1、振動和波動機械振動知識要點機械振動知識要點1.掌握簡諧振動的表達式和三個特征量的意掌握簡諧振動的表達式和三個特征量的意義及確定方法義及確定方法 決定于系統本身的性質！決定于系統本身的性質！A和和 由初始條件由初始條件x0, v0決定！決定！02020 xvxA00tanxvv0的正負號的正負號(sin ) 值值)cos(tAxmk2. 掌握簡諧振動的動力學特征，并能判定簡諧掌握簡諧振動的動力學特征，并能判定簡諧振動，能根據已知條件列出運動的微分方程，振動，能根據已知條件列出運動的微分方程，并求出簡諧振動的周期并求出簡諧振動的周期(1). 動力學判據動力學判據: kxF (3). 運動學判據運動

2、學判據: 0cosx tAt)arctan(000 xv0222 xdtxd(2). 能量判據：能量判據： 振動系統機械能守恒振動系統機械能守恒恒量222121xkmv3. 掌握簡諧振動的能量特征掌握簡諧振動的能量特征總的機械能：總的機械能： 2221122pkEEEmAkA4. 掌握簡諧振動的合成規律掌握簡諧振動的合成規律:同方向、同頻率同方向、同頻率簡諧振動的合成簡諧振動的合成)cos(21 tAxxx)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintanAAAA k2)(21 )12()(21 k2121AAAAA 21AAA 21AAA 其其它它值值 )

3、(21 ( ( 同相同相 ) )( ( 反相反相 ) )本章基本題型：本章基本題型：1、已知振動方程，求特征參量、已知振動方程，求特征參量2、已知條件（或者振動曲線），建立振動方程、已知條件（或者振動曲線），建立振動方程3、證明、判斷一個物體的振動是否是簡諧振動、證明、判斷一個物體的振動是否是簡諧振動4、簡諧振動的合成、簡諧振動的合成:動力學判據動力學判據；能量判據；能量判據；運動學判據運動學判據 解析法、解析法、旋轉矢量法旋轉矢量法（振幅、周期、頻率、初相位）（振幅、周期、頻率、初相位）例例 一質量為一質量為m = 10 g的物體作簡諧振動，振幅為的物體作簡諧振動，振幅為A = 10 cm

4、,周期周期T = 2.0 s。若。若t = 0時，位移時，位移x0= - 5.0 cm，且，且物體向負物體向負x方向運動，方向運動，試求：試求：（1）t = 0.5 s時物體的位移；時物體的位移；（2）t = 0.5 s時物體的受力情況；時物體的受力情況；（3）從計時開始，第一次到達）從計時開始，第一次到達x = 5.0 cm所需時間；所需時間；（4）連續兩次到達）連續兩次到達x = 5.0 cm處的時間間隔。處的時間間隔。【解解】0.10mA2rad/s)T （1 1）由已知可得簡諧振動的振幅）由已知可得簡諧振動的振幅角頻率角頻率振動表達式為振動表達式為 0.10cosoxt (SI)0t

5、時0.10cos0.05mox 0.05 sin0o vx0.1O-0.050t 23o 由旋轉矢量法可得由旋轉矢量法可得 振動方程振動方程 0.1cos23xt t=0.5s時物體的位移時物體的位移? 0.1cos230.1cos 0.5230.0866mxt （2） t = 0.5 s時物體受到的恢復力時物體受到的恢復力? 由（由（1）得）得 0.0086NFkx 220.010.099km N/m(SI)（3 3）從計時開始，第一次到達）從計時開始，第一次到達x = 5.0 cm所需時間；所需時間；（4 4）連續兩次到達）連續兩次到達x = 5.0 cm處的時間間隔。處的時間間隔。x0.

6、1O-0.050t 0.05153231st 第一次到達第一次到達x=5.0cm=5.0cm時的相位為時的相位為 53故故 第一次達到此處所需時間為第一次達到此處所需時間為 2230.67st連續兩次到達連續兩次到達x = 5.0 cm處的相位差為處的相位差為 23例例2、如圖所示的振動曲線。求：、如圖所示的振動曲線。求：（1）簡諧振動的運動方程）簡諧振動的運動方程（2）由狀態）由狀態a運動到狀態運動到狀態b，再由，再由b運動到運動到c的時間的時間 分別是多少分別是多少（3）狀態）狀態d的速度和加速度的速度和加速度【解解】方法方法1 解析法解析法00012cos223Ax 0000sin0si

7、n0vA 0cos()xAt0cos(52/3)0cx00sin(52/3)0v0t 原點：原點：5tsc點：點：2316方法方法2 旋轉矢量法旋轉矢量法（1）0t 0/ 2xA 00v 確定旋轉矢量確定旋轉矢量2356t16振動方程為振動方程為12cos()63xAtt-A-A/2AA/2xO(SI)（2）由狀態）由狀態a運動到狀態運動到狀態b，再由，再由b運運動到動到c的時間分別是多少的時間分別是多少（3）狀態）狀態d的速度和加速度的速度和加速度-A-A/2AA/2x/6a/3/32/6babats/61/6cbcbtssin0.4513dvAA 2222cos63m/s72daxAA 例

8、例3 一勻質細桿質量為一勻質細桿質量為m，長為，長為l，上端可繞懸掛軸無，上端可繞懸掛軸無摩擦的在豎直平面內轉動，下端與一勁度系數為摩擦的在豎直平面內轉動，下端與一勁度系數為k的輕的輕彈簧相聯，當細桿處于鉛直位置時，彈簧不發生形變。彈簧相聯，當細桿處于鉛直位置時，彈簧不發生形變。求細桿作微小振動是否是簡諧振動。求細桿作微小振動是否是簡諧振動。O【解解】方法一方法一. 分析受力法分析受力法mgf222d(sin )(sincos )23dgFmglmlMMMkllt 很小時很小時 2222d30d2mglkltml細桿微小振動是簡諧振動細桿微小振動是簡諧振動取細桿鉛直位置為坐標零點，垂直紙面向外

9、為正方向取細桿鉛直位置為坐標零點，垂直紙面向外為正方向方法二方法二. 分析能量法分析能量法由桿、彈簧、地球所構成的系統，機械能守恒。取平衡位置由桿、彈簧、地球所構成的系統，機械能守恒。取平衡位置系統的勢能為零，當桿在某一任意位置時，系統機械能為系統的勢能為零，當桿在某一任意位置時，系統機械能為2211(1 cos )222lEJConksxtmgxl21sin02dddJklmgldtdtdtJ為桿繞為桿繞O軸的轉動慣量，軸的轉動慣量，x為彈簧伸長量，桿作微小振動時，為彈簧伸長量，桿作微小振動時，代入上面式子，并且兩邊對時間求一次導數，有：代入上面式子，并且兩邊對時間求一次導數，有：21sin

10、02dddJklmgldtdtdt2221,3dddJmldtdtdtsin式中，式中，在桿作微小振動時，在桿作微小振動時，代入后，可以得到：代入后，可以得到：桿的微小振動是簡諧運動桿的微小振動是簡諧運動2222d30d2mglkltml例例 如圖所示，兩輪的軸相互平行，相距為如圖所示，兩輪的軸相互平行，相距為2d，兩輪的轉速相同而轉向相反。，兩輪的轉速相同而轉向相反。現將質量為現將質量為m的一塊勻質木板放在兩輪上，木板與兩輪之間的摩擦系數均為的一塊勻質木板放在兩輪上，木板與兩輪之間的摩擦系數均為u。若木板的質心偏離對稱位置后，試證木板將作簡諧振動，并求其振動周期。若木板的質心偏離對稱位置后，

11、試證木板將作簡諧振動，并求其振動周期。O2dx解：解： 以木板的中心為坐標原點，向右的方向為正，以木板的中心為坐標原點，向右的方向為正，設木板的質心偏離原點設木板的質心偏離原點x，木板對兩輪的作用力，木板對兩輪的作用力分別為分別為N1，N2根據木板所受力矩平衡條件根據木板所受力矩平衡條件12Ndmg dx22Ndmg dx木板在水平方向所受到的合力木板在水平方向所受到的合力12mgFNNxd 水平方向水平方向22ddxFmt22d0dxgxtd振動周期振動周期2dTg 例例. 圖中定滑輪半徑為圖中定滑輪半徑為 R, 轉動慣量為轉動慣量為 J ， 輕彈簧勁度系數為輕彈簧勁度系數為 k ，物體物體

12、質量為質量為 , 現將物體從平衡位置拉下一微小距離后放手，不計一切摩擦和空現將物體從平衡位置拉下一微小距離后放手，不計一切摩擦和空氣阻力，使證明系統作簡諧振動，并求其作諧振動的周期。氣阻力，使證明系統作簡諧振動，并求其作諧振動的周期。mkRJOXxT1mg解：以解：以 m 為研究對象。為研究對象。在平衡位置在平衡位置 O 時：合外力時：合外力00(1)Fmgk l 在任意位置在任意位置 x 時：合外力時：合外力1(2)FmgT以下由轉動系統解出以下由轉動系統解出 T1：fT1R11()()(3)T Rklx RJJTklxR 將將 （1），（），（3）代入（）代入（2）中，合外力）中，合外力(

13、)(4)JJFmgklxkxRR 而物塊下落加速度等于滑輪旋轉加速度而物塊下落加速度等于滑輪旋轉加速度aFRmR代入（代入（4）中得）中得2JFFkxmR 222(1)()JmR kFkxFxmRmRJ 合外力與位移成正比且方向相反，系統的動力學方程為合外力與位移成正比且方向相反，系統的動力學方程為角頻率為角頻率為222R kmRJ周期周期2222mRJTkR2222d()0dxmR kmxtmRJ例例4:4:勁度系數為勁度系數為k的輕彈簧掛在質量為的輕彈簧掛在質量為m，半徑為半徑為R的勻質的勻質圓柱體的對稱軸上，使圓柱體作無滑動的滾動，證明：圓柱體的對稱軸上，使圓柱體作無滑動的滾動，證明：圓

14、柱體的質心作諧振動。圓柱體的質心作諧振動。水平面水平面kc證明：證明：xcxo建坐標如圖，建坐標如圖，彈簧原長處為坐標原點，設原點處為勢能零彈簧原長處為坐標原點，設原點處為勢能零點，質心在點，質心在xc時系統的機械能為時系統的機械能為222111const.222ccckxmvJ（注意上式中的（注意上式中的 是剛體轉動的角速度）是剛體轉動的角速度）分析振動系統機械能守恒分析振動系統機械能守恒!222111const.222ccckxmvJ221mRJccvRcmkxcc224321兩邊對兩邊對t t求導數，得求導數，得03222ccxmktxdd將將代入上式代入上式得得與動力學方程比較知，物理

15、量與動力學方程比較知，物理量xc的的運動形式是簡諧振動運動形式是簡諧振動mk32圓頻率圓頻率機械波知識要點機械波知識要點1. 熟練掌握簡諧波的描述熟練掌握簡諧波的描述平面簡諧波的波函數：平面簡諧波的波函數：0cos ()xyAtu五大要素五大要素)cos(0kxtAy0cos2 ()txyAT2. 記住能量密度、能流以及能流密度公式記住能量密度、能流以及能流密度公式平均能量密度：平均能量密度：2221Aw平均能流：平均能流：uSwP平均能流密度平均能流密度波的強度：波的強度：uAuwI22213. 記住惠更斯原理的內容記住惠更斯原理的內容媒質中波陣面上的各點都可以看做子波波源，其后任媒質中波陣

16、面上的各點都可以看做子波波源，其后任一時刻這些子波的包跡就是新的波陣面一時刻這些子波的包跡就是新的波陣面4. 熟練掌握簡諧波的干涉條件，干涉加強、熟練掌握簡諧波的干涉條件，干涉加強、減弱的條件減弱的條件波的相干條件：波的相干條件：干涉加強或減弱的條件：干涉加強或減弱的條件：12122,(0,1,2,.),(21) ,(0,1,2,.),kkAAAkkAAA振幅最大振幅最小21212()rr振動方向相同；振動方向相同；相位差恒定相位差恒定頻率相同；頻率相同；5. 理解駐波的形成，并掌握駐波的特點理解駐波的形成，并掌握駐波的特點兩列頻率、振幅和振動方向都相同而兩列頻率、振幅和振動方向都相同而傳播方

17、向相反傳播方向相反的的簡諧波疊加形成駐波，其表達式為簡諧波疊加形成駐波，其表達式為22coscosyAxt(21),0, 1, 2,.4xkk ,0, 1, 2,.2xkk波節：波節：波腹：波腹：2cos00 x振幅2cos12Ax 振幅駐波的特點：駐波的特點：1. 相鄰波腹（節）之間的距離為相鄰波腹（節）之間的距離為 /22. 一波節兩側質元具有相反的相位一波節兩側質元具有相反的相位3. 兩相鄰波節間的質元具有相同的相位兩相鄰波節間的質元具有相同的相位4. 駐波無能量傳遞駐波無能量傳遞同號相同；同號相同；異號相反！異號相反！6. 掌握半波損失的概念掌握半波損失的概念波從波從波疏媒質到波密波疏

18、媒質到波密媒質，從波密媒質反射媒質，從波密媒質反射回來，在反射處發生了回來，在反射處發生了 的相位突變的相位突變在在自由端無自由端無相位突變，無相位突變，無半波損失半波損失折射無半波損失折射無半波損失在在固定端有固定端有 相位突變，有相位突變，有半波損失半波損失本章基本題型：本章基本題型：1. 已知波動方程，求有關的物理量已知波動方程，求有關的物理量(1) 求波長、周期、波速和初相位求波長、周期、波速和初相位2. 由已知條件建立波動方程由已知條件建立波動方程(2) 求波動曲線上某一點的振動方程求波動曲線上某一點的振動方程(3) 畫出某時刻的波形曲線畫出某時刻的波形曲線(1) 已知波動曲線上某一

19、點已知波動曲線上某一點的振動狀態的振動狀態(2) 已知某一時刻的波形曲線已知某一時刻的波形曲線3. 波的傳播及疊加波的傳播及疊加(2). 駐波駐波(1). 波的干涉波的干涉(3). 半波損失半波損失例例 一波長為一波長為 的平面簡諧波，已知的平面簡諧波，已知 A 點的振動方程為點的振動方程為 y=Acos(t+) 試求在圖中四種坐標選擇情況下此簡諧波的表達式試求在圖中四種坐標選擇情況下此簡諧波的表達式yO AxuyO AxuyxOAlu解答提示解答提示（1)(2)(3)（1）cos()xyAtu（2）cos()xyAtu（3）cos()xlyAtu（4）cos()xlyAtuxOAuy(4)l

20、 1. 有一以速度u沿x軸正向傳播的平面簡諧波， 其質點振動的振幅和角頻率分別為A和, 設某一瞬間的波形如圖所示，并以此瞬間 為計時起點，分別以o和p點為坐標原點， 寫出波動表達式。uyAM-A解解: (1) 以以O點為坐標原點，設點為坐標原點，設O點振動方程為點振動方程為 cos()yAt0t Ou2O以以O點為坐標原點的波動表達式為點為坐標原點的波動表達式為 cos ()2OxyAtuPP以以P點為坐標原點的波動表達式為點為坐標原點的波動表達式為 cos ()PxyAtuxOPy 2. 如圖所示，S1、S2為同一介質中沿其連 線方向發射平面簡諧波的波源，兩者相距作同方向、同頻率、同振幅的簡

21、諧振動，設S1經過平衡位置向負方向運動時, S2恰處在正向最遠端，且介質不吸收波的能量。求：S1S2x/m45S1和和 S2外側合成波的強度外側合成波的強度S1和和S2之間因干涉而靜止點的位置，設兩列之間因干涉而靜止點的位置，設兩列波的振幅都是波的振幅都是A0，強度都是，強度都是I0 。xAM-A0t S1S22102兩列波在干涉點的相位差兩列波在干涉點的相位差解解:12121222()/2()rrrr(1) 在在S1左側的左側的P點，兩列波的波程差點，兩列波的波程差1254rr 1225()34滿足干涉條件，所以在滿足干涉條件，所以在S1左側所有點合成振幅左側所有點合成振幅A=0,合合成波強

22、度為零成波強度為零S1S2x/m45(2) 在在S2右側的右側的P點，兩列波的波程差點，兩列波的波程差4521rr122 5()24 滿足干涉加強條件，所以在滿足干涉加強條件，所以在S2右側所有點合成振幅右側所有點合成振幅A=2A,合成波強度為合成波強度為4I0(3) 在在S1、S2之間，兩列波沿相反方向到達干涉點，設之間，兩列波沿相反方向到達干涉點，設 任意干涉點到任意干涉點到S1的距離為的距離為x，則，則r1=x，r2=5/4-x，12524rrx12254(2)34xx43(21) ,0, 1, 2.xkk (1)2xk在干涉靜止點：在干涉靜止點：450 x,21 xS1S2x/m45

23、3. 一平面簡諧波沿x正方向傳播如圖所示，振幅為 A，頻率為v, 速率為u. 求 (1) t=0時，入射波在原點o處引起質元由平衡位 置向位移為正的方向運動，寫出波表達式 (2) 經分界面反射的波的振幅和入射波振幅相等 寫出反射波的表達式，并求在x軸上因入射 波和反射波疊加而靜止的各點位置。O Pux波疏波疏波密波密43解解: (1) 由已知條件可寫出入射波在由已知條件可寫出入射波在O點的振動表達式點的振動表達式cos(2)2OyAt入入射波的表達式為入射波的表達式為2cos2 ()cos(2)22xyAtAtxu入(2) 設反射波的表達式為設反射波的表達式為2cos2 ()cos(2)xyA

24、tAtxu反在在P點，入射波的相位為點，入射波的相位為23242t入反射波的相位為反射波的相位為2324t反Oux波疏波疏波密波密43P由由入反得得2 所以反射波的表達式為所以反射波的表達式為2cos(2)2yAtx反22coscos(2-)2yyyAxt入反波節位置波節位置2cos0 x2(21),0, 1, 2.2xkk (21)4xk因此合成波的表達式因此合成波的表達式34x(21),14xkk 的整數BBOd=5/4xp例例: 如圖所示，波源位于如圖所示，波源位于 O 處，由波源向左右兩邊發出振幅為處，由波源向左右兩邊發出振幅為 A，角頻率為，角頻率為 ，波速為，波速為 u 的簡諧波。若波密介質的反射面的簡諧波。若波密介質的反射面 BB 與點與點 O 的距離為的距離為 d=5/4, 試討論合成波的性質。試討論合成波的性質。解：解：設設 O 為坐標原點，向右為正方向。為坐標原點，向右為正方向。)2cos(),(1xtAtxy自自 O 點向右的波：點向右的波：自自 O 點向左的波：點向左的波：)2cos(),(2xtAtxy反射點反射點 p 處入射波引起的振動：處入射波引起的振動：)2cos()45(2c