1、金屬塑性成形力學(xué)基礎(chǔ)金屬塑性成形力學(xué)基礎(chǔ)華中科技大學(xué)材料成形與模具技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室l吳樹森，柳玉起. 材料成形原理. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008l陳平昌，朱六妹，李贊. 材料成形原理. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2001l徐洲，姚壽山. 材料加工原理. 北京：科學(xué)出版社，2003l劉全坤.材料成形基本原理. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005 l汪大年.金屬塑性成形原理，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1986l緒論l應(yīng)力分析l應(yīng)變分析l屈服準(zhǔn)則l應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）l金屬塑性成形問(wèn)題求解方法金屬塑性成形的優(yōu)點(diǎn)l材料結(jié)構(gòu)致密，組織改善，性能提高l材料利用率高，流線分布合理，制件強(qiáng)度提高l尺寸精度高，可

2、以實(shí)現(xiàn)少、無(wú)切削生產(chǎn)l生產(chǎn)效率高，適用于大批量生產(chǎn)塑性成形工藝的分類l體積成形 鍛造、軋制、擠壓、拉拔l板料（沖壓）成形 沖裁、彎曲、拉深 l通常，軋制、拉拔、擠壓是生產(chǎn)型材、板材、管材和線材等金屬材料的加工方法，屬于冶金工業(yè)領(lǐng)域，而鍛造、沖壓則是利用金屬軋材來(lái)制造機(jī)器零件的加工方法，屬于機(jī)械制造工業(yè)領(lǐng)域。 l體積成形 鍛造 通過(guò)金屬體積的轉(zhuǎn)移和分配來(lái)進(jìn)行塑性成形 自由鍛：鍛件精度低，生產(chǎn)率不高，適于單件、小批量生產(chǎn)或大型鍛件生產(chǎn) 模鍛（開(kāi)式模鍛、閉式模鍛)：鍛件外形和尺寸精度高，生產(chǎn)率高，適于大批量生產(chǎn)開(kāi)式模鍛 閉式模鍛l體積成形 軋制：使金屬錠料或坯料通過(guò)兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軋輥間的直線或異型的特定空

3、間來(lái)獲得一定截面形狀的材料，使大截面材料變成了小截面材料，可生產(chǎn)型材、板材等。l體積成形 拉拔：將中等截面坯料拉過(guò)有一定形狀的模孔來(lái)獲得小截面材料，可生產(chǎn)棒材、管材和線材。l體積成形 擠壓：將在筒體中的大截面坯料或錠料一端加壓，使金屬?gòu)哪？字袛D出，從而獲得符合模孔截面形狀的小截面材料。在擠壓成形過(guò)程中，材料受到較大的三向壓應(yīng)力作用，適于生產(chǎn)低塑性材料的型材和管材。l板料成形 分離工序 (落料、沖孔） 成形工序（彎曲、拉深）沖裁拉深l金屬塑性成形理論塑性力學(xué)的發(fā)展 1864，Tresca屈服準(zhǔn)則(最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則)： 當(dāng)材料中一點(diǎn)處的最大剪應(yīng)力達(dá)到某一定值時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)就發(fā)生屈服。 1913，Von

4、Mises屈服準(zhǔn)則(能量準(zhǔn)則）： 當(dāng)單位體積的彈性形變能達(dá)到某一常數(shù)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)就發(fā)生屈服。 1948，Hill各向異性屈服準(zhǔn)則 l金屬塑性成形問(wèn)題的求解方法 主應(yīng)力法 滑移線法 上限法 有限元法l金屬塑性成形問(wèn)題的求解方法 主應(yīng)力法（初等解析法） 從塑性變形體的應(yīng)力邊界條件出發(fā)，建立簡(jiǎn)化的平衡方程和屈服條件，并聯(lián)立求解，得出邊界上的正應(yīng)力和變形的力能參數(shù)，不考慮變形體內(nèi)的應(yīng)變狀態(tài)。 l金屬塑性成形問(wèn)題的求解方法 滑移線法 假設(shè)材料為剛塑性體，在平面變形狀態(tài)下，塑性變形區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)存在兩族正交的滑移線族，結(jié)合邊界條件可解出滑移線場(chǎng)和速度場(chǎng)，從而求出塑性變形區(qū)內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)和瞬時(shí)流動(dòng)狀態(tài)，計(jì)算出力能參數(shù)

5、。l金屬塑性成形問(wèn)題的求解方法 上限法 從變形體的速度邊界條件出發(fā)，對(duì)塑性變形區(qū)取較大的單元，根據(jù)極值原理，求出塑性變形能為極小值時(shí)滿足變形連續(xù)條件和體積不變條件時(shí)的動(dòng)可容速度場(chǎng)，計(jì)算出力能參數(shù)，不考慮塑性變形區(qū)的應(yīng)力狀態(tài)是否滿足平衡方程。l金屬塑性成形問(wèn)題的求解方法 有限元法 將連續(xù)體離散為有限個(gè)單元的組合體，單元之間用節(jié)點(diǎn)連接，在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)近似函數(shù)即插值函數(shù)來(lái)分片表示系統(tǒng)的求解場(chǎng)函數(shù)，插值函數(shù)由節(jié)點(diǎn)值確定，單元之間的作用由節(jié)點(diǎn)傳遞，建立物理方程，對(duì)全部單元的組合體進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，可求出變形體內(nèi)的應(yīng)變、應(yīng)力等場(chǎng)變量以及力能參數(shù)。l發(fā)展前景 超大、超小、高精尖、高度集成l非線性 幾何非線性

6、物理非線性 狀態(tài)非線性n多物理場(chǎng)耦合 變形 熱傳導(dǎo)l模具和工藝的復(fù)雜性 復(fù)雜幾何形狀 多工序n材料組織性能變化 相變、再結(jié)晶 織構(gòu) 損傷l主要分類 板料成形模擬 體積成形模擬l主要方法 彈塑性有限元法 剛塑性有限元法 無(wú)網(wǎng)格法l汽車覆蓋件沖壓成形過(guò)程模擬l板料液壓成形過(guò)程模擬l彎管成形過(guò)程模擬l五金級(jí)進(jìn)模零件成形過(guò)程模擬l金屬鍛造成形過(guò)程模擬l金屬拉拔成形過(guò)程模擬l.l各向同性的均勻連續(xù)體l體積力為零l變形體在表面力作用下處于平衡狀態(tài)l初始應(yīng)力為零l體積不變 由于金屬塑性成形非常復(fù)雜，數(shù)學(xué)與力學(xué)的處理非常困難，因此需要做一些假設(shè)和近似處理：l各向同性的均勻連續(xù)體假設(shè)材料是連續(xù)的，即在材料內(nèi)不存

7、在任何缺陷；假設(shè)材料各質(zhì)點(diǎn)的組織、化學(xué)成分相同；假設(shè)材料在各方向上的物理性能和力學(xué)性能相同；l體積力為零成形過(guò)程中的外力可分為兩類：表面力和體積力；表面力：集中力、分布載荷；體積力是作用在物體質(zhì)點(diǎn)上的力，與物體的質(zhì)量成正比，例如重力、磁力和慣性力等等；對(duì)于塑性成形來(lái)說(shuō)，除了高速錘鍛造、爆炸成形等少數(shù)情況，體積力相對(duì)于表面力很小，可以忽略不計(jì)；l變形體在表面力作用下處于平衡狀態(tài)材料成形時(shí)模具和零件處于平衡狀態(tài)；如果零件劃分為有限個(gè)單元體，每個(gè)單元體仍處于平衡狀態(tài)；作用于整體和每個(gè)單元體上的外力系的矢量和為零，外力系對(duì)任一點(diǎn)的總力矩也為零；l初始應(yīng)力為零內(nèi)力是由于材料受外力作用而產(chǎn)生的，內(nèi)力的變化

8、達(dá)到一定程度就會(huì)使材料產(chǎn)生塑性變形；課程內(nèi)容主要考慮金屬在外力作用下產(chǎn)生塑性變形；l體積不變彈性變形時(shí)，體積變化必須考慮；塑性變形時(shí)，體積雖有微小變化，但與塑性變形量相比很小，可以忽略不計(jì)，因此，一般假設(shè)金屬在塑性變形前后的體積保持不變；l應(yīng)力的概念內(nèi)力：因外力作用而在物體內(nèi)部產(chǎn)生的力內(nèi)力的特點(diǎn)： 1. 隨外力的變化而變化，是“附加內(nèi)力” 2. 內(nèi)力是分布力系，常用其主矢量和主矩表示應(yīng)力：?jiǎn)挝幻娣e上的內(nèi)力 應(yīng)力表示內(nèi)力的強(qiáng)度，作用于物體質(zhì)點(diǎn)之間l應(yīng)力狀態(tài)：物體內(nèi)一點(diǎn)的各個(gè)截面上的應(yīng)力狀況 研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，就是建立該點(diǎn)不同方向的截面上的不同應(yīng)力的 表達(dá)方式和相互間的聯(lián)系； 目的：對(duì)于確定物體

9、處于彈性或塑性階段的強(qiáng)度問(wèn)題或屈服條件問(wèn)題都很重要，是建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度準(zhǔn)則和屈服條件所必須的基礎(chǔ)知識(shí) 假設(shè) A為任意微元截面， P為截面上的作用力，則 A截面的應(yīng)力向量pdAdAlim0APPpp M FA A P在空間直角坐標(biāo)系中，將全應(yīng)力p向三個(gè)坐標(biāo)軸進(jìn)行投影，也可得到三個(gè)應(yīng)力分量，即一 個(gè)正應(yīng)力和二個(gè)剪應(yīng)力p也稱為全應(yīng)力向量，可分解為垂直于截面的正應(yīng)力 和平行于截面的剪應(yīng)力 ，從而有222pl應(yīng)力狀態(tài)表示應(yīng)力狀態(tài)一般用單元體表示單元體：材料內(nèi)部的質(zhì)點(diǎn)，是包圍質(zhì)點(diǎn)的無(wú)限小的幾何體，常用的是正六面體 xyz x z y xy yx單元體的性質(zhì) 任一面上，應(yīng)力均布 平行面上，應(yīng)力相等l在

10、直角坐標(biāo)系中，假設(shè)有一承受任意力系的變形體，過(guò)變形體內(nèi)任意一點(diǎn)切取一個(gè)其棱邊分別平行于三個(gè)坐標(biāo)軸的微小六面體作為單元體。在單元體的互相垂直的微分面上的全應(yīng)力都可以按坐標(biāo)軸方向分解成一 個(gè)正應(yīng)力和二個(gè)剪應(yīng)力分量，這樣，在三個(gè)互相垂直的微分面上就有三個(gè)正應(yīng)力分量和六個(gè)剪應(yīng)力分量，這九個(gè)應(yīng)力分量可以完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。l應(yīng)力分量xyz x xy yx z y xz zx zy yz yz y yx x y z xy yx yz zy zx xz三個(gè)正應(yīng)力分量六個(gè)剪應(yīng)力分量l應(yīng)力分量符號(hào)規(guī)定：兩個(gè)下角標(biāo)相同的是正應(yīng)力分量， 如 x x表示x面上平行于x軸的正應(yīng)力分量，可簡(jiǎn)寫為 x ；兩個(gè)下角標(biāo)不

11、同的是剪應(yīng)力分量， 如 xy表示x面上平行于y軸的剪應(yīng)力分量。將九個(gè)應(yīng)力分量寫成矩陣的形式為 xxyxzyxyyzzxzyz作用在x面上作用在y面上作用在z面上作用方向?yàn)閦 作用方向?yàn)閥作用方向?yàn)閤l應(yīng)力分量有正、負(fù)號(hào)，確定方法為：?jiǎn)卧w的外法線指向坐標(biāo)軸正向的微分面叫做正面，反之為負(fù)面。在正面上指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量取正號(hào)，指向相反方向的取負(fù)號(hào)。負(fù)面上的應(yīng)力分量則相反。按此規(guī)定，正應(yīng)力分量以拉為正，以壓為負(fù)。 l剪應(yīng)力互等定理假設(shè)單元體處于平衡狀態(tài)，則繞單元體各軸的合力矩一定為零，則zyyz yxxyzxxz 過(guò)一點(diǎn)的兩個(gè)正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應(yīng)力分量,則兩個(gè)面上的這兩個(gè)剪應(yīng)力分

12、量一定等值、方向相對(duì)或相離xyz xy yx x z y xz zx zy yzl由剪應(yīng)力互等定理可知，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)中的9個(gè)應(yīng)力分量只有6個(gè)是互相獨(dú)立的，即 xxyxzxxyxzyxyyzyyzzxzyzzl直角坐標(biāo)系中斜截面上的應(yīng)力xyz x xy yx z y xz zx zy yzOABCABCxyzO y yx yz z zy zx xy xz xpxpypzNpxABCyzO y yx yz z zy zx xy xz xpxpypzNpl=cos(N,x)m=cos(N,y)n=cos(N,z)斜截面外法線單位向量 N=(l m n)S ABC=S S OBC=lS S OAC=

13、mS S OAB=nS 斜截面四面體的表面積分別為四面體處于平衡狀態(tài)，則 000 xyzF F F 000nSmSlSSpnSmSlSSpnSmSlSSpzyzxzzzyyxyyzxyxxxzxyxxxnmlp zyyxyynmlp zyzxzznmlp ABCxyzO y yx yz z zy zx xy xz xpxpypzNp2222xyzpppp全應(yīng)力 斜面上的正應(yīng)力 為全應(yīng)力p p在法線N方向的投影，它等于 在N方向上的投影之和，即xyzppp、 、222 =2()xyzxyzxyyzzxp lp mp nlmnlmmnnl斜面上的剪應(yīng)力為 222pl由上述可知，已知過(guò)一點(diǎn)的三個(gè)正交

14、微分面上9個(gè)應(yīng)力分量，可以求出過(guò)該點(diǎn)任意方向微分面上的應(yīng)力，也就是說(shuō)，這9個(gè)應(yīng)力分量可以全面表示該點(diǎn)應(yīng)力狀況，亦即可以確定該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。 l如果質(zhì)點(diǎn)處于受力物體的邊界上，則斜面ABC即為變形體的外表面，其上的表面力（外力）T沿三坐標(biāo)軸的分量為Tx、Ty、Tz，則有應(yīng)力邊界條件 xxyxzxyxyyzyzxzyzzTlmnTlmnTlmn主平面 當(dāng) 外法向單位矢量v 在某方向時(shí)，全應(yīng)力矢量垂直于ABC曲面，且在該面上的剪應(yīng)力為零。主平面的法向稱為應(yīng)力主方向或應(yīng)力主軸。ABCxyzOpxpypzvp= v主應(yīng)力 作用在主平面上的法向應(yīng)力，即主平面上的正應(yīng)力。在主平面上，主應(yīng)力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影

15、為vxlp vymp vznp vxlp vymp vznp 如果 v 為主應(yīng)力，單位向量 v =(l m n)，則x、y、z坐標(biāo)軸方向的應(yīng)力分量分別為px、py、pzzxyxxnmlzyyxynmlzyzxznml0)( zxyxvxnml 0)( zyvyxynml 0)( vzyzxznml 1222 nml由于，因此l、m、n不同時(shí)為零0 xvyxzxxyyvzyxzyzzv則三元齊次方程組的系數(shù)行列式一定等于零32222222()() (2)0vxyzvxyyzzxxyyzzxvxyzxyyzzxxyzyzxzxy 展開(kāi)行列式，整理后得zyxI 12222()xyyzzxxyyzzx

16、I 22232()xyzxyyzzxxyzyzxzxyI 321230vvvIII令上式稱為應(yīng)力狀態(tài)特征方程，它有三個(gè)實(shí)根，即三個(gè)主應(yīng)力，用 1、 2 、 3表示。則有對(duì)于一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)，主應(yīng)力只有一組值，即主應(yīng)力具有單值性。因此， I1、I2、I3應(yīng)是單值的，不隨坐標(biāo)系而變。 I1、I2、I3稱為應(yīng)力張量的第一、第二、第三不變量。取三個(gè)主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，用1、2、3代替x、y、z，則應(yīng)力矩陣可寫為123000000在主軸坐標(biāo)系中，斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力為222123vlmn2222 222222222123123()plmnlmn應(yīng)力張量的三個(gè)不變量為1123I2122331()I 312

17、3I l應(yīng)力橢球面 在主軸坐標(biāo)系，設(shè)任意斜切面上全應(yīng)力沿坐標(biāo)軸的三個(gè)分量為p1、p2、p3，則有2223122221231ppp112233 plpmpnl考慮到1222 nmll可得l應(yīng)力橢球面表示的是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在任意斜切面上的全應(yīng)力矢量p端點(diǎn)的軌跡，其主半軸的長(zhǎng)度分別等于 1、 2 、 3 。可以看到，三個(gè)主應(yīng)力中的最大者和最小者就是一點(diǎn)所有方向的應(yīng)力中的最大者和最小者。123 1 2 3p2p1p3p 根據(jù)三個(gè)主應(yīng)力的特點(diǎn)可區(qū)分各種應(yīng)力狀態(tài)： 單向應(yīng)力狀態(tài)：在三個(gè)主應(yīng)力中，有兩個(gè)為零，如單向拉伸； 兩向應(yīng)力狀態(tài)：在三個(gè)主應(yīng)力中，有一個(gè)為零，如彎曲、扭轉(zhuǎn)，板料成形等； 三向應(yīng)力狀態(tài)：三

18、個(gè)主應(yīng)力均不為零，如鍛造、軋鋼等； 0 球應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力都相等，應(yīng)力橢球面變成了球面， 所有方向都沒(méi)有剪應(yīng)力，都是主方向，所有方向的應(yīng)力都相等。123 圓柱形應(yīng)力狀態(tài)：在三個(gè)主應(yīng)力中，有兩個(gè)相等，單向應(yīng)力也屬于這種狀態(tài)，如設(shè) ，則與 1軸垂直的所有方向都是主方向，這些方向上的主應(yīng)力都相等； 例題 設(shè)某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，試求其主應(yīng)力及主方向（應(yīng)力單位：10N/mm2) 某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)圖中所示的應(yīng)力張量為423261315ij將各分量代入應(yīng)力張量不變量的表達(dá)式 zyxI 12222()xyyzzxxyyzzxI 22232()xyzxyyzzxxyzyzxzxyI 可得 12315 60 5

19、4III 將I1、I2、I3代入應(yīng)力狀態(tài)的特征方程，得321560540vvv分解因式 2(9)(66)0v解得 122393333 (10/)Nmm為求主方向，可組建方程組(4)230lmn2(6)0lmn3(5)0lmn1222 nml將解得的三個(gè)主應(yīng)力值逐次代入上式，并聯(lián)解方程組，得到三個(gè)主方向的方向余弦為 11122233310.5773530.21132 ; 0.78867 ; 0.577350.78867 ; 0.21132 ; 0.57735lmnlmnlmn 求得的主應(yīng)力及主方向示意圖 主應(yīng)力和主方向 主剪應(yīng)力 實(shí)際上，主方向就是正應(yīng)力有極值的方向，主應(yīng)力就是極值。剪應(yīng)力同樣隨

20、斜面的方位而改變，一般把剪應(yīng)力有極值的平面稱為主剪應(yīng)力平面，面上作用的剪應(yīng)力稱為主剪應(yīng)力。在主軸空間中，垂直一個(gè)主平面而與另兩個(gè)主平面交角為45的平面就是主剪應(yīng)力平面。該面上的主剪應(yīng)力為 232331311212222 l主剪應(yīng)力平面圖 a) b) c) d) a) 220,1lmnb) 10,2lmn c) 10,2mln d) 10,2nlm l主剪應(yīng)力角標(biāo)表示與主剪應(yīng)力平面呈45相交的兩主平面的編號(hào)。三個(gè)主剪應(yīng)力平面也是互相正交。主剪應(yīng)力中絕對(duì)值最大的一個(gè)，即一點(diǎn)所有方向切面上剪應(yīng)力的最大者，稱為最大剪應(yīng)力，用 表示。設(shè)三個(gè)主應(yīng)力的關(guān)系為 ，則 max12313max2 l主剪應(yīng)力平面上

21、的正應(yīng)力2323313112122221245 121221212221122120設(shè)應(yīng)注意到，每對(duì)主剪應(yīng)力平面上的正應(yīng)力都是相等的。l應(yīng)力張量張量：與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)的集合。當(dāng)坐標(biāo)系變換時(shí)，集合的形式不改變 zzyzxyzyyxxzxyxij 應(yīng)力張量表示為 xy yx yz zy zx xz在塑性成形理論中，應(yīng)力、應(yīng)變、力、速度等物理量都是張量i 1，3； j 1，312333xyzml平均應(yīng)力 m m叫平均應(yīng)力，是不變量，與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)。設(shè) m為三個(gè)正應(yīng)力的平均值，即00 0000 xxyxzijyxyyzzxzyzxmxyxzmyxymyzmzxzyzmm上式中的后一項(xiàng)表示球應(yīng)力狀態(tài)，

22、稱為應(yīng)力球張量。在球應(yīng)力狀態(tài)下，任何方向都是主方向，且主應(yīng)力相同，所以 m可看成是一種靜水應(yīng)力。由于球應(yīng)力狀態(tài)在任何切面上都沒(méi)有剪應(yīng)力，所以不能引起物體形狀改變，只是引起體積改變。l應(yīng)力偏張量mmmxxyxzxxyxzijyxyyzyxyyzzxzyzzxzyzijij 稱為應(yīng)力偏張量，它是一個(gè)對(duì)稱張量應(yīng)力偏張量與材料形狀變化有關(guān)，即與塑性變形有關(guān)l應(yīng)力偏張量有三個(gè)不變量，即1()()()0 xyzxmymzmI2222222222()1 ()()()6xyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxI 22232()xyzxyyzzxxyzyzxzxyI l對(duì)于主軸坐標(biāo)系，有10I 2222

23、1223311()()() 6I 3123I l八面體應(yīng)力 在物體內(nèi)任意一點(diǎn)建立應(yīng)力主軸系，圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)作等傾斜面，面的法線與三根坐標(biāo)軸的夾角都相等，則坐標(biāo)空間八個(gè)象限的等傾斜面形成一個(gè)正八面體，這樣的斜面叫八面體平面，其上的應(yīng)力叫八面體應(yīng)力。八面體平面的方向余弦為13l 13m 13n Q 123 11cos54 443123 l八面體和八面體平面l八面體應(yīng)力12383m2228122331212()()()33I l在任意坐標(biāo)系中為 83xyz22222281()()()6()3xyyzzxxyyzzx l在任意坐標(biāo)系中，等效應(yīng)力定義為 22212233121()()()32Il等效應(yīng)力

24、在力學(xué)分析中，材料的各種極限值通常是在單向拉伸、壓縮試驗(yàn)中測(cè)出的。為了使塑性變形中的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)能與這些極限值相比較，人們引人“等效應(yīng)力”的概念，把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值折合成單向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值。在主軸坐標(biāo)系中，等效應(yīng)力定義為 2222221()()()6()2xyyzzxxyyzzxl等效應(yīng)力是一個(gè)不變量，稱為廣義應(yīng)力或應(yīng)力強(qiáng)度，它不能在特定微分平面上表示出來(lái)，但可以在一定意義上“代表”整個(gè)應(yīng)力狀態(tài)中的偏張量部分，因而與材料的塑性變形密切有關(guān)。l對(duì)于單向應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)1230,0l則有1正交直角坐標(biāo)系一般認(rèn)為，應(yīng)力是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即應(yīng)力分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yx 、 yz

25、、 zy 、 zx 、 xz為點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y，z）的連續(xù)函數(shù)體力分量為：fx 、 fy 、 fz單元體處于平衡狀態(tài)設(shè)受力物體中有一點(diǎn)Q，坐標(biāo)為x、 y、 z，在Q點(diǎn)的無(wú)限鄰近處有一點(diǎn)Q，坐標(biāo)為x+dx、y+dy、z+dz，在Q和Q點(diǎn)間形成一個(gè)邊長(zhǎng)為dx、dy、dz的平行六面體。由于坐標(biāo)的微量變化，Q點(diǎn)的應(yīng)力要比Q點(diǎn)的應(yīng)力增加一個(gè)微量。設(shè)Q點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為xxyxzyxyyzzxzyz222(, , )1 ( , , )2 xxxxdf xdx y zfff x y zdxdxxxdxx在Q點(diǎn)的x面上，由于坐標(biāo)的變化，其正應(yīng)力分量將為 Q點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以寫為xyxxzxxyxzyxyyzyxyy

26、zzyzxzzxzyzdxdxdxxxxdydydyyyydzdzdzzzzxyz x xz xy y yx yz z zx zydxxxyxy dxxxzxz dyyyxyx dyyyzyz dyyyy dxxxx dzzzz dzzzxzx dzzzyzy dxdydzQ Q 單元體六個(gè)面上的應(yīng)力分量圖 0 xF由于單元體處于平衡狀態(tài)()()() 0yxxzxxyxzxxyxzxxdx dydzdy dzdxdz dxdyxyzdydzdzdxdxdyf dxdydz0yxxzxxfxyz0 xzxyxxfzyx 0 yzyyxyfzyx 0 zzyzxzfzyx 單元體的應(yīng)力平衡微分方程

27、忽略體力fx 、 fy 、 fz0zyxzxyxx0zyxzyyxy0zyxzyzxz 1）物體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)在與某一方向垂直的平面上都沒(méi)有應(yīng)力，如取該方向?yàn)樽鴺?biāo)的z軸，則有 z zx zy 0。z向必為主方向，所有質(zhì)點(diǎn)都是兩向應(yīng)力狀態(tài)； 2)各應(yīng)力分量都與z坐標(biāo)無(wú)關(guān)，整個(gè)物體的應(yīng)力分布可以在xy坐標(biāo)平面上表示出來(lái)。 梁的彎曲，薄壁管扭轉(zhuǎn)，薄壁容器承受內(nèi)壓或板料拉延成形（壁厚或板厚方向的應(yīng)力相對(duì)較小，可忽略） 兩向應(yīng)力狀態(tài)，在主剪應(yīng)力平面上的正應(yīng)力為零。 例如：棒料或管料的小變形扭轉(zhuǎn)。 12121 xy x xydxxxx y yxdxxxyxy dyyyy dyyyxyx fxfy0 yzxzz

28、 0 xyxxfyx 0 yyxyfyx rrrzrzzrzzrd d drdz rdrrrr drrrr drrrzrz r rz r z xyzor drdzd d 10rrrzrrfrrzr10zrzzrzzfrrzr210rzrfrrzr r r 0rrzrrfrzr0rzzrzzfrzrrrrrr11sin12ctg0rrrrrrrrrr111ctg30sinrrrrrr11132ctg0sinrrrrrr r 112ctg0rrrrrrr11ctg30rrrrrl位移 變形體內(nèi)一質(zhì)點(diǎn)在變形前后的位置移動(dòng)了一定距離，即產(chǎn)生了位移。位移是矢量，在直角坐標(biāo)系中，一點(diǎn)M（x, y, z）的

29、位移矢量可用其在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影即位移分量ux、 uy 、 uz來(lái)表示。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，位移是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而且一般都有一階偏導(dǎo)數(shù)，即 ( , , ) (, , )iiuu x y zix y zl變形 物體中各點(diǎn)位移不同而致使各點(diǎn)相對(duì)位置發(fā)生變化的表現(xiàn)。 l變形單元體 當(dāng)當(dāng)單元體切取得極小時(shí)，可以認(rèn)為它的變形是均勻變形，物體內(nèi)原來(lái)的直線和平面在變形后仍然是直線和平面，原來(lái)相互平行的直線和平面仍將保持平行。小變形 物體在外力作用下產(chǎn)生變形，與本身幾何尺寸相比是非常小的量（一般不超過(guò)10-2數(shù)量級(jí)），這種變形稱做小變形。在小變形分析中，變形量的二次微量可以忽略，分析起來(lái)比較簡(jiǎn)單直觀，是大變形

30、分析的基礎(chǔ)，因此本章只討論小變形分析。MM NN rr+r線應(yīng)變（正應(yīng)變）rr線應(yīng)變分量, , xyz 角應(yīng)變（剪應(yīng)變）MNLxyxzzxzyyzyxxy ,角應(yīng)變分量2M N L yx xy2xyyx角應(yīng)變的意義：xy表示x方向的線元向y方向偏轉(zhuǎn)的角度l應(yīng)變線應(yīng)變（正應(yīng)變）表示線長(zhǎng)度的相對(duì)伸長(zhǎng)或縮短量。伸長(zhǎng)為正值，縮短為負(fù)值角應(yīng)變（剪應(yīng)變）表示角度變化的量。角度減小為正值，角度增加為負(fù)值應(yīng)變下標(biāo)的意義第一個(gè)下標(biāo)表示線元的方向，第二個(gè)下標(biāo)表示線元變形的方向。l考察直角坐標(biāo)系中一邊長(zhǎng)分別為rx、ry和rz 、表面和坐標(biāo)面平行的微元六面體PABCDEFG，小變形后成為一斜平行六面體P1A1B1C1

31、D1E1F1G1 。 l單元體同時(shí)發(fā)生了線變形、剪變形、剛性平移和轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)單元體先平移至變形后的位置，然后再發(fā)生變形，其變形可以分解為在x、y、z方向上，線元的長(zhǎng)度發(fā)生改變，其線應(yīng)變分別為 , , yxzxyzxyzrrrrrr在x面、y面和z面內(nèi)，單元體發(fā)生角度偏轉(zhuǎn)，其剪應(yīng)變?yōu)?21212xyyxxyyzzyyzzxxzzxl質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)互相垂直方向上的9個(gè)應(yīng)變分量確定了該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。已知這9個(gè)應(yīng)變分量，可以求出給定任意方向上的應(yīng)變，這表明對(duì)應(yīng)不同坐標(biāo)系的應(yīng)變分量之間有確定的變換關(guān)系。這9個(gè)應(yīng)變分量組成一個(gè)應(yīng)變張量，由于ij= ji ，故應(yīng)變張量是二階對(duì)稱張量，可用ij表示為 xxyxzij

32、yxyyzzxzyz或xxyxzijyyzzl應(yīng)變張量的性質(zhì) 存在三個(gè)互相垂直的主方向，在該方向上線元只有主應(yīng)變而無(wú)剪應(yīng)變。用1、2 、3表示主應(yīng)變，則主應(yīng)變張量為123000000ij應(yīng)變狀態(tài)特征方程 321230III 存在三個(gè)應(yīng)變張量不變量I1、I2、I3 1123xyzI222212233 1()() ()xyyzzxxyyzzxI 22231232()xyzxyyzzxxyzyzxzxyI 應(yīng)指出，塑性變形時(shí)體積不變，故I10在與主應(yīng)變方向成45方向上存在主剪應(yīng)變，其大小為1212232331311()21()21()2 若 ，則最大剪應(yīng)變?yōu)?23max131()2 應(yīng)變張量的分解0

33、00000 xmxyxzmijyxymyzmzxzyzmm設(shè)三個(gè)正應(yīng)變分量的平均值為m ，即1231111()()333mxyzI則 式中，第一項(xiàng)為應(yīng)變偏張量，表示單元體的形狀變化；第二項(xiàng)為應(yīng)變球張量，表示單元體的體積變化。塑性變形時(shí)體積不變，m 0，應(yīng)變偏張量就是應(yīng)變張量。八面體應(yīng)變和等效應(yīng)變以應(yīng)變主軸為坐標(biāo)軸，可作出八面體，八面體平面法線方向的線元的應(yīng)變叫做八面體應(yīng)變81231()3m22222282221223311()()()6()31()()3xyyzzxxyyzzx 822222222212233122 ()()()6()32()()3xyyzzxxyyzzx將八面體剪應(yīng)變8 乘以

34、系數(shù) ，可得等效應(yīng)變（廣義應(yīng)變、應(yīng)變強(qiáng)度）2 等效應(yīng)變是一個(gè)不變量，在數(shù)值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應(yīng)變，在屈服準(zhǔn)則和強(qiáng)度分析中經(jīng)常用到。 單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，主應(yīng)變?yōu)?、 2 =3 。 考慮塑性變形， 有1230 因而23112 所以22111233()()322 單向應(yīng)力狀態(tài)的等效應(yīng)變l物體變形后，體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生了位移，并因此而產(chǎn)生應(yīng)變。位移場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)都是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，因而可以用位移表示應(yīng)變。 l設(shè)單元體棱邊長(zhǎng)度分別為dx、dy、dz，它在xOy平面上的投影為abdc，變形后的投影移至a1b1d1c1，a點(diǎn)變形后移到a1點(diǎn)后，所產(chǎn)生的位移分量為u、v，則b點(diǎn)和c點(diǎn)的位移增量為

35、 cbcbuuudxudyxyvvvdxvdyxyl根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，可以求出棱邊ac(dx) 在x方向的線應(yīng)變x為 ccxuuuuudxdxxl棱邊ab(dy)在y方向的線應(yīng)變y為 bbyvvvvvdydyyl由圖中的幾何關(guān)系可得 2 11 2tan 11byxbuuub babvvdyvuudyyyvvdyyyl因?yàn)閥vyl其值遠(yuǎn)小于1，所以有 tanyxyxuyl同理，有tanxyxyvxl則有xyyxxyyxuvyxl剪應(yīng)變?yōu)?2xyyxuvyxl按照同樣的方法，由單元體在yOz和zOx坐標(biāo)平面上投影的幾何關(guān)系，得其余應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系式，綜合在一起為 1 21 21 2x

36、xyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxzl上述六個(gè)方程表示小變形時(shí)位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系，是由變形幾何關(guān)系得到的，稱為小應(yīng)變幾何方程，也叫柯西幾何方程。如果物體中的位移場(chǎng)已知，則可由上述小應(yīng)變幾何方程求得應(yīng)變場(chǎng)。l要保證變形體的連續(xù)性，六個(gè)應(yīng)變分量之間應(yīng)滿足一定的關(guān)系，即應(yīng)變連續(xù)方程（應(yīng)變協(xié)調(diào)方程、幾何相容條件）。1 21 21 2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxzl在xy坐標(biāo)平面內(nèi)，將幾何方程式中的x、y分別對(duì)y、x求兩次偏導(dǎo)數(shù)，可得 222222xyuyx yyvxx yx l兩式相加，可得 222222yxyxyxx y l同

37、理可得另外兩式，連同上式，有222222222222222121212xyyxyzyzzxxzx yyxy zzyz xxz l上式表示了在每個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)應(yīng)變分量之間的關(guān)系。l將應(yīng)變幾何方程中的三個(gè)剪應(yīng)變等式分別對(duì) x、y 、 z求偏導(dǎo)，得222222121212xyyzzxuvzy zx zvwxz xy xwuyx yz y l將前兩式相加后減去第三式，得2xyyzzxvzxyx z l再將上式兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，得 222xyyzyzxvvyzxyyx zx zyx z l同理可得另外兩式，連同上式，有222xyyzzxxxyyzyzxyzxyzxzxyzxy zyzxyz xzxyzx

38、y l上式表示了不同平面中應(yīng)變分量之間的關(guān)系。222xyyzzxxxyyzyzxyzxyzxzxyzxy zyzxyz xzxyzx y 上述兩個(gè)方程統(tǒng)稱為變形連續(xù)方程或應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，它的物理意義為：只有當(dāng)應(yīng)變分量之間滿足一定的關(guān)系時(shí)，物體變形后才是連續(xù)的。否則，變形后會(huì)出現(xiàn)“撕裂”或“重疊”，變形體的連續(xù)性遭到破壞。 222222222222222121212xyyxyzyzzxxzx yyxy zzyz xxz l還應(yīng)指出，如果已知一點(diǎn)的位移分量ui(i=1,2,3)，則由幾何方程求得的應(yīng)變分量ij (i=1,2,3; j=1,2,3) 自然滿足連續(xù)方程。但如果先用其他方法求得應(yīng)變分量，則

39、只有滿足上述應(yīng)變連續(xù)方程，才能由幾何方程求得正確的位移分量。 l小變形時(shí)，可以認(rèn)為只有正應(yīng)變引起邊長(zhǎng)和體積的變化，而剪應(yīng)變所引起的邊長(zhǎng)和體積的變化是高階微量，可以忽略不計(jì)。設(shè)單元體的初始邊長(zhǎng)為dx、dy、dz，則變形前的體積為 0Vdxdydzl單元體體積的變化（單位體積變化率）為 00 xyzVVV(1)(1)(1) (1)xyzxyzVdxdydzdxdydzl變形后的體積為 l實(shí)驗(yàn)指出，金屬在外力作用下產(chǎn)生塑性變形時(shí)，其所產(chǎn)生的體積變形是彈性的，當(dāng)外力去除之后，體積變形恢復(fù)，沒(méi)有殘余的體積變形，并且這種彈性的體積改變是很小的，例如彈簧鋼在一萬(wàn)個(gè)大氣壓下體積縮小2.2%。因此，對(duì)于一般應(yīng)力

40、狀態(tài)下的變形體，在塑性變形前后的體積變化是可以忽略的。即0 xyz 上式稱為體積不變條件。同理，用應(yīng)變?cè)隽勘硎镜捏w積不變條件為0 xyzddd用應(yīng)變速率表示的體積不變條件為0 xyz 體積不變條件表明，塑性變形時(shí)三個(gè)正應(yīng)變之和等于零，說(shuō)明三個(gè)正應(yīng)變分量不可能全部同號(hào)。 l全量應(yīng)變?nèi)繎?yīng)變的大小與變形途徑有關(guān)，只有知道了變形途徑，才能確定全量應(yīng)變的大小。如果質(zhì)點(diǎn)曾有過(guò)幾次變形，全量應(yīng)變是歷次變形疊加的結(jié)果。塑性變形是不可恢復(fù)的，單元體每經(jīng)過(guò)一次加載產(chǎn)生的塑性變形在卸載之后仍然保留下來(lái)，并作為下一次加載時(shí)的初始狀態(tài)，因此，變形結(jié)束時(shí)的全量應(yīng)變不一定取決于當(dāng)時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)。反映單元體在某一變形過(guò)程或變

41、形過(guò)程的某個(gè)階段終了時(shí)的變形大小的應(yīng)變量。l在塑性變形過(guò)程中，物體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)以一定的速度運(yùn)動(dòng)，形成一個(gè)速度場(chǎng)。將質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)的位移叫做位移速度，它在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量叫做位移速度分量，簡(jiǎn)稱速度分量，即 uutvvtwwtiiuut( , , , )iiuu x y z t位移速度可簡(jiǎn)記為位移速度既是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，又是時(shí)間的函數(shù)，因此，有上式表示變形體內(nèi)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度場(chǎng)。若已知變形體內(nèi)各點(diǎn)的速度分量，則物體中的速度場(chǎng)可以確定。l位移增量 物體在變形過(guò)程中，在某一極短的瞬時(shí)dt，質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的位移改變量稱為位移增量。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)P在dt內(nèi)沿路徑PPP1從P移動(dòng)無(wú)限小距離到達(dá)P”，位移矢量PP”與PP

42、之間的差即為位移增量，記為dui。這里d為增量符號(hào)，而不是微分符號(hào)。位移增量的速度分量為ddduudtvvdtwwdt即ddiiuut位移增量分量可寫為ddiuu t l應(yīng)變?cè)隽?變形體在產(chǎn)生位移增量以后，體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就有了相應(yīng)的無(wú)限小應(yīng)變?cè)隽浚胐ij表示。瞬時(shí)產(chǎn)生的變形可視為小變形，可以仿照小變形幾何方程寫出應(yīng)變?cè)隽康膸缀畏匠蹋恍栌胐ui代替ui 、 dij代替ij即可，即 (d )1(d )(d )d dd2(d )1(d )(d )d dd2(d )1(d )(d )d dd2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxzdd1d2jiijjiuuxx 即 一點(diǎn)的應(yīng)

43、變?cè)隽恳彩嵌A對(duì)稱張量，稱為應(yīng)變?cè)隽繌埩浚洖?dddddddxxyxzijyyzzl應(yīng)變?cè)隽?應(yīng)變?cè)隽渴且宰冃嗡矔r(shí)的形狀尺寸為起始點(diǎn)計(jì)算的，與以變形的起始點(diǎn)計(jì)算的全量應(yīng)變相比，應(yīng)變?cè)隽扛軠?zhǔn)確地反映物體的變形情況。物體在變形過(guò)程中某一瞬時(shí)產(chǎn)生的無(wú)限小應(yīng)變。塑性變形是一個(gè)大變形過(guò)程，在變形的整個(gè)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)在某一瞬時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)一般對(duì)應(yīng)于該瞬時(shí)的應(yīng)變?cè)隽俊？梢圆捎脽o(wú)限小的應(yīng)變?cè)隽縼?lái)描述某一瞬時(shí)的變形情況，而把整個(gè)變形過(guò)程看作是一系列瞬時(shí)應(yīng)變?cè)隽康姆e累。 l單位時(shí)間內(nèi)的應(yīng)變稱為應(yīng)變速率，又稱變形速度，用 表示，單位為s-1。設(shè)在時(shí)間時(shí)隔dt內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)變?cè)隽繛閐ij，則應(yīng)變速率為 ijddijijt

44、l當(dāng)物體的變形速度很大或變形的溫度較高時(shí)（如再結(jié)晶溫度范圍內(nèi)），必須考慮變形速度對(duì)材料力學(xué)性能的影響。應(yīng)變速率與應(yīng)變?cè)隽肯嗨疲际敲枋瞿乘矔r(shí)的變形狀態(tài)。與應(yīng)變?cè)隽康膸缀畏匠填愃疲袘?yīng)變速率的幾何方程1 21 21 2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxz 即d1d2ijjiijjiuutxx 一點(diǎn)的應(yīng)變速率也是二階對(duì)稱張量，稱為應(yīng)變速率張量 xxyxzijyyzz 注意：應(yīng)變速率 是應(yīng)變?cè)隽縟ij對(duì)時(shí)間的微商，通常并不是全量應(yīng)變的微分。ij工程應(yīng)變變形前后尺寸變化量與變形前尺寸之比，通常用百分?jǐn)?shù)表示假設(shè)l0為物體中兩質(zhì)點(diǎn)變形前的尺寸，ln為變形后尺寸，則工程應(yīng)變表示

45、為%10000llln工程應(yīng)變一般適用于變形程度較小的情況，當(dāng)變形程度較大時(shí)，工程應(yīng)變不足以反映物體的實(shí)際變形過(guò)程，這時(shí)要采用對(duì)數(shù)應(yīng)變。對(duì)數(shù)應(yīng)變?cè)趯?shí)際變形過(guò)程中，假設(shè)物體中兩質(zhì)點(diǎn)的距離由變形前的 l0 經(jīng)過(guò) n 個(gè)變形過(guò)程后變?yōu)?ln ，則總應(yīng)變量可近似為 n 個(gè)無(wú)限小的相對(duì)應(yīng)變之和，即11112001111111nnnniiiiniiillllllllllllll當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí)，則總的應(yīng)變量為0111ln0llldlllnllniiin稱為對(duì)數(shù)應(yīng)變，它反映了物體變形的實(shí)際情況l對(duì)數(shù)應(yīng)變 設(shè)在單向拉伸時(shí)某試樣的瞬時(shí)長(zhǎng)度為l，在下一個(gè)瞬時(shí)，試樣長(zhǎng)度又伸長(zhǎng)了dl，則其應(yīng)變?cè)隽繛?ddll試樣從

46、初始長(zhǎng)度l0到終了長(zhǎng)度l1，如果變形過(guò)程中主軸不變，可沿拉伸方向?qū)?進(jìn)行積分，求出總應(yīng)變?yōu)閐1010d1nllllll 反映了物體變形的實(shí)際情況，稱為對(duì)數(shù)應(yīng)變或真實(shí)應(yīng)變，它能真實(shí)地反映變形的累積過(guò)程，表示在應(yīng)變主軸方向不變的情況下應(yīng)變?cè)隽康目偤汀Ｔ诖笏苄宰冃沃校饕脤?duì)數(shù)應(yīng)變來(lái)反映物體的變形程度。l工程應(yīng)變和對(duì)數(shù)應(yīng)變的特性比較對(duì)數(shù)應(yīng)變能夠反映物體變形的實(shí)際情況，工程應(yīng)變只是在變形程度很小時(shí)近似反映物體的變形情況。從上式可以看出對(duì)數(shù)應(yīng)變和工程應(yīng)變的關(guān)系，即只有當(dāng)變形程度很小時(shí)，工程應(yīng)變才近似等于對(duì)數(shù)應(yīng)變，變形程度越大，二者相差愈大。一般認(rèn)為，當(dāng)變形程度超過(guò)10%時(shí)，就要用對(duì)數(shù)應(yīng)變來(lái)表達(dá)。2340

47、1001n1n1n(1)234lllll對(duì)數(shù)應(yīng)變具有可加性，工程應(yīng)變不具有可加性。設(shè)某物體的原長(zhǎng)度為l0，歷經(jīng)變形過(guò)程l1、l2到l3，則總的對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)楦鞣至繉?duì)數(shù)應(yīng)變之和，即30331200123120121231n1n() 1n1n1n lllllldllllllllllll 對(duì)應(yīng)的各階段的相對(duì)應(yīng)變?yōu)?03221011223012 lllllllll顯然03011223 對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變。 假設(shè)將試樣拉長(zhǎng)一倍，再壓縮一半，則物體的變形程度相同。 拉長(zhǎng)一倍時(shí)0021n1n2ll 壓縮一半時(shí)000.51n1n2ll 因此，對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變。(負(fù)號(hào)表示應(yīng)變方向相反) 考慮

48、工程應(yīng)變 拉長(zhǎng)一倍時(shí)0002100%lll 壓縮一半時(shí)0000.550%lll 因此，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變。 工程應(yīng)變計(jì)算簡(jiǎn)單。 塑性體積不變條件用對(duì)數(shù)應(yīng)變表示更準(zhǔn)確。設(shè)變形體的原始長(zhǎng)、寬、高分別為l0、b0、h0，變形后分別為l1、b1、h1，則體積不變條件可表示為1111 1 112300000011110lbhl bhnnnnlbhl b h l平面應(yīng)變問(wèn)題 如果物體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都只在同一坐標(biāo)平面內(nèi)發(fā)生變形，而該平面的法線方向沒(méi)有變形，就屬于平面變形或平面應(yīng)變問(wèn)題。 設(shè)沒(méi)有變形的方向?yàn)閦方向，該方向上的位移分量為零，其余兩個(gè)方向的位移分量對(duì)z的偏導(dǎo)數(shù)必為零，所以 z=xz=yz=0，則平面

49、應(yīng)變狀態(tài)的三個(gè)應(yīng)變分量為x 、 y 、 xy，且滿足以下幾何方程 12xyxyyxuxvyuvyx 根據(jù)體積不變條件有 xy 平面變形狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)有如下特點(diǎn)：沒(méi)有變形的z方向?yàn)橹鞣较颍摲较蛏系募魬?yīng)力為零，z平面為主平面，z為中間主應(yīng)力，在塑性狀態(tài)下，z等于平均應(yīng)力，即 212zxym如果處于變形狀態(tài)，發(fā)生變形的z平面即為塑性流動(dòng)平面，平面塑性應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力張量可寫成mmm02000000020000000 xyxyxxyxyijyxyyxz121m122m12m0020000000000200000002ij 上式表明，平面塑性變形時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)就是純剪應(yīng)力狀態(tài)疊加一個(gè)應(yīng)力球張量。平面變

50、形時(shí)，由于z是不變量，而且其他應(yīng)力分量都與z坐標(biāo)無(wú)關(guān)，所以其平衡微分方程和平面應(yīng)力狀態(tài)是一樣的，即 00yxxxyyxyxy軸對(duì)稱問(wèn)題 討論軸對(duì)稱狀態(tài)的變形時(shí)需要用圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)，采用圓柱坐標(biāo)時(shí)，一般狀態(tài)的應(yīng)變幾何方程為11 2111 212rrrzzzzrrzuvvurrrrvvwurzrwwuzrz 式中：r 徑向，周向，z高度方向zzruvw 圓柱坐標(biāo)系中的位移分量 軸對(duì)稱變形時(shí)，通過(guò)軸線的子午面始終保持平面，向沒(méi)有位移速度，位移分量v =0，各位移分量均與 坐標(biāo)無(wú)關(guān)，由此，r = z =0 ， 向成為應(yīng)變主方向，這時(shí)，幾何方程簡(jiǎn)化為12rzzrurwzurwurz 對(duì)于均勻變形時(shí)的單

51、向拉伸、錐形模擠壓和拉拔，以及圓柱體平砧鐓粗等，其徑向位移分量u與坐標(biāo)r成線性關(guān)系，于是得uurr 所以r 這時(shí)，徑向正應(yīng)力和周向正應(yīng)力分量也相等，即 r 用球坐標(biāo)時(shí)，一般狀態(tài)的幾何方程為111ctgsin11ctg2sin112sin12rrrrrurvurwuvrwwwruwrwrrvurvrr 對(duì)于軸對(duì)稱狀態(tài)，向的位移分量w=0，各位移分量均與無(wú)關(guān)，由此， = r =0 ，而且 式等號(hào)后面的第一項(xiàng)也為零。ruvw 球坐標(biāo)系中的位移分量l在塑性成形分析中，會(huì)遇到許多物理量，如力、速度、位移、應(yīng)力、應(yīng)變等。為了對(duì)它們進(jìn)行描述和計(jì)算，必須引進(jìn)坐標(biāo)系。物理量本身是不依賴于坐標(biāo)系而存在的，坐標(biāo)系的

52、選擇帶有一定的任意性，且同一物理量在不同的坐標(biāo)系中會(huì)有不同的數(shù)量表征。為了得到數(shù)量表征和解析結(jié)果在任何坐標(biāo)系下都具有不變的形式，即表征和結(jié)果所反映的物理事實(shí)與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，就需要選擇一種數(shù)學(xué)工具，這一數(shù)學(xué)工具就是張量。 l角標(biāo)符號(hào) 引進(jìn)坐標(biāo)系后，所描述的物理量在坐標(biāo)系中的分量，用角標(biāo)表示其與某一坐標(biāo)系的關(guān)系。成組的符號(hào)和數(shù)組用一個(gè)帶下角標(biāo)的符號(hào)表示，這種符號(hào)叫角標(biāo)符號(hào)。用角標(biāo)符號(hào)表示物理量在坐標(biāo)系中的分量，可以使冗長(zhǎng)繁雜的公式在形式上變得簡(jiǎn)潔明了。 123(1,2,3)ixyzxxxx i、 、 、 , ,xxyxzyxyyzijzxzyzi jx y z如果一個(gè)張量帶有m個(gè)角標(biāo)，每個(gè)角標(biāo)

53、取n個(gè)值，則該角標(biāo)符號(hào)代表著nm個(gè)元素。 例如ij（i,j=x, y, z）就包含有32=9個(gè)元素，即9個(gè)應(yīng)力分量。l求和約定 在運(yùn)算中，常會(huì)遇到數(shù)組元素乘積求和的形式。例如31 122331iiia xa xa xa xF 為了省略求和記號(hào) ，引入如下的求和約定：在算式的某一項(xiàng)中，如果有某個(gè)角標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)，就表示要對(duì)該角標(biāo)自1到n的所有元素求和。根據(jù)這一約定，上式可簡(jiǎn)記為 (1,2,3)iia xFi 又如應(yīng)變幾何方程可寫為1() ( , , )2jiijjiuui jx y zxx 重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)叫啞標(biāo)，不重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)叫自由標(biāo)，自由標(biāo)不包含求和的意思，表示該等式代表的個(gè)數(shù)。在一個(gè)等式中，要

54、分清啞標(biāo)和自由標(biāo)。例如0 ( ,1,2,3)ijii jx 這里i是啞標(biāo)，j是自由標(biāo)，故此式可表示為3111211230 (1,2,3; 1)ijxxx3212221230 (1,2,3; 2)ijxxx1323331230 (1,2,3; 3)ijxxxl張量概念 有些簡(jiǎn)單的物理量，只需要一個(gè)標(biāo)量就可以表示，如距離、時(shí)間、溫度等。有些物理量是空間矢量，如位移、速度和力等，需要用空間坐標(biāo)系中的三個(gè)分量來(lái)表示。更有一些復(fù)雜的物理量，如應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)，需要用空間坐標(biāo)系中的三個(gè)矢量，即9個(gè)分量才能完整地表示，這就需要引入張量的概念。 張量是矢量的推廣，可定義為由若干個(gè)當(dāng)坐標(biāo)系改變時(shí)滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的

55、所有分量的集合。廣義地說(shuō)，絕對(duì)標(biāo)量就是零階張量，其分量數(shù)目為30=1；矢量就是一階張量，有31=3個(gè)分量；應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)是二階張量，有32=9個(gè)分量。 設(shè)有一物理量P，它關(guān)于xi（i=1,2,3）的空間坐標(biāo)系存在9個(gè)分量Pij（i, j=1,2,3）。若將xi空間坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，則得到新的空間坐標(biāo)系xk(k=1,2,3)。 新坐標(biāo)系xk的坐標(biāo)軸關(guān)于原坐標(biāo)系xi的方向余弦可記為lki或llj(k,l=1,2,3；i,j=1,2,3)。由于cos(xk,xi)= cos(xi,xk)，所以lki=lik, llj=ljl。新舊坐標(biāo)系間的方向余弦如表所示。xixkx1x2x3

56、x1x2x3l11l12l13l21l22l23l31l32l33物理量P在新坐標(biāo)系xk的9個(gè)分量為Pkl (k,l=1,2,3) 。若這個(gè)物理量P在坐標(biāo)系xi中的9個(gè)分量Pij與坐標(biāo)系xk中的9個(gè)分量Pkl之間存在下列線性變換關(guān)系 ( ,1,2,3; ,1,2,3)klij ki ljPPl li jk l這個(gè)物理量被定義為張量，可用矩陣表示為111213212223313233ijPPPPPPPPPPPij所帶的下標(biāo)數(shù)目是2個(gè)，稱為二階張量。張量是滿足一定的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系的分量所組成的集合，它的重要特征是在不同的坐標(biāo)系中分量之間可以用一定的線性關(guān)系來(lái)?yè)Q算。上式為二階張量的判別式。 ( ,1,

57、2,3; ,1,2,3)klij ki ljPPl li jk l張量不變量。張量的分量一定可以組成某些函數(shù)f(Pij)，這些函數(shù)值與坐標(biāo)軸無(wú)關(guān)，它不隨坐標(biāo)而改變，這樣的函數(shù)，叫做張量不變量。二階張量存在三個(gè)獨(dú)立的不變量。 l張量性質(zhì)張量可以疊加和分解。幾個(gè)同階張量各對(duì)應(yīng)的分量之和或差定義為另一個(gè)同階張量。兩個(gè)相同的張量之差定義為零張量。 張量可分為對(duì)稱張量、反對(duì)稱張量、非對(duì)稱張量。 若張量具有性質(zhì)Pij=Pji，就叫對(duì)稱張量； 若張量具有性質(zhì)Pij=-Pji，且當(dāng)i=j時(shí)對(duì)應(yīng)的分量為0，則叫反對(duì)稱張量； 若張量具有性質(zhì) ，就叫非對(duì)稱張量； ijjiPP 任意非對(duì)稱張量可以分解為一個(gè)對(duì)稱張量和

58、一個(gè)反對(duì)稱張量。二階對(duì)稱張量存在三個(gè)主軸和三個(gè)主值。如果以主軸為坐標(biāo)軸，則兩個(gè)下角標(biāo)不同的分量均為零，只留下兩個(gè)下角標(biāo)相同的三個(gè)分量，叫做主值。l應(yīng)力張量 受力物體內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一旦被確定，如果取不同的坐標(biāo)系，則表示該點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的9個(gè)應(yīng)力分量將有不同的數(shù)值，但該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)并沒(méi)有發(fā)生變化。不同坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量之間存在一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系。 該受力物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在坐標(biāo)系xi（i=x, y, z）中的9個(gè)應(yīng)力分量為ij(i, j=x, y, z），當(dāng)坐標(biāo)系xi轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)系xk (k=x, y, z)時(shí)，應(yīng)力分量為kl(k, l=x, y, z) ，則ij與kl之間存在線性變換關(guān)系式 (

59、 , , ; ,)klij ki ljl l i jx y z k lx y z 因此，表示該點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的9個(gè)應(yīng)力分量構(gòu)成二階張量，稱為應(yīng)力張量，用張量符號(hào)表示為 xxyxzijyxyyzzxzyz 應(yīng)力張量是二階對(duì)稱張量。根據(jù)張量的基本性質(zhì)，應(yīng)力張量可以疊加和分解，并存在三個(gè)主方向（主軸）和三個(gè)主應(yīng)力（主值），以及三個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力張量不變量。l材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線是建立塑性理論的重要依據(jù)，通常采用單向拉伸或單向壓縮實(shí)驗(yàn)來(lái)確定。 l拉伸圖和條件應(yīng)力-應(yīng)變曲線 室溫下在萬(wàn)能材料拉伸機(jī)上準(zhǔn)靜態(tài)拉伸 標(biāo)準(zhǔn)試樣，記錄下來(lái)的拉伸力F與試樣標(biāo)距的絕對(duì)伸長(zhǎng)l之間的關(guān)系曲線稱為拉伸圖。32 10/s設(shè)試樣的初

60、始橫截面面積為A0，標(biāo)距長(zhǎng)為l0，則條件應(yīng)力0（名義應(yīng)力）和相對(duì)伸長(zhǎng)（條件應(yīng)變）為 000 FlAl用0和替代F和l，則拉伸圖的曲線形狀不發(fā)生變化，只是刻度大小改變，拉伸圖變化為條件應(yīng)力應(yīng)變曲線。 在低碳鋼的拉伸圖中，試樣從加載到斷裂的全過(guò)程經(jīng)歷了三個(gè)階段： (1) 彈性變形階段Oe 特點(diǎn)：卸載后試樣變形全部恢復(fù)，其中： Op 線彈性階段； pe 非線性彈性階段； p比例極限； e彈性極限。 (2) 均勻塑性變形階段eb 屈服平臺(tái)：當(dāng)加載達(dá)到s點(diǎn)時(shí)，在載荷不增加，甚至有所下降時(shí)，試樣發(fā)生明顯的變形，圖上出現(xiàn)的一個(gè)齒狀平臺(tái)es ； s 屈服應(yīng)力（屈服點(diǎn)）； 對(duì)于有些金屬在簡(jiǎn)單拉伸實(shí)驗(yàn)中不出現(xiàn)屈服