1、第二節復數的概念與運算一、課標考綱要求1 .復數的概念(1)理解復數的基本概念(2)理解復數相等的充要條件(3)了解復數的代數表示法及其幾何意義2 .復數的四則運算(1)會進行復數代數形式的四則運算(2) 了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義二、基礎知識梳理1 .復數的基本概念(1) .概念：形如a+bi(a,bwR)的數，稱為復數.所有復數構成的集合稱復數集.通常用C表示.(2) .虛數單位為i：i2=-1.i和實數在一起，服從實數的運算律(3)復平面：建立直角坐標系來表示復數的平面叫復平面，x軸稱為實軸，y軸稱為虛軸，實軸上的點都表示實數，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數。各象限內的點都

2、表示虛數(4) .復數的幾種形式：.代數形式：z=a+bi(a,bwR),其中a叫實部記作Re(z),b叫虛部記作Im(z)；幾何形式：將(a,b)作為復平面內點的坐標，那么z與復平面唯一一個點相對應，從而可以建立復數集與復平面內所有的點構成的集合之間的一一映射。因此復數可以用點來表示，點稱為復數的幾何形式.即z=(ab)將(a,b)作為向量的坐標，復數z又對應唯一一個向量，因此復平面內的向量也是復數的一種表示形式，稱為向量形式.即z=OZ(5) .復數的分類： .實數仁b=0,即z=a .虛數ub#0 .純虛數ua=0且b#0,即2=3(6) .共軻復數：若兩個復數的實部相等，虛部互為相反數

3、，則稱這兩個復數叫做互為共軻復數，復數z的共軻復數用z表示，即2=2+3(a,bwR)Uz=abi(a,bwR)(7) .兩個復數相等的定義：a+bi=c+diua=c且b=d(其中a,b,c,d,wR)。特別地a+bi=0ua=b=02.復數的基本運算(1) .復數的運算法則：代數形式：運算加、減、乘、除運算法則與實數范圍內一致，特別注意：復數的除法運算，運算結果可以通過乘以共軻復數將分母分化為實數；即：(a+bi)±(c+di)=(a土c)+(b土d)i。(a+biJ'fc+di)=(acbd)+(ad+bc)iabi_abic-di_(acbd)(bc-ad)icdic

4、dic-dic2d2向量形式：加、減法滿足平行四邊形和三角形法則，若為坐標滿足向量的坐標運算(2) .運算定律：復數的加法滿足交換律、結合律。443=4Z2Z3即Vz,z2,z3wC,都有z1+z2=z2十4；復數的乘法滿足交換律、結合律、分配律。即一4：22-C,4馬二42；乙心？3二4-z2z3；zi-Z2Z3=44.44(3)距離：模：z=Ja2+b2。復平面內的兩點間距離公式：d=|z1-z2.3、復數的性質(1) .共軻復數的性質：z=zz1»z2=zi»z2_.一、一2一2z+z=2a,z_z=2bi(z=a+bi)z,z斗z|4z|zi-z2zi-z2ziz2

5、zi己2曳二三(z2,二0)zn=(z)nz2z2特別地：方除z=z。非零復數z是純虛數=z+z=0注：兩個共軻復數之差是純虛數.(X)之差可能為零，此時兩個復數是相等的(2) .模運算的性質z=|z；zi221=乙2；三=4億2#0);zn|=|zn。z=iuzz=i;1 1z2z2|2-2n2-特別地：z=z=z=z=zz(3) .復數的乘方：zn=zzz.z(n回N。n對任何z,zi,z2WC及m,nWNmzmznNm?(zm)nNm色z2)n=z；z；注：以上結論不能拓展到分數指數哥的形式，否則會得到荒謬的結果，如i2=i,i4=i若由iii2=(i4)2W2=i就會得到i=i的錯誤結

6、論.(4) .絕對值不等式：設zi,z2是不等于零的復數，則 zi|,2Mziz2|；z1”2.左邊取等號的條件是z2=：zi(九WR,且九Y0),右邊取等號的條件是z2=Qi(九WR,九0). zi-z2-zi-z2-zi|-iz2.左邊取等號的條件是z2=Zzi(九WR,750),右邊取等號的條件是z2=Mi(7KR,九飛).什.-LL1-1任zz2z2z3z3z4IIIznn=zizn.4 .復數常用的結論：n4ni4n_24n"3'4nnn"1n2n”3(1) .i周期為4。即i=i,i=i,i=i,i=i。in戈n+in巾n3=0,(n=Z)0、21i1-

7、i(2) .(1-i)=-2i,i,廠=-i1-i1i(3) .右切是1的立方虛數根,即8=_1士史貝山3=1029，切=2,1九0的2=。6蛤"的阡=0什EZ)225 .易錯點(1) .兩個復數不能比較大小。當且僅當兩個復數全為實數時，才能比較大小.注：若Zi，Z2為復數，則1-若zi+z2>0,則ZAZ2.(X)Zi，Z2為復數，而不是實數2-若Zi，2,則Zi-Z2Y0.(，)若a,b,cWC,則(a-b)2+(b-c)2+(ca)2=0是a=b=c的必要不充分條件.(當(a-b)2=i2,(b-c)2=1,(c-a)2=0時，上式成立)(2) .在實數集成立的|x|=x

8、2.當x為虛數時，|x|#x2,所以復數集內解方程不能采用兩邊平方法.即在復數集中解一元二次方程：在復數集內解關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)時，應注意下述問題：當a,b,cWR時，若A>0,則有二不等實數根x12=二以2若4=0則有二相等實數根x12=-b；2a，1,22a若Av0,則有二相等復數根x12=±包(x12為共軻復數).，2a，當a,b,c不全為實數時，不能用方程根的情況.不論a,b,c為何復數，都可用求根公式求根，并且韋達定理也成立三、高考真題在線題型一、復數的概念例1.(2009福建理13)復數i2(1+i)的實部是一【解讀】i2(1+i)=

9、1i,所以實部是-1【答案】-1例2.(2007廣東).若復數(1+bi)(2+i)是純虛數(i是虛數單位，b為實數)，則b=A. 2B.1C.-1D.-2【解讀】(1+bi)(2+i)=2b+(1+2b)i,而復數(1+bi)(2+i)是純虛數，那么由2-b=0且1+2b#0得b=2,故選Ao【答案】A方法總結：求解復數概念方面的題目，關鍵在于將復數化為代數形式后，利用相關概念，找到充要條件進行求解.過關測試1.（2006年福建卷）設A.ad_bc=0a,b,c,dwR,則復數（a+bi）（c+di）為實數的充要條件是B. ac_bd=0C.acbd=0D.adbc=02.（2005年北京卷

10、）若z1=a+2i,z2=3-4i,且二為純虛數，則實數a的值為.Z2題型二、復數相等11-7i例3.（2012局考江蘇3）設a,bwR,a+bi=i（i為虛數單位），則a+b的值為.1 -2i【解讀】由a+bi=-得，+舊=9=（11一7：）（1位）=3=5十31所以2=54=3通心=81-2i1-2i（1-2i）（1+2i）5【答案】812i一例4(2010遼寧理數)(2)設a,b為實數，若復數L_=1+i,則abi“3.11.3，八1. a=一,b=B.a=3,b=1C.a=-,b=-D.a=1,b=3222212iab=131【解讀】由L=1+i得1+2i=(ab)+(a+b)i所以/

11、，解得a=3,b=，故選Aabiab=222【答案】A方法總結：復數相等問題關鍵抓住定義，利用實部與實部相等，虛部與虛部相等，建立方程求得相關參數.復數不能比較大小，當且僅當復數為實數的時候，才能比較大小過關測試3. （2010江西理數）1.已知（x+i）（1i）=y,則實數x,y分別為A.x=-1,y=1B.x=-1,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=24. （2006年浙江卷）已知-m-=1-ni,其中m,n是實數，i是虛數單位，則m+ni=1iA.12iB.1-2iC.2iD.2-i題型三、復數的幾何意義2 -i例5（2011年高考山東卷理科2）復數z=（i為虛數單位）在復平面內對

12、應的點所在象限為3 -i1-iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解讀】-2-=i(1+i)=_1+i故坐標為(-1,1)1-i【答案】(-1,1)方法總結：復數的三種形式間的轉化，代數形式z=a+biy復平面內的點Z(a,b)-復平面內的向量OZ=(a,b)過關測試1 i5. (2006年北東卷)在復平面內，復數對應的點位于iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6. (2010北京文數)在復平面內，復數6+5i,-2+3i對應的點分別為A,B若C為線段AB的中點,則點C對應的復數是A.48iB.82iC.24iD.4i題型四、復數的模例7(2011年高考遼寧卷理科1

13、)a為正實數，i為虛數單位，=2，則a=A.2B.3C.、.2D.1【解讀】7a31-ai|=J1+a2=2,a>0,故a=V3.i【答案】：B例8(2010江蘇卷)設復數z滿足z(23i)=6+4i(其中i為虛數單位)，則z的模為.【解讀】考查復數運算、模的性質；法1：先求z=6'=2i,故z=2法2：由復數模的性質由2-3iz(2-3i)=2(3+2i),2-3i與3+2i的模相等，得z=2.【答案】：2方法總結：復數的模，常伴隨著復數的運算，即常規方法是先求出所求復數的代數形式，然后利用復數模計算公式求解.也可以利用復數模的性質，抓不變量，找等量關系進行求解過關測試7. (

14、2008廣東)已知0<a<2,復數z的實部為a,虛部為1,則z的取值范圍是A.(1B.(1,3)C.(1,.5)D.(1,J3)8. (2010山東質檢)設復數z滿足關系式z+R=2+i,則z等于A.-iB.-iC.-iD.-i4444題型五、復數的運算例9（2012高考真題四川理2）復數（1一"二2iA.1B.-1C.iD.-i【解讀】直接化簡為代數形式：-=1-2ii=二3=一1.2i2i2i例10（2012高考真題山東理1）若復數z滿足z（2i）=11+7i（i為虛數單位），則z為-3-5iA.35iB.3-5iC.-35iD.117i(117i)(2i)1525i

15、.【解讀】z=3+5i.故選A2-i(2-i)(2i)5例11（2011年高考湖北卷理科1）i為虛數單位，則（吐）2011=1-IA.-IB.-1C.ID.11i,【解讀】因為二i，法1:1-i1.i2011法2:利用in是以4為周期的，則有1-I=i2011=i4沖02書=i3=-i所以選A.1-i【答案】A方法總結：復數的代數運算是重點，是每年必考內容之一，復數代數形式的運算：加減法按合并同類項法則進行；乘法展開、除法須分母實數化.乘方運算時，若次數較低可以直接計算，若次數較高時常常隱含著周期，利用周期進行轉化.如：in的周期為4.運算結果都必須為復數的代數形式，因此，一些復數問題只需設z

16、=a+bi（ab三R）代入原式后，就可以將復數問題化歸為實數問題來解決.過關測試9. （2012高考真題安徽理1）復數z滿足：（zi）（2i）=5；則z=A.-2-2iB.-22iC.：iD.?：i13i10. （2010天津理數）i是虛數單位，復數1:1 2iA.1iB.55iC.-5-5iD.-1-i11.（2009廣東理2）設z是復數，a（z）表示滿足zn=1的最小正整數n,則對虛數單位i,a（i）=D.2A.8題型六：共軻復數例12（2011浙江卷理科2）把復數z的共軻復數記作z,若z=1+i,i為虛數單位，則（1+z）z=A.3-iB.3iC.13iD.3【解讀】(1+z)z=z+z

17、z=1i+(1+i)(1i)=1i+2=3i故選A【答案】Az例13（2008山東）設z的共軻復數是z,且z+z=4,zz=8,則一等于zA.1B.-iC._1D_i【解讀】本題考查共軻復數的概念、復數的運算，可設出復數的代數形式，由z+z=4一一22則z=2+bi,z=2bi,由zz=8得4+b2=8,則b=±2,-=1=±iz88【答案】D方法總結：法1：利用共軻復數的定義，常先計算出z=a+bi的形式，再用定義得到z=a-bi,最后直接計算相關問題，法2：共軻復數的性質解題過關測試2i12.（2011年高考全國新課標卷理科1）復數土的共軻復數是1-2i33A.B3iC

18、.-iD.i55一i-13.（2011年局考江西卷理科1）若z=,則復數z=A.-：-iB.-2iC.2-iD.1i題型七、復數與其它知識的綜合，一，一，2例14（2012高考真題新課標理3）下面是關于復數z=的四個命題：其中的真命題為-1iP1:z=2p2:z2=2ip3:z的共軻復數為1+ip4:z的虛部為Ta.P2,P3B.P1,P2C.p?p:d.pmpz=-1+i,z的虛部為一1,所以證明題為P2,P4,故選C.【解讀】因為2z二-1i2(-17)一一I一i(-1i)(-1-i)，所以z=貶,z2=(-1-i)2=2i,共軻復數為【答案】C例15（2012高考真題陜西理3）設a,bw

19、R,i是虛數單位，則“ab=0”是“復數a為純虛數”的iA,充分不必要條件B,必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件b【解讀】:ab=0ya=0或b=0,而復數a+-=a-bi是純虛數ua=0且b#0,ibab=0ua十一是純虛數，故選B.i【答案】B方法總結：復數與其它知識的綜合問題在于抓住復數為背景，利用其它章節的知識來來解決.關鍵在于知識的綜合性和關聯性.過關測試214.（2007年山東）若2=850+|$口8（I為虛數單位），則使z=1的B值可能是A兀cHHA.B.C.D.15.(2009湖北理）投擲兩顆骰子,得到其向上的點數分別為m和n,則復數（m+ni）（n-mi）

20、為實數的概率為1A.-B.C.D.12四、重慶9年高考1.(2012重慶11)若(1i)(2i)=abi其中a,bwR,i為虛數單位，則2.（2011重慶理1）復數.2.3iii43.4.5.6.1-iA.-1iB.22（2010重慶理數（2009重慶理數A.2-i（2008重慶理數A.12iB.（2007重慶理數7.(20068.(20051 1.iC.2 211）已知復數z=1+i,D.11i22則2.z=z2)1)已知復數z的實部為-1,虛部為2,則5i.2+iC.-2-i一2復數1+2i1-2iC.-1D.311）復數二的虛部為2i3重慶11）復數12i3i3的值是重慶卷1)(Li)2

21、0051-iA.9.（2004重慶卷）設復數Z=1十J2i,則Z22Z=（）A.-3B.3C.-3iD.3i五、2014權威預測復數的重點是復數的概念及代數形式的運算.難點是復數的復數的四則運算，復數的概念及其運算是高考命題熱點；復數的概念，要搞清楚實部與虛部,2i=-1,共軻復數等概念，及復數的運算.從近幾年高考試卷來看，主要考查復數的概念及其運算，難度不大，常以選擇、填空題出現，分值為5分，在高考試卷中屬于必考題，應引起注意.六、挑戰局考滿分、一、一一11,一、一1.（2008遼寧理）復數一一十一的虛部是-2i1-2iA.1iB.1C.-li5552.（2006全國卷I）如果復數（m2+i）（1+mi）是實數，則實數A.1B3. (2012四川理)復數A.1B.-1C.