1、數列求和考點與題型歸納、基礎知識1.公式法(1)等差數列an的前n項和Sn=nai+annn1d推導方法：倒序相加法.(2)等比數列an的前n項和Sn=na1,q=1,a11qn-，qw1.1-q”推導方法：乘公比，錯位相減法.一些常見的數列的前n項和:nn+11+2+3+n=2；2+4+6+2n=n(n+1);1+3+5+2n-1=n2.2.幾種數列求和的常用方法(1)分組轉化求和法:一個數列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減.(2)裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和.(3)錯位相

2、減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么求這個數列的前n項和即可用錯位相減法求解.(4)倒序相加法：如果一個數列an與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解.考點一分組轉化法求和n2+n典例已知數列an的刖n項和Sn=-2-,neN.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn=2an+(-1)nan,求數列bn的前2n項和.解(1)當n=1時，a=S1=1;n2+nn-12+n-1當n>2時，an=SnSn1=-2-2=n.又ai=1也滿足an=n,故數列an的通項公式為an=n.(2)由知an=

3、n,故bn=2n+(1)nn.記數列bn的前2n項和為T2n,則T2n=(21+22+-+22n)+(-1+2-3+4-+2n).記A=21+22+22n,B=-1+2-3+4-+2n,2122n則A=22n+1-2,12B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故數列bn的前2n項和T2n=A+B=22n+1+n2.解題技法1 .分組轉化求和的通法數列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差數列或等比數列或可求數列的前n項和的數列求和.2 .分組轉化法求和的常見類型題組訓練1c1,已知數列an的通項公式是an=2n-2n,則其刖20項和為()A.

4、379+*B.399+產C.419+220D.439+我解析：選C令數歹Uan的前n項和為Sn,則S20=ai+a2+a3+a20=2(1+2+3+1.1.1.111+20)2+22+23+220=420122。=419+220.an+2,n是奇數，2. (2019資陽診斷)已知數列an中，a=a2=1,an+2=則數列an2an,n是偶數，的前20項和為()A.1121B,1122C.1123D,1124解析：選C由題意可知，數列a2n是首項為1,公比為2的等比數列，數列a2n1是1X1-21010X9八首項為1,公差為2的等差數列，故數列an的前20項和為+10X1+二一X21-22=11

5、23.選C.考點二裂項相消法求和1考法(一)形如an=1型nn+k典例(2019南寧摸底聯考)已知等差數列an滿足a3=7,as+a7=26.(1)求等差數列an的通項公式；(2)設cn=,nCN*,求數列Cn的前n項和Tn.anan+1解(1)設等差數列的公差為d,a1+2d=7,a1=3,則由題意可得解得2a1+10d=26,d=2.所以an=3+2(n1)=2n+1.一11(2)因為Cn=,anan+12n+12n+3所以Cn=22n+1-2n+3'1111111111n所以Tn=-0-7+7-：；+=-q-=以以ln235572n+12n+3232n+36n+9.、一一,1一，

6、考法(二)形如an=-j=一-型Rn+k+#n1*典例已知函數f(x)=x"的圖象過點(4,2),令an=fn+1+fn,nCN.記數列Jan的前n項和為Sn,則S2019=()A."0181B.7T0191C.120201D.，2020+1一一,一，1一1解析由f(4)=2可得4"=2,解得a=1則f(x)=x2n-12n+122n12n+1'.an=/fn+1+fnqn+1+2S2019=a+a2+a3+a2019=(平幣)+b/3-V2)+(V4-V3)+(2019-W018)+(W02072019)=42020-1.答案C解題技法1 .用裂項法求和

7、的裂項原則及消項規律2 .常見的拆項公式(1)-=-7；2n(4)2n12n+11二21_n+11.'，nn+1nn+1題組訓練1.在等差數列an中，a3+a5+a7=6,a11=8,則數列an+3an+4的前n項和為（）nB.-n+2n+1A.；n+22n*解析：選C因為a3+a5+a7=6,所以3a5=6,a5=2,又aii=8,aiia5所以等差數列an的公差d=1,11-5所以an=a5+(n5)d=n3,1111所以=",an+3an+4nn+1nn+1一，,一.1111111nC.2.各項均為正數的等比數列an中，a=8,且2a1,a3,3a2成等差數列.(1)求

8、數列an的通項公式；.一1(2)若數列bn滿足bn=-,求bn的前n項和S.niog2an解：(1)設等比數列an的公比為q(q>0).-2a1,a3,3a2成等差數列,2a3=2a1+3a2,即2a1q2=2a+3aq,12q2-3q-2=0,解得q=2或q=(舍去)，an=8X2n-1=2n+2.11111由可得bn=noh=ttt=2丁儲,Sn=b+b2+b3+bn111111+一一一+一一-+132435nn+21+22n+11n+2因此數列an+3an+4的刖n項和為12+23+彳_：7=1工7=故選3，42n+1n+232n+342n+1n+2考點三錯位相減法典例(2017山

9、東高考)已知an是各項均為正數的等比數列，且ai+a2=6,aia2=a3.(1)求數列an的通項公式；bn，(2)bn為各項非零的等差數列，其前n項和為Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求數列云的刖n項和Tn.解(1)設an的公比為q,由題意知：a(1+q)=6,a2q=a1q2.又an>0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由題意知，2n+1b+b2n+1S2n+1=2=(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+1W0,所以bn=2n+1.人bn2n+12n12n+12n，令Cn=a；,則5=丁,3572n12n12n+2n+1，因此TnC1+C2+Cn2+

10、三+23+，+13.57,又2Tn22+23+24+兩式相減得131.1,上，2n+131012n+152n+52Tn=2+2+22+Q=2+-2-”=2-戶7,2n+5所以Tn=5-2-變透練清1 .變結論若本例中an,bn不變，求數列anbn的前n項和Tn.解：由本例解析知an=2n,bn=2n+1,故Tn=3X21+5X22+7X23+(2n+1)X2n,2Tn=3X22+5X23+7X24+(2n+1)X2n+1,上述兩式相減，得，一Tn=3X2+2X22+2X23+2X2n(2n+1)2n+181-2n1d=6+(2n+1)2n+11-2=(1-2n)2n+1-2得Tn=(2n-1)

11、X2n+1+2.2.已知an為等差數列，前n項和為Sn(nCN*),bn是首項為2的等比數列，且公比大于。，b2+b3=12,b3=a42a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通項公式；(2)求數列a2nbn的前n項和(nCN*).解：(1)設等差數列an的公差為d,等比數列bn的公比為q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q?+q6=0.因為q>0,解得q=2,所以bn=2n.由b3=a42a1，可得3da1=8.由Sn=11b4,可得a+5d=16.聯立，解得a1=1,d=3,由此可得an=3n2.所以an的通項公式為an=3n-2,bn的通項公

12、式為bn=2n.(2)設數列a2nbn的前n項和為Tn,由a2n=6n2,有Tn=4X2+10X22+16X23+(6n-2)X2n,2Tn=4X22+10X23+16X24+(6n-8)X2n+(6n-2)X2n+1,上述兩式相減，得-Tn=4X2+6X22+6X23+6X2n(6n2)X2n+112X1-2n=-4-(6n-2)X2n+112=-(3n4)2n+216,得Tn=(3n4)2n+2+16.所以數列a2nbn的前n項和為(3n4)2n+2+16.易誤提醒(1)兩式相減時最后一項因為沒有對應項而忘記變號.(2)對相減后的和式的結構認識模糊，錯把中間的n1項和當作n項和.(3)在應

13、用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比q=1和qwi兩種情況求解.課時跟檢測11.數列an的通項公式為an=若該數列的前k項之和等于9,則卜=()#十中1B.81A.80C.79D.82解析：選Ban=1,=/n-Jn-1，故Sn=5,令Sk=，k=9,解得k=81,茹十/n1故選B.2.若數列an的通項公式是an=(-1)n(3n-2),則a+a2+&。=()A.15B.12C. 12D.15解析：選Aa+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=1+47+1013+1619+2225+28=5X3=15,故選A.一一一一一一.1,3.已知an是首項為1的

14、等比數列，Sn是an的前n項和，且9Sb=S6,則數列的an前5項和為()喋或5A.185或531C.1615D. 8解析：選C設an的公比為q,顯然qwl,由題意得91q31-q6,所以1+q3=9,得q=2,所以1-是首項為1,公比為2的等比數列，前an21-5一2315項和為-=16.1124.在等差數列an中，a4=5,a7=11.設bn=(1)nan,則數列bn的前100項之和S100=()A.-200B.100C.200D.100a1+3d=5,a1=1,解析：選D設數列an的公差為d,由題意可得？an=a1+6d=11d=22n-3?bn=(-1)n(2n-3)?Sio0=(a+

15、a2)+(a3+a4)+(a99+a00)=50X2=100,故選D.5.已知Tn為數列Z21的前n項和，若m0+1013恒成立，則整數m的最小值為1026B.1025C.1024D.1023解析：選C1-Tn=n+12n,T10+1013=11/+1013=1024尹,又m>T10+1013,.整數m的最小值為1024.一一一1dd16.已知數列：2,2，3g,n+N，則其前n項和關于n的表達式為解析：設所求的前n項和為Sn,則nn+1Sn=(1+2+3+-+n)+2+4+了=-21±21一2門+1.2nn+1125+1.心走nn11答案：2齊+1k=iSk7.（2017全國

16、卷n）等差數列an的前n項和為Sn,a3=3,&=10,則解析：設等差數列an的首項為ai,公差為d,ai+2d=3,ai=1,依題意有解得4a1+6d=10,d=1,nn+1所以Sn=2，1_21Snnn+12nn1因此=2Skk=1111111。+。+r>一223nn+12nn+1答案:2nn+18.已知數列an滿足a1=1,an+1an=2n(nCN),則S2018=解析：:數列an滿足a=1,an+an=2n,n=1時，a2=2,n>2時，anan-1=2n1,an+1由得=2,an1數列an的奇數項、偶數項分別成等比數列，1_210092121009.S2018=

17、+=3芯0093.1-21-2答案:3I00939. （2019成都第一次診斷性檢測）已知等差數列an的前n項和為Sn,a2=3,S4=16,nCN*.（1）求數列an的通項公式；1（2）設bn=,求數列bn的前n項和Tn.anan+1解：（1）設數列an的公差為d,a2=3,S4=16,.a1+d=3,4a1+6d=16,解得a1=1,d=2."an=2n1.(2)由題意知，bn=-=5屋一i一屋二i，2n-12n+122n-12n+1Tn=b1+b2+bn1111=23+3-5+2n-12n+1=22n+1n=z;.2n+110. (2018南昌摸底調研)已知數列an的前n項和S

18、n=2n+1-2,記bn=anSn(nCN*).(1)求數列an的通項公式；(2)求數列bn的前n項和Tn.解：(1產二？112,.Jn=1時,a1=S1=21+1-2=2;當n>2時，an=Sn-Sn1=2n+12n=2n.又a1=2=21,，an=2n.(2)由(1)知,bn=anSn=2-n2n+1,414n.Tn=b1+b2+b3+bn=2(41+42+43+4n)(22+23+2n+1)=2X1-4412n21-23%+12n+2+4.3B級1. (2019濰坊統一考試)若數列an的前n項和Sn滿足S=2anX>0,nCN*).證明數列an為等比數列，并求an；(2)若入=4,bn=an，n為前的'(nCN*),求數列bn的前2n項和T2n.log2an,n為偶數解：(1)-Sn=2an當n=1時，得a1=%當n>2時，Sn1=2an1%.SnSn-1=2an2an-1,即an=2an2an-1,an=2an-1,數列an是以入為首項，2為公比的等比數列,-an=入nr1,