1、教學重點：教學重點：1、理解諧振動的動力學特征、理解諧振動的動力學特征2、掌握振幅和初相位的確定及振動方程的建、掌握振幅和初相位的確定及振動方程的建立方法立方法3、旋轉矢量法、旋轉矢量法4、理解諧振動的能量特征、理解諧振動的能量特征廣義振動廣義振動：任一物理量：任一物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) )在某一在某一 數值附近周期性變化。數值附近周期性變化。 對力學系統來講，振動的形式就是機械振動。對力學系統來講，振動的形式就是機械振動。機械振動機械振動：物體在一定位置附近作來回往復的運動。：物體在一定位置附近作來回往復的運動。)()(Ttxtx 振動分類振動分類非線性振動非線性振動線性

2、振動線性振動受迫振動受迫振動自由振動自由振動復雜振動復雜振動 = 簡諧振動簡諧振動第一節第一節 簡諧振動簡諧振動一、簡諧振動的動力學特征一、簡諧振動的動力學特征簡諧振動是最簡單最基本的線性振動。簡諧振動是最簡單最基本的線性振動。從動力學觀點看：從動力學觀點看：簡諧振動簡諧振動：質點在線性回復力作用下圍繞平：質點在線性回復力作用下圍繞平衡位置的運動。衡位置的運動。 平衡位置平衡位置：質點在某位置所受的力（或沿：質點在某位置所受的力（或沿運動方向受的力）等于運動方向受的力）等于0，則此位置稱為平，則此位置稱為平衡位置。衡位置。 xkf此為從動力學的觀點定義的簡諧振動。此為從動力學的觀點定義的簡諧振

3、動。線性回復力線性回復力：若作用于質點的力總與質點相對于平：若作用于質點的力總與質點相對于平衡位置的位移（線位移或角位移）成正比，且指向衡位置的位移（線位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，則稱此作用力為線性回復力。平衡位置，則稱此作用力為線性回復力。若以平衡位置為原點，以若以平衡位置為原點，以X表示質點相對于平衡表示質點相對于平衡位置的位移，則位置的位移，則一、彈簧振子模型一、彈簧振子模型彈簧振子彈簧振子：彈簧：彈簧物體系統物體系統 平衡位置：平衡位置：彈簧處于自然狀態的穩定位置彈簧處于自然狀態的穩定位置輕輕彈簧彈簧質量忽略不計，形變滿足胡克定律質量忽略不計，形變滿足胡克定律 物體物體可看作

4、質點可看作質點 kxOm問：彈簧振子是否問：彈簧振子是否在做簡諧振動？在做簡諧振動？kxOmmk 2 簡諧振動簡諧振動微分方程微分方程0222 xdtxd kxF 0222 xdtxd 22dtxdmkx 簡諧振動的另一種普遍定義：簡諧振動的另一種普遍定義：若質點的運動學方程可以歸納為：若質點的運動學方程可以歸納為：其中其中 為決定于系統本身固為決定于系統本身固有性質，則質點做簡諧振動。有性質，則質點做簡諧振動。單擺單擺0222 dtd結論結論：單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。角頻率角頻率, ,振動的周期分別為：振動的周期分別為：glTlg 2200 當當 時時

5、 sin sinmglM 二、微振動的簡諧近似二、微振動的簡諧近似gmfTCOmgldtdml222擺球對擺球對C點的力矩點的力矩JMmglM l/g 2 復擺復擺：繞不過質心的水平固定軸轉動的剛體：繞不過質心的水平固定軸轉動的剛體0222 dtd結論結論：復擺的小角度擺動振動是簡諧振動。復擺的小角度擺動振動是簡諧振動。 sin當當 時時gmhCO22dtdJmghJmgh2設：復擺對此固定軸的轉動慣量為設：復擺對此固定軸的轉動慣量為J其通解為：其通解為：一、簡諧振動的運動學方程一、簡諧振動的運動學方程)tcos(Ax0 0222 xdtxd 二二 簡諧振動的運動學特征簡諧振動的運動學特征簡諧

6、振動的微分方程簡諧振動的微分方程 簡諧振動的運動學方程簡諧振動的運動學方程)2sin()cos(00tt20 sin()xAt二、二、描述簡諧振動的特征量描述簡諧振動的特征量)tcos(Ax0 1 1、振幅、振幅 A 簡諧振動物體離開平衡位置的最大位簡諧振動物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對值。移（或角位移）的絕對值。)tsin(Av0 000vv ,xx,t 如何由初始條件求振幅：如何由初始條件求振幅：00 cosAx 00sinvA2020)v(xA 頻率頻率 ：單位時間內振動的次數。單位時間內振動的次數。2、周期周期 、頻率、圓頻率頻率、圓頻率 21 T角頻率角頻率 22 T周

7、期周期T ：物體完成一次全振動所需時間。物體完成一次全振動所需時間。 00 )Tt (cosA)tcos(A 2 T固有周期、固有頻率、固有角頻率固有周期、固有頻率、固有角頻率、T、T對彈簧振子對彈簧振子kmT 2 mk 21 mk 單擺單擺glT 2 lg 21 lg 復擺復擺mghJT2Jmgh21Jmgh、T都決定于質量、勁度系數、擺長、轉都決定于質量、勁度系數、擺長、轉動慣量等反映振動系統本身特征的一動慣量等反映振動系統本身特征的一些物理量。些物理量。)tsin(Av0 0 是是t =0時刻的位相時刻的位相初位相初位相000 cosAxt 時時00 sinAv 000 xvtan 3、

8、相位和初相位相位和初相位)tcos(Ax0 相位，決定諧振動物體的運動狀態相位，決定諧振動物體的運動狀態0 t三式中任選兩式可三式中任選兩式可以決定初相位。以決定初相位。000vv ,xx,t 若已知初始條件：若已知初始條件：相位差相位差 兩振動相位之差。兩振動相位之差。12 當當=2k ,k=0,1,2,兩振動步調相同兩振動步調相同, ,稱稱同相同相當當 = (2k+1) , k=0,1,2.兩振動步調相反兩振動步調相反, ,稱稱反相反相 0 2 超前于超前于 1 或或 1滯后于滯后于 2 相位差反映了兩個振動不同程度的參差錯落相位差反映了兩個振動不同程度的參差錯落 簡諧振動的簡諧振動的x,

9、 v, a三者之間的相位關系三者之間的相位關系)cos()2cos()cos(2tAdtdvatAdtdxvtAx總結：總結：1、簡諧振動是周期性運動、簡諧振動是周期性運動2、簡諧振動各瞬時的運動狀態由、簡諧振動各瞬時的運動狀態由 決定。決定。3、簡諧振動的頻率由振動系統本身固有的性質、簡諧振動的頻率由振動系統本身固有的性質決定。而決定。而 不僅決定于系統本身的性質，還不僅決定于系統本身的性質，還決定于初始條件。決定于初始條件?？偨Y：、A、A)tcos(a)tcos(Aam 002)tcos(Ax0 )tcos(v)tsin(Avm200 諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關系諧振動的位移、

10、速度、加速度之間的位相關系toTa vx. avxT/4T/4三、簡諧振動的表示法三、簡諧振動的表示法 1、解析表示法解析表示法 利用余弦函數或正弦函數表示簡諧振動。利用余弦函數或正弦函數表示簡諧振動。 優缺點。優缺點。 2、復數表示法復數表示法 利用歐拉公式，取實部利用歐拉公式，取實部)tcos(Ax0 sin()xAt()jtxAeva 3、簡諧振動的、簡諧振動的旋轉矢量表示法旋轉矢量表示法)cos(0tAxx 0t = 0A t+ 0t = tAoX矢量矢量 為一長度為一長度不變的矢量，以不變的矢量，以恒定的角速度恒定的角速度 逆時針轉動。逆時針轉動。Ax 0t= 0A t+ 0t =

11、tAoX分析：勻速旋轉的矢量分析：勻速旋轉的矢量 在坐標軸上的投影？在坐標軸上的投影？ 1、表示一特定的簡諧振動的位移。、表示一特定的簡諧振動的位移。 2、此簡諧振動的振幅為、此簡諧振動的振幅為A，固有圓頻率為，固有圓頻率為 初相位為初相位為 0Ax 0t= 0A t+ 0t = tAoX分析：勻速旋轉的矢量分析：勻速旋轉的矢量 的矢端速度在坐標軸上的投影？的矢端速度在坐標軸上的投影？ 1、表示一特定的簡諧振動的速度。、表示一特定的簡諧振動的速度。 2、振動質點位于上半圓時：、振動質點位于上半圓時： 位于下半圓時：位于下半圓時： A0,v 0v x 0t= 0A t+ 0t = tAoX分析：

12、勻速旋轉的矢量分析：勻速旋轉的矢量 的矢端法向加速度在坐標的矢端法向加速度在坐標軸上的投影？軸上的投影？ 1、表示一特定的簡諧振動的加速度。、表示一特定的簡諧振動的加速度。 2、振動質點位于右半圓時：、振動質點位于右半圓時： 位于左半圓時：位于左半圓時： A0a 0a 進一步理解：進一步理解： 將旋轉矢量用于彈簧振子，具體說明將旋轉矢量用于彈簧振子，具體說明4個特個特殊點在彈簧振子上的對應位置。殊點在彈簧振子上的對應位置。 t+ 0t = tAoXkxOmABCD 0t = 0Ax t+ 0t = tAoX記住四個特殊位置的點記住四個特殊位置的點簡諧振動的質點處簡諧振動的質點處于正向最大位移并

13、于正向最大位移并向平衡位置運動向平衡位置運動（速度為（速度為0，加速，加速度為負最大）度為負最大）簡諧振動的質簡諧振動的質點處于負向最點處于負向最大位移并向平大位移并向平衡位置運動衡位置運動（速度為（速度為0，加速度為正最加速度為正最大）大）簡諧振動的質點處簡諧振動的質點處于平衡位置并向正于平衡位置并向正向最大位移運動向最大位移運動（速度為正向最大，（速度為正向最大，加速度為加速度為0）簡諧振動的質點簡諧振動的質點處于平衡位置并處于平衡位置并向負向最大位移向負向最大位移運動（速度為負運動（速度為負向最大，加速度向最大，加速度為為0（因在（因在x軸投軸投影為影為0）Av Aan2 Aan2 以彈

14、簧振子為例以彈簧振子為例諧振動系統的能量諧振動系統的能量=系統的系統的動能動能Ek+系統的系統的勢能勢能Ep某一時刻，諧振子速度為某一時刻，諧振子速度為v，位移為位移為x0sin()vAt )tcos(Ax0 221mvEk )t(sinkA02221 221kxEp )t(coskA02221 諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數 四四 . .簡諧振動的能量簡諧振動的能量動動能能221mvEk )t(sinkA02221 勢勢能能221kxEp )t(coskA02221 情況同動能。情況同動能。pppEEE,minmax0min kE2411kAdtET

15、ETttkk 2max21kAEk 機械能機械能221kAEEEpk 簡諧振動系統機械能守恒簡諧振動系統機械能守恒xtTEEpokpEE EtEk(1/2)kA2由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 221kAE 彈簧振子的總能量彈簧振子的總能量決定于剛度系數和決定于剛度系數和振幅振幅一、同方向、同頻率諧振動的合成一、同方向、同頻率諧振動的合成: :同方向、同頻率諧振動的同方向、同頻率諧振動的合振動仍然是簡諧振動合振動仍然是簡諧振動, , 其頻率仍為其頻率仍為 , ,與分振動相同與分振動相同. .)cos(AAAAA10202122212 221122110 cosAcosAsin

16、AsinAtg )tcos(A)t(x1011 )tcos(A)t(x2022 )tcos(Axxxx021 質點同時參與同方向同頻率質點同時參與同方向同頻率的諧振動的諧振動 : :合振動合振動 : :五五 簡諧振動的合成簡諧振動的合成 2A1AA10 20 0 1x2xx如如 A1=A2 , , 則則 A=0,kk21021020 兩分振動相互加強兩分振動相互加強21AAA ,k)k(210121020 兩分振動相互減弱兩分振動相互減弱21AAA 分析分析若兩分振動同相：若兩分振動同相：若兩分振動反相若兩分振動反相: :)cos(AAAAA10202122212 合振動不是簡諧振動合振動不是

17、簡諧振動式中式中tAtA)2cos(2)(12 tt)2cos(cos12 隨隨t 緩變緩變隨隨t 快變快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動合振動可看作振幅緩變的簡諧振動二二. . 同方向不同頻率簡諧振動的合成同方向不同頻率簡諧振動的合成分振動分振動)tcos(Ax 11)tcos(Ax 22合振動合振動)tcos(t )cos(Ax 222121221xxx 當當 2 1時時, ,ttAx cos)( 則則：1212 拍拍: : 指振動方向相同指振動方向相同, , 的兩個簡諧振動的兩個簡諧振動合成時合振幅周期變化合成時合振幅周期變化( (忽強忽弱忽強忽弱) )的現象的現象拍頻拍頻 : : 單位

18、時間內振幅強弱變化的次數單位時間內振幅強弱變化的次數 =| 2- 1| xt tx2t tx1t t12 拍122 T或：或：調調平平 調調平平 調調平平 *三、振動的頻譜分析三、振動的頻譜分析振動的分解振動的分解：把一個振動分解為若干個簡諧振動。：把一個振動分解為若干個簡諧振動。 諧振分析諧振分析：將任一周期性振動分解為各個諧振動之和。：將任一周期性振動分解為各個諧振動之和。若周期振動的頻率為若周期振動的頻率為 : : 0則各分振動的頻率為則各分振動的頻率為: : 0、2 0、3 0( (基頻基頻 , , 二次諧頻二次諧頻 , , 三次諧頻三次諧頻 , , ) )按傅里葉級數展開按傅里葉級數

19、展開)t(x)Tt(x 102nnn)tnsinbtncosa(a)t (x T 22 * *四、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成四、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成合振動合振動)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 分振動分振動)tcos(Ax101 )tcos(Ay202 0(1)1020 0221 )AyAx(xAAy12 合振動的軌跡為通過原點且合振動的軌跡為通過原點且在第一、第三象限內的直線在第一、第三象限內的直線12AA斜斜率率質點離開平衡位置的位移質點離開平衡位置的位移討論討論)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222

20、122 yx)tcos(AAyxS 222122 1020(2)0221 )AyAx(xAAy12 合振動的軌跡為通過原點且合振動的軌跡為通過原點且在第二、第四象限內的直線在第二、第四象限內的直線12AA 斜斜率率質點離開平衡位置的位移質點離開平衡位置的位移)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 yx)tcos(AAyxS 2221222(3)1020 12212 AyAx合振動的軌跡為以合振動的軌跡為以x軸和軸和y軸軸為軸線的橢圓為軸線的橢圓)tcos(Ax101 質點沿橢圓的運動方向是順時針的。質點沿橢圓的運動方向是順時針的。)(sin)cos(AyAxA

21、yAx102021020212222122 yx)tcos(Ay2101 yx2(4)1020 合振動的軌跡為以合振動的軌跡為以x軸和軸和y軸軸為軸線的橢圓為軸線的橢圓)tcos(Ax101 質點沿橢圓的運動方向是逆時針的。質點沿橢圓的運動方向是逆時針的。)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 )tcos(Ay2101 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .0 時，逆時針方向轉動。時，逆時針方向轉動。 0時，順時針方向轉動。時，順時針方向轉動。*五、五、垂直方向不同頻率垂直方向不同頻率可看作兩頻率相等而可

22、看作兩頻率相等而 2- 1隨隨t 緩慢變化合運動緩慢變化合運動軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。 軌跡稱為軌跡稱為李薩如圖形李薩如圖形yxA1A2o o- -A2- -A1簡諧振動的合成簡諧振動的合成)()(xyxyt 4023 xyyx,:兩分振動頻率相差很小兩分振動頻率相差很小兩振動的頻率成兩振動的頻率成整數比整數比李薩如圖形李薩如圖形21:31:32:最簡單最基本的線性振動。最簡單最基本的線性振動。簡諧振動簡諧振動：一個作往復運動的物體，如果其偏離：一個作往復運動的物體，如果其偏離平衡位置的位移平衡位置的位移x（或角位移或角位移 ）隨時間）隨時間t按余弦按余弦（或正

23、弦）規律變化的振動。（或正弦）規律變化的振動。)tcos(Ax0 用旋轉矢量表示相位關系用旋轉矢量表示相位關系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相)2cos( tvvmx)2cos( tA)cos( taamx)cos(2 tA由圖可見：由圖可見：2 va超超前前2 xv超超前前x t+ o Amv ma 090090例例1:如圖如圖m=210-2kg, 彈簧的靜止形變為彈簧的靜止形變為 l=9.8cm t=0時時 x0=-9.8cm, v0=0 取開始振動時為計時零點，取開始振動時為計時零點， 寫出振動方程；寫出振動方程；（2）若?。┤羧0=0，v00為計時零點，為計時零點， 寫出振動方程寫出振動方程,并計算振動頻率。并計算振動頻率。XOmx解：解： 確定平衡位置確定平衡位置 mg=k l 取為原點取為原點 k=mg/ l 令向下有位移令向下有位移 x, 則