1、第一章 緒論姓名 學號 班級 習題主要考察點：有效數字的計算、計算方法的比較選擇、誤差和誤差限的計算。1若誤差限為,那么近似數有幾位有效數字（有效數字的計算）解：，故具有3位有效數字。2 具有4位有效數字的近似值是多少（有效數字的計算）解：，欲使其近似值具有4位有效數字，必需，即即取（ , ）之間的任意數，都具有4位有效數字。3已知，是經過四舍五入后得到的近似值，問，有幾位有效數字（有效數字的計算）解：，而，故至少具有2位有效數字。故至少具有2位有效數字。4設，的相對誤差為，求的誤差和相對誤差（誤差的計算）解：已知，則誤差為 則相對誤差為 5測得某圓柱體高度的值為，底面半徑的值為，已知，求圓柱

2、體體積的絕對誤差限與相對誤差限。（誤差限的計算）解：絕對誤差限為相對誤差限為6設的相對誤差為,求的相對誤差。（函數誤差的計算）解：，7計算球的體積，為了使體積的相對誤差限為，問度量半徑時允許的相對誤差限為多大（函數誤差的計算）解：球體積為，欲使，必須。8設，求證：（1）（2）利用（1）中的公式正向遞推計算時誤差逐步增大；反向遞推計算時誤差逐步減小。（計算方法的比較選擇）解：如果初始誤差為，若是向前遞推，有可見，初始誤差的絕對值被逐步地擴大了。如果是向后遞推，其誤差為可見，初始誤差的絕對值被逐步減少了。第二章 插值法姓名 學號 班級 習題主要考察點：拉格朗日插值法的構造，均差的計算，牛頓插值和埃

3、爾M特插值構造，插值余項的計算和應用。1已知，求的拉氏插值多項式。（拉格朗日插值）解法一（待定系數法）：設，由插值條件，有解得：。故 。解法二（基函數法）：由插值條件，有2已知，用線性插值求的近似值。（拉格朗日線性插值）解：由插值節點與被插函數，可知，其線性插值函數為的近似值為。3若為互異節點，且有試證明。（拉格朗日插值基函數的性質）解：考慮輔助函數，其中，。是次數不超過的多項式，在節點（）處，有這表明，有n+1個互異實根。故，從而對于任意的均成立。4已知，用拋物線插值計算的值并估計截斷誤差。（拉格朗日二次插值）解：由插值條件，其拋物線插值函數為將代入，計算可得：。其余項為： 其中，故誤差的上

4、界為：。5用余弦函數在，三個節點處的值，寫出二次拉格朗日插值多項式, 并近似計算及其絕對誤差與相對誤差，且與誤差余項估計值比較。（拉格朗日二次插值）解：由插值條件，二次拉格朗日插值多項式為絕對誤差為：相對誤差為：余項為：，其中，其余項的上界為：比較可知，實際計算所得的絕對誤差較余項公式所估計出的值要小一些。6已知函數值，求函數的四階均差和二階均差。（均差的計算）解：采用列表法來計算各階均差，有xy一階均差二階均差三階均差四階均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15從表中可查得：。xy一階均差二階均差48211072/3346186故。其實，根據

5、均差的對稱性，該值在第一個表中就可以查到。7設求之值，其中，而節點互異。（均差的計算）解：由均差可以表示成為函數值的線性組合，有而，故。8如下函數值表012419233建立不超過三次的牛頓插值多項式。（牛頓插值多項式的構造）解：先構造均差表xf(x)一階均差二階均差三階均差0119822314343-10-8-11/4故 。9求一個次數小于等于三次多項式，滿足如下插值條件：，。（插值多項式的構造）解法一（待定系數法）：設，則，由插值條件，有解得：。故 解法二（帶重節點的均差法）：據插值條件，造差商表xy一階差商二階差商三階差商122422431312852故 10構造一個三次多項式，使它滿足條

6、件（埃爾M特插值）。解：設，利用插值條件，有解得：。11設。(1)試求在上的三次埃爾M特插值多項式，使得，以升冪形式給出。(2)寫出余項的表達式。（埃爾M特插值及其余項的計算）。解：，設，解得：，。故 。，其中，。12若，試證明：（插值余項的應用）解：以為插值條件，作線性插值多項式，有其余項為故 。13設求使；又設 ，則估計余項的大小。（插值誤差的估計）解：由插值條件，有解得：從而 其余項為第三章 函數逼近姓名 學號 班級 習題主要考察點：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多項式的構造。1 設，求于上的線性最佳平方逼近多項式。（最佳平方逼近）解：，法方程組為解得：，線性最佳平方逼近多項式為：。2

7、令，且設,求使得為于上的最佳平方逼近多項式。（最佳平方逼近）解：，法方程組為解得：，線性最佳平方逼近多項式為：。3證明：切比雪夫多項式序列在區間上帶權正交。（正交多項式的證明）解：對于，有對于，有故，序列在-1，1上帶權正交。4求矛盾方程組：的最小二乘解。（最小二乘法）解法一：求與，使得達到最小。于是，令即：，其最小二乘解為：。解法二：，記作，該矛盾方程組的最小二乘解，應滿足以下方程組，即解之，得。5已知一組實驗數據23454689試用直線擬合這組數據. (計算過程保留3位小數)。（最小二乘線性逼近）解：作矩陣，法方程為即解得：，。其直線擬合函數為。6用最小二乘原理求一個形如的經驗公式,使與下

8、列數據相擬合.19253138 441949（最小二乘二次逼近）解：等價于對數據表361625961144419361949作線性擬合。其法方程組為：解得：，故經驗公式為。第四章 數值積分姓名 學號 班級 習題主要考察點：代數精度的計算，構造插值型求積公式（梯形，辛甫生公式），復化求積的計算，高斯公式的構造。1給定求積公式試確定使它的代數精度盡可能高。（代數精度的應用和計算）解：分別取，使上述數值積分公式準確成立，有；解得：。故求積公式為。再取，左邊=，右邊=再取，左邊=，右邊=此求積公式的最高代數精度為3。2 求積公式，試確定系數,及，使該求積公式具有盡可能高的代數精確度，并給出代數精確度的

9、次數。（代數精度的應用和計算）解：分別取，使求積公式準確成立，有解得：。求積公式為。再取，左邊=右邊故該求積公式的最高代數精度為2。3數值積分公式，是否為插值型求積公式，為什么又該公式的代數精確度為多少（插值型求積公式特征）解：令，故代數精度為1。由于求積節點個數為2，代數精度達到1次，故它是插值型的求積公式。4如果，證明用梯形公式計算積分所得到的結果比準確值大，并說明其幾何意義。（梯形求積）解：梯形求積公式是由過點，的線性插值函數在a,b上的定積分。注意到：在區間a,b上，而，有從而。其幾何意義可作以下解釋：在區間a,b上，故曲線下凹，直線位于曲線之上，因此，曲邊梯形的面積小于梯形面積。5用

10、的復化梯形公式計算積分，并估計誤差。（復化梯形求積）解：，取求積節點為因，則誤差大約為：。6設,則用復化辛甫生公式計算，若有常數使，則估計復化辛甫生公式的整體截斷誤差限。（復化辛甫生公式）解：7已知高斯求積公式 將區間0,1二等分，用復化高斯求積法求定積分的近似值。（高斯公式）解：對于作變量換，有對于作變量換，有8試確定常數A，B，C和，使得數值積分公式有盡可能高的代數精度。試問所得的數值積分公式代數精度是多少它是否為高斯型的（代數精度的應用和計算，高斯點的特征）解：分別取，使上述數值積分公式準確成立，有；整理得：解得：。數值求積公式為再取，左邊=，右邊=再取，左邊=，右邊=可見，該數值求積公

11、式的最高代數精度為5。由于該公式中的節點個數為3，其代數精度達到了次，故它是高斯型的。9設是0,1區間上帶權的最高次冪項系數為1的正交多項式系（1）求。（2）構造如下的高斯型求積公式。（高斯求積）解（1）：采用施密特正交化方法，來構造帶權且在0，1上正交的多項式序列取，設，且它與在0，1上帶權正交，于是，故。設，且它與、在0，1上帶權正交，于是，解（2）：的零點為：。設分別取，使上述求積公式準確成立，有，即解得：，。高斯型求積公式為第五章 非線性方程求根姓名 學號 班級 習題主要考察點：二分法、迭代法、牛頓法和弦截法求根，迭代法求根的收斂性和收斂速度的討論。1用二分法求方程的正根，要求誤差小于

12、。（二分法）解：，在0，2連續，故0，2為函數的有根區間。（1）計算，故有根區間為1，2。（2）計算，故有根區間為。（3）計算，故有根區間為。（4）計算，故有根區間為。（5）計算，故有根區間為。（6）計算，故有根區間為。（7）計算，故有根區間為。（8）若取中點作為取根的近似值，其誤差小于取近似根，可滿足精度要求。2說明方程 在區間1，2內有惟一根，并選用適當的迭代法求（精確至3位有效數），并說明所用的迭代格式是收斂的。（迭代法）解：，故函數單調增加，因此，該方程在（1，2）之間存在著惟一的實根。取迭代函數顯然，且故迭代 （）對任意初始值收斂。對于初值，其迭代值分別為，由于，故作為近似值，已精確

13、到了3位有效數字。3設有解方程的迭代法 (1)證明均有（為方程的根）。(2)此迭代法的收斂階是多少，證明你的結論。 (3) 取用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過，列出各次迭代值。（和收斂性討論）解(1)：，（），故該迭代對任意初值均收斂于方程的根。解(2)：由，故有。，故該迭代的收斂速度是1階的。解(3):取，代入迭代式，可計算出以下結果：，由于，取可滿足精度要求。4設，試證明：由 ，得到的序列收斂于。（收斂性證明）證明：由知，方程有根。由，當時，有，即序列收斂于。5 設方程在0,1內的根為，若采用迭代公式，試證明：均有為方程的根)；此迭代的收斂階是多少，證明你的結論。（迭代法和收斂性討論

14、）解：迭代函數，當故迭代在區間上整體收斂。設，則，且故 故該迭代的收斂速度為1階的。6 方程在附近有根，把方程寫成3種不同的等價形式：(1) ，對應迭代格式：(2) ，對應迭代格式：(3) ，對應迭代格式：討論這些迭代格式在時的收斂性。若迭代收斂，試估計其收斂速度，選一種收斂格式計算出附近的根到4位有效數字。（收斂速度的計算和比較）解：，故方程在上有根。，故方程在上有根。，故方程在上有根。對于迭代式（1）：，而，故該迭代局部收斂，且收斂速度為1階的。對于迭代式（2）：在上，又，故該迭代在上整體收斂，且收斂速度為一階的。對于迭代式（3）：在1，2上的值域為，該迭代式不收斂。取迭代式，進行計算，其

15、結果如下：，取為近似值具有4位有效數字。7設(1) 寫出解的牛頓迭代格式；(2) 證明此迭代格式是線性收斂的。（牛頓迭代的構造與收斂速度）解：牛頓迭代式為 ，方程的根為，因，故迭代局部收斂。又因，故迭代收斂速度為1階。8 設計一個計算的牛頓迭代法，且不用除法（其中）。（牛頓迭代法）解：考慮方程，而，該迭代局部收斂。9 用牛頓法求的近似值，取或11為初始值，計算過程保留4位小數。（牛頓迭代的構造）解：考慮方程，取為初始值，計算其迭代值如下：，取為初始值，計算其迭代值如下：，10設是非線性方程的m重根，試證明：迭代法具有至少2階的收斂速度。（收斂速度證明）解：設是非線性方程的m重根，則，且及，其牛

16、頓迭代函數為牛頓迭代式故該迭代的收斂速度至少是2階的。11設是非線性方程的m重根，證明：用牛頓迭代法求只是線性收斂。（收斂速度證明）解：設是非線性方程的m重根，則，且及，其牛頓迭代函數為牛頓迭代式故收斂速度為1階的。12設，在附近有直到階的連續導數，且，試證：迭代法在附近是階收斂的。  （收斂速度證明）解：將在點附近作泰勒展式，有，其中，在與之間。于是： ，其中，在與之間。由于，故，從而。因此，迭代的收斂速度為p。第六章 常微分方程數值解姓名 學號 班級 習題主要考察點：歐拉方法的構造，單步法的收斂性和穩定性的討論，線性多步法中亞當姆斯方法的構造和討論。1 用改進的歐拉公式

17、，求以下微分方程的數值解（取步長），并與精確解作比較。（改進的尤拉公式的應用）解：原方程可轉化為 ，令，有解此一階線性微分方程，可得 。利用以下公式求在節點處的數值解，其中，初值為。MATLAB程序如下：x(1)=0。%初值節點y(1)=1。%初值fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%fn',1,x(1),1,y(1),1,y(1)。for i=1:5 yp=y(i)+*(y(i)-2*x(i)/y(i)。%預報值 yc=y(i)+*(yp-2*x(i)/yp)。%校正值 y(i+1)=(yp+yc)/2。%改進值 x(i+1)=x(i)+。%節

18、點值 yy(i+1)=sqrt(2*x(i+1)+1)。%精確解fprintf('x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%fn',i+1,x(i+1),i+1,y(i+1),i+1,yy(i+1)。end程序運行的結果如下：x(1)=, y(1)=, yy(1)=x(2)=, y(2)=, yy(2)=x(3)=, y(3)=, yy(3)=x(4)=, y(4)=, yy(4)=x(5)=, y(5)=, yy(5)=x(6)=, y(6)=, yy(6)=2用四階龍格庫塔法求解初值問題，取, 求時的數值解. 要求寫出由直接計算的迭代公式，計算過程保留3位小數。（

19、龍格庫塔方法的應用）解：四階龍格-庫塔經典公式為由于，在各點的斜率預報值分別為：四階經典公式可改寫成以下直接的形式：在處，有在處，有注：這兩個近似值與精確解在這兩點的精確值十分接近。3 用梯形方法解初值問題證明其近似解為并證明當時，它收斂于原初值問題的準確解。解：顯然，是原初值問題的準確解。求解一般微分方程初值問題的梯形公式的形式為對于該初值問題，其梯形公式的具體形式為，于是：亦即：注意到：，令，有從而 即：當時，收斂于原初值問題的準確解。4對于初值問題，證明當時，歐拉公式絕對穩定。（顯式和隱式歐拉公式的穩定性討論）證明：顯式的歐拉公式為從而，由于，因此，顯式歐拉公式絕對穩定。隱式的歐拉公式為

20、，由于，因此，隱式的歐拉公式也是絕對穩定的。5證明：梯形公式無條件穩定。（梯形公式的穩定性討論）解：對于微分方程初值問題其隱式的梯形公式的具體形式可表示為，從而由，可知，故隱式的梯形公式無條件穩定。6設有常微分方程的初值問題，試用泰勒展開法，構造線性兩步法數值計算公式，使其具有二階精度，并推導其局部截斷誤差主項。（局部截斷誤差和主項的計算）解：假設，利用泰勒展式，有又 欲使其具有盡可能高的局部截斷誤差，必須，從而 ，于是數值計算公式為 。該數值計算公式的局部截斷誤差的主項為7已知初值問題取步長，利用阿當姆斯公式，求此微分方程在0，10上的數值解，求此公式的局部截斷誤差的首項。（阿當姆斯公式的應

21、用）解：假設，利用泰勒展開，有，而該阿當姆斯兩步公式具有2階精度，其局部截斷誤差的主項為。取步長，節點（），注意到，其計算公式可改寫為僅需取一個初值，可實現這一公式的實際計算。其MATLAB下的程序如下：x0=0。%初值節點y0=0。%初值for n=0:99 y1=y0+*n+。 x1=x0+。 fprintf('x(%3d)=%10.8f,y(%3d)=%10.8fn',n+1,x1,n+1,y1)。 x0=x1。 y0=y1。end運行結果如下：x( 1)=0.,y(1)=x( 2)=0.,y( 2)=x( 3)=0.,y( 3)=x( 4)=0.,y( 4)=0.x(

22、5)=0.,y( 5)=0.x( 6)=0.,y( 6)=0.x( 7)=0.,y( 7)=0.x( 8)=0.,y( 8)=0.x( 9)=0.,y( 9)=0.x( 10)=,y( 10)=x( 11)=1.,y( 11)=1.x( 12)=1.,y( 12)=1.x( 13)=1.,y( 13)=1.x( 14)=1.,y( 14)=1.x( 15)=1.,y( 15)=2.x( 16)=1.,y( 16)=2.x( 17)=1.,y( 17)=2.x( 18)=1.,y( 18)=3.x( 19)=1.,y( 19)=3.x( 20)=,y( 20)=x( 21)=2.,y( 21)=

23、4.x( 22)=2.,y( 22)=4.x( 23)=2.,y( 23)=5.x( 24)=2.,y( 24)=5.x( 25)=2.,y( 25)=6.x( 26)=2.,y( 26)=6.x( 27)=2.,y( 27)=7.x( 28)=2.,y( 28)=7.x( 29)=2.,y( 29)=8.x( 30)=,y( 30)=x( 31)=3.,y( 31)=9.x( 32)=3.,y( 32)=10.x( 33)=3.,y( 33)=10.x( 34)=3.,y( 34)=11.x( 35)=3.,y( 35)=12.x( 36)=3.,y( 36)=12.x( 37)=3.,y(

24、 37)=13.x( 38)=3.,y( 38)=14.x( 39)=3.,y( 39)=15.x( 40)=,y( 40)=x( 41)=4.,y( 41)=16.x( 42)=4.,y( 42)=17.x( 43)=4.,y( 43)=18.x( 44)=4.,y( 44)=19.x( 45)=4.,y( 45)=20.x( 46)=4.,y( 46)=21.x( 47)=4.,y( 47)=x( 48)=4.,y( 48)=x( 49)=4.,y( 49)=x( 50)=,y( 50)=x( 51)=5.,y( 51)=x( 52)=5.,y( 52)=x( 53)=5.,y( 53)=

25、x( 54)=5.,y( 54)=29.x( 55)=5.,y( 55)=30.x( 56)=5.,y( 56)=31.x( 57)=5.,y( 57)=32.x( 58)=5.,y( 58)=33.x( 59)=5.,y( 59)=34.x( 60)=,y( 60)=x( 61)=6.,y( 61)=37.x( 62)=6.,y( 62)=38.x( 63)=6.,y( 63)=39.x( 64)=6.,y( 64)=40.x( 65)=6.,y( 65)=42.x( 66)=6.,y( 66)=43.x( 67)=6.,y( 67)=44.x( 68)=6.,y( 68)=46.x( 69

26、)=6.,y( 69)=47.x( 70)=,y( 70)=x( 71)=7.,y( 71)=50.x( 72)=7.,y( 72)=51.x( 73)=7.,y( 73)=53.x( 74)=7.,y( 74)=54.x( 75)=7.,y( 75)=56.x( 76)=7.,y( 76)=57.x( 77)=7.,y( 77)=59.x( 78)=7.,y( 78)=60.x( 79)=7.,y( 79)=62.x( 80)=,y( 80)=x( 81)=8.,y( 81)=65.x( 82)=8.,y( 82)=67.x( 83)=8.,y( 83)=68.x( 84)=8.,y( 84

27、)=70.x( 85)=8.,y( 85)=72.x( 86)=8.,y( 86)=73.x( 87)=8.,y( 87)=75.x( 88)=8.,y( 88)=77.x( 89)=8.,y( 89)=79.x( 90)=,y( 90)=x( 91)=9.,y( 91)=82.x( 92)=9.,y( 92)=84.x( 93)=9.,y( 93)=86.x( 94)=9.,y( 94)=88.x( 95)=9.,y( 95)=90.x( 96)=9.,y( 96)=92.x( 97)=9.,y( 97)=x( 98)=9.,y( 98)=x( 99)=9.,y( 99)=x(100)=,y

28、(100)=第七章 線性方程組的迭代解法姓名 學號 班級 習題主要考察點：雅可比、高斯-塞德爾迭代法解線性方程組，及其收斂性討論。1證明：迭代格式收斂，其中。（迭代法收斂性判斷）解：因，故迭代收斂。2若用雅可比迭代法求解方程組迭代收斂的充要條件是。（雅可比迭代法的收斂性）解：原線性方程組的等價方程組為其雅可比迭代式為其收斂的充要條件是，即。3 用雅可比、高斯-塞德爾迭代法，求解方程組是否收斂為什么若將方程組改變成為再用上述兩種迭代法求解是否收斂為什么（雅可比、高斯-塞德爾迭代法的收斂性）解：雅可比迭代式為其，故雅可比迭代發散。高斯-塞德爾迭代式為其，故高斯-塞德爾迭代發散。對于線性方程組，即，

29、其雅可比迭代為，其，故雅可比迭代收斂。，其，故高斯-塞德爾迭代收斂。4證明解線性方程組的雅可比迭代收斂，其中。（雅可比迭代收斂性判斷）解：雅可比迭代為，其，故雅可比迭代收斂。5已知方程組，其中，(1)試討論用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法求解此方程組的收斂性。(2) 若有迭代公式，試確定的取值范圍，使該迭代公式收斂。（雅可比迭代法、高斯-塞德爾迭代法和一般迭代法的收斂性討論）解：雅可比迭代式為其，故雅可比迭代收斂。高斯-塞德爾迭代式為其，故高斯-塞德爾迭代收斂。對于以下迭代式故的特征值為，。當，同時滿足，即，同時滿足時，亦即，時，有從而迭代收斂。6給出矩陣，（為實數），試分別求出的取值范圍：

30、(1) 使得用雅可比迭代法解方程組時收斂；(2) 使得用高斯-塞德爾迭代法解方程組時收斂。（雅可比、高斯-塞德爾迭代法及收斂性討論）解：雅可比迭代為當時，使雅可比迭代收斂。高斯-塞德爾迭代為仍然是當時，使高斯-塞德爾迭代收斂。7設，(1) 設是由雅可比迭代求解方程組所產生的迭代向量，且，試寫出計算的精確表達式。(2) 設是的精確解，寫出誤差的精確表達式。(3) 如構造如下的迭代公式解方程組，試確定的范圍，使迭代收斂。（雅可比迭代及其收斂判斷）解：原線性方程組等價于，其雅可比迭代為將上述迭代式記作，從而而，若記，則，于是，當為偶數時，當為奇數時，總之，。的特征多項式為，故其特征值為1，3。對于迭代其迭代矩陣為，其