兒*兒丿x+2x+3x=14123<2x+5x+2x=181235.利用矩陣的LU分解法解方程組3x+x+5x=20v123計(jì)算題5答案5、解:1_"123_A=LU=211-43-51-24令Ly=b得y=(14,-10,-72)t,Ux=y得x=(1,2,3)t.三、證明題（5分）1設(shè)/W=（扌_斎，證明解/W=°的Ne毗on迭代公式是線性收斂的。證明題答案證明：因f(x)=(x3-a)2,故f'(

13、x)=6x2(x3-a),由Newton迭達(dá)公式:n,n=0,1,.得廣(x)n(x3-a)25xan=n+,n0,1,.6x2(x3-a)66x2nnnx=xn+1nx=xn+1n1、因迭達(dá)函數(shù)申(x)=-x+旦,而卩(x)=-ax-3,66x263又x'=3a,貝0卩(計(jì)a)=-(*a)-3=一丄=丄工0,63632故此迭達(dá)公式是線性收斂的。一、填空題（20分）(1) .設(shè)x*=2.40315是真值x=2.40194的近似值，則x*有位有效數(shù)字。(2) .對f(X)二x3+x+1,差商f0,1,2,3二()。(3) .設(shè)X=(2,-3,7)T,貝pX叮。(4) .牛頓柯特斯求積公式

14、的系數(shù)和£C(n)=k。k二0。填空題答案(1)3(2)1(3)71二、計(jì)算題1) .(15分)用二次拉格朗日插值多項(xiàng)式L2(x)計(jì)算sin°.34的值。插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值是(0，0)，(，)，(，)。計(jì)算題1.答案L(x)=(x一x/(xx2)f*(x_xj(x_xjf*(xx°)(xx/f2(x-x)(x-x)0(x-x)(x-x)1(x-x)(x-x)20102101220211) =0.3333362) .(15分)用二分法求方程f(x)=x3-x-1=0在閃丄5區(qū)間內(nèi)的一個(gè)根，誤差限e=10-2。計(jì)算題2.答案N=6x=1.25x=1.375x=1.

15、31251232) x=1.34375x=1.328125x=1.32031252) 4564x+2x+x=11123<x+4x+2x=181233) .(15分)用高斯-塞德爾方法解方程組2x1+x2+5x3=22，取x(0)=(0,0,0)T，迭代三次(要求按五位有效數(shù)字計(jì)算).。計(jì)算題3.答案3)迭代公式x(k+1)=(11-2x(k)-x(k)1423<x(k+1)=(18-x(k+1)-2x(k)2413x(k+1)=(22-2x(k+1)-x(k+1)3512k000012.753.S1252.537520.209383.17S93.680530.240432.5997

16、3.18394).(15分)求系數(shù)A1，A2和£,使求積厶式1111f(x)dx曲f(-1)+Af(-)+Af(-)對于次數(shù)2的一切多項(xiàng)式都精確成立-112333計(jì)算題4.答案11112A+A+A=2一AA+A=0A+-A+-A1231323319293=3A=-A=0A34)1223=23x+2x+10x=151235).(10分)對方程組<10x-4x-x=51232x+10x-4x=81123試建立一種收斂的SeideI迭代公式，說明理由計(jì)算題5.答案5)解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)10x一4x一x=5123<2x+10x一4x=81233 x+2x

17、+10x=15l123故對應(yīng)的高斯一塞德爾迭代法收斂迭代格式為1/-x(k+1)二1=(4x(k)+x(k)+5)10237x(k+1)=(-2x(k+1)2101+4x(k)+8)3x(k+1)=(-3x(k+1)一2x(k+1)+15)31012丿取x(0)=(0,0,0)T,經(jīng)7步迭代可得：x*沁x(7)=(0.999991459,0.999950326,1.000010)t三、簡答題1) (5分)在你學(xué)過的線性方程組的解法中,你最喜歡那一種方法為什么2) (5分)先敘述Gauss求積公式，再闡述為什么要引入它。一、填空題(20分)1.若a二是的近似值，則a有()位有效數(shù)字.2.l0(x

18、),l1(x),ln(x)是以0,1,，n為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則£il(x)=ii=0).3. 設(shè)f(x)可微，則求方程x=f(x)的牛頓迭代格式是().4. 迭代公式X(k+1)=BX(k)+f收斂的充要條件5.解線性方程組Ax=b(其中A非奇異,b不為0)的迭代格式x(k+1)=Bx(k)+fI9xx二8<12中的B稱為().給定方程組I“廠5X2=4，解此方程組)。的雅可比迭代格式為(填空題答案1. 32.x-f(x)xxnn3.n+1n1f'(x)n4.P(B)V15迭代矩陣,xk+1=(8+x(k)1 92xk+1=(4+x(k)2 511

19、.根。2.的多項(xiàng)式。二、判斷題(共10分)若/(a)/(b)<0，則/(x)=0在(a,b)內(nèi)一定有()區(qū)間a,b上的三次樣條函數(shù)是一個(gè)次數(shù)不超過三次()3.若方陣A的譜半徑P(A)<1，則解方程組Ax=b的Jacobi迭代法收斂。()4.若f(x)與g(x)都是n次多項(xiàng)式，且在n+1個(gè)互異點(diǎn)x.n=o上f(x-)=g(®，則/(x)三g(x)。5.差。判斷題答案1.X2.X3.X4.V5.X三、計(jì)算題（70分）1.（10分）已知f（0）=1,f（3）=,f（4）=，求過這三點(diǎn)的二次插值基函數(shù)I(x)=(1f0,3,4=(P(x)=(2廣二().）,插值多項(xiàng)式）,用三點(diǎn)式

20、求得近似表示ex產(chǎn)生舍入誤計(jì)算題1.答案由插值公式可求得它們分別為：1八7,77小知203x(x4),1+x+x(x3),和仁312151262.（15分）已知一兀方程x3-3x-1.2=0。1）求方程的一個(gè)含正根的區(qū)間；2）給出在有根區(qū)間收斂的簡單迭代法公式（判斷收斂性）；3）給出在有根區(qū)間的Newton迭代法公式。計(jì)算題2.答案2.(1)f(0)=-1-2V0,f=1.8>0又f(x)連續(xù)故在(0,2)內(nèi)有一個(gè)正根,x=3'3x+1.2,©(x)=(3x+1.2)-3,max|©(x)<xe(0,2)1n+1<1,.x=*3x+1.2收斂2n+

21、1n1.23m=3x2-7=叮邁！于3.(15分)確定求積公式f(曲時(shí)(-0-5)+Bf(x1)+Cf(0-5)的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并確定其代數(shù)精度.計(jì)算題3.答案3假設(shè)公式對f(x)=1,x,x2,x3精確成立則有'A+B+C=2-0.5A+Bx+0.5C=01彳20.25A+Bx2+0.25C=13-0.125A+Bx3+0.125C=0i14 2解此方程組得A=C=,B=3 3求積公式為/f(x)dx«|4f(一0.5)2f(0)+4f(0.5),當(dāng)f(x)=x4時(shí)，-121左邊=右邊=左邊豐右邊代數(shù)精度為3。5 6<0<x<14.(15分

22、)設(shè)初值問題y(0)=1(1)寫出用Euler方法、步長h二解上述初值問題數(shù)值解的公式;(2)寫出用改進(jìn)的Euler法(梯形法)、步長h二解上述初值問題數(shù)值解的公式，并求解y1,y2，保留兩位小數(shù)。計(jì)算題4.答案4 (1)y=y+0.1(3x+2y)=0.3x+1.2yn+1nnnnn(2)y=y+(3x+2y)+3(x+0.2)+2yn+1n+1n2nnn=y+0.1(6x+2y+2y+0.6)nnnn+13 33y=y+x+-n+12n4n40333迭達(dá)得y1=2+40=1.575,y2=2633+404x0.2+40=25855.（15分）取節(jié)點(diǎn)x0=0,x1=0.5,x2=1，求函數(shù)y

23、=e-x在區(qū)間0，1上的二次插值多項(xiàng)式P2（x），并估計(jì)誤差。計(jì)算題5.答案e-1e-0.5e-0.51e-0.5一11一0505一0p(x)=e0+(x一0)+一一(x一0)(x一0.5)20.5-01-05.=1+2(e-0.51)x+2(e-12e-0-5+1)x(x0.5)y''=-e-x,M=maxy''3xe(0,1=1,ex-p(x)=f')x(x-0.5)(x-1)23!1ex-p(x)<3!x(x-0.5)(x-1)|一、填空題（每題4分，共20分）有和2、設(shè)5.j（x）（j二°丄2“）是n次拉格朗日插值多項(xiàng)式的插值基函

24、數(shù)，則lj（Xi）=億j二°丄2"）；Yl(x)=jj=°3、設(shè)1j（x）（j二°丄2"）是區(qū)間a，b上的一組n次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為;插值型求積公式中求積系數(shù)YA二jj=°4、辛普生求積公式具有次代數(shù)精度，其余項(xiàng)表達(dá)式,f123,4二為5、f(x)二x2+1,則f1,2,3=填空題答案1.相對誤差絕對誤差2.1，i=j,°,i主j3.至少是nJbl(x)dxkab-a4.b78°a(b-ra)4f(匚)，匚G(a,b)18°2二、計(jì)算題1、已知函數(shù)y=f(x)的相關(guān)數(shù)據(jù)i01230123X=f竝13927由牛頓插值公式求三次插值多項(xiàng)式q(x)，并計(jì)算2的近似值。計(jì)算題1答案解：差商表由牛頓插值公式:4 8p(x)=N(x)=x3-2x2+x+1,3333畐-p3(2)二3(2)3-2(2)2+|(i)+1二22、(10分)利用尤拉公式求解初值問題，其中步長h=°，y'=-y+x+1,y(0)二1.xg(0,0.6)計(jì)算題2.答案f(x,y)二一y+x+1,y二1,h二0.1,0y二y+0.1(x+1-y),(n二0,l,2,3,)n+1