1、張利華:179611328: hbzlh163第五章 離散時間信號與系統的頻域分析 5.2 信號的抽樣 5.1引言 5.3 離散非周期信號的頻譜離散時間傅里葉變換 5.4 離散周期信號的頻譜離散傅里葉級數 5.5 離散時間LTI系統的頻域分析5.2 信號的抽樣連續時間信號的抽樣 信號的抽樣包括時域抽樣和頻域抽樣，本節僅討論信號的時域抽樣。 將模擬信號按一定時間間隔循環進行取值，從而得到按時間順序排列的一串離散信號的過程稱為抽樣 完成抽樣功能的器件稱為抽樣器。下圖所示的是抽樣器的示意圖， 5.1 引 言 在時間域對信號和系統進行分析和研究比較直觀，概念清楚，但有很多問題在時間域分析和研究起來困難

2、 例如有兩個序列，從波形上看，一個變化快，另一個變化慢，但都混有噪聲，希望分別用濾波器濾除噪聲，又不能損傷信號。為了設計合適的濾波器，需要分析信號的頻譜結構。 因此，有必要將時域信號轉換到頻率域，分析它的頻域特性，然后進行處理。 圖中 表示模擬信號， 表示抽樣信號， 為周期性沖激函數序列，其中T為抽樣周期， 為抽樣頻率。 ( )ax t( )( )Tp ttsf( )ax t 當t0的極限情況，此時抽樣脈沖序列 變成沖激函數序列 ，就是理想抽樣情況，下圖為理想抽樣和實際抽樣。 ( )p t( )Tt理想抽樣理想抽樣 當上圖所示的抽樣器開關S的閉合時間t0時，抽樣脈沖序列 變成沖激函數序列 ，即

3、： ( )p t( )Tt( )( )()Tnp tttnT理想抽樣輸出 為： ( )ax t ( ) ( )( )()( ) ()aaaannxtx t p tx ttnTx ttnT化簡上式可得： () ()aanxtx nTtnT ( )ax t( )p t( )()esjrtrnrp ttnTC將 展開成傅里葉級數，得：理想抽樣圖頻譜延拓頻譜延拓利用時域卷積性質可求其理想抽樣信號 的頻譜 ( )ax tsfmf2smffsf 下圖5.1為理想抽樣后信號的頻譜分析 在理想抽樣中，為了使平移后的頻譜不產生“混疊失真，應要求抽樣頻率足夠高。在信號 的頻帶受限的情況下，抽樣頻率 應等于或大于信

4、號最高頻率 的兩倍，即： 這就是時域抽樣定理，又稱Nyquist奈奎斯特抽樣定理。其中抽樣頻率 又稱為奈奎斯特頻率，抽樣頻率的一半稱為折疊頻率，是使抽樣信號頻譜不混疊時的最大的抽樣間隔，稱為奈奎斯特間隔。( )axt ( )axt2sm（b抽樣信號 的頻譜（ ） （a連續信號 的頻譜 jj222211( )ed()edssTTrtrtTTrnCp tttnTtTTj022111( )edesTrtTttTTT因此的傅里葉變換為：( )p tj12( )e(jj)srtsrrPrTTF其中11( )( )( )( )( )( )()2aaaasrXx tp tXPXrT F1()asrXrTs

5、(5.1)則理想信號 的抽樣頻譜 為： 在信號抽樣過程中，隨著抽樣角頻率 的降低，周期化過程中相鄰頻譜間隔將會減小，當 或 時，平移后的頻譜必互相重疊，重疊部分的頻率成分的幅值與原信號不同，使得抽樣后信號的頻譜產生失真，如下圖5.1d所示，這種現象稱為“混疊” 。如果原信號不是帶限信號，那么“混疊現象必然存在。 2sm2smff( )aX ( )ax t( )x n ( )ax t2sm（c抽樣信號抽樣信號 的頻譜的頻譜 （d理想抽樣后信號理想抽樣后信號 的頻譜（的頻譜（ ） jT(e)( )aXXjT1(e )( )()aasrXXXrTjT12(e )arXXrTTT2sfTf sff 由

6、于 是 對 歸一化的結果，故可以認為離散時間序列的頻譜是抽樣信號的頻譜經頻率歸一化后的結果，如圖5.1c所示。所以有將式5.1代入上式得或頻率歸一化頻率歸一化( )x n( )ax t( )()ax nx nT( )aX ( )( )( )() ()aaaanXxtx tp tx nTtnTFFFj()()()enTaannx nTtnTx nTF( )x njj(e)( )ennXx n 則抽樣信號 的頻譜 為： 另一方面，離散時間序列 的傅里葉變換為設離散時間序列 是模擬信號 通過周期抽樣得到，即 ( )ax t ( )ax t2s2( )02ssTH 理想低通濾波器的頻率特性 同樣從圖5

7、.1中可知，為了從抽樣信號 中恢復出原來的模擬信號，讓抽樣信號通過一個截止頻率為 的理想低通濾波器，就可將抽樣信號中的基帶頻譜取出來。 這個理想低通濾波器的頻率特性見下式，對應的頻率特性如下圖所示。2( )02ssTH 信號重建信號重建1( )X ( ),T2saaX 其方法是：在抽樣器前加入一個保護性的前置低通濾波器，稱之防混疊濾波器，其截止頻率為 用來濾除高于此頻率分量的信號，以保證進入抽樣器的信號是一帶限信號。2s從圖5.1可以看出，如果抽樣信號的頻譜不存在混疊，那么 在工程實際中，許多信號的頻譜很寬或無限寬，如果不滿足抽樣定理約束條件的情況下直接對這類信號進行抽樣，將產生無法接受的頻譜

8、混疊稱為混疊誤差）。為了改善這種情況，故要加入一個抗混疊措施 。( )h t/21jj/211( )( )( )ede22ssttah tHHTdFsinsin22()2sassttTStTTttT其中， sin()d()()aanntnTTxh tnTx nTtnTT ( )( )( ) ()ddaaaany tx txh txnTh t 對應理想低通濾波器的沖激響應 為： 則理想低通濾波器的輸出為： 上式就是從抽樣信號恢復原信號的抽樣內插公式，說明輸出等于原信號抽樣點的值與內插函數乘積和。內插函數是sin()()()atnTTstnTTtnTT 內插函數在 的抽樣點上的值為1，在其余抽樣點

9、上的值都為零，在抽樣點之間的值不為零，如下圖所示 tnT( )ayt( )axttnT 被恢復的信號 在抽樣點上的值恰好等于原來連續信號 在 抽樣時刻 的值，而抽樣點之間的部分由各內插函數的波形延伸疊加而成，如下圖所示 ( )ax t ( )ax t( )x n200Hzsf （1） 的周期、抽樣樣頻率和抽樣樣間隔為多少？ （2若選用抽樣 頻率，則抽樣間隔是多少？寫出抽樣信號 的表達式 （3求 的周期 0( )sin 28axtf t050Hzf 已知模擬信號已知模擬信號 ，其中，其中 求求解：解：001/0.02sTf( )ax t02100Hzsff 1/0.01ssTf ( )ax t(

10、 )ax t周期為 抽樣頻率為 抽樣間隔為 （1由 ，得 050Hfz200Hsfz1/0.005ssTf050T( )sin 2sin 2sin8200828aat nTnx nx tf nTn ( )() ()sin28200aannnnx tx nTtnTt （3由于 ，N=4為最小正整數，所以 的周期為4 0122( )( )sin,428 1/2at nTNx nx tnk( )x n（2選 ，則抽樣間隔為 故故 離散時間信號的抽樣離散時間信號的抽樣( ),( )0,px n nkN kxn為整數其他 離散時間信號抽樣后得到的序列稱為離散時間抽樣序列，它在抽樣周期N的整數倍點上的抽樣

11、值等于原來的序列值，而在這些點之間的抽樣值都為零，即 離散時間信號抽樣過程如下圖所示：101()()NjpskXeXkN 2sm( )pxn()jpXe( )x n()jX e2sN 離散時間信號抽樣的頻譜如下圖所示。由下圖的c和d可以得出：在離散時間信號抽樣中，為了不發生混疊失真，抽樣頻率應滿足條件： 上式表明，離散時間抽樣序列 的傅里葉變換 是原序列 的傅里葉變換 的周期延拓，周期為抽樣頻率 。jjjjj()11(e)(e)(e)(e )(e)d22pXPXPX( )p tj2(e)()skPkN 將 代入上面兩式可得：這可看作是一個信號的調制過程，即：與上一節沖激序列 的傅里葉變換的推導

12、類似，有：( )( ) ( )( ) ()() ()pkkx nx n p nx nn kNx Nkn kN2sN 則對應的頻域形式為：離散時間信號抽樣頻譜( )pxn( )x n2()02sjsNH e j221( )edsin22ssnsNh nNnn ( )( )* ( )sin2srpkNx nx nh nx kNnkNTnn sin()()2srkkNx kNn kNx kN h n kNn 在離散時間抽樣序列信號 的頻譜沒有混疊失真的情況下，用一個理想低通濾波器就可恢復出原信號 ，如下圖所示。其中理想低通濾波器的頻率特性為： 對應的沖激響應為：則低通濾波器的輸出為：利用理想低通濾波

13、器從離散時間信號抽樣序列中恢復原離散時間序列5.3 離散非周期信號的頻譜離散時間傅里葉變換離散時間傅里葉變換( )x njjX(e) ( )( )ennDTFT x nx n ()jX ejjj1( )IX(e)X(e)ed2nx nDTFT()jX ejjjRIX(e)X (e)X (e)的離散時里間傅葉反變換定義為：離散非周期序列 的離散時間傅里葉變換定義為： 為復數，可用它的實部和虛部表示為:jjarg X(e)jjj ()X(e)X(e) e( )eX 或用幅度和相位表示為: 對于上式成立的條件是序列絕對可和，或者說序列的能量有限，即滿足：( )nx n 絕對可和只是一個充分條件，例如

14、 及一些周期信號等，都不是絕對可和的，因此認為它們的離散時間傅里葉變換不存在。但是，如果引入奇異序列的概念，那么這類不絕對可和的序列也存在離散時間傅里葉變換。( )x n( )u n解：由離散時間傅里葉變換的定義，解：由離散時間傅里葉變換的定義，有有那么11cosjsinX ()1cossin(1cosjsin)(1cosjsin)jaaeajaaaaa 12221cossin1(12cos)(12cos)ajaaaaa jjjjj001(e)( )ee( e)1ennnnnnnXx naaa 求信號求信號 ( a為實數，且為實數，且0a1)的離的離散時間傅里葉變換。散時間傅里葉變換。( )(

15、 )nx na u nsinarg()arctg1cosjaX ea 其對應的幅度譜和相位譜如下圖所示。例5.2中傅里葉變換的幅度譜和相位譜 離散時間傅里葉變換的性質jj1122(e) ( ),(e)DTFT( )XDTFT x nXx njj1212DTFT( )( )(e)(e)ax nbx naXbX 設()DTFT ( )jX ex n那么 0jj0DTFT ()e(e)nx nnX 00jj()DTFTe( )(e)nx nX1線性特性線性特性2時移特性和頻移特性時移特性和頻移特性 設那么 離散序列的離散時間傅里葉變換具有以下兩個特點：j(2)j(2)2jj(e)( )ee( )e(

16、e)njnnnnXx nx nX ()jX ejX(e)()jX e( )x njarg(e)X（1） 是以2為周期的的連續函數。 當 為實序列時， 的幅值 在02區間內是偶對稱函數，相位 是奇對稱函數。 設設 ，假設，假設j()DTFT ( ),H(e)DTFT ( )jX ex nh njjjjj()11(e)(e)(e)(e )(e)22YXHXHd5頻域卷積特性頻域卷積特性6對稱特性對稱特性 上式表明，兩信號在時域的乘積，其對應的頻譜在頻域將為周期卷積。 在討論對稱特性之前，先來定義共軛對稱序列和共軛反對稱序列。( )( ) ( )y nx n h n()DTFT ( )jX ex n

17、jd (e)DTFT( )dXnx njj()DTFT ( ),H(e)DTFT ( )jX ex nh n( )( )( )y nx nh n()DTFT ( )( )()()jjjY ex nh nX eH e3頻域微分特性頻域微分特性4時域卷積特性時域卷積特性那么 那么 設 設 ，假設 上式表明，兩信號在時域的卷積，其對應的頻譜在頻上式表明，兩信號在時域的卷積，其對應的頻譜在頻域將為乘積。域將為乘積。 *( )()x nxn( )ex n 則稱序列 為共軛反對稱序列，用 來表示。共軛反對稱序列的實部是奇函數，虛部是偶函數，有( )ox n( )x n( )x n*1( )( )()21(

18、 )( )()2eox nx nxnx nx nxn 若序列滿足： 則稱序列 為共軛對稱序列，用 來表示。共軛對稱序列的實部是偶函數，虛部是奇函數。*( )()x nxn 若序列滿足：( )x n*j*jj11DTFT Re ( )DTFT( )( )e)e)e)22ex nx nx nXXX （*j*jj11DTFTIm ( )DTFT( )( )e)e)e)22ojx nx nx nXXX （( )x n*j*jj11DTFT( )DTFT( )()e)e)Ree)22ex nx nxnXXX（*j*jj11DTFT( )DTFT( )()e)e)Ime)22ox nx nxnXXjX（

19、（1對于復數序列 ，其實部和虛部的傅里葉變換，有 （2對于復數序列 ，其共軛對稱序列和共軛反對稱序列的離散時間傅里葉變換，有 上兩式表明，復數序列共軛對稱分量的離散時間傅里葉變換是序列離散時間傅里葉變換的實數部分，復數序列共軛反對稱分量的離散時間傅里葉變換是序列離散時間傅里葉變換的虛數部分。 假設 為實序列，則有 j*jX(e)X (e) ( )x n 即實序列離散時間傅里葉變換的實部是的偶函數，虛部是的奇函數。7帕塞瓦爾帕塞瓦爾Parseval定理定理 假設 那么 ()DTFT ( )jX ex n22j1( )(e) d2nx nX 上式表明，序列能量具有時域和頻域的一致性。 可以證明，在

20、頻域下，任一序列都可以表示成一個共軛對稱部分與共軛反對稱部分的和，即其中jjjX(e)(e)(e)eoXXjj*jjj*j1(e)X(e)X (e)21(e)X(e)X (e)2eoXX 下面討論序列離散時間傅里葉變換的對稱性，從兩個方面進行分析。 5.4 離散周期信號的頻譜離散傅里葉級數離散傅里葉級數 設 是以N周期的周期序列，因為序列具有周期性，可以展開成離散傅里葉級數，即是離散傅里葉級數的系數，計算式為 上面兩式通常看作周期序列的離散傅里葉級數變換對。通常用符號 代入離散傅里葉級數對，則得到周期序列的離散傅里葉級數變換對的常用表示法：( )X k21j0( )( )eNknNnX kx

21、nk2 jeNNW2101( )( )NjnkNkx nX k eN( )x n10( )DFS ( )( ),NknNnX kx nx n Wk101( )IDFS( )( ),NknNnx nXkXk WkN n和和k均為離散變量。如果將均為離散變量。如果將n當作時間變量，當作時間變量，k當作頻率當作頻率變量，則第一式表示的是時域到頻域的變換，稱為變量，則第一式表示的是時域到頻域的變換，稱為DFS的正變的正變換。第二式表示的是頻域到時域的變換，稱為換。第二式表示的是頻域到時域的變換，稱為DFS的反變換。的反變換。( )x n( )x n4( )R ( )x nn( )X k 設 ，將 以N

22、=8為周期進行周期延拓，得到周期序列 ,試求傅里葉變換 ，并畫出它的幅頻特性。解解:故幅頻特性為： j42734jj84j0041e( )( )e( )e1kknknknnX kx nx nejjj3 222j8jjj888sine(ee)2esine(ee)8kkkkkkkkksin2( )sin8kX kk 離散傅里葉級數的性質1線性特性線性特性1( )x n2( )x n1122( )DFSx (n),( )DFS( )X kXkx n假設31122( )( )( )xna x na xn31 1221122( )DFS( )( )( )( )Xka x na x na X ka Xk那

23、么 設周期序列 和 都是周期為N的周期序列，它們的DFS的系數分別為周期序列 的波形及幅頻特性 如下圖所示( )x n( )X k周期序列 的波形圖( )x n 幅頻特性( )X k2時移特性和頻域特性時移特性和頻域特性( )DFSx(n)X k DFS ()( )mkNx nmWX k( )()mnNDFS Wx nX km 上面兩式表明，周期序列在時域中的位移，其對應的頻譜將會產生附加相移。周期序列在時域的相移，其對應的頻譜將會產生頻移。設 那么3周期卷積特性周期卷積特性 設周期序列 和 都是周期為N的周期序列，它們的DFS的系數分別為1( )x n2( )x n11112200( )x

24、(),( )x ( )NNmkrkNNmrXkm WXkr W設 12( )( )( )Y kX kXk那么112120( ) ( )( )()( )*( )Nmy nIDFS Y kx mx nmx nx n 上式表示的是兩個周期序列的卷積，稱為周期卷積。顯然，周期為N的兩個序列的周期卷積的離散傅里葉級數等于它們各自離散傅里葉級數的乘積。周期卷積滿足交換律，故又可表示為 。121210( )( )()( )*( )Nmy nx mx nmx nx n4頻域卷積特性頻域卷積特性假設 12( )( )( )y nx n x n那么1121201( )( )( )( )()NlY kDFS x n

25、x nX lXklN 上式表明，兩個周期序列在時域的乘積，對應其頻譜在上式表明，兩個周期序列在時域的乘積，對應其頻譜在頻域的周期卷積。頻域的周期卷積。121() *()XnXnN 5.5 離散時間LTI系統的頻域分析( )h n()( )jjnnH eh n e 與連續時間LTI系統類似，離散時間LTI系統的頻率響應就是系統單位樣值響應的傅里葉變換，即DTFT。 對于單位樣值響應為 的系統，其系統頻率響應為離散時間LTI系統的頻率響應jjjje( )ee(e)nknkh kH 10( )()()NMkkkky na y nkb x nk 與連續時間與連續時間LTI系統的頻率響應類似，離散時間系

26、統的頻率響應類似，離散時間LTI系系統的頻率響應也可以通過差分方程來定義。統的頻率響應也可以通過差分方程來定義。 離散時間LTI系統在時域可以用n階常系數線性差分方程來描述，即： 則系統的零狀態響應為j()( )( ) ()( )en kzskkynh k x nkh k 在零狀態條件下， 對上式兩邊進行離散時間傅里葉變換，并利用離散時間傅里葉變換的時域位移特性，可得 其中 為輸入信號 的離散時間傅里葉變換， 為零狀態響應 的離散時間傅里葉變換，它們分別反映輸入信號與輸出信號的頻率特性。 令:( )( )zsy nynjjjjZS101eY (e)eX(e)NMkkkkkkab( )x njY

27、 (e)ZS( )zsynjjjj(1)jjZS001-1Mjjj(1)jj1-1N1eY (e)eeeH(e)X(e)1eee1eMkMMkkMNNNkNkkbbbbbaaaa ()jX e 上式表明， 為離散時間LTI系統在零狀態下輸出響應與輸入激勵的頻譜函數之比，稱為離散系統的頻率響應。H()je 與連續時間情況相同，在離散時間LTI系統分析中，頻率響應 所起的作用與其原信號單位脈沖響應 的起的作用是等價的。( )h nH()je 對于穩定的離散時間LTI系統，設輸入序列是一數字域頻率為的復指數序列，即( ),jnx nen 已知描述某離散時間LTI系統的差分方程為31( )(1)(2)

28、4 ( )3 (1)48y ny ny nx nx n試求該系統的頻率響應 和單位抽樣響應 。H()je( )h n 由DTFT的時域位移特性，對差分方程兩邊時行DTFT，可得：jj2jjj31(1ee)(e)(43e)(e)48ZSYX jjjZSjjj2jjY (e)43e2016H(e)3111X(e)1ee1e1e4824 只有當離散系統是LTI系統時，系統的 和 之間是離散時間傅里葉變換對的關系。對于因果不穩定的離散時間LTI系統，盡管其脈沖響應存在，但其頻率響應不存在。H()je( )h n因此有：對上式進行IDTFT，即得：11( )20( )( )16( )( )24nnh n

29、u nu n解： 離散非周期序列通過系統的頻域分析( )zsynH()je( )x n( )x n( )zsynjjj(e )(e )(e )ZSYXH (5.2) 設連續時間系統情況相同，求解離散非周期序列通過系統的零狀態響應的一般思路是：通過卷積性質求得輸出序列 的頻譜，然后對該頻譜作反變換求得時域解 。 由DTFT的時域卷積定理，若離散非周期序列 為激勵信號，存在IDTFT，系統的頻率響應為 ，那么 作用 于離散時間LTI系統的零狀態響應 的頻譜為：( )zsyn31( )(1)(2)4 ( )3 (1)48y ny ny nx nx n( )zsyn 已知描述某穩定的離散時間LTI系統

30、的差分方程為 若系統的輸入序列 ，求系統的零狀態響應 。3( )( )4nx nu n 由DTFT的時移特性，對差分方程兩邊時行DFTF，可得 那么那么jj2jjj31(1ee)(e)(43e)(e)48ZSYX jjjjZSjj2j43e1Y (e)H(e)X(e)3131ee1e484 jjjjjjj43e1840361131131e1e1e1e1e1e424424 jjjZSjjj2Y (e)43eH(e)31X(e)1ee48 解：解： 對上式進行IDTFT，即得113( )8( )40( )36( )424nnnzsynu nu nu n 只有離散時間只有離散時間LTILTI系統頻率響應系統頻率響應 以及輸入序以及輸入序列的列的DTFTDTFT都存在，才可以通過頻域求解離散時間都