1、數(shù)學(xué)第7講一元二次方程第第7講一元二次方程講一元二次方程 1定義只含有_一個未知數(shù)_，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是_2_，這樣的整式方程叫做一元二次方程通常可寫成如下的一般形式： _ax2bxc0(a， b， c 是已知數(shù)， a0)_，其中 a，b，c 分別叫做二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項2解法首先考慮_直接開平方法_，_因式分解法_；其次考慮_配方法_，_公式法_ 3公式一元二次方程 ax2bxc0(a0)的求根公式：_xb b24ac2a(b24ac0)_4一元二次方程的根的判別式對于一元二次方程 ax2bxc0(a0)：(1)b24ac0方程有兩個_不相等_的實數(shù)根；(2)b24ac0方程有

2、兩個_相等_的實數(shù)根；(3)b24ac0方程_沒有_實數(shù)根 3解法(1)解一元一次方程主要有以下步驟：_去分母_；_去括號_；_移項_；_合并同類項_；未知數(shù)的系數(shù)化為 1.(2)解二元一次方程組的基本思想是_消元_， 有_代入消元法_與_加減消元法_即把多元方程通過_加減_、_代入_、換元等方法轉(zhuǎn)化為一元方程來解 轉(zhuǎn)化思想一元二次方程的解法直接開平方法、 配方法、公式法、因式分解法，都是運用了“轉(zhuǎn)化”的思想，把待解決的問題(一元二次方程)， 通過轉(zhuǎn)化、 歸結(jié)為已解決的問題(一元一次方程)， 也就是不斷地把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知” 注意：注意： (1)根的判別式根的判別式“b24ac”只有在確認(rèn)

3、方程為一只有在確認(rèn)方程為一元二次方程時才能使用；元二次方程時才能使用； (2)使用時使用時，必須將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般式必須將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般式ax2bxc0，以便確定以便確定a，b，c的值的值 防范防范 正確理解正確理解“方程有實根方程有實根”的含義若有一個的含義若有一個實數(shù)根則原方程為一元一次方程；若有兩個實數(shù)實數(shù)根則原方程為一元一次方程；若有兩個實數(shù)根則原方程為一元二次方程在解題時根則原方程為一元二次方程在解題時，要特別要特別注意注意“方程有實數(shù)根方程有實數(shù)根”“”“有兩個實數(shù)根有兩個實數(shù)根”等關(guān)鍵等關(guān)鍵文字文字，挖掘出它們的隱含條件挖掘出它們的隱含條件，以免陷入關(guān)鍵字以免陷入關(guān)

4、鍵字的的“陷阱陷阱” 1(2014舟山、嘉興)方程 x23x0 的根為_x3或 x0_2(2013溫州)方程 x22x10 的根是_x112，x21 2_ 3(2014衢州、麗水)如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長 30 cm、寬 20 cm 的長方形 ABCD 上修建三條同樣寬的通道， 使其中兩條與 AB 平行， 其余部分種花草要使每一塊花草的面積都為 78m2，那么通道的寬應(yīng)設(shè)計成多少米？設(shè)通道的寬為x m，由題意列得方程_x235x660_ 4(2014寧波)已知命題”關(guān)于 x 的一元二次方程 x2bx10，當(dāng) b0 時必有實數(shù)解”， 能說明這個命題是假命題的一個反例可以是( A )Ab1Bb2C

5、b2Db0 【例 1】解下列方程：(1)x22x0；(2)x24x10；(3)(y3)(13y)12y2；(4)(3x5)25(3x5)40；(5)(1997x)2(x1996)21. 解：(1)x22x0，x(x2)0，x10，x22(2)解：原方程可化為(x24x44)10，即(x2)25，兩邊開方，得x2 5，解得 x12 5，x22 5(3)(y3)(13y)12y2，y3y239y12y2，5y28y20，y8 104254 265，y14 265，y24 265 (4)(3x5)25(3x5)40，(3x51)(3x54)0，(3x4)(3x1)0，3x40 或 3x10，x143

6、，x213(5)解法一：(1997x)2(x1996)210，(1997x)2(x1997)(x1995)0(x1997)(x1997)(x1995)0，2(x1997)(x1996)0，x11997，x21996解法二：因為(1997x)2(x1996)2(1997x)(x1996)22(1997x)(x1996)，所以原方程可化為 12(1997x)(x1996)1，2(1997x)(x1996)0，x11997，x21996【點評點評】解一元二次方程要根據(jù)方程的特點選擇合適的方法解題解一元二次方程要根據(jù)方程的特點選擇合適的方法解題，但一般但一般順序為：直接開平方法順序為：直接開平方法、因

7、式分解法因式分解法、公式法公式法 1用指定的方法解下列方程：(1)(2x1)29；(直接開平方法)(2)x23x40；(配方法)(3)x22x80；(因式分解法)(4)x(x1)2(x1)0.(公式法) 解：(1)(2x1)29，2x13，x132，x12，x21(2)x23x40，(x32)2254，x3252，x11，x24(3)x22x80，(x4)(x2)0，x14，x22(4)x(x1)2(x1)0，x23x20，x3 1721，x13 172，x23 172 配方法 【例例2】用配方法把代數(shù)式用配方法把代數(shù)式3x2x22化為化為a(xm)2n的形的形式式，并說明不論并說明不論x取何

8、值取何值，這個代數(shù)式的值總是負(fù)數(shù)并求出這個代數(shù)式的值總是負(fù)數(shù)并求出當(dāng)當(dāng)x取何值時取何值時，這個代數(shù)式的值最大這個代數(shù)式的值最大解：3x2x222(x232x)22(x232x916916)22(x232x916)9822(x34)278，2(x34)20，2(x34)2780，當(dāng) x34時，代數(shù)式最大值為78 【點評點評】(1)代數(shù)式的配方是一種重要的數(shù)學(xué)方法代數(shù)式的配方是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它既是恒等變形的重要手段它既是恒等變形的重要手段，又是研究相等關(guān)系又是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用方法在配方前討論不等關(guān)系的常用方法在配方前，先將二次項先將二次項系數(shù)系數(shù)2提出來提出來，使括號中的二次

9、項系數(shù)化為使括號中的二次項系數(shù)化為1，然然后通過配方分離出一個完全平方式后通過配方分離出一個完全平方式 (2)注意與方程的配方的區(qū)別注意與方程的配方的區(qū)別 2(1)(2014聊城)用配方法解一元二次方程 ax2bxc0(a0)，此方程可變形為( A )A(xb2a)2b24ac4a2B(xb2a)24acb24a2C(xb2a)2b24a4a2D(xb2a)24acb24a2 (2)對于二次三項式對于二次三項式x210 x36，小聰同學(xué)作出如小聰同學(xué)作出如下結(jié)論：無論下結(jié)論：無論x取什么實數(shù)取什么實數(shù)，它的值都不可能等于它的值都不可能等于11.你是否同意他的說法？說明你的理由你是否同意他的說法

10、？說明你的理由解：不同意小聰?shù)恼f法理由如下：解：不同意小聰?shù)恼f法理由如下：x210 x36x210 x2511(x5)21111，當(dāng)當(dāng)x5時時，x210 x36有最小值有最小值11 一元二次方程根的判別式【例3】(2014深圳)下列方程沒有實數(shù)根的是( C )Ax24x10 B3x28x30Cx22x30 D(x2)(x3)12【點評】對于一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情況的描述，必須借助根的判別式，0方程有兩個實數(shù)根，0方程有兩個不相等的實數(shù)根，0方程有兩個相等的實數(shù)根，0方程沒有實數(shù)根，反之亦然 (2)(2014十堰)已知關(guān)于x的一元二次方程x22(m1)xm210.若方程有實數(shù)

11、根，求實數(shù)m的取值范圍；若方程兩實數(shù)根分別為x1，x2，且滿足(x1x2)216x1x2，求實數(shù)m的值解：由題意有2(m1)24(m21)0，整理得8m80，解得m1，實數(shù)m的取值范圍是m1由兩根關(guān)系，得x1x22(m1)，x1x2m21，(x1x2)216x1x2，(x1x2)23x1x2160，2(m1)23(m21)160，m28m90，解得m9或m1.m1，m1 與幾何問題的綜合【例4】(1)已知等腰三角形底邊長為8，腰長是方程x29x200的一個根，求這個等腰三角形的腰長解：解方程x29x200，x14，x25，當(dāng)腰長x4時，448，不合題意，舍去，腰長x5 (2)(2013綿陽)已

12、知整數(shù)k5，若ABC的邊長均滿足關(guān)于x的方程x23x80，則ABC的周長是_6或12或10_解析：根據(jù)題意得k0且(3)2480，解得k，整數(shù)k5，k4，方程變形為x26x80，解得x12，x24，ABC的邊長均滿足關(guān)于x的方程x26x80，ABC的邊長為2，2，2或4，4，4或4，4，2.ABC的周長為6或12或10 【點評】(1)將構(gòu)成三角形的條件“三角形任意兩邊之和大于第三邊”與一元二次方程的解結(jié)合在一起，并考查了分類討論的思想(2)根據(jù)題意得k0且(3)2480，而整數(shù)k5，則k4，方程變形為x26x80，解得x12，x24，由于ABC的邊長均滿足關(guān)于x的方程x26x80，所以ABC的

13、邊長可以為2，2，2或4，4，4或4，4，2，然后分別計算三角形周長 4(2013鐵嶺)如果三角形的兩邊長分別是方程x28x150的兩個根，那么連接這個三角形三邊的中點，得到的三角形的周長可能是( A )A5.5B5C4.5D4解析：解方程x28x150，x13，x25，第三邊x的范圍為2x8，原三角形周長l的范圍為10l16，由三角形中位線定理可知，三邊中點連線構(gòu)成的三角形周長為原三角形周長的一半，周長在58之間 試題(1)解方程：3x(x2)5(x2)；(2)解方程：9x26x19；(3)解方程：x22x10.錯解(1)解：3x(x2)5(x2)，兩邊同時除以(x2)，得3x5，x.(2)解：9x26x19，左邊因式分解，得(3x1)29，兩邊開平方，得3x13，x.(3)解：x22x10，配方，得(x1)20，兩邊開平方，得x10，x1. 剖析(1)解方程3x(x2)5(x2)時，方程兩邊同時除以含x的代數(shù)式破壞了方程的同解性，遺失了一個根x2