1、專題二十一類范圍問題的解題妙招專題二十一類范圍問題的解題妙招范圍問題是高中數學中最為普遍的問題之一范圍問題是高中數學中最為普遍的問題之一, ,在高中數學的主要知識在高中數學的主要知識板塊中都有大量的范圍類試題板塊中都有大量的范圍類試題, ,下面從解題方法的角度對其簡要介紹下面從解題方法的角度對其簡要介紹. .方法一方法一建立函數模型的方法建立函數模型的方法思路點撥思路點撥: :(1)(1)橢圓和雙曲線的公共元素為半焦距橢圓和雙曲線的公共元素為半焦距c,c,以其為變量建立求以其為變量建立求解目標的函數關系式解目標的函數關系式; ;(2)(2015(2)(2015湖南十三校二聯湖南十三校二聯) )

2、在銳角在銳角ABCABC中中,AC=6,B=2A,AC=6,B=2A,則邊則邊BCBC的取值范圍的取值范圍是是.思路點撥思路點撥: :(2)(2)求出角求出角A A的取值范圍的取值范圍, ,以其為變量表達以其為變量表達BC,BC,利用三角函數性質利用三角函數性質得出其范圍得出其范圍. .方法總結方法總結 選定一個變量建立求解目標的函數關系式選定一個變量建立求解目標的函數關系式, ,利用函數的性利用函數的性質得出其取值范圍質得出其取值范圍, ,這是求范圍問題最為基本、應用最為廣泛的方法這是求范圍問題最為基本、應用最為廣泛的方法, ,是函數思想在數學解題中的主要體現之一是函數思想在數學解題中的主要

3、體現之一. .方法二方法二分離參數的方法分離參數的方法思路點撥思路點撥: :(1)(1)由題意知在定義域上存在由題意知在定義域上存在x,x,使得使得g(x)=-h(x)g(x)=-h(x)成立成立, ,即方程即方程g(x)=-h(x)g(x)=-h(x)有解有解, ,分離參數后求函數值域即得分離參數后求函數值域即得a a的取值范圍的取值范圍; ;答案答案: :(1)B (1)B 方法總結方法總結 在方程有解、不等式恒成立等問題中求參數取值范圍時在方程有解、不等式恒成立等問題中求參數取值范圍時, ,如果參數能夠分離出來如果參數能夠分離出來, ,即方程或不等式的一端為參數即方程或不等式的一端為參數

4、, ,另一端為某個另一端為某個變量的函數變量的函數, ,則只要研究函數的性質即可根據問題的具體設問得出參則只要研究函數的性質即可根據問題的具體設問得出參數的取值范圍數的取值范圍. .方法三方法三參數與變量整體處理的方法參數與變量整體處理的方法思路點撥思路點撥: :(1)f(x)0(1)f(x)0在在(1,2)(1,2)上恒成立上恒成立, ,化為一元二次不等式在化為一元二次不等式在(1,2)(1,2)上恒成立上恒成立, ,結合結合函數圖象分類討論其成立的函數圖象分類討論其成立的a a的取值范圍的取值范圍; ;思路點撥思路點撥: :(2)(2)即增函數即增函數f(x)f(x)滿足滿足f(x)mf(

5、x)m2 2-2am+1-2am+1對所有對所有x-1,1,a-1,1x-1,1,a-1,1恒成立恒成立, ,即即f(x)f(x)maxmaxmm2 2-2am+1-2am+1對對a-1,1a-1,1恒成立恒成立, ,化為關于化為關于a a的一次不等式在的一次不等式在-1,1-1,1上恒成立問題即可上恒成立問題即可. .答案答案: :(2)(-,-202,+)(2)(-,-202,+)方法總結方法總結 在參數與變量交織在一起在參數與變量交織在一起, ,分離參數不方便的情況下分離參數不方便的情況下, ,把參把參數作為常數數作為常數, ,構成一個含參數的函數、不等式、方程等構成一個含參數的函數、不

6、等式、方程等, ,根據問題的實根據問題的實際情況從整體上得出參數滿足的條件得出其取值范圍際情況從整體上得出參數滿足的條件得出其取值范圍. .方法四方法四直接使用數形結合的方法直接使用數形結合的方法思路點撥思路點撥: :畫出函數畫出函數f(x)f(x)的圖象的圖象, ,問題等價于問題等價于f(x-1)f(x-1)的圖象不在的圖象不在f(x)f(x)圖象圖象下方下方, ,結合函數圖象得出實數結合函數圖象得出實數a a滿足的不等式即得滿足的不等式即得. .方法總結方法總結 數形結合是廣泛使用的一種數學方法數形結合是廣泛使用的一種數學方法. .在求參數范圍問題在求參數范圍問題中中, ,使用數形結合的思

7、想就是通過圖形位置的變化找到滿足題意的參使用數形結合的思想就是通過圖形位置的變化找到滿足題意的參數所需要的條件數所需要的條件, ,進而得出參數的取值范圍進而得出參數的取值范圍. .方法五方法五根據幾何意義求參數根據幾何意義求參數思路點撥思路點撥: :(1)(1)根據兩點間的距離公式得出根據兩點間的距離公式得出(x-a)(x-a)2 2+(x-ln a)+(x-ln a)2 2的幾何意義的幾何意義; ;方法總結方法總結 給數學表達式賦予一定的幾何意義給數學表達式賦予一定的幾何意義, ,把把“式式”的問題轉化的問題轉化為為“幾何圖形幾何圖形”的問題的問題, ,以形助數是數形結合方法一個重要方面以形

8、助數是數形結合方法一個重要方面, ,其關其關鍵是熟悉一些數學公式、法則的幾何意義鍵是熟悉一些數學公式、法則的幾何意義. .方法六方法六化參數與函數最值比較的方法化參數與函數最值比較的方法思路點撥思路點撥: :(2)(2)由題意知由題意知f(x)f(x)的值域為的值域為g(x)g(x)值域的子集值域的子集. .方法總結方法總結 求不等式恒成立、等式恒成立等問題中參數范圍的主要方求不等式恒成立、等式恒成立等問題中參數范圍的主要方法之一就是化參數與函數最值的比較法之一就是化參數與函數最值的比較, ,得出參數滿足的不等式求得其得出參數滿足的不等式求得其范圍范圍. .方法七方法七化參數與函數值域端點值比

9、較的方法化參數與函數值域端點值比較的方法思路點撥思路點撥: :求出求出4T4Tn n的范圍的范圍, ,解不等式即可解不等式即可. .方法總結方法總結 在函數、數列問題中有些函數不存在最值在函數、數列問題中有些函數不存在最值, ,該類問題中參該類問題中參數值就要與值域的端點值進行比較數值就要與值域的端點值進行比較, ,值得注意的是值得注意的是“等號等號”能否取得能否取得. .方法八方法八根據圖形臨界位置確定參數滿足條件的方法根據圖形臨界位置確定參數滿足條件的方法思路點撥思路點撥: :函數函數y=f(x),y=axy=f(x),y=ax的圖象在的圖象在(0,4)(0,4)上有三個不同交點上有三個不

10、同交點, ,作出圖象作出圖象, ,根據圖象確定實數根據圖象確定實數a a滿足的條件滿足的條件. .方法總結方法總結 已知函數零點個數求參數取值范圍時已知函數零點個數求參數取值范圍時, ,把函數分解為兩個把函數分解為兩個函數函數( (其中一個不含參數其中一個不含參數, ,另一個含參數另一個含參數),),利用數形結合法確定含參數利用數形結合法確定含參數的函數圖象與不含參數的函數圖象的位置的函數圖象與不含參數的函數圖象的位置, ,通過臨界位置得出參數滿通過臨界位置得出參數滿足的條件足的條件, ,即可得出參數的取值范圍即可得出參數的取值范圍. .方法九方法九二次函數、二次不等式的方法二次函數、二次不等

11、式的方法思路點撥思路點撥: :(1)f(x)(1)f(x)存在變號零點存在變號零點; ;答案答案: :(1)B(1)B(2)(2)若函數若函數f(x)=xf(x)=x4 4-ax-ax3 3+x+x2 2-2-2有且僅有一個極值點有且僅有一個極值點, ,則實數則實數a a的取值范圍的取值范圍是是.思路點撥思路點撥: :(2)f(x)(2)f(x)有且只有一個變號零點有且只有一個變號零點. .方法總結方法總結 在導數中有一類問題可以化歸為二次函數是否存在零點、在導數中有一類問題可以化歸為二次函數是否存在零點、二次不等式在某區間上恒成立等二次不等式在某區間上恒成立等, ,可以利用可以利用“二次二次

12、”函數問題得出參函數問題得出參數滿足的條件求得參數的取值范圍數滿足的條件求得參數的取值范圍. .方法十方法十基本不等式法基本不等式法思路點撥思路點撥: :利用指數函數與對數函數圖象的特點利用指數函數與對數函數圖象的特點, ,得出得出m+n=4,m+n=4,進行常數代換后進行常數代換后利用基本不等式利用基本不等式. .方法總結方法總結 基本不等式是最值和范圍問題最常用的工具之一基本不等式是最值和范圍問題最常用的工具之一, ,在使用在使用時注意其使用條件時注意其使用條件( (一正、二定、三相等一正、二定、三相等).).方法十一方法十一 建立求解目標不等式建立求解目標不等式( (組組) )的方法的方法思路點撥思路點撥: :(1)(1)只要只要ax-yax-y在不等式組表示的平面區域的頂點處的取值不大于在不等式組表示的平面區域的頂點處的取值不大于3 3即可即可; ;答案答案: :(1)B (1)B 答案答案: :(2)C(2)C思路點撥思路點撥: :(3)(3)建立關于雙曲線離心率的不等式建立關于雙曲線離心率的不等式. .答案答案: :(3)(1,3(3)(1,3