1、第三節第三節 隱函數的導數和由參隱函數的導數和由參數方程確定的函數的導數數方程確定的函數的導數 一、隱函數的導數一、隱函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數三、相關變化率三、相關變化率 一、隱函數的導數一、隱函數的導數定義：定義：若由方程若由方程 F(x,y)=0 可確定可確定 y 是是 x 的函數的函數 , ,則稱此函數為則稱此函數為隱函數隱函數. . 由由 y=f (x) 表示表示的函數的函數稱為稱為顯函數顯函數. . 0),( yxF)(xfy 隱函數的顯化隱函數的顯化問題問題:隱函數不易顯化或不能顯化如何求導隱函數不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數求導法

2、則隱函數求導法則: :用用復合函數復合函數求導法則直接對方程兩邊求導求導法則直接對方程兩邊求導.隱函數隱函數求導方法求導方法: : 0),( yxF0),(dd yxFx兩邊對兩邊對 x 求導求導( (把把 y看成是看成是x 的函數的函數) )（得到一個含導數（得到一個含導數 y 的方程的方程) )例例1 1.dd,dd)(00 xyxxyxyxyyeexy的導數的導數所確定的隱函數所確定的隱函數求由方程求由方程解解得得求求導導方方程程兩兩邊邊對對,x,0dddd xyeexyxyyx解得解得,ddyxexyexy ,0,0 yx由原方程知由原方程知000dd yxyxxexyexy. 1 例

3、例2 2.dd)(sin1xyxyyyxy的導數的導數所確定的隱函數所確定的隱函數求由方程求由方程 解解得得求求導導方方程程兩兩邊邊對對,x,cossinyyxyy 解得解得.cos1sinyxyy 注意：注意：隱函數的導數的表達式中一般同時含有變量隱函數的導數的表達式中一般同時含有變量 x 和和 y .例例3 3.,)23,23(,333線線通通過過原原點點在在該該點點的的法法并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程點點上上求求過過的的方方程程為為設設曲曲線線CCxyyxC 解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對 xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所

4、求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點顯然通過原點.例例4 4.)1 , 0(,144處的值處的值在點在點求求設設yyxyx 解解求導得求導得方程兩邊對方程兩邊對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy二、對數求導法二、對數求導法觀察函數觀察函數3sin2(1) 1,.(4)xxxxyyxxe對數求導法對數求導法:先在方程兩邊取對數先在方程兩邊取對數, 然后利用隱函數的求導然后利用隱函數的求導方法求出導數方法求出導數.適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數數多個函數相乘

5、和冪指函多個函數相乘和冪指函xvxu有些函數用對數求導法求導很方便有些函數用對數求導法求導很方便 . .例例1 1解解.142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設設例例2 2解解.ln xbxabaaxxbbaybax等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得lnlnlnlnlnlnaxbxbabaxy 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 xxbxabayy ln., )1,0,0(ybabaax

6、xbbaybax 求求設設對冪指函數對冪指函數 求導也可用對數求導法求導也可用對數求導法.)()(xvxuy 解解例例3 3.),0(sinyxxyx 求求設設等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得xxylnsinln 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 xxxxxyy1sinlncos )1sinln(cosxxxxyy . )sinln(cossinxxxxxx 例例4 4.,)(sin)(cosyxyyx 求求設設解解等式兩邊取對數得等式兩邊取對數得)ln(sin)ln(cosxyyx 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 xxyxyyyxycot)ln(sintan)ln(cos .tan)ln(

7、sincot)ln(cosyxxxyyy 三、由參數方程所確定的函數的導數三、由參數方程所確定的函數的導數.,)()(則稱此函數為則稱此函數為間的函數關系間的函數關系與與確定確定若參數方程若參數方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數消去參數 t問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導?由參數方程所確定的函數, )()(1xttx 具有單調連續的反函數具有單調連續的反函數設函數設函數)(1xy ,0)(,)(, )( ttytx 且且都可導都可導再設函數再設函數由復合函數及反函數的求導法則得由復合函數及反函數的求

8、導法則得xttyxydddddd )()(tt )()(ddddddtttxtyxy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 例例1 1解解33cossin( ).()xatyatyy x求由方程所確定的函數的一階導數星心線txtyxydddddd )sin(cos3cossin322ttatta ttan 例例2 2解解.2)cos1()sin(處的切線方程處的切線方程在在求擺線求擺線 ttayttax.),12(,2ayaxt 時時當當txtyxydddddd ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2dd txy. 1 故所求切線方程為故所求切線方程為)12( a

9、xay)22( axy即即解解： txddye tydd0dd txy例例： 方程組兩邊同時對方程組兩邊同時對 t 求導求導, 得得26 ttydd tsin 0dd-cos tyteyteteyysin1cos txtydddd 0)26)(sin1(cos tyyttete2e 0 t, 求求 01sin232ytettxy.dd0 txy設設例例3 3解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮彈彈在在時時刻刻的的運運動動方方向向炮炮彈彈在在時時刻刻求求其其運運動動方方程程為為發發射射炮炮彈彈發發射射角角以以初初速速度度不不計計空空氣氣的的阻阻力力ttg

10、ttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時刻的切線方向時刻的切線方向軌跡在軌跡在時刻的運動方向即時刻的運動方向即在在tt)cos()21sin(dd020 tvgttvxy cossin00vgtv .cossindd0000 vgtvxytt 0(2),tx y炮彈在 時刻沿軸方向的分速度大小為00)cos(dd0ttttxtvtxv cos0v 00)21sin(dd20ttttygttvtyv 00singtv 0t在 時刻炮彈的速度大小為22yxvvv 2020020sin2tggtvv 四、相關變化率四、相關變化率相關變化率問題相關

11、變化率問題: :研究兩個變化率之間的關系，以便已知其中一個研究兩個變化率之間的關系，以便已知其中一個變化率時求出另一個變化率變化率時求出另一個變化率 .,dddd,)()(的變化率稱為的變化率稱為這樣兩個相互依賴這樣兩個相互依賴之間也存在一定關系之間也存在一定關系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種關系之間存在某種關系與與而變量而變量都是可導函數都是可導函數及及設設tytxyxtyytxx 相關變化率相關變化率相關變化率問題解法相關變化率問題解法: :找出相關變量的關系式找出相關變量的關系式對對 t 求導求導得相關變化率之間的關系式得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率求出未

12、知的相關變化率500h解解則則弧弧度度觀觀察察員員視視線線的的仰仰角角為為米米其其高高度度為為秒秒后后設設氣氣球球上上升升,)(,)(,ttht 500tanh 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對tthtdd5001ddsec2 ,/140dd秒秒米米 th2sec,1tan,5002 米時米時當當h. )/(14. 0dd秒秒弧度弧度 t 仰角增加率仰角增加率例例1 1?,500./140,500率率是是多多少少觀觀察察員員視視線線的的仰仰角角增增加加時時米米當當氣氣球球高高度度為為秒秒米米其其速速率率為為上上升升米米處處離離地地面面鉛鉛直直一一汽汽球球從從離離開開觀觀察察員員思考題思考題:

13、當氣球升至當氣球升至500 m 時停住時停住 , 有一物體以有一物體以100 ms 的速率朝氣球出發點前進的速率朝氣球出發點前進, 當距離為當距離為500 m 時時, 仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500對對 t 求導求導 2sectdd txxdd5002 已知已知100,m /ddxstd. (0.1)dtx500,m500 x求求試求當容器內水試求當容器內水Rhxhr例例2. 有一底半徑為有一底半徑為 R cm , 高為高為 h cm 的圓錐容器的圓錐容器 ,今以今以 自頂部向容器內注水自頂部向容器內注水 ,scm253位等于錐高的一半時水面上升的速度位等于

14、錐高的一半時水面上升的速度.解解: 設時刻設時刻 t 容器內水面高度為容器內水面高度為 x ,水的水的VhR231 )(231xhr xrh)(33322xhhhR 上式兩邊對上式兩邊對 t 求導，得求導，得tVdd22hR 2)(xh ,ddtx 而而,)(25222xhRh ,2時時當當hx hxhRr故故 txdd) scm(25dd3 tV) scm(100dd2Rtx 體積為體積為 V , 則則R練習練習： 設溶液自深設溶液自深18cm，頂直徑，頂直徑12cm的圓錐形的圓錐形漏斗中漏入一直徑為漏斗中漏入一直徑為10cm的圓柱形桶中，開始時的圓柱形桶中，開始時漏斗中盛滿了溶液，已知當溶

15、液在漏斗中深為漏斗中盛滿了溶液，已知當溶液在漏斗中深為12cm時，其液面下降的速率為時，其液面下降的速率為1cm/min，問此時，問此時圓柱形桶中液面上升的速率為多少圓柱形桶中液面上升的速率為多少 ? 設時刻t液面高度h=h(t),圓柱形桶高H=H(t)。 2223335618.12,( )1,( )0.64.hhHVhh tH t 得例例3 3解解?,20,120,4000,/803水面每小時上升幾米水面每小時上升幾米米時米時問水深問水深的水槽的水槽頂角為頂角為米米形狀是長為形狀是長為水庫水庫秒的體流量流入水庫中秒的體流量流入水庫中米米河水以河水以則則米米水庫內水量為水庫內水量為米米水深為水

16、深為設時刻設時刻,)(,)(3tVtht234000)(htV 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對tthhtVdd38000dd ,/28800dd3小時小時米米 tVd9/d50 3ht米 小時水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米時米時當當 h五、小結五、小結隱函數求導法則隱函數求導法則: : 直接對方程兩邊求導；直接對方程兩邊求導；對數求導法對數求導法: : 對方程兩邊取對數對方程兩邊取對數, ,按隱函數的求按隱函數的求導法則求導；導法則求導；參數方程求導參數方程求導: : 實質上是利用復合函數求導法則；實質上是利用復合函數求導法則；相關變化率相關變化率: : 通過函數關系確

17、定兩個相互依賴的通過函數關系確定兩個相互依賴的變化率變化率; ; 解法解法: : 通過建立兩者之間的關系通過建立兩者之間的關系, , 用鏈用鏈式求導法求解式求導法求解. .一、一、 填空題：填空題：1 1、 設設01552223 yxyyxx確定了確定了y是是x的函的函數，則數，則)1 , 1(dxdy=_=_， 22dxyd_._.2 2、 曲線曲線733 xyyx在點在點（1 1，2 2）處的切線方程）處的切線方程是是_._.3 3、 曲線曲線 ttyttxsincos在在2 t處的法線方程處的法線方程_._.4 4、 已知已知 teytexttsincos, ,則則dxdy=_=_；3

18、tdxdy=_.=_.5 5、 設設yxexy , ,則則dxdy=_.=_.練練 習習 題題二二、 求求下下列列方方程程所所確確定定的的隱隱函函數數 y y 的的二二階階導導數數22dxyd：1 1、 yxey 1；2 2、 )tan(yxy ；3 3、 yxxy )00( yx，. .三三、 用用對對數數求求導導法法則則求求下下列列函函數數的的導導數數：1 1、 2xxy ；2 2、 54)1()3(2 xxxy；3 3、 xexxy 1sin. .四、四、 求下列參數方程所確定的函數的二階導數求下列參數方程所確定的函數的二階導數22dxyd：1 1、 tbytaxsincos ；2 2、 )()()(tftf tytfx 設設)(tf 存在且不為零存在且不為零 . .五、五、 求由參數方程求由參數方程 ttytxarctan)1ln(2所確定的函數的所確定的函數的 三階導數三階導數33dxyd . .六、設六、設)(xf滿足滿足xxfxf3)1(2)( ，求，求)(xf . .七、七、 在中午十二點正甲船的在中午十二點正甲船的 6 6 公里公里/ /小時的速率向東行小時的速率向東行駛，乙船在甲