1、變變形形幾幾何何關關系系物物理理關關系系靜靜力力關關系系 觀察變形觀察變形 提出假設提出假設變形的分布規律變形的分布規律應力的分布規律應力的分布規律建立公式建立公式deformationgeometricrelation Distribution regularity of deformationDistribution regularity of stressEstablish the formulaExamine the deformationthen propose the hypothesis physicalrelationstaticrelation3-4 圓桿扭轉的應力分析圓桿扭

2、轉的應力分析 強度條件強度條件(Analyzing stress of circular bars & strength condition)21.1.變形現象變形現象(Deformation phenomenon) （1） 軸向線仍為直線軸向線仍為直線, 且長度不變；且長度不變； （2） 橫截面仍為平面且與軸線垂直；橫截面仍為平面且與軸線垂直；一、變形幾何關系一、變形幾何關系(Geometrical Relationship of Deformation) （3） 徑向線保持為直線徑向線保持為直線, 只是繞軸只是繞軸線旋轉線旋轉. 2.2.平面假設平面假設(Plane assumption)

3、 變形前為平面的橫截面變形前為平面的橫截面 , 變形變形后仍保持為平面后仍保持為平面.3aabbdxO1O23.3.幾何關系幾何關系(Getrical relationship) 傾角傾角 是橫截面圓周是橫截面圓周上任一點上任一點 A 處的切應變處的切應變, d 是是 b - b截面相對于截面相對于a - a 截面象剛性平面一樣繞桿的截面象剛性平面一樣繞桿的軸線轉動的一個角度軸線轉動的一個角度. 經過半徑經過半徑 O2 D 上任一點上任一點G 的縱向線的縱向線 EG 也傾斜了一個角度也傾斜了一個角度r r , 也就是橫截面半徑上任一點也就是橫截面半徑上任一點 E 處的切應變處的切應變dtand

4、rrrrr r GGxEGTTdADGDGE 同一圓周上各點切應力同一圓周上各點切應力 均相同均相同, 且其值與且其值與 成正成正比比, 與半徑垂直與半徑垂直. 二、 物理關系物理關系(Physical Relationship)由剪切胡克定律由剪切胡克定律 G xGGdd r r r rr r aabATTdxDbdDO1O2GGrOdAdAT三、靜力關系三、靜力關系 (Static Relationship) 1.1.公式的建立公式的建立(Establish the formula)TAA dr rrrTAxGA dddTAxGA ddd2r r p2dIAA 結論結論pddGITx 代入

5、物理關系中得到代入物理關系中得到PITr r r r 式中：式中：T 橫截面上的扭矩橫截面上的扭矩 求應力的點到圓心的距離求應力的點到圓心的距離Ip 橫截面對圓心的橫截面對圓心的 極慣性矩極慣性矩Wt 稱作抗扭截面系數，單位為稱作抗扭截面系數，單位為 mm3 或或 m3.2. 的計算的計算(Calculation of max) max tmaxppmaxmaxWTITIT r rr r maxptr rIW rOTdAdAmax（1）實心圓截面）實心圓截面dO3.3.極慣性矩和抗扭截面系數的計算極慣性矩和抗扭截面系數的計算 (calculating the polar moment of i

6、nertia §ion modulus under torsion)d(2dr rr r A32d2d42032pdAIdA r rr rr r162/32/34maxptdddIW r rdODdd（2）空心圓截面）空心圓截面32)1(44p DI)1(1643t DW其中其中Dd 例題例題2 圖示空心圓軸外徑圖示空心圓軸外徑D = 100mm, 內徑內徑d d = 80mm, = 80mm, M1 = 6kNm, M2 = 4kNm, 材料的切變模量材料的切變模量 G = 80GPa.（1） 畫軸的扭矩圖；畫軸的扭矩圖；（2） 求軸的最大切應力求軸的最大切應力, 并指出其位置并指出

7、其位置.M1M2ABCll解解:（1）畫軸的扭矩圖）畫軸的扭矩圖Me1Me2ABCllBC段段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2 - Me1=0T2 = 2kNm AB段段（+）（-）T1 = - 4kNm最大扭矩發生在最大扭矩發生在 BC 段段 Tmax= 4kNm4kNm2kNm+_T（2）求軸的最大切應力）求軸的最大切應力,并指出其位置并指出其位置max 最大切應力發生在截面的最大切應力發生在截面的周邊上周邊上, 且垂直于半徑且垂直于半徑.tmaxmaxWT M1M2ABCllmax34(1-)1634.5MPaTDmax4kNm2kNm+_扭轉試驗扭轉試驗

8、四、扭轉強度條件四、扭轉強度條件 (Strength Condition)低碳鋼低碳鋼試件沿試件沿橫截面橫截面斷開。斷開。鑄鐵試鑄鐵試件沿與件沿與軸線約軸線約成成45的螺旋的螺旋線斷開線斷開。13II、 純剪狀態斜截面上的應力純剪狀態斜截面上的應力低碳鋼試件：低碳鋼試件：沿橫截面斷開。沿橫截面斷開。鑄鐵試件：鑄鐵試件：沿與軸線約成沿與軸線約成45的螺旋線斷開。的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應力。因此還需要研究斜截面上的應力。141. 在危險點在危險點M 取單元體取單元體如圖如圖(b)。M(b) 2. 斜截面上的應力；斜截面上的應力；取分離體如圖取分離體如圖(d)。(d) 15轉角轉角

9、規定：規定： x 軸正向轉至截面外法線軸正向轉至截面外法線逆時針：為逆時針：為“+”順時針：為順時針：為“”平衡方程：平衡方程： sin2 cos2 ，0nF d( d cos ) sin( d sin ) cos0AAA xntdA0tF d( d cos) cos( d sin)sin0AAA 16 45最大壓應力最大壓應力+ 455 ，-13，最大拉應力最大拉應力 45+135， ，45135max ， 018090max ， ， sin2 cos2 oo180180 x1745 和其它斜面相比，在和其它斜面相比，在法線方向為法線方向為 = - 45 的斜的斜面上，拉應力最大。沿這面上，

10、拉應力最大。沿這個斜面材料被拉斷。個斜面材料被拉斷。鑄鐵試件：鑄鐵試件：沿與軸線約成沿與軸線約成45的螺旋線斷開。的螺旋線斷開。45 為什么不會在為什么不會在 = 45 的斜面上壓壞？的斜面上壓壞？18鑄鐵壓縮時的強度極限鑄鐵壓縮時的強度極限 b 比拉伸時比拉伸時的強度極的強度極限限大幾倍。大幾倍。 灰口鑄鐵拉伸和壓縮時的灰口鑄鐵拉伸和壓縮時的 e e 曲線曲線 試樣沿著與橫截面試樣沿著與橫截面大致成大致成5055的斜截的斜截面發生錯動而破壞。面發生錯動而破壞。鑄鐵壓縮破壞斷口：鑄鐵壓縮破壞斷口： 鑄鐵壓縮破壞試驗鑄鐵壓縮破壞試驗 四、圓軸扭轉時的強度計算四、圓軸扭轉時的強度計算1) 有明顯屈

11、服階段的塑性材料，如低碳鋼等。有明顯屈服階段的塑性材料，如低碳鋼等。實驗曲線：實驗曲線：mmaxps 扭轉時最大剪應力和扭轉時最大剪應力和最大剪應變曲線示意圖最大剪應變曲線示意圖扭轉時扭矩和轉角曲線扭轉時扭矩和轉角曲線示意圖示意圖max, pTWRll21強度條件：強度條件： 有明顯的屈服階段。有明顯的屈服階段。 表現為塑性流動，變形表現為塑性流動，變形較大。卸載后變形不可較大。卸載后變形不可恢復，殘余變形也較大。恢復，殘余變形也較大。ps扭轉時剪應力和剪應變曲扭轉時剪應力和剪應變曲線示意圖線示意圖max 許用剪應力許用剪應力 這是構件的這是構件的 一種破一種破壞形式，稱為屈服破壞。壞形式，稱

12、為屈服破壞。 1Snn ， （） 這類構件正常工作這類構件正常工作的強度條件：不允許應的強度條件：不允許應力達到屈服極限力達到屈服極限 。S 221. 1. 數學表達式數學表達式(Mathematical formula)四、強度條件四、強度條件 (Strength Condition)2.2.強度條件的應用強度條件的應用(Application of strength condition)強度校核強度校核(Check the intensity)設計截面設計截面(Determine the required dimensions) 確定許可載荷確定許可載荷(Determine the all

13、owable load)tmaxmax WTtmax WTmaxt TW tmax WT ABC解解：作軸的扭矩圖作軸的扭矩圖MeAMeBMeC22 kNm14 kNm+_分別校核兩段軸的強度分別校核兩段軸的強度例題例題3 圖示階梯圓軸圖示階梯圓軸, ,AB 段的直徑段的直徑 d1 = 120mm, ,BC 段的直徑段的直徑 d2 = 100mm. .扭轉力偶矩為扭轉力偶矩為MA = 22 kNm, MB = 36 kNm , MC =14 kNm. 已知材料的許用切應力已知材料的許用切應力 = 80MPa, 試校核該軸的強度試校核該軸的強度.MPa84.6416/ )12. 0(102216

14、/33311t11max1 dTWTMPa3 .7116/ )1 . 0(101416/333222t2max2 dTWT因此因此, 該軸滿足強度要求該軸滿足強度要求.例題例題4 實心圓軸實心圓軸1和空心圓軸和空心圓軸2（圖（圖a、b）材料）材料, 扭轉力偶矩扭轉力偶矩 M 和長度和長度l 均均相等相等, 最大切應力也相等最大切應力也相等. 若空心圓軸的內外徑之比若空心圓軸的內外徑之比 = 0.8 ,試求試求空心圓截面的外徑和實心圓截面直徑之比及兩軸的重量比空心圓截面的外徑和實心圓截面直徑之比及兩軸的重量比.2max1max ll(a)(b) 分析：設實心圓截面直徑為分析：設實心圓截面直徑為d1, 空心空心圓截面的內、外徑分別為圓截面的內、外徑分別為 d2、 D2 ; 又扭又扭轉力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，轉力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，設為設為 T .已知：已知：2t2max1t1maxWTWT dd2D22t1tWTWT 16)1(16432312t1t DdWW因此因此()3341211616 dD解得解得194. 18 . 0113412 dD