1、上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回第七節第七節 傅里葉傅里葉(Foruier)(Foruier)級數級數 一、問題的提出一、問題的提出 二、三角級數二、三角級數 三角函數系的正交性三角函數系的正交性 三、函數展開成傅里葉級數三、函數展開成傅里葉級數 四、小結四、小結 思考題思考題 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、問題的提出非正弦周期函數非正弦周期函數:矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(當當當當不同頻率正弦波逐個疊加不同頻率正弦波逐個疊加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁

2、返回返回tusin4 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回)3sin31(sin4ttu 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回)5sin513sin31(sin4tttu 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回)7sin715sin513sin31(sin4ttttu 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回)7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu)0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回二、三角級數 三角函數系的正交性 10)sin

3、()(nnntnAAtf1.1.三角級數三角級數諧波分析諧波分析 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb ,xt 三角級數三角級數上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回2.2.三角函數系的正交性三角函數系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,:上的積分等于零上的積分等于零任意兩個不同函數在任意兩個不同函數在正交正交 , 0cos1nxdx, 0sin1nxdx三角函數系三角函數系), 3 , 2 , 1( n,21dx上

4、頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx. 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回三、函數f(x)展開成傅里葉級數問題問題: :1.若能展開若能展開, 是什么是什么?iiba ,2.展開的條件是什么展開的條件是什么?1.1.傅里葉系數傅里葉系數 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回,220

5、 adxxfa)(10則kxdxbdxkxadxakkkksincos2110 .)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxakkk上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 nxdxan2cos, na nxdxxfancos)(1), 3 , 2 , 1( n.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1), 3 , 2 , 1( n nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxakkk, nb那么那么上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 ), 2 ,

6、 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或f(x)的傅里葉系數的傅里葉系數上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回f(x)的傅里葉級數的傅里葉級數 10)sincos(2nnnnxbnxaa問題問題: : 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf條條件件上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回2.2.狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分條件充分條件( (收斂定理收斂

7、定理) )(2) 當當x是是)(xf的的間間斷斷點點時時, ,收收斂斂于于2)0()0( xfxf; ;(3) (3) 當當x為端點為端點 x時時, ,收斂于收斂于2)0()0( ff. .)(xf設是以是以 2為周期的周期函數為周期的周期函數.如果它滿足條件如果它滿足條件:在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點,并且并且( (1 1) ) 當當x是是)(xf的的連連續續點點時時, ,級級數數收收斂斂于于)(xf; ;并且并且的傅里葉級數收斂的傅里葉級數收斂,至多只有有限個極值點至多只有有限個極值點,那么那么 xf上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下

8、頁返回返回注意注意: : 函數展開成傅里葉級數的條件比展開成函數展開成傅里葉級數的條件比展開成冪級數的條件低的多冪級數的條件低的多.解解例例 1 以以 2為周期的矩形脈沖的波形為周期的矩形脈沖的波形 tEtEtumm,0,)(將其展開為傅立葉級數將其展開為傅立葉級數.otumEmE 所給函數滿足狄利克雷充分條件所給函數滿足狄利克雷充分條件.), 2, 1, 0(處處不不連連續續在在點點 kkt2mmEE 收收斂斂于于2)(mmEE , 0 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回).(,tukt收收斂斂于于時時當當 和函數圖象為和函數圖象為otumEmE ntdttuancos)(1

9、00cos1cos)(1ntdtEntdtEmm), 2 , 1 , 0(0 n ntdttubnsin)(1 00sin1sin)(1ntdtEntdtEmm上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回)cos1(2 nnEm)1(12nmnE , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2, 0;( tt所求函數的傅氏展開式為所求函數的傅氏展開式為（該級數也稱為正弦級數）上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回( )f x2(, ) ( )f xx( )f x例例2 設設 是周期為是周期為 的周

10、期函數，它在的周期函數，它在 上的上的表達式為表達式為 ，將，將 展開成傅氏級數展開成傅氏級數. ( )f x解解 顯然函數顯然函數 滿足狄氏條件滿足狄氏條件 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回0(0,1,2,)nan0022( )sinsinnbf xnxdxxnxdx202cossin2cosxnxxnnnn 12( 1)(1,2,3,)nnn ( )f x2是周期為 的奇函數, 的傅氏系數為10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回圖4-3111( 1)( )2 sinsin2sin3sin23nf xxxxnxn)1

11、)2(kx0.20)(0)(12ff)k(x時，級數收斂于當上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回解解 它顯然滿足狄氏條件它顯然滿足狄氏條件 00111( )cos()coscosnaf xnxdxnxdxxnxdx222(1,3,5,),1( 1)10,(2,4,6,).nnnnn000111( )()2af x dxdxxdx 00111( )sin()sinsinnbf xnxdxnxdxxnxdx3(1,3,5,),11 2( 1) 1(2,4,6,).nnnnnn22211( )(coscos3cos5)435f xxxx 131(3sinsin2sin3sin4)234x

12、xxx(,)xxkkZ 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回圖 4-4圖 4-5上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回( )sin2tu t 例例4 將周期函數將周期函數 展開成傅氏級數展開成傅氏級數 解解 因為函數因為函數u(t)滿足狄氏條件滿足狄氏條件,且它在在整個數軸上連且它在在整個數軸上連續，所以續，所以u(t)的傅氏級數處處收斂于的傅氏級數處處收斂于u(t) 因為u(t)是周期為 的偶函數，所以 20nb 0022( )cossincos2ntau tntdtntdt0111sin()sin() 22ntnt dt011cos()cos()1221122ntnt

13、nn21114(0,1,2,)11(41)22nnnn 2411111( )coscos2cos3cos23153541u ttttntn()x 所以u(t)的傅氏級數展開式為上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回圖 4-6. 2411111( )coscos2cos3cos23153541u ttttntn上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回注意注意: :作法作法: :),(),()(),2(xxfxFT使得周期延拓)0()0(21 ff端端點點處處收收斂斂于于對于非周期函數對于非周期函數,如果函數如果函數 只在只在 xf充分條件充分條件,也可展開成級數傅氏也可展開成級

14、數傅氏.區間區間 上有定義上有定義,并且滿足狄氏并且滿足狄氏,上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回解解所給函數滿足狄利克雷充分條件所給函數滿足狄利克雷充分條件. 拓廣的周期函數的傅拓廣的周期函數的傅氏級數展開式在氏級數展開式在收斂于收斂于 .)(xf, xy0 2 2 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 nxdxxfancos)(1 00cos1cos)(1nxdxxnxdxx)1(cos22 nn1)1(22 nn dxxfa)(10 001)(1xdxdxx, 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12

15、(42kknkknk nxdxxfbnsin)(1 00sin1sin)(1nxdxxnxdxx, 0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x所求函數的傅氏展開式為所求函數的傅氏展開式為), 3 , 2 , 1( n上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回利用傅氏展開式求級數的和利用傅氏展開式求級數的和,)12cos()12(142)(12 nxnnxf, 0)0(,0 fx時時當當 222513118,4131211222 設設),8(513112221 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回,6141212222 ,41312112223 ,44212

16、,243212 21 ,62 132.122 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回為周期的連續函數，且為周期的連續函數，且是以是以設設 2)(xf 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf可可逐逐項項積積分分，試證明：試證明：, )(2)(1122202 nnnbaadxxf.)(,的傅立葉系數為其中xfbann證證 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf 102sin)(cos)()(2)(nnnnxxfbnxxfaxfaxf例例 6上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回可可逐逐項項積積分分，)(xf dxxfa)(20 dxxf)(2 1sin)

17、(cos)(nnnnxdxxfbnxdxxfa dxxfa)(20 1sin)(cos)(nnnnxdxxfbnxdxxfa0a na nb , )(2)(122202 nnnbaadxxf結論可證結論可證.上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回播放播放1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近四、小結四、小結上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回思考題思考題 若若函函數數)()(xx ，問問：)(x 與與)(x 的的傅傅里

18、里葉葉系系數數na、nb與與n 、n ), 2 , 1 , 0( n之之間間有有何何關關系系？上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回思考題解答思考題解答 nxdxxancos)(1 )()cos()(1tdntt nxdxx cos)(1 nxdxx cos)(1n ), 2 , 1 , 0( n上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回 nxdxxbnsin)(1 )()sin()(1tdntt nxdxx sin)(1 nxdxx sin)(1n ), 2 , 1( n,nna .nnb 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一、一、 設周期為設周期為 2的周期函

19、數的周期函數)(xf在在), 上的表達式上的表達式為為)0(0,0,)( baxaxxbxxf常常數數 試將其試將其展開成傅里葉級數展開成傅里葉級數 . .二、二、 將下列函數將下列函數)(xf展開成傅里葉級數展開成傅里葉級數: : 1 1、 xxexfx0,10,)(； 2 2、)sin(arcsin)( xxf . .練練 習習 題題上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回一一、)(4)(baxf 112sin)()1(cos)()1(1nnnnxnbanxnab ), 2, 1, 0,)12( nnx . .二二、1 1、nxneexfnncos1)1(1121)(12 nxnn

20、ennnnsin)1(11)1(112 ( ( x) ). .練習題答案練習題答案上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回2 2、),(sin2)1()(11 nxnxfnn. . ( (提示提示: : xxxxf,)sin(arcsin)() )上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回四、小結四、小結1.基本概念；基本概念；2.傅里葉系數；傅里葉系數；3.狄利克雷充分狄利克雷充分條件；條件；4.非周期函數的非周期函數的傅氏展開式；傅氏展開式；5. 傅氏級數的意義傅氏級數的意義整體逼近整體逼近上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回五五. 函數函數f (x)在在 0，上

21、展開成正弦級數與余弦級數上展開成正弦級數與余弦級數以上研究了將以以上研究了將以2為周期的函數為周期的函數f (x)展開成傅氏級數的方展開成傅氏級數的方法下面介紹將定義在區間法下面介紹將定義在區間0，上函數展開成傅氏級數的方上函數展開成傅氏級數的方法法設函數設函數f(x)定義在區間定義在區間0，上，上，有一個函數有一個函數(x)，在（，在（-，+）上以）上以 2為周期的函數，為周期的函數，而在而在0，上，上，(x)=f(x)如果如果(x)滿足狄氏條件，滿足狄氏條件，那么那么(x)在（在（-，+）就可展開成傅氏級數，取其）就可展開成傅氏級數，取其0，上一上一段，即為段，即為f (x)在在0，上的傅

22、氏級數，上的傅氏級數， (x)稱為稱為f (x)的周期延拓函數的周期延拓函數 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回在理論上或實際工作中，下面的周期延拓最為常用.將f (x)先延拓到(-，0)，使延拓后的函數成為奇函數，然后再延拓成以2為周期的函數這種延拓稱為周期奇延拓(如圖4-7所示)；圖4-7上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回將先延拓到(-，0)，使延拓后的函數為偶函數，然后再延拓成以2為周期的函數，這種延拓稱為周期偶延拓(如圖4-8所示) 圖 4-8上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回顯然，周期奇延拓的結果為正弦級數，注意到在區間0，上, (x)=f(

23、x),其傅氏系數直接按下式計算，即有 周期偶延拓的結果為余弦級數，其傅氏系數直接按下式計算,即有 0(0,1,2,)nan0022( )sin( )sin(1,2,3,)nbxnxdxf xnxdxn0022( )cos( )cos(0,1,2,)naxnxdxf xnxdxn0(1,2,3,)nbn , . 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例7 將函數將函數f (x)=x (0 x)分別展開成正弦級數、余弦級數分別展開成正弦級數、余弦級數解解 函數函數f (x)滿足狄氏條件滿足狄氏條件.（1將函數將函數f (x)展開成正弦級數展開成正弦級數,計算傅氏系數計算傅氏系數0na

24、(0,1,2,)n 0022( )sinsinnbf xnxdxxnxdx1202cossin2( 1)nxnxnxnnn 11( 1)( )2sinnnf xnxn(0)x上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回（2將函數f (x)展開成余弦級數, 計算傅氏系數 例例7 將函數將函數f (x)=x (0 x0)2L (L0)為周期的脈沖電壓的脈沖波形狀為周期的脈沖電壓的脈沖波形狀 如圖如圖4-94-9所示，其中所示，其中t t為時間為時間. .(1) (1) 將脈沖電壓將脈沖電壓f (t)f (t)在在-L-L，LL上展開成以上展開成以2L2L為周期的傅氏級數；為周期的傅氏級數；(2

25、) 將脈沖電壓f (t)在0，2L上展開成以2L為周期的傅氏級數.圖4-9上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回0,0,( ),0.ltf tttl 0011( )2llllaf t dttdtll011( )coscosllnln tn taf tdttdtllll221(cos1)nn(1,2,3,)n 011( )sinsinllnln tn tbf tdttdtllll11cos( 1)nlllnlnn (1,2,3,)n 122112(21)( 1)( )cossin4(21)nnnllntln tf tnlnl,(21) ,ttkl kZ 解解 (1) (1) 因為因為f

26、 (t)f (t)在在-L-L，LL上的表達式為上的表達式為滿足狄氏條件,所以 故當t-L，L時,下式成立,且有 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回,0,( )0,2 .ttlf tltl 200011( )2lllaf t dttdtll20011( )coscosllnn tn taf tdttdtllll221(cos1)nn(1,2,3,)n 20011( )sinsinllnn tn tbf tdttdtllll11cos( 1)nlllnlnn 122112(21)( 1)( )cossin4(21)nnnllntln tf tnlnl,(21) ,ttkl kZ (

27、2) 因為f (t)在0，2L上的表達式為滿足狄氏條件,所以故當t0，2L時,下式成立,且有上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回)(tfto0d) 1sin() 1sin(ttntn例例7. 交流電壓交流電壓tEtEsin)(經半波整流后負壓消失,試求半波整流函數的解解: 這個半波整流函數這個半波整流函數2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅里葉級數.,上的表達式為0t t02E的周期是22機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回000d2sintt21Ea 2cos212E時1n0d) 1sin() 1sin(

28、ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回tttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 時機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上

29、頁下頁下頁返回返回由于半波整流函數 f ( t ),),(上連續在Etf)(tEsin2tkkEk2cos411212)(t直流部分說明說明:交流部分由收收斂定理可得2 k 次諧波的振幅為,14122kEAk k 越大振幅越小,因此在實際應用中展開式取前幾項就足以逼近f (x)了.to22)(tf上述級數可分解為直流部分與交流部分的和. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 上頁上頁下頁下頁返回返回上頁上頁下頁下頁返回返回例例8. 把把展開成)20()(xxxf(1) 正弦級數; (2) 余弦級數.解解: (1) 將將 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, 則有則有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x機動 目錄 上頁 下頁 返回