1、數(shù)列求和1.公式法直接利用等差、等比數(shù)列的求和公式求和.(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式nai+annn1Sn=2=nai+2d.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式nai,q=1,Sn=a1anqa11qn=,qw1.1 -q1-q例1.一個(gè)球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時(shí),經(jīng)過的路程是()A.100+200(129)B.100+100(129)C.200(1-29)D,100(1-29)【答案】A第10次著地時(shí)，經(jīng)過的路程為100+2(50+25+100X2-9)=100+2X100X(21+2211-292+29)=100+200X1_21=100+

2、200(129),2 .分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：(1)若an=bnicn,且bn,Cn為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和.bn,n為奇數(shù)，(2)通項(xiàng)公式為an=，沙山的數(shù)列，其中數(shù)列bn,cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組Cn,n為偶數(shù)求和法求和.3 .并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如an=(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.例2、(2019山東青島月考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和$=n|”,nCN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=2an+(-1)nan,求數(shù)列bn的前2

3、n項(xiàng)和.解(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1；n2+nn12+n1當(dāng)n>2時(shí)，an=SnSn1=-22=1a1也滿足an=n,故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n.(2)由(1)知an=n,故bn=2n+(1)nn.記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n,則T2n=(21+22+22n)+(1+23+4+2n).記A=21+22+22n,B=1+2-3+4-+2n,一2122n一.則A=22n1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2n=A+B=22n+1+n2.變式探究本例(2)中，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解由(1)知bn=2n+(1)nn.當(dāng)n為偶

4、數(shù)時(shí)，2-2n+1,non+l,noTn=(21+22+2n)+1+23+4_(n1)+n=1_2+2=2n1+2-2;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=(21+22+2n)+-i+2-3+4-(n-2)+(n-1)-nn-2-1+n2=nI-2n.+2-1+2n練習(xí)、(2019四川巴中質(zhì)檢)在等差數(shù)列an中，a2+a7=23,a3+as=-29.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列an+bn是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列，求bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則a3+as(a2+a7)=2d=6,二d=-3，-a2+a7=2a1+7d=23,解得a1=1,，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=

5、-3n+2.(2)二數(shù)列an+bn是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列,an+bn=qn1,即一3n+2+bn=q"1,bn=3n2+qn1,nn-dn3n1qn-d.Sn=1+4+7+T(3n2)+(1+q+q2+q1)=2+(1+q+q2+-+q1).n3n1,3n2+n當(dāng)q=1時(shí)，Sn=2+n=2；當(dāng)q時(shí)，Sn=/14 .裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).裂項(xiàng)法求和在高考中經(jīng)常考查，多以解答題的形式考查，并且往往出現(xiàn)在第二問，難度屬中低檔.(1)常見的裂項(xiàng)公式-=1nn+1nn+112n12n122n-1-2n+1；1_不1=7n+1鄧,n+n+1(2)

6、利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng).2)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).3)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.如：若an是等差數(shù)列，則1=anan+111工danan+1'anan+22danan+2考點(diǎn)一：形如an=的數(shù)列求和n+kn+p例3、(2019山東威海月考)已知等差數(shù)列an中，2a2+a3+a5=20,且前10項(xiàng)和So=100.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1(2)若bn=,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.anan+1解(1)設(shè)等差

7、數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d.由已知得2a2+a3+a5=4a+8d=20,一10X9.10a1+-2d=10a+45d=100,解得a1=1,d=2,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=1+2(n-1)=2n-1.，_1-1()b2n-12n+122n-12n+1'11111111所以Tn=113+35+.+為甯=11右的數(shù)列求和考點(diǎn)2:形如1.例4、(2019皖北八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x"的圖象過點(diǎn)(4,2),令an=fn+1+fn，nN*.記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則S2014=()A,也0131B.720141C.20151D.12015+1【答案】C由f(4)=

8、2可得4。=2,解得“=1則f(x)=x1.=；1=-j=一尸=，"一22fn+1+fnVn+1+Vn.n,S2014=a+a2+a3+a2014=(V2-V1)+(V3-V2)+(V4-V3)+-+(2014-V2013)+N2015&014)=也0151.,一,kn+1一，一一考點(diǎn)3:形如由=；的數(shù)列求和例5、（2019山東淄博模擬）正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：S2（n2+n1）&（n2+n）=0.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；（2）令加=號(hào)病數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.證明：對(duì)于任意的MN*,都有Tn備解由Sn-(n2+n-1)Sn(n2+n)=0,得Sn(

9、n2+n)(Sn+1)=0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn>0,Sn=n2+n.于是a=S1=2,當(dāng)n>2時(shí)，an=SnSn1=n2+n(n1)2(n1)=2n.綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n.(2)證明由于an=2n,.n+1n+11工_1nn+22a24n2n+2216n2n+22.Tn,1；+；+.T,1n1613222423252n-12n+12+2-122n2n+221_J_J_.1.1_5-161+22n+12n+22<161+2264.練習(xí)、(2019山東泰安月考)在數(shù)列an中，an=-1,若九的前n項(xiàng)和為l,則項(xiàng)數(shù)門為()nn+12020A.2016B.2

10、017C.20181【答案】D因?yàn)?111,11,11,1n2019二一，所以Sn=12+53+十二不=1由=母，所以n=2019.2Sn練習(xí)、（2019山東東宮模擬）已知數(shù)列an中，a=1,其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an=一；（n>2）.2311,求證：數(shù)列S；是等差數(shù)列；1一1一1一3(2)證明：當(dāng)n"2時(shí),S1+7S2+-S3+-+_Sn<；.23n2.2S2證明(1)當(dāng)n>2時(shí)，Sn-Sn1=7TS-,2Sn-111cSn1Sn=2SnSn1,o-一2,SnSn1又a1=1,S-=1,1,從而構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.Sn11.由可知，(n-1)x2

11、=2n-1一，16=2，當(dāng)廿2時(shí)，nSn=VSn2n-1n2n-211111,12nn-12n-1n11111.11,11313從而S1+浮+3s3+衿<1+212+23+:<2.5 .倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.利用此法可求得sin210+sin22o+sin230例6、判斷對(duì)錯(cuò)，推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法,+sin288°+sin289°=44.5.()【答案】V6 .錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和.錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn):(1)要善于識(shí)別題目類型，特別

12、是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.(2)在寫出Sn”與qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式.1和不等于1兩種情況求解.(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于7.一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)1+2+3+4+(2)1+3+5+7+2n1=n2.(3)2+4+6+8+2n=n(n+1).(4)12+22+n2=nn+12n+1例7、(2019山東濟(jì)寧月考)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a+a2=6,a1a2=a3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)bn為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前.bn.n項(xiàng)和為Sn.已知浙+1=加加+1

13、,求數(shù)列函的刖n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)an的公比為q,a1=2,q=2,由題意知a1(1+q)=6,a2q=a1q2,又an>0,由以上兩式聯(lián)立方程組解得所以an=2n.(2)由題意知S2n+1=2n+1b+b2n+1=(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+1W0,所以bn=2n+1.人bnmrr2n+1"Cn=an，則5=2n因止匕Tn=C1+C2+Cn3,5,7,.2n-1.2n+1=2+齊+23+-+_2Fr+_2n-，3572n-12n+1又2%=呼+23+24+2+-2產(chǎn)】，兩式相減得2口=2+2+/+十六一竽J，所以Tn=5竽5練習(xí)、已知等比數(shù)列an

14、的前n項(xiàng)和為Sn,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn=口，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因?yàn)镾2=2a2-2,S3=a42,所以由兩式相減得a3=a4-2a2,即q2q-2=0.又因?yàn)閝>0,所以q=2.又因?yàn)镾2=2a2-2,所以aI+a2=2a22,所以a+aq=2a1q2,代入q=2,解得a1=2,所以an=2n.n(2)由(1)得bn=/所以Tn=2+|2+宏+2""1+會(huì)_1_將式兩邊同乘;得1123n-1nQTn=”+尹+齊+酒,由兩式錯(cuò)位相減得111±12Tn=2+22+23+24+21T上一1二2n+112n2門1,整理得Tn=2n+22n1 c練習(xí)、已知數(shù)列an的刖n項(xiàng)和Sn=2n2+kn(其中kCN),且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k,并求an；9 2an(2)設(shè)數(shù)列的刖n項(xiàng)和為Tn,求證：Tn<4.1C(1)解當(dāng)n=keN時(shí)，Sn=2n2+kn取得最大值，一11CC即8=Sk=-2*