1、l2.1 基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論l2.2 衍射的角譜理論衍射的角譜理論l2.3 菲波耳衍射和夫瑯禾費衍射菲波耳衍射和夫瑯禾費衍射l2.4 透鏡的傅里葉變換性質透鏡的傅里葉變換性質l 索末菲把衍射定義為，不能用反射或折射索末菲把衍射定義為，不能用反射或折射來解釋的光線對直線光路的任何偏離。來解釋的光線對直線光路的任何偏離。l 衍射是光傳播過程中的普遍屬性，是光具衍射是光傳播過程中的普遍屬性，是光具有波動性的表現有波動性的表現l 光波是矢量波，要精確解決衍射問題，必光波是矢量波，要精確解決衍射問題，必須考慮光波的矢量性，但是用矢量被方法求須考慮光波的矢量性，但是用矢量被方法求解衍射問題很

2、復雜解衍射問題很復雜l l 基爾霍夫的標量衍射理論的主要簡化和近基爾霍夫的標量衍射理論的主要簡化和近似，是把光作為標量來處理，也就是只考慮電似，是把光作為標量來處理，也就是只考慮電磁場的一個橫向分量的復振幅，并假定任何別磁場的一個橫向分量的復振幅，并假定任何別的分量可以用同樣的方法獨立處理而實際上的分量可以用同樣的方法獨立處理而實際上電磁場矢量的各個分量是通過麥克期韋方程聯電磁場矢量的各個分量是通過麥克期韋方程聯系在一起的，不能獨立處理系在一起的，不能獨立處理l 研究表明，只要滿足兩個條件，即衍射孔研究表明，只要滿足兩個條件，即衍射孔徑比波長大得多，觀察點離衍射孔徑不要太近，徑比波長大得多，觀

3、察點離衍射孔徑不要太近，標量理論可以得到滿意的結果標量理論可以得到滿意的結果l 對于我們討論的大多數問題，這兩個條對于我們討論的大多數問題，這兩個條件是能夠滿足的當然也確實存在一些很有件是能夠滿足的當然也確實存在一些很有實際意義的情況，實際意義的情況， 不能滿足以上兩個條件，不能滿足以上兩個條件，這就必須把光場作為矢量場來考慮，才能得這就必須把光場作為矢量場來考慮，才能得到準確的結果到準確的結果l 例如在研究高分辨率光柵時，發現衍射場例如在研究高分辨率光柵時，發現衍射場的能量分布與光的偏振狀態密切相關的能量分布與光的偏振狀態密切相關 l 本章以基爾霍夫衍射公式討論衍射問題，本章以基爾霍夫衍射公

4、式討論衍射問題，l 利用線性系統理論賦予新的解釋利用線性系統理論賦予新的解釋l 把衍射過程看做把衍射過程看做個線性不變系統，討個線性不變系統，討論其脈沖響應和傳遞函數論其脈沖響應和傳遞函數l2.1.1 惠更斯菲涅耳原理與基爾霍夫衍射公式l 惠更斯惠更斯菲涅耳原理是在惠更斯子波假設菲涅耳原理是在惠更斯子波假設與楊氏干涉原理的基礎上提出的，它是描述與楊氏干涉原理的基礎上提出的，它是描述光傳播過程的基本原理光傳播過程的基本原理l 該原理指出：光場中任一給定曲面上的該原理指出：光場中任一給定曲面上的諸面元可以看做是子波源，如果這些子波源諸面元可以看做是子波源，如果這些子波源是相干的，則在波繼續傳播的空

5、間上任一點是相干的，則在波繼續傳播的空間上任一點處的光振動，都可看做是這些子波源各自發處的光振動，都可看做是這些子波源各自發出的子波在該點相干疊加的結果出的子波在該點相干疊加的結果l 當然，這里所說的光場中任一給定曲面當然，這里所說的光場中任一給定曲面無須是等位相面，即不是原始惠更斯無須是等位相面，即不是原始惠更斯菲涅菲涅耳原理中所說的波面耳原理中所說的波面l 經典理論證明，在真空或各向同性、均經典理論證明，在真空或各向同性、均勻、透明、無源介質中自由傳播的單色光波，勻、透明、無源介質中自由傳播的單色光波，惠更斯惠更斯菲涅耳原理的數學表達式是：菲涅耳原理的數學表達式是：l 利用惠更斯利用惠更斯

6、菲涅耳原理計算一些簡單菲涅耳原理計算一些簡單孔徑的衍射圖樣的強度分布，可以得到符合孔徑的衍射圖樣的強度分布，可以得到符合實際的結果實際的結果l 但是由于它是建立在次波源的假設之上但是由于它是建立在次波源的假設之上的，缺乏嚴格的理論根據。為了符合實際，的，缺乏嚴格的理論根據。為了符合實際，必須假設子波源的振動相位比實際光波在該必須假設子波源的振動相位比實際光波在該點的相位超前小點的相位超前小 /2，即常數，即常數c中應包含因子中應包含因子l 僅由惠更斯僅由惠更斯菲涅耳原理無法解釋子波菲涅耳原理無法解釋子波源這一特殊性質。源這一特殊性質。l 傾斜因子傾斜因子K( )的具體函數形式也難以確定。的具體

7、函數形式也難以確定。l 基爾霍夫利用格林函數，通過求解波動方基爾霍夫利用格林函數，通過求解波動方程，導出了嚴格的衍射積分公式，解決了上程，導出了嚴格的衍射積分公式，解決了上述問題，述問題， 從而把惠更斯從而把惠更斯菲涅耳原理置于更菲涅耳原理置于更為可靠的波動理論基礎上。為可靠的波動理論基礎上。l l 單色光場中任意一點單色光場中任意一點Q的光振動的光振動M應滿足應滿足標量波動方程標量波動方程l或亥姆霍茲方程?；蚝ツ坊羝澐匠?。l 衍射理論所要解決的問題是：光場中任衍射理論所要解決的問題是：光場中任一點一點Q的復振幅能否用光場中其它各點的復的復振幅能否用光場中其它各點的復振幅表示出來。振幅表示出來

8、。l 例如由孔徑平面上的場分布計算孔徑后例如由孔徑平面上的場分布計算孔徑后面任一點處的復振幅面任一點處的復振幅l 顯然，這是一個根據邊界值求解波動方顯然，這是一個根據邊界值求解波動方程的問題程的問題 l 基爾霍夫利用格林定理這一數學工具，基爾霍夫利用格林定理這一數學工具，通過假定衍射屏的邊界條件，求解波動方程，通過假定衍射屏的邊界條件，求解波動方程，導出了更嚴格的衍射公式，從而把惠更斯導出了更嚴格的衍射公式，從而把惠更斯菲涅耳原理置于更為可靠的波動理論基礎菲涅耳原理置于更為可靠的波動理論基礎上上l 基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式l 如下圖，在單色點如下圖，在單色點l源照明下，平面孔徑源照明下

9、，平面孔徑l后方光場中任一點后方光場中任一點Ql的復振幅為：的復振幅為：l 把上式與惠更斯把上式與惠更斯菲涅耳原理的數學表菲涅耳原理的數學表達式相比較，可以看出二者是一致的。且在達式相比較，可以看出二者是一致的。且在波動理論的基礎上，它進一步得出了常數波動理論的基礎上，它進一步得出了常數c和和傾斜因子傾斜因子K( )的具體值的具體值:l l 雖然這里僅僅是就單個球面波照明孔徑雖然這里僅僅是就單個球面波照明孔徑的情況作出的討論，但衍射公式卻適用于更的情況作出的討論，但衍射公式卻適用于更普遍的任意單色光波照明孔徑的情況普遍的任意單色光波照明孔徑的情況l 因為總可以把任意復雜的光波分解成簡因為總可以

10、把任意復雜的光波分解成簡單的球面波的線性組合波動方程的線性性單的球面波的線性組合波動方程的線性性質允許對每一單個球面波分別應用上述原理，質允許對每一單個球面波分別應用上述原理，再把它們在再把它們在Q點的貢獻更加起來點的貢獻更加起來l 根據基爾霍夫對平面屏幕假設的邊界條根據基爾霍夫對平面屏幕假設的邊界條件，孔徑外的陰影區內件，孔徑外的陰影區內U0(P)=0, 基爾霍夫衍射公式的積分限可以擴展到無窮，從而有的積分限可以擴展到無窮，從而有l l 一般地說，不論以什么方式改變光波波面，一般地說，不論以什么方式改變光波波面， l 或是以一定形式限制波面范圍或是以一定形式限制波面范圍l 或使振幅以一定分布

11、衰減，或使振幅以一定分布衰減，l 或是以一定的空間分布使相位延遲，或是以一定的空間分布使相位延遲，l 或是兼而有之，或是兼而有之，l 都會引起衍射所以障礙物的概念除去不都會引起衍射所以障礙物的概念除去不透明屏上有開孔這種情況以外，還包含具有透明屏上有開孔這種情況以外，還包含具有一定復振幅的透明片一定復振幅的透明片l 把能引起衍射的障礙物統稱為衍射屏把能引起衍射的障礙物統稱為衍射屏l 描寫衍射屏自身宏觀光學性質的是它的描寫衍射屏自身宏觀光學性質的是它的復振幅透過率，用復振幅透過率，用t(x0,y0)表示，它定義為表示，它定義為:l l 有時候也把衍射看做光振動由衍射屏后有時候也把衍射看做光振動由

12、衍射屏后表面到觀察面的自由傳播，用表面到觀察面的自由傳播，用基爾霍夫衍射公式l來描寫這一傳播規律來描寫這一傳播規律l 此時公式中的此時公式中的U0(P)則代表后表面的復振則代表后表面的復振幅分布，衍射屏的透過率特性和照明光源的幅分布，衍射屏的透過率特性和照明光源的情況一起由情況一起由U0(P) 反映反映l令：令：l l 則前式便可重新改寫成則前式便可重新改寫成l上式稱為疊加積分。上式稱為疊加積分。l h(P，Q)：叫脈沖響應或點擴散函：叫脈沖響應或點擴散函數在數在P點有一個單位脈沖在觀察點點有一個單位脈沖在觀察點Q造成的造成的復振幅分布。復振幅分布。 l 疊加積分公式表明：疊加積分公式表明：l

13、 觀察點觀察點Q Q的復振幅的復振幅U(Q)U(Q)，是，是S S上所有面元上所有面元的光振動在的光振動在Q Q 點引起的復振幅的相干疊加點引起的復振幅的相干疊加. .l 如果把衍射過程看作是一種變換，疊加如果把衍射過程看作是一種變換，疊加積分公式積分公式) )便是將函數便是將函數U U0 0(P)(P)變換成變換成U(Q )U(Q )的變的變換式換式l 按照系統的觀點，衍射過程或傳播過程按照系統的觀點，衍射過程或傳播過程也可以等效為一種線性系統的線性變換，也可以等效為一種線性系統的線性變換，h(P,Q)h(P,Q)代表了這個系統的全部特性代表了這個系統的全部特性l l 光波傳播的這一線性性質

14、不僅存在于單光波傳播的這一線性性質不僅存在于單色光波在自由空間中的傳播，也同樣存在于色光波在自由空間中的傳播，也同樣存在于孔徑和觀察平面之間是非均勻媒質的情況，孔徑和觀察平面之間是非均勻媒質的情況，如兩者之間存在有光學系統只是線性系統如兩者之間存在有光學系統只是線性系統的脈沖響應函數的脈沖響應函數h有不同的形式而已。有不同的形式而已。l 當點光源當點光源P0足夠遠，而且入射光在孔徑足夠遠，而且入射光在孔徑平面上各點的入射角都不大時，有平面上各點的入射角都不大時，有cos(n,r0)-1 l 此外，如果觀察平面與孔徑平面的距離此外，如果觀察平面與孔徑平面的距離z遠大于孔徑，而且在觀察平面上僅考慮

15、一個遠大于孔徑，而且在觀察平面上僅考慮一個對孔徑上各點張角不大的范圍，即在對孔徑上各點張角不大的范圍，即在傍軸近傍軸近似似下，又有下，又有cos(n,r)-1 l 在這些條件下，可以認為傾斜因子在這些條件下，可以認為傾斜因子K( ) 1l l 其實這些近似式對夾角的要求并不苛刻其實這些近似式對夾角的要求并不苛刻.l 當夾角等于當夾角等于180時，時，cos 180 0.9511，此，此時上面的近似式精度仍在時上面的近似式精度仍在95以上以上l 在此條件下在此條件下,h(P,Q)表達式中的分母上的表達式中的分母上的r可以近似地用可以近似地用z代替；但是指數部分的代替；但是指數部分的r并不并不能簡

16、單地用能簡單地用z代替。其原因在于光波的波長很代替。其原因在于光波的波長很短，短，k值很大，值很大，r的不大誤差可以導致位相差的不大誤差可以導致位相差遠大于遠大于2 的結果的結果l 所以脈沖響應式可初步簡化為所以脈沖響應式可初步簡化為l 如果孔徑平面位于如果孔徑平面位于x0y0平面，觀察點位于平面，觀察點位于xy平面，如下圖疊加積分公式表達為；平面，如下圖疊加積分公式表達為；l 此時對應的疊加積分式可以改寫為此時對應的疊加積分式可以改寫為l 上式表明：上式表明：孔徑平面上透射光場孔徑平面上透射光場 U U0 0(x(x0 0 , , y y0 0 ) )和觀察平面上的光場和觀察平面上的光場U(

17、xU(x , , y y ) )之之間存在著間存在著個卷積積分所描述的關系個卷積積分所描述的關系l l 忽略傾斜因子的變化后，就可以把光波忽略傾斜因子的變化后，就可以把光波在衍射孔徑后的傳播過程看成是光波通過一在衍射孔徑后的傳播過程看成是光波通過一個線性不變系統個線性不變系統l 系統在空間域的特性唯一地由其空不變系統在空間域的特性唯一地由其空不變的脈沖響應的脈沖響應h(x- x0 ,y- y0)所確定所確定l 這一結論很簡單，但很重要，它是傅里這一結論很簡單，但很重要，它是傅里葉變換與光學互相結合的紐帶之一葉變換與光學互相結合的紐帶之一l 根據實際條件根據實際條件,將將r表達式先展開再取菲表達

18、式先展開再取菲涅耳近似或傍軸近似。涅耳近似或傍軸近似。l 當衍射孔徑和觀察范圍確定后，只要當衍射孔徑和觀察范圍確定后，只要z取取得足夠大，對于相位因子而言，展開式只取得足夠大，對于相位因子而言，展開式只取前兩項而舍去全部高次項是允許的。前兩項而舍去全部高次項是允許的。l 計算如下：計算如下：l 上式稱為上式稱為菲涅耳衍射積分菲涅耳衍射積分。l 脈沖響應總是在疊加積分中起作用，為脈沖響應總是在疊加積分中起作用，為了保證脈沖響應近似表達式在疊加積分中充了保證脈沖響應近似表達式在疊加積分中充分有效，只要使傳播距離分有效，只要使傳播距離z充分大于充分大于S S的線度的線度和觀察范圍的線度即可和觀察范圍

19、的線度即可l 這一條件實際上容易得到滿足這一條件實際上容易得到滿足l l 夫瑯禾費近似夫瑯禾費近似l 如果在菲涅耳近似的基礎上進一步限定如果在菲涅耳近似的基礎上進一步限定z的線度遠遠小于傳播距離，使的線度遠遠小于傳播距離，使l （x02+y02)/2z0l 這時的脈沖響應分別與這時的脈沖響應分別與(x x0 0 , , y y0 0)和和(x，y)有關有關.l 這表明這表明在夫瑯禾費近似意義下的光波傳在夫瑯禾費近似意義下的光波傳播過程不再具有空間平移不變性播過程不再具有空間平移不變性.l2.2.1 單色平面波與本征函數單色平面波與本征函數l 如上所述，如果不考慮夫瑯禾費近似，如上所述，如果不考

20、慮夫瑯禾費近似，則相干光場在給定二平面間的傳播過程就是則相干光場在給定二平面間的傳播過程就是通過一個二維線性空不變系統通過一個二維線性空不變系統l 形如形如expj2 (x xx+h+hy) )的函數應該是這種的函數應該是這種系統的本征函數系統的本征函數l 另一方面，已經指出，形如另一方面，已經指出，形如expj2 (x xx+h+hy) )的函數表示振幅為的函數表示振幅為1的平面波在的平面波在xy平面上形成平面上形成的復振幅分布的復振幅分布,空間頻率分量空間頻率分量x xcosa/la/l, h h=cosb/lb/l與平面波的傳播方向相聯系，與平面波的傳播方向相聯系，空間空間頻率表示了單色

21、平面波的傳播方向頻率表示了單色平面波的傳播方向 l 由以上分析可知，由以上分析可知，如果把相干光場在自如果把相干光場在自由空間兩平面間的傳播看作是通過一個二維由空間兩平面間的傳播看作是通過一個二維線性空不變系統，則單色平面波在該輸入平線性空不變系統，則單色平面波在該輸入平面上形成的分布即為該系統的本征函數面上形成的分布即為該系統的本征函數l 單色平面波與本征函數之間的這種聯系單色平面波與本征函數之間的這種聯系不是偶然的單色平面波在自由空間中傳播不是偶然的單色平面波在自由空間中傳播一段距離后，只是相位改變一定數值而無一段距離后，只是相位改變一定數值而無其它變化，即相當于乘上一個復常數，這恰其它變

22、化，即相當于乘上一個復常數，這恰好與本征函數的定義相符由此可以看到單好與本征函數的定義相符由此可以看到單色平面波的復表示所提供的方便性。色平面波的復表示所提供的方便性。l 正如正如17節所述，孔徑平面和觀察平面節所述，孔徑平面和觀察平面上的光場分布都可以分別看成是許多不同方上的光場分布都可以分別看成是許多不同方l向傳播的單色平面波分量的線性組合每一向傳播的單色平面波分量的線性組合每一平面波分量的相對振幅和相位取決于相應的平面波分量的相對振幅和相位取決于相應的l角譜角譜l 設孔徑平面設孔徑平面(x x0 0 , , y y0 0)的場分布為的場分布為U0 (x x0 0,y,y0 0) ，觀察平

23、面上的場分布為觀察平面上的場分布為U(x，y)，則它們相應，則它們相應的角譜為的角譜為A0(cosa/la/l, cosb/lb/l)和和A(cosa/la/l,cosb/lb/l) l 則有：則有：l 復振幅表達式為：復振幅表達式為：l 討論角譜的傳播，也就是尋找角譜為討論角譜的傳播，也就是尋找角譜為A0(cosa/la/l, cosb/lb/l)和和A(cosa/la/l,cosb/lb/l) 之間的之間的關系，就知道了每一平面波分量在傳播過程關系，就知道了每一平面波分量在傳播過程中振幅和相位發生的變化，自然也就可以確中振幅和相位發生的變化，自然也就可以確定整個光場由孔徑平面傳播到觀察平面

24、所發定整個光場由孔徑平面傳播到觀察平面所發生的變化生的變化 l 討論角譜傳播規律的基礎仍然是標量波討論角譜傳播規律的基礎仍然是標量波動方程。動方程。 l l 上式即為上式即為角譜傳播規律角譜傳播規律，表明：知道了，表明：知道了z=0平面上光場的角譜就可以求出觀察面上的平面上光場的角譜就可以求出觀察面上的角譜然后通過博里葉逆變換求出觀察面上角譜然后通過博里葉逆變換求出觀察面上的復振幅分布的復振幅分布l 因而上式具有和基爾霍夫衍射公式同等因而上式具有和基爾霍夫衍射公式同等的價值的價值l l 現對角譜傳播公式作進一步的討論現對角譜傳播公式作進一步的討論l（1）當）當 時，時，l 角譜傳播公式真正對應

25、于空間某一確定角譜傳播公式真正對應于空間某一確定方向傳播的平面波這些平面波分量在空間方向傳播的平面波這些平面波分量在空間傳播一定距離傳播一定距離z僅僅是引人了一定的相位移動，僅僅是引人了一定的相位移動，而振幅不發生變化而振幅不發生變化l 這與平面的性質相一致，平面在空間傳這與平面的性質相一致，平面在空間傳播既不會改變方向，也不會改變振幅播既不會改變方向，也不會改變振幅 l（2）當）當 時，時，l 角譜傳播公式中的平方根是虛數，于是角譜傳播公式中的平方根是虛數，于是公式改寫為公式改寫為:l 波動分量將隨波動分量將隨z的增大而按指數衰減在的增大而按指數衰減在幾個波長的距離內幾乎衰減為零。對應于這幾

26、個波長的距離內幾乎衰減為零。對應于這些傳播方向，波動分量稱為些傳播方向，波動分量稱為倏逝波倏逝波。在通常。在通常情況下均略而不汁。情況下均略而不汁。l（3）當）當 時，時，l 該波動分量的傳播方向垂直于該波動分量的傳播方向垂直于z軸，它在軸，它在z軸方向的凈能量流為零軸方向的凈能量流為零l l l l 把角譜傳播公式改寫為把角譜傳播公式改寫為l l 把把A0(x,hx,h)和和A (x,hx,h)分別看做系統的輸入分別看做系統的輸入和輸出頻譜，由上式給出的輸入和輸出頻譜和輸出頻譜，由上式給出的輸入和輸出頻譜關系再次說明系統是線性不變系統系統在關系再次說明系統是線性不變系統系統在頻域的效應由傳遞

27、函數表征：頻域的效應由傳遞函數表征：l 由于在所討論的問題中，傳播距離由于在所討論的問題中，傳播距離z總是總是大于幾個波長，所以可忽略大于幾個波長，所以可忽略倏逝波倏逝波，于是傳，于是傳遞函數可以寫做遞函數可以寫做: l 當空間頻率滿足當空間頻率滿足 時，時，其模為其模為1，但引入了與頻率有關的相移，其它，但引入了與頻率有關的相移，其它為零為零l 這表明該系統的傳遞函數相當于一個低這表明該系統的傳遞函數相當于一個低通濾波器，截止頻率為通濾波器，截止頻率為1l ll 在頻率平面上，這個濾波器的半徑為在頻率平面上，這個濾波器的半徑為1l l 的圓孔的圓孔l 這一結論告訴我們這一結論告訴我們:對于孔

28、徑中比波長還對于孔徑中比波長還小的精細結構，或者說空間頻率高于小的精細結構，或者說空間頻率高于1l l 的的信息，在單色平面波照明下不能沿信息，在單色平面波照明下不能沿z方向向前方向向前傳播傳播 l 基爾霍夫理論是描述球面子波相干疊加基爾霍夫理論是描述球面子波相干疊加的衍射理論，角譜理論是衍射的平面波理的衍射理論，角譜理論是衍射的平面波理論論l 基爾霍夫理論與角譜理論是統基爾霍夫理論與角譜理論是統的，它們的，它們都證明了光的傳播現象可以看做線性不變系都證明了光的傳播現象可以看做線性不變系統。統。l 基爾霍夫理論是在空域討論光的傳播，基爾霍夫理論是在空域討論光的傳播，是把孔徑平面上的光場看做點源

29、的集合，觀是把孔徑平面上的光場看做點源的集合，觀察平面上的場分布則等于它們所發出的帶有察平面上的場分布則等于它們所發出的帶有不同權重因子的球面子波的相干疊加球面不同權重因子的球面子波的相干疊加球面子波在觀察平面上的復振幅分布就是系統的子波在觀察平面上的復振幅分布就是系統的脈沖響應。脈沖響應。l 角譜理論是在頻域討論光的傳播，是把角譜理論是在頻域討論光的傳播，是把孔徑平面光場分布看做許多不同方向傳播的孔徑平面光場分布看做許多不同方向傳播的平面波的線性組合觀察平面上的場分布仍平面波的線性組合觀察平面上的場分布仍然等于這些平面波分量的相干疊加，但每個然等于這些平面波分量的相干疊加，但每個平面波分量引

30、入了相移相移的大小決定于平面波分量引入了相移相移的大小決定于系統的傳遞函數，它是系統的脈沖響應的傅系統的傳遞函數，它是系統的脈沖響應的傅里葉變換。里葉變換。l 假定入射到孔徑平面上的場分布為假定入射到孔徑平面上的場分布為 Ui (x x0 0,y,y0 0) ，衍射屏的復振幅透過率為衍射屏的復振幅透過率為t (x0,y0) ，衍射屏后表面即出射光場為衍射屏后表面即出射光場為U0 (x0,y0) 它們它們的關系為的關系為l l 研究在頻域中衍射屏的透過率函數的作研究在頻域中衍射屏的透過率函數的作用用l 假設入射光場的角譜和透射光場的角譜分假設入射光場的角譜和透射光場的角譜分別別Ai(cosa/l

31、a/l, cosb/lb/l)和和A0(cosa/la/l, cosb/lb/l)l 由傅里葉交換的卷積定理可得由傅里葉交換的卷積定理可得l l 討論：對于用單位振幅的平面波垂直照討論：對于用單位振幅的平面波垂直照射衍射屏這種特殊情況，此時射衍射屏這種特殊情況，此時l 通過衍射屏后，由通過衍射屏后，由d d函數所表征的入射光函數所表征的入射光場的角譜變成了孔徑函數的傅里變換，顯然場的角譜變成了孔徑函數的傅里變換，顯然角譜分量大大增加了角譜分量大大增加了l 因此，從空城看，孔徑的作用限制了入因此，從空城看，孔徑的作用限制了入射波面的大??；從頻城看則是展寬了入射光射波面的大?。粡念l城看則是展寬了入

32、射光場的角譜。場的角譜。l 基爾霍夫衍射公式是比較一般的，直接基爾霍夫衍射公式是比較一般的，直接用它來計算比較困難具有實用意義的是對用它來計算比較困難具有實用意義的是對這個普遍理論作某些近似，用所得到的近似這個普遍理論作某些近似，用所得到的近似公式計算一定范圍內的衍射場分布。公式計算一定范圍內的衍射場分布。l 按照近似程度不同，分為菲涅耳衍射和按照近似程度不同，分為菲涅耳衍射和夫瑯禾費衍射夫瑯禾費衍射l 曾指出，可以用下式來計算的衍射場分曾指出，可以用下式來計算的衍射場分布，稱為菲涅耳衍射。即布，稱為菲涅耳衍射。即l l 下面進一步討論一下菲涅耳衍射區的確下面進一步討論一下菲涅耳衍射區的確定定

33、l 從近似條件來看，應當是在從近似條件來看，應當是在r的展開式中的展開式中被略去的高次項不致引起明顯的相位差這被略去的高次項不致引起明顯的相位差這些高次項中起決定作用的是展開式些高次項中起決定作用的是展開式(2119)中右端第三項，由它引起的相位變化為：中右端第三項，由它引起的相位變化為：l 為使菲涅耳近似成立，必須使為使菲涅耳近似成立，必須使l l l 取最大值時，且取最大值時，且l 合并起來，涅耳衍射成立的充分條件是：合并起來，涅耳衍射成立的充分條件是：l 但上式不是必要條件。但上式不是必要條件。l 實際上當距離實際上當距離z較小時，上式的條件并不較小時，上式的條件并不滿足，但也能觀察到菲

34、涅耳衍射。滿足，但也能觀察到菲涅耳衍射。l 在一般問題中，菲涅耳衍射是很容易實在一般問題中，菲涅耳衍射是很容易實l現的現的 l 下面從衍射的角譜理論出發，對描述光下面從衍射的角譜理論出發，對描述光波傳播的傳遞函數波傳播的傳遞函數H作出近似，導出菲涅耳作出近似，導出菲涅耳衍射公式衍射公式l 由由角譜傳播規律角譜傳播規律公式公式:l則觀察面上光擾動的角譜與孔徑平面上的光則觀察面上光擾動的角譜與孔徑平面上的光擾動的角譜之間的關系為：擾動的角譜之間的關系為： l式中式中H為描述傳播現象頻率效應的傳遞函數，為描述傳播現象頻率效應的傳遞函數，其值為其值為l當當 時，可對相位因子中時，可對相位因子中的根式作

35、二項式展開，即的根式作二項式展開，即l l于是在于是在菲涅耳衍射區內：區內：l從而得到在從而得到在菲涅耳近似下傳遞函數表示為：傳遞函數表示為：l l即菲涅耳衍射傳遞函數。傳遞函數。l 其實對夫瑯禾費衍射也成立。其實對夫瑯禾費衍射也成立。l 討論菲涅耳衍射公式l由由角譜傳播規律公式出發推導如下：角譜傳播規律公式出發推導如下：l而而l這與基爾霍夫理論得出的疊加積分（菲涅耳這與基爾霍夫理論得出的疊加積分（菲涅耳衍射）衍射）(2122)式完全相同。式完全相同。l 展開指數中的二次項則有：展開指數中的二次項則有：l即菲涅耳衍射公式的傅立葉變換形式。即菲涅耳衍射公式的傅立葉變換形式。l 由上式，由上式，

36、菲涅耳衍射也可看作是函數菲涅耳衍射也可看作是函數l U0(x0,y0) exp(jk(x02+y02)/2zl的博里葉變換的博里葉變換l 尤其是當照明衍射屏的是會聚球面波時，尤其是當照明衍射屏的是會聚球面波時， U0(x0,y0) 中將包含關于中將包含關于(x0,y0) 二次相位因子二次相位因子,在一定條件下可以與在一定條件下可以與exp(jk(x02+y02)/2z 相消，相消，這時菲涅耳衍射的計算變得比較簡單而對這時菲涅耳衍射的計算變得比較簡單而對于諸多光學儀器像面上的衍射，均屬于這種于諸多光學儀器像面上的衍射，均屬于這種情況情況l 當觀察平面離開孔徑平面的距離當觀察平面離開孔徑平面的距離

37、z進一步進一步增大，使其不僅滿足菲涅耳衍射條件，而且增大，使其不僅滿足菲涅耳衍射條件，而且使使 exp(jk(x02+y02)/2z 可以略去，即耍滿足可以略去，即耍滿足l 或或l滿足上式所規定的滿足上式所規定的z值范圍的衍射叫做夫瑯禾值范圍的衍射叫做夫瑯禾費衍射此費衍射此z值所限定的區域稱為夫瑯禾費衍值所限定的區域稱為夫瑯禾費衍射區射區l 顯然夫瑯禾費衍射是在菲涅耳衍射的基顯然夫瑯禾費衍射是在菲涅耳衍射的基礎上進一步近似所得出的結果礎上進一步近似所得出的結果l其對應的其對應的夫瑯禾費衍射公式為公式為l上式表明，上式表明，觀察平面上的場分布（觀察平面上的場分布（夫瑯禾費衍射場分布），正比于孔徑

38、平面上出射光場場分布），正比于孔徑平面上出射光場分布的傅里葉變換分布的傅里葉變換l 必須指出，用公式必須指出，用公式(232)和和(2319)式來確定菲涅耳近似和夫瑯禾費近似的式來確定菲涅耳近似和夫瑯禾費近似的z值范值范圍，在其它條件相同的情況下，當問題要求圍，在其它條件相同的情況下，當問題要求的精度不同時，所確定出的的精度不同時，所確定出的z值是不同的值是不同的.一一般常用般常用 /10來估計來估計z值值l 由于光波長由于光波長l l很小，夫瑯禾費衍射區所要很小，夫瑯禾費衍射區所要求的條件實際上相當苛刻求的條件實際上相當苛刻l 要在近距離上觀察孔徑的夫瑯禾密衍射要在近距離上觀察孔徑的夫瑯禾密

39、衍射圖樣，關鍵是要消除菲涅耳衍射公式中的相圖樣，關鍵是要消除菲涅耳衍射公式中的相位因子位因子exp(jk(x02+y02)/2z的影響，為此我們的影響，為此我們可利用會聚透鏡的性質來實現這一要求可利用會聚透鏡的性質來實現這一要求 l 從上面的討論可知，在夫瑯禾費近似滿從上面的討論可知，在夫瑯禾費近似滿足的范圍內，菲涅耳近似必須滿足足的范圍內，菲涅耳近似必須滿足l 所以凡能用來計算菲涅耳衍射的公式都所以凡能用來計算菲涅耳衍射的公式都能用來計算夫瑯禾費衍射，而反過來就不行能用來計算夫瑯禾費衍射，而反過來就不行了也就是說菲涅耳衍射的范圍是包含夫瑯了也就是說菲涅耳衍射的范圍是包含夫瑯禾費衍射范圍的禾費

40、衍射范圍的 l 所以必須指出，數學上采用夫瑯禾費近所以必須指出，數學上采用夫瑯禾費近似之后，脈沖響應的空間不變性已不復存似之后，脈沖響應的空間不變性已不復存在似乎夫瑯末費衍射現象已不再是線性空在似乎夫瑯末費衍射現象已不再是線性空不變系統，也沒有了傳遞函數但是，正如以不變系統，也沒有了傳遞函數但是，正如以上所分析的，菲涅耳衍射區包含夫瑯禾費衍上所分析的，菲涅耳衍射區包含夫瑯禾費衍射區，傳遞函數表達式射區，傳遞函數表達式(2310)仍然有效：仍然有效：l 當用單色平面波垂直照明一個具有周期當用單色平面波垂直照明一個具有周期性透過率函數的圖片時，發現在該透明片后性透過率函數的圖片時，發現在該透明片后

41、的某些距離上出現該周期函數的像這種的某些距離上出現該周期函數的像這種不不用透鏡就可對周期物體成像的現象用透鏡就可對周期物體成像的現象稱為泰伯稱為泰伯效應效應或稱自成像或稱自成像.是一種衍射成像是一種衍射成像l 這個現象是泰伯這個現象是泰伯(Talbot)在在1836年發現的，年發現的，但直到近但直到近20年來才有人重新仔細研究它并年來才有人重新仔細研究它并在光學和電子顯微鏡等方面得到廣泛應用在光學和電子顯微鏡等方面得到廣泛應用 l 有一維周期物體，其復振幅透過率為有一維周期物體，其復振幅透過率為l l式中式中d為周期為周期l 當采用單位振幅的平面波垂直照明緊當采用單位振幅的平面波垂直照明緊靠物

42、體后的光場分布即為靠物體后的光場分布即為g0(x0)l 它可以看做頻率取離散值它可以看做頻率取離散值(nd，0)的無的無窮多個平面波的疊加窮多個平面波的疊加l cn表示各個平面波分量的相對振幅和相表示各個平面波分量的相對振幅和相位分布位分布 l 現討論與物平面相距為現討論與物平面相距為z的觀察平面上的觀察平面上的光場分布，這是一個菲捏耳衍射問題的光場分布，這是一個菲捏耳衍射問題l 對這個問題從頻域研究比從空域研究更對這個問題從頻域研究比從空域研究更方便將上式作傅里葉變換使得物分布的空方便將上式作傅里葉變換使得物分布的空間頻率為：間頻率為： 由菲涅耳衍射傳遞函數的表達式得由菲涅耳衍射傳遞函數的表

43、達式得l觀察平面上得到的場分布的頻譜為觀察平面上得到的場分布的頻譜為l l l當當z滿足條件滿足條件l則有則有l在這種情況下在這種情況下l對上式作博里葉逆變換得到觀察平面上的場分布為對上式作博里葉逆變換得到觀察平面上的場分布為l l其強度分布與物體相同，即其強度分布與物體相同，即l于是在于是在xT2d2/l/l的整數倍距離上，可觀察到物體的的整數倍距離上，可觀察到物體的像像 xT稱為泰伯距離。稱為泰伯距離。l 如果周期物體是一個光柵，在光柵所產如果周期物體是一個光柵，在光柵所產生的泰伯自成像后面放一塊周期相同的檢測生的泰伯自成像后面放一塊周期相同的檢測l光柵，則可以觀察到清晰的莫爾條紋光柵，則

44、可以觀察到清晰的莫爾條紋l 在兩個光柵之間若存在相位物體在兩個光柵之間若存在相位物體,由莫爾由莫爾條紋的改變就可測量物體的相位變化這就條紋的改變就可測量物體的相位變化這就是泰伯干涉儀的簡單原理是泰伯干涉儀的簡單原理l 前面提到，要在衍射屏后面的自由空間前面提到，要在衍射屏后面的自由空間觀察夫瑯禾費衍射，其條件是相當苛刻的觀察夫瑯禾費衍射，其條件是相當苛刻的l 要想在近距離觀察夫瑯禾費衍射，是借要想在近距離觀察夫瑯禾費衍射，是借助會聚透鏡來實現的。在單色平面波垂直照助會聚透鏡來實現的。在單色平面波垂直照射衍射屏的情況下，夫瑯禾費衍射就是屏函射衍射屏的情況下，夫瑯禾費衍射就是屏函數的傅里葉變換數的

45、傅里葉變換l 對透射物體進行傅里葉變運算的物理手對透射物體進行傅里葉變運算的物理手段是實現它的夫瑯禾費衍射也就是說，段是實現它的夫瑯禾費衍射也就是說，透透鏡可以用來實現物體的傅里葉變換鏡可以用來實現物體的傅里葉變換 l 透鏡是光學系統最基本的元件，正是由透鏡是光學系統最基本的元件，正是由于透鏡在一定條件下能實現傅里葉變換，才于透鏡在一定條件下能實現傅里葉變換，才使得傅里葉分析方法在光學中得到如此廣泛使得傅里葉分析方法在光學中得到如此廣泛的應用的應用l 研究一個無像差的正薄透鏡對點光源的研究一個無像差的正薄透鏡對點光源的成像過程。成像過程。l 從幾何光學的觀點看，如下圖所示的成從幾何光學的觀點看

46、，如下圖所示的成像過程是點物成點像；像過程是點物成點像；l 從波面變換的觀點看，透鏡將從波面變換的觀點看，透鏡將個發散個發散球面波變換成一個會聚球面波球面波變換成一個會聚球面波l透鏡的相位變換作用示意圖透鏡的相位變換作用示意圖U1(x,y)U1(x,y)l 為了研究透鏡對入射波面的變換作用，為了研究透鏡對入射波面的變換作用，引入透鏡的復振幅透過率引入透鏡的復振幅透過率t(x,y)，它定義為，它定義為l從而從而lf為透鏡的像方焦距此為為透鏡的像方焦距此為透鏡的相位變換因子透鏡的相位變換因子。l 結果表明：通過透鏡的相位變換作用，把一個結果表明：通過透鏡的相位變換作用，把一個發散球面波變換成了會聚

47、球面波。發散球面波變換成了會聚球面波。l 當一個單位振幅的平面波垂直于當一個單位振幅的平面波垂直于P1面入面入射時，它在射時，它在P2面上造成的復振幅分布面上造成的復振幅分布U1(x,y) 為：為：l在傍軸近似下，這是一個球面波的表達式在傍軸近似下，這是一個球面波的表達式l 對于正透鏡對于正透鏡f0，上式所表示的是一個，上式所表示的是一個向透鏡后方向透鏡后方f處的焦點處的焦點F會聚的球面波對于會聚的球面波對于負透鏡負透鏡f0，這是一個由透鏡前方，這是一個由透鏡前方-f處的虛焦處的虛焦點點F發出的發散球面波發出的發散球面波 l 透鏡孔徑對屏函數的影響透鏡孔徑對屏函數的影響l 如果考慮透鏡孔徑的有

48、限大小，孔徑函如果考慮透鏡孔徑的有限大小，孔徑函數數(或稱光瞳函數或稱光瞳函數)P(x,y)定義為定義為l l于是透鏡的相位變換因子可寫做于是透鏡的相位變換因子可寫做l 透鏡對光波的相位變換作用，是由透鏡透鏡對光波的相位變換作用，是由透鏡本身的性質決定的，與入射光波復振幅本身的性質決定的，與入射光波復振幅U1(x,y)的具體形式無關的具體形式無關l U1(x,y)可以是平面波的復振幅，也可以可以是平面波的復振幅，也可以是球面波的復振幅，還可以是某種特定分布是球面波的復振幅，還可以是某種特定分布的復振幅，只要傍軸條件滿足，薄透鏡就會的復振幅，只要傍軸條件滿足，薄透鏡就會以上式的形式對入射波前進行

49、相位變換以上式的形式對入射波前進行相位變換l 正透鏡除了具有成像性質外，還能作傅里葉變正透鏡除了具有成像性質外，還能作傅里葉變換，正因如此，傅里葉分析方法在光學中得到廣泛換，正因如此，傅里葉分析方法在光學中得到廣泛而成功的應用而成功的應用l 前面我們已經看到，單位振幅平面波垂直照明前面我們已經看到，單位振幅平面波垂直照明衍射屏的夫瑯禾費衍射，恰好是衍射屏透過率函數衍射屏的夫瑯禾費衍射，恰好是衍射屏透過率函數t(x,y)的傅里葉變換的傅里葉變換(除一相位因子外除一相位因子外)l 另外，在會聚光照明下的菲涅耳衍射，通過會另外，在會聚光照明下的菲涅耳衍射，通過會聚中心的觀察屏上的菲涅耳衍射場分布，也

50、是衍射聚中心的觀察屏上的菲涅耳衍射場分布，也是衍射屏透過率函數屏透過率函數t(x,y)的傅里葉變換的傅里葉變換(除一相位因子除一相位因子外外)l 這兩種途徑都能用透鏡比較方便地實現這兩種途徑都能用透鏡比較方便地實現l 第一種情況可在透鏡的后焦面第一種情況可在透鏡的后焦面(無窮遠照無窮遠照明光源的共扼面明光源的共扼面)上觀察夫瑯禾費衍射；上觀察夫瑯禾費衍射；l 第二種情況可在照明光源的共扼面上觀第二種情況可在照明光源的共扼面上觀察屏函數的夫瑯禾費衍射圖樣察屏函數的夫瑯禾費衍射圖樣l 下面分別就透明片下面分別就透明片(物物)放在透鏡之前和放在透鏡之前和之后兩種情況進行討論之后兩種情況進行討論l1

51、1物在透鏡之前物在透鏡之前d。處。處l 如圖所示：要變換的透明片置于透鏡前方如圖所示：要變換的透明片置于透鏡前方d。處。處,求在光源求在光源S的共扼面上的輸出。的共扼面上的輸出。l 在傍軸近似下，由單色點光源發出的球在傍軸近似下，由單色點光源發出的球面波在物的前表面上造成的場分布為面波在物的前表面上造成的場分布為l透過物體，從輸入面上出射的光場為透過物體，從輸入面上出射的光場為l 從輸入平面出射的光場到達透鏡平面從輸入平面出射的光場到達透鏡平面（P1面），按菲涅耳衍射公式，其復振幅分面），按菲涅耳衍射公式，其復振幅分布為：布為：l U1(x,y )=l 通過透鏡后（通過透鏡后（ P2面）的場分

52、布為面）的場分布為 l 在輸出面上，即光源在輸出面上，即光源S 的共扼面上（的共扼面上（ S ）的光場分布為的光場分布為l l 將將U1(x,y )的表達式代人上式，應用物像的表達式代人上式，應用物像共扼關系的高斯公式，共扼關系的高斯公式，l l系列化簡計算，得到：系列化簡計算，得到：l輸出面上的光場分布一般公式：輸出面上的光場分布一般公式：l 由于照明光源和觀察平面的位置始終保由于照明光源和觀察平面的位置始終保持共扼關系，因此上式中的持共扼關系，因此上式中的q q由照明光源位置由照明光源位置決定。決定。l 當照明光源位于光軸上無窮遠，即平面當照明光源位于光軸上無窮遠，即平面波垂直照明時，波垂

53、直照明時，q=f,這時觀察平面位于透鏡這時觀察平面位于透鏡后焦面上后焦面上l 另外，輸入平面的位置決定了另外，輸入平面的位置決定了d。的大小，。的大小，下面討論一下輸入平面的兩個特殊位置下面討論一下輸入平面的兩個特殊位置l（1）輸入平面位于透鏡前焦面輸入平面位于透鏡前焦面 l 這時這時d。f, 由上式得到由上式得到l 在這種情況下，衍射物體的復振幅透過在這種情況下，衍射物體的復振幅透過率與衍射場的復振幅分布存在準確的傅里葉率與衍射場的復振幅分布存在準確的傅里葉變換關系，并且只要照明光源和觀察平面滿變換關系，并且只要照明光源和觀察平面滿足共扼關系，與照明光源的具體位置無關足共扼關系，與照明光源的

54、具體位置無關 l 也就是說，當也就是說，當輸入平面位于透鏡前焦面輸入平面位于透鏡前焦面時，時，不管照明光源位于何處，均不影響觀察不管照明光源位于何處，均不影響觀察面上空間頻率與位置坐標的關系，始終為面上空間頻率與位置坐標的關系，始終為x x=x/l lf,h h=y/ l lf . 在理論分析中這種情況是很在理論分析中這種情況是很有意義的有意義的l(2) 輸入面緊貼透鏡輸入面緊貼透鏡 l 這時這時d。0，得，得l 在這種情況下，衍射物體的復振幅透過在這種情況下，衍射物體的復振幅透過率與觀察面上的場分布，不是準確的傅里葉率與觀察面上的場分布，不是準確的傅里葉變換關系，有一個二次相位因子變換關系，

55、有一個二次相位因子l 當當輸入面緊貼透鏡時，輸入面緊貼透鏡時，觀察面上的空間觀察面上的空間坐標與空間頻率的關系為坐標與空間頻率的關系為 x x=x/l lq, h h=y/ l lq ，隨隨q的值而不同的值而不同l 也就是說，頻譜在空間尺度上能按一定也就是說，頻譜在空間尺度上能按一定的比例縮放，這對光學信息處理的應用將帶的比例縮放，這對光學信息處理的應用將帶來一定的靈活性并且也利于充分利用透鏡來一定的靈活性并且也利于充分利用透鏡孔徑孔徑 l2物在透鏡后方物在透鏡后方d d。處。處l l 如上圖所示，這時入射到透鏡前表面的場如上圖所示，這時入射到透鏡前表面的場為為l 從透鏡出射的場為從透鏡出射的場為l 從透鏡的后表面出射的場到達物的前表面從透鏡的后表面出射的場到達物的前表面造成的場分布為造成的場分布為l 通過物體后的出射光場為通過物體后的出射光場為l這個光場傳輸到觀察平面這個光場傳輸到觀察平面(x，y)上造成的場上造成的場分布為分布為: