1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10111 12.4 2.4 隱函數及由參數方程隱函數及由參數方程所確定的函數的導數所確定的函數的導數 相關變化率相關變化率一、隱函數的導數一、隱函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數 三、相關變化率三、相關變化率Page 231xy一、隱函數的導數一、隱函數的導數若由方程若由方程0),(yxF可確定可確定 y 是是 x 的函數的函數 ,由由)(xfy 表示的函數表示的函數 , 稱為稱為顯函數顯函數 .例如例如,013 yx可確定顯函數可確定顯函數03275xxyy可確定可確定 y 是是 x

2、 的函數的函數 ,但此隱函數不能顯化但此隱函數不能顯化 .函數為函數為隱函數隱函數 .則稱此則稱此隱函數隱函數求導方法求導方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對兩邊對 x 求導求導(含導數含導數 的方程的方程)yPage 3例例1. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 在在 x = 0 處的導數處的導數.0ddxxy解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導)32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 時時 y = 0 , 故故210ddxxy0確定的隱函數確定的隱函數Page 4例例2. 求橢圓求橢圓1916

3、22yx在點在點)3,2(23處的切線方程處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對橢圓方程兩邊對 x 求導求導8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切線方程為故切線方程為323y43)2( x即即03843 yxPage 5例例3. 求求)0(sinxxyx的導數的導數 . 解解: 兩邊取對數兩邊取對數 , 化為隱式化為隱式xxylnsinln兩邊對兩邊對 x 求導求導yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyxPage 6 1) 對冪指函數對冪指函數vuy 可用對數求導法求導可用對數求導法求導 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuu

4、vuyvvuuyvlnuuvv1說明說明:按指數函數求導公式按指數函數求導公式按冪函數求導公式按冪函數求導公式注意注意:Page 72) 有些顯函數用對數求導法求導很方便有些顯函數用對數求導法求導很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數兩邊取對數yln兩邊對兩邊對 x 求導求導yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxbPage 8又如又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny對對 x 求導求導21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx兩邊取對數兩邊取對數2

5、ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41xPage 9二、由參數方程確定的函數的導數二、由參數方程確定的函數的導數若參數方程若參數方程)()(tytx可確定一個可確定一個 y 與與 x 之間的函數之間的函數)(, )(tt可導可導, 且且,0 )( )(22tt則則0)( t時時, 有有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t時時, 有有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此時看成此時看成 x 是是 y 的函數的函數 )關系關系,Page 10若上述參數方程中若上述參數方程中)(, )(tt二階可導二階可導,22ddxy)dd(ddxyx

6、)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且且,0)( t則由它確定的函數則由它確定的函數)(xfy 可求二階導數可求二階導數 .利用新的參數方程利用新的參數方程,可得可得Page 11)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例例4. 設設)(tfx, 且且,0)( tf求求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 已知已知解解:)()(tftfty注意注意 :練習練習: ,1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:Page 12

7、例例5. 拋射體運動軌跡的參數方程為拋射體運動軌跡的參數方程為1 xv t 求拋射體在時刻求拋射體在時刻 t 的運動速度的大小和方向的運動速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小先求速度大小:速度的水平分量為速度的水平分量為,dd1vtx垂直分量為垂直分量為,dd2tgvty故拋射體故拋射體速度大小速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求再求速度方向速度方向(即軌跡的切線方向即軌跡的切線方向):設設 為切線傾角為切線傾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 則則yxo2122yv tgtPage 13拋射體軌跡的參數方程拋射體軌跡的參數方程22121 tgtvyt

8、vx速度的水平分量速度的水平分量,dd1vtx垂直分量垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在剛射出在剛射出 (即即 t = 0 )時時, 傾角為傾角為12arctanvv達到最高點的時刻達到最高點的時刻,2gvt 高度高度ygv2221落地時刻落地時刻,22gvt 拋射拋射最遠距離最遠距離xgvv212速度的方向速度的方向yxo2vt g22vt gPage 14例例6. 設由方程設由方程) 10(1sin 222yytttx確定函數確定函數, )(xyy 求求.ddxy解解: 方程組兩邊對方程組兩邊對 t 求導求導 , 得得故故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt

9、2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxddPage 15 三、相關變化率三、相關變化率)(, )(tyytxx為兩可導函數為兩可導函數yx ,之間有聯系之間有聯系tytxdd,dd之間也有聯系之間也有聯系稱為稱為相關變化率相關變化率相關變化率問題相關變化率問題解法解法:找出相關變量的關系式找出相關變量的關系式對對 t 求導求導得相關變化率之間的關系式得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率求出未知的相關變化率Page 16例例7. 一氣球從離開觀察員一氣球從離開觀察員500 m 處離地面鉛直上升處離地面鉛直上升,其速率為其速率為,minm140當

10、氣球高度為當氣球高度為 500 m 時時, 觀察員觀察員視線的仰角增加率是多少視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設氣球上升設氣球上升 t 分后其高度為分后其高度為h , 仰角為仰角為 ,則則tan500h兩邊對兩邊對 t 求導求導2sectddthdd5001已知已知,minm140ddth h = 500m 時時,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(Page 17思考題思考題: 當氣球升至當氣球升至500 m 時停住時停住 , 有一觀測者以有一觀測者以100 mmin 的速率向氣球出發點走來的速率向氣球出發點走來,當距離為當距離為

11、500 m 時時, 仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500對對 t 求導求導2sectddtxxdd5002已知已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求求Page 18)(33322xhhhR試求當容器內水試求當容器內水Rhxhr例例8. 有一底半徑為有一底半徑為 R cm , 高為高為 h cm 的圓錐容器的圓錐容器 ,今以今以 自頂部向容器內注水自頂部向容器內注水 ,scm253位等于錐高的一半時水面上升的速度位等于錐高的一半時水面上升的速度.解解: 設時刻設時刻 t 容器內水面高度為容器內水面高度為 x ,水的水的VhR231)(231xh

12、rxrh兩邊對兩邊對 t 求導求導tVdd22hR2)(xh,ddtx而而,)(25222xhRh,2時當hx hxhRr故故txdd) scm(25dd3tV) scm(100dd2Rtx體積為體積為 V , 則則RPage 19內容小結內容小結1. 隱函數求導法則隱函數求導法則直接對方程兩邊求導直接對方程兩邊求導2. 對數求導法對數求導法 :適用于冪指函數及某些用連乘適用于冪指函數及某些用連乘,連除表示的函數連除表示的函數3. 參數方程求導法參數方程求導法極坐標方程求導極坐標方程求導4. 相關變化率問題相關變化率問題列出依賴于列出依賴于 t 的相關變量關系式的相關變量關系式對對 t 求導求

13、導相關變化率之間的關系式相關變化率之間的關系式轉化轉化求高階導數時求高階導數時,從低到高每次都用參數方程求導公式從低到高每次都用參數方程求導公式Page 20思考與練習思考與練習1. 求螺線求螺線r在對應于在對應于的點處的切線方程的點處的切線方程.解解: 化為參數方程化為參數方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos當當時對應點時對應點斜率斜率xykdd222, ),0(2M 切線方程為切線方程為22xy2Page 212. 設設,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求求.y1y2y提示提示: 分別用對數求導法求分別用對數求導法求.,21yy答案答案:21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxxPage 223. 設設)(xyy 由方程由方程eyxey確定確定 , , )0(y解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導, 得得0yxyyey再求導再求導, 得得2yey yxey)(02 y當當0 x時時, 1y故由故由 得得ey1)0(再代入再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y Page 23, 求求01sin232ytettxy.dd0txy解：解： txddye