1、對稱共焦腔的自再現模對稱共焦腔的自再現模衍射實際鏡面上的基爾霍夫積分方程) , () , ,(),(dsyxvyxyxKyxvmnmnmn求解基爾霍夫積分方程),(yxvmnmn光強衰減相位延遲鏡面上振幅與相位分布光強衰減相位延遲鏡面上振幅分布鏡面上振幅與相位分布等相位面光束寬度損耗計算附加位相諧振頻率高階模諧振頻率共焦腔腔鏡曲面半徑傳輸過程中恣意位置的方式分布行波場光束寬度等相位面的變化遠場發散角什么是對稱共焦腔什么是對稱共焦腔對稱共焦腔兩個球面鏡的曲率半徑相等且等于腔長的諧振腔稱為對稱共焦腔。此時兩個鏡面的焦點重合且處于腔的中心。0 01 212121ggRLggLRR，滿足，什么是對稱共

2、焦腔什么是對稱共焦腔對稱共心腔-1,-1平平腔1,1g2g1-1-1101對稱共焦腔 思索一個由線度為2a2a的正方形球面鏡構成的對稱共焦腔 R=L方形球面鏡共焦腔的方式方形球面鏡共焦腔的方式22 aLLaaL，滿足條件x2P1P) , (2yxP),(1yxP21Laaaaaay12121122 ( , , ,) x y x yPPP PP PP P由于是軸對稱關系，用直角坐標系x,y,z)討論。方形球面鏡共焦腔的方式方形球面鏡共焦腔的方式2P1P) , (2yxP),(1yxP21Laa方形球面鏡共焦腔的方式方形球面鏡共焦腔的方式LyyLxxLLyyLxxLyyLxxLLyyLxxLLyy

3、xxPP2) (2) ( 818121211 1 ) () ( 2244222222221其中LyxLyxLRyxRPP2 )( )(12222222211LyxPP2 22222同理方形球面鏡共焦腔的方式方形球面鏡共焦腔的方式2P1P) , (2yxP),(1yxP21Laa方形球面鏡共焦腔的方式方形球面鏡共焦腔的方式LyyxxLLyxLyxLyyLxxLyxyx 222) (2) ( ) , , 222222（ ) , ( ),( dydxeyxveLiyxvLyyxxikaaaamnikLmnmn 為所應滿足的積分方程式方形鏡共焦腔自在現模方形球面鏡共焦腔的方式方形球面鏡共焦腔的方式 )

4、 , (),( 1dseyxLiyxSikmnmnmnNLaLkacacyYacxX22, 22法進行變數代換，取按照傅伊德和戈登的方方形球面鏡共焦腔的方式方形球面鏡共焦腔的方式nmmnnm1 (Y)(X)G F),( yxvmn令 dd2 (1) YXeYFeXFie YGXF cccciYYniXXmikLnmnm 式，得代入方形球面鏡共焦腔的方式方形球面鏡共焦腔的方式行變量分離的交錯乘積項，可以進和式中不存在YX d)2(d)2( 1/21/2cciYYnikLnncciXXmikLmmYeYGeiYGXeXFeiXF題下述兩個積分本征值問求解方程式等價于求解方形球面鏡共焦腔的方式方形球

5、面鏡共焦腔的方式.) 1 ,() 1 ,( )2( 0,1,2,.n ) 1 ,(2c0,1,2,.m ) 1 ,(2c (1)(1)(1)n(1)m為徑向長橢球函數和其中cRcRcRicRionomonnomm) 1 ( ),()2/(nmnmnmkLiikLmneieyxv相對應的本征值為：與方形球面鏡共焦腔的方式方形球面鏡共焦腔的方式 ) 1 ,() 1 ,(4 ,2) 1 ,() 1 ,(2c ,(1)(2)2)1(1)(1)21(1)(1)nmkLionomnmiikLnmonomnmecRcNReiNceicRcR又得中代入將方形球面鏡共焦腔的方式方形球面鏡共焦腔的方式 為角向長橢

6、球函數。其中：)ay(c,S)c(c,Y/S)ax(c,S)c(c,X/S ononomom,., ,n m, cc,Y/Scc,X/S(Y) (X)GF(x,y) vconomnmmn210 (4) 為為有限值時，本征函數在方形球面鏡共焦腔的方式方形球面鏡共焦腔的方式 可以證明，當N1時，角向長橢球函數可表示為厄米多項式和高斯函數的乘積 厄米厄米高斯近似高斯近似 )2()2( )()(),( /2)(22222LyxnmmnayxcnmmnmneyLHxLHCeyacHxacHCyxv鏡面上的自再現模式：其中，Cmn為常系數方形球面鏡共焦腔的方式方形球面鏡共焦腔的方式，）（階厄米多項式為21

7、0 )2()!2( !) 1( 1 )( )( 20222mXkmkmedXdeXHmXHmkkmkXmmXmmm厄米多項式厄米多項式方形球面鏡共焦腔自再現模的特征方形球面鏡共焦腔自再現模的特征 鏡面上場的振幅分布鏡面上場的振幅分布 ),( 1,(X)H0,nm /0000022LyxeCyxv得出基模的場分布函數因為取處在離中心的距離為 / 22Lyxr場的振幅下降到中心值的場的振幅下降到中心值的1/e的光斑半徑為共焦腔基模在鏡面上定義/ 0Ls方形球面鏡共焦腔自再現模的特征方形球面鏡共焦腔自再現模的特征 舉例mm25. 0m6328. 0cm30NeHemm84. 1m6 .10m1CO0

8、02ssLL，激光器：，激光器：方形球面鏡共焦腔自再現模的特征方形球面鏡共焦腔自再現模的特征 2022220, 00, 00, 00, 0syxecEEI鏡面上的光強分布鏡面上的光強分布22222222) 22) 01011010ososyxosyxosmnyeC(x,yvxeC(x,yvTEM的振幅分布同樣可得出高階橫模的高階橫模高階橫模22222224) )224() 111122020ososyxosyxosxexyC(x,yvxexC(x,yvXXX10XHXXH212422XXHXHmXXX2Xe22)(eHEmXXX高階橫模高階橫模2 : EI 光強XXX厄米高斯光束厄米高斯光束

9、a厄米多項式的零點決議了場的節線； b厄米多項式的正負交替的變化與高斯函數隨x,y增大而單調下降的特性，決議了場分布的外形輪廓 由于m階厄米多項式有m個零點，因此模沿x方向有m條節線，沿y方向有n條節線。 mnTEM高階橫模高階橫模-厄米高斯光束厄米高斯光束12 , 12 00nmsnssms斑半徑：鏡面上的高階橫模的光高階橫模高階橫模-厄米高斯光束厄米高斯光束鏡面上場的相位分布由自再現模的幅角argvmn(x,y)決議由于長橢球函數是實函數，所以argvmn(x,y)=0，各點場的相位一樣，共焦腔反射鏡本身構成場的一個等相位面。鏡面上場的相位分布鏡面上場的相位分布 利用自在現的概念了解！利用

10、自在現的概念了解！21010210102221141 1121 1 11 c,Rc,NRc,Rc,Rc TEM)(n)(m)(n)(mnmmnmnmn模的單程功率損耗為：共焦腔自再現模單程損耗單程損耗 的增加而迅速的下降；隨，單值地由菲涅耳數確定而的具體幾何尺寸無關，）共焦腔模的損耗與腔的損耗大得多；腔模面腔模的損耗又比共焦現模的損耗大得多；平衍射損耗比平面腔自再均勻平面波的夫瑯和費Nmn 2 ) 1 增大。的增高而迅速隨相同時，不同橫模的） , 3 nmNmn單程損耗單程損耗 arg1arg : nmmnmn 的總相移為共焦腔在腔內一次渡越的整數倍不同橫模的相移之差為：附加相位超前量；幾何相

11、移；：其中2 2) 1( nmkLmn2) 1(nmkL單程相移調和振頻率單程相移調和振頻率 : 22 1 (1)22mnmnqqcqmnL 由諧振條件得諧振頻率為屬于同一橫模的相鄰兩個縱模之間的頻率間隔為 Lcmnqqmnq21而屬于同一縱模的相鄰兩個橫模之間的頻率間隔那么為 qmnq)qnmnqmnq)nqmmLcLc21221212211(1(單程相移調和振頻率單程相移調和振頻率)1)(1(qnm)1()1(qnmqnm)1( nqm)1()1( qmn)(2qmnmnq)1( -qmn單程相移調和振頻率單程相移調和振頻率損損耗耗上上并并不不簡簡并并。頻頻率率上上簡簡并并, ,: :注注

12、# # . , : )1)(3)(1()1()2()1)(2()1)(1(等qnmqnmqnmqnmmnqTEMTEMTEMTEMTEMeg 共焦腔模在頻率上是高度簡并的,(2q+m+n)一樣的一切方式都具有一樣的諧振頻率,都是簡并模。單程相移調和振頻率單程相移調和振頻率方形球面鏡共焦腔的行波場方形球面鏡共焦腔的行波場 調查方形鏡共焦腔中恣意一點的場知鏡面上的場分布菲涅耳基爾霍夫衍射積分腔內恣意點的場 zyxizwyxnmmnmnmnyzwxzwzwwEAzyxE,)(00ee2H2H, 222式中 fznmzfzyxzkzyxfLwLzwfzwzwmnarctg12,221122220202

13、0方形球面鏡共焦腔的行波場方形球面鏡共焦腔的行波場 對比 zyxizwyxnmmnmnmnyzwxzwzwwEAzyxE,)(00ee2H2H, 222行波場行波場腔鏡位置的場分布腔鏡位置的場分布22/22 ( , )()() xyLmnmnmnvx yC Hx Hy eLL 0 /wL 為共焦腔基模在鏡面上的光斑半徑22200022 ( , )()() xywmnmnmnvx yCHx Hy eww電場強度處的模在腔內任一點：其中 ),(TEM),( mnzyxzyxEmn化常數：與模階次有關的歸一：與坐標無關的常量mnAE0為鏡的焦距：共焦腔長2LfL方形球面鏡共焦腔的行波場方形球面鏡共焦

14、腔的行波場 振幅分布振幅分布 方形球面鏡共焦腔行波場的振幅分布為 )(00222e2H2H,zwyxnmmnmnyzwxzwzwwEAzyxE其中基模的振幅分布為 )(000000222e,zwyxzwwEAzyxE 1 22202fzwzw振幅分布振幅分布 0000 1,z0 022 2 :2 sswLwwwLzfLwfw ）在共焦腔中心 即處，光斑最小：（ ）：。）在共焦腔鏡面上，時（）高高斯斯光光束束的的束束腰腰半半徑徑討論討論定義：某一方式在腔內所擴展的空間范圍稱為模體積模體積模體積 對稱共焦腔的基模模體積為 20220222020003232)1 (22)(2sLLwLLdzfzLd

15、zzwV高階模模體積那么為 000200121212123232 VnmwnmLwwLVsnsmsmn舉例舉例共焦腔CO2激光器：L=1m，2a=2cm，=10.6m22cm314 LaV激活介質的體積為22000cm1 . 732 LV基模體積為%26. 2000VV等相位面分布等相位面分布0,0,0,zzyxfznmzfyxzzkzyxmnarctg12,2222代入 022020222220222zRyxzfzyxzfzyxzz拋物面拋物面 20001zfzzR等相位面分布等相位面分布討論討論 00 0010100020000zzzzzzfzzRz時，當，得時，由）當因此，等相面是凹面向著腔中心的球面LfLRLfz22 2 20時，）當此時，等相面與反射鏡面重合 RzRz時，當時，）當 00 300此處，等相面是平面 fzzfzR0200 014，得）由因此，反射鏡是曲率最大的等相面討論討論討論討論 定義：基模遠場發散角是雙曲線的兩根漸近線之間的夾角。 zzz)(2l