1、 光學信息處理的分類方法光學信息處理的分類方法按照物像關系（或輸入與輸出的關系）分為按照物像關系（或輸入與輸出的關系）分為線性處理線性處理與與非線性處理非線性處理；按照所用光源的相干性分為按照所用光源的相干性分為相干光學信息處理相干光學信息處理、非相干非相干光學信息處理光學信息處理和和白光光學信息處理白光光學信息處理； 相干光學信息處理是光學信息處理的一個重要組成部相干光學信息處理是光學信息處理的一個重要組成部分，其中最基本的操作是用光學方法實現對圖像信息的傅分，其中最基本的操作是用光學方法實現對圖像信息的傅立葉變換，并采用頻譜的語言來描述信息，用改變其頻譜立葉變換，并采用頻譜的語言來描述信息

2、，用改變其頻譜的手段來改造信息。的手段來改造信息。2.1 2.1 相干光學信息處理系統相干光學信息處理系統 相干光學信息處理系統的結構需根據具體的圖像相干光學信息處理系統的結構需根據具體的圖像處理要求而定，通常采用三透鏡系統。處理要求而定，通常采用三透鏡系統。xfyf1x1y1P2P3x3y3P2L1L3L2f2f3f3fs物面物面頻譜面頻譜面像面像面1f 常用的相干光學信息處理系統常用的相干光學信息處理系統設輸入圖像的復振幅透過率為設輸入圖像的復振幅透過率為)(11yxt，它在頻譜面上的，它在頻譜面上的頻譜函數為頻譜函數為)(F)(11yyxtffTx，在頻譜面上放置一個濾波器，其復振幅透過

3、率為在頻譜面上放置一個濾波器，其復振幅透過率為)(F)()(1122yyxhfyfxHffHx，)(11yxh，稱為濾波器的稱為濾波器的脈沖響應函數脈沖響應函數透過濾波器的光場復振幅為透過濾波器的光場復振幅為)()(yyffHffTxx，像面上的光場復振幅為像面上的光場復振幅為)()()()(F)(3333yy-133yxhyxtffHffTyxgxx，即即4f 系統執行的是函數系統執行的是函數 t 與函數與函數 h 的卷積運算。的卷積運算。 從頻域來看，改變濾波器的透過率函數，系統就能改變物從頻域來看，改變濾波器的透過率函數，系統就能改變物圖像的空間頻譜結構；從空域來看圖像的空間頻譜結構；從

4、空域來看, , 系統實現了輸入信息與系統實現了輸入信息與濾波器脈沖響應的卷積，完成了所期望的一種變換。濾波器脈沖響應的卷積，完成了所期望的一種變換。像面上的光強度為像面上的光強度為2333333)()()(yxhyxtyxI，2.2 2.2 圖像相減圖像相減 圖像相減是通過頻域濾波，提取兩幅圖像的差異信息。圖像相減是通過頻域濾波，提取兩幅圖像的差異信息。圖像相減是相干光學信息處理中的一種基本光學圖像相減是相干光學信息處理中的一種基本光學數學運算，數學運算，是圖像識別的一種主要手段。是圖像識別的一種主要手段。利用正弦光柵實現圖像相減利用正弦光柵實現圖像相減A A、B B兩圖離軸的距離為兩圖離軸的

5、距離為ffb00f 正弦光柵的空間頻率正弦光柵的空間頻率f 透鏡焦距透鏡焦距2L3Lffff物面物面頻譜面頻譜面1x1y1P2P3y3x3P像面像面，fyffxfyx/22正弦光柵的復振幅透過率為正弦光柵的復振幅透過率為）（）（）（，20202-220y4141212cos2121)(xfixfixeexfffH為光柵條紋的初位相為光柵條紋的初位相其中其中輸入光波場分布可以表示為輸入光波場分布可以表示為)()-()(11B11A11ybxfybxfyxf，輸入光波場頻譜為輸入光波場頻譜為b2yBb2-yAy)()()(xxfixfixxeffFeffFffF，0ffb xffx220 xfbf

6、x)()(41)()(yByAyyixixxxeffFeffFffHffF，經光柵濾波后的頻譜為經光柵濾波后的頻譜為 20202yB2-yAy)()()(xfixxfixxeffFeffFffF，)()(2120202yB2yAxfixxfixeffFeffF，)()(4120204yB4yA）（）（，xfixxfixeffFeffF經逆傅里葉變換，像面上輸出光波場分布為經逆傅里葉變換，像面上輸出光波場分布為)2()2-(41)()-(21)()(41)(33B33A33B33A233B33A33iiiieybxfeybxfybxfybxfeyxfyxfeyxg，當光柵條紋的初位相當光柵條紋的

7、初位相上式表明：在輸出平面中心部位實現了圖像相減。上式表明：在輸出平面中心部位實現了圖像相減。12ie其余四項，)()(4)(33B33A33yxfyxfiyxg2，即光柵條紋偏離光軸，即光柵條紋偏離光軸1/4周期時周期時像面上輸出光波場分布變為像面上輸出光波場分布變為思考：思考： 在上述在上述 4f 系統中能否實現圖像相加？系統中能否實現圖像相加？小結：小結： 光柵在上述濾波過程中的作用是使通過頻譜面的信光柵在上述濾波過程中的作用是使通過頻譜面的信息沿三個不同方向傳播，使沿息沿三個不同方向傳播，使沿+1級衍射的圖像級衍射的圖像A的信息與的信息與沿沿-1級衍射的圖像級衍射的圖像B的信息在輸出平

8、面上的信息在輸出平面上相干疊加相干疊加。 由于由于沿沿+1級和級和-1級傳播的衍射光的相位差為級傳播的衍射光的相位差為，因此在輸出平面，因此在輸出平面上實現了上實現了圖像相減圖像相減。圖像相減的實際應用：圖像相減的實際應用： 發現病灶的變化；發現病灶的變化；通過檢測不同時期拍攝的兩張近似圖像之間的差異，可以通過檢測不同時期拍攝的兩張近似圖像之間的差異，可以 發現地面軍事設施的增減；發現地面軍事設施的增減； 檢查集成電路掩膜的疵病；檢查集成電路掩膜的疵病； 用于地球資源探測及城市發展研究；用于地球資源探測及城市發展研究；減去背景減去背景2.3 2.3 匹配濾波與圖像識別匹配濾波與圖像識別 匹配濾

9、波與光學圖像識別是相干光學信息處理中的匹配濾波與光學圖像識別是相干光學信息處理中的一種典型方法，它可以從某一圖像中提取出有用的信息一種典型方法，它可以從某一圖像中提取出有用的信息或檢測某一信息是否存在，這種方法又稱為或檢測某一信息是否存在，這種方法又稱為特征識別特征識別。 利用光學圖像的特征進行圖像的識別，在指紋鑒別、空利用光學圖像的特征進行圖像的識別，在指紋鑒別、空間飛行物探測、字符識別以及從病理照片中識別癌變細胞等間飛行物探測、字符識別以及從病理照片中識別癌變細胞等諸多領域獲得廣泛應用，是相干光學處理的一個重要課題。諸多領域獲得廣泛應用，是相干光學處理的一個重要課題。 特征識別的方法已有很

10、多種，最基本的一種是傅里葉特征識別的方法已有很多種，最基本的一種是傅里葉變換法，其關鍵元件是變換法，其關鍵元件是“匹配濾波器匹配濾波器”。一一. .匹配濾波器的意義匹配濾波器的意義 所謂所謂匹配濾波器匹配濾波器，是指與輸入信號相匹配的空間濾，是指與輸入信號相匹配的空間濾波器。即該濾波器的振幅透過率與輸入信號的傅里葉變波器。即該濾波器的振幅透過率與輸入信號的傅里葉變換互為復共軛。換互為復共軛。 設輸入信號為設輸入信號為)(11yxt，其傅里葉變換為，其傅里葉變換為)(F)(11yxtffTyx，輸入信號的匹配濾波器的振幅透過率為輸入信號的匹配濾波器的振幅透過率為)()(yxyxffTffH， 匹

11、配濾波器是復數濾波器，可以用光學全息方法制作，匹配濾波器是復數濾波器，可以用光學全息方法制作，也可用計算全息術制作。也可用計算全息術制作。 匹配濾波器的制作匹配濾波器的制作全息匹配濾波器制作光路全息匹配濾波器制作光路ffLz11- yx),(11yxo)0 ,( br ffyx -H 設物光波為設物光波為)(11yxo，其傅里葉頻譜為，其傅里葉頻譜為)O(yxff ， 參考光由坐標在參考光由坐標在 的點光源產生，即的點光源產生，即)0 ,( b),()(11011ybxryxr，經透鏡變換后到達干板處的光振動是它們的傅里葉頻譜之和經透鏡變換后到達干板處的光振動是它們的傅里葉頻譜之和)(F)O(

12、)(U11Hyxrffffyxyx，bfiyxxerff20)O(，曝光光強為曝光光強為bfiyxbfiyxyxbfiyxyxxxxeffreffrrfferffffI2020202220)(O)O()O()O()(，匹配濾波函數匹配濾波函數全息圖的振幅透過率函數與曝光光強成正比，即全息圖的振幅透過率函數與曝光光強成正比，即R)(OR)(O)(Hyxfft，二二. .利用匹配濾波器進行圖像識別利用匹配濾波器進行圖像識別1. 匹配濾波器的作用匹配濾波器的作用將待識別的圖像將待識別的圖像 置于置于 4f 系統的輸入面上，系統的輸入面上，)(11yxf，將含有特征信號將含有特征信號 共軛譜共軛譜 的

13、全息的全息匹配匹配濾波器置于濾波器置于 4f 系統的頻譜面上，系統的頻譜面上， 設物函數的頻譜函數為設物函數的頻譜函數為 ，全息，全息匹配濾波器的復振幅透過率為匹配濾波器的復振幅透過率為 t ，全息全息圖的振幅透過率函數與曝光光強成正比，則圖的振幅透過率函數與曝光光強成正比，則頻譜面后的復頻譜面后的復振幅分布為振幅分布為)(11yxo，)(yxffO，)F(yxff ，bfibfiyxyxyxxxeOFrOeFrFrFOOffIffFtffF202020)()()(，在輸出面上的復振幅分布為（反演坐標下）在輸出面上的復振幅分布為（反演坐標下）)()(F)(1 -33yxyxffIffFyxg，

14、)()(3333yxoyxf，)()(332033yxfryxo，)(330yxfr，)()(3333ybxyxo，)()()(3333330ybxyxoyxfr， 上式中重要的是第三、四項，它們分別是上式中重要的是第三、四項，它們分別是物函數與特征物函數與特征信號的互相關和卷積，對于圖像的特征識別，相關項是我信號的互相關和卷積，對于圖像的特征識別，相關項是我們最感興趣的項。們最感興趣的項。 將上述全息匹配濾波器置于濾波平面上，必將在輸出將上述全息匹配濾波器置于濾波平面上，必將在輸出面上的特定位置出現識別的結果。面上的特定位置出現識別的結果。2. 匹配濾波操作的光學解釋匹配濾波操作的光學解釋設

15、輸入信號頻譜可表示為設輸入信號頻譜可表示為)()F()F(yxffiyxyxeffff，匹配濾波器的濾波函數為匹配濾波器的濾波函數為)()F()(F)(yxffiyxyxyxeffffffH，信號頻譜經過信號頻譜經過匹配濾波器后變為匹配濾波器后變為2)F()()F(yxyxyxffffHff， 可見，匹配濾波器的作用實質上是可見，匹配濾波器的作用實質上是在頻域中對輸入在頻域中對輸入信號頻譜的相位補償信號頻譜的相位補償，形成平面相位分布。，形成平面相位分布。0 x2L3Lffff1Ls0y1Po物面物面xfyf2P頻譜面頻譜面xy3P像面像面 信號頻譜經過匹配濾波器后變為信號頻譜經過匹配濾波器后

16、變為 ，這這是一個正的實函數，是一個振幅加權的相位均勻的平是一個正的實函數，是一個振幅加權的相位均勻的平面波，經透鏡后在輸出平面上產生信號的自相關亮點。面波，經透鏡后在輸出平面上產生信號的自相關亮點。2)F(yxff ，結論：結論：3. 圖像識別圖像識別 圖像識別是指檢測和判斷圖像中是否包含某一特定信息圖像識別是指檢測和判斷圖像中是否包含某一特定信息的圖像。的圖像。 采用匹配濾波器進行相關檢測，是圖像識別的一種采用匹配濾波器進行相關檢測，是圖像識別的一種重要手段。重要手段。若待識別的圖像中包含特征信號和相加性噪聲，即若待識別的圖像中包含特征信號和相加性噪聲，即)()()(111111yxnyx

17、hyxf，其頻譜函數為其頻譜函數為)()()(yxyxyxffNffHffF，經濾波后的頻譜為經濾波后的頻譜為)()()()()()(yxyxyxyxyxyxffHffNffHffHffHffF，再作傅里葉逆變換后，輸出面上的復振幅分布為再作傅里葉逆變換后，輸出面上的復振幅分布為)()(3333yxhyxg，)()(3333yxnyxh，)(33yxh，自相關亮點自相關亮點互相關模糊斑互相關模糊斑 因此，利用匹配濾波相關檢測方法就可以從帶有噪聲因此，利用匹配濾波相關檢測方法就可以從帶有噪聲的信息中提取出有用信息，達到特征識別的目的。的信息中提取出有用信息，達到特征識別的目的。4. 傅里葉變換匹

18、配濾波的局限性傅里葉變換匹配濾波的局限性 匹配濾波器對被識別圖像的尺寸縮放和方位旋轉都匹配濾波器對被識別圖像的尺寸縮放和方位旋轉都極其敏感，因而當輸入的待識別圖像的尺寸和角度取向極其敏感，因而當輸入的待識別圖像的尺寸和角度取向稍有偏差或濾波器自身的空間位置稍有偏移時，都會使稍有偏差或濾波器自身的空間位置稍有偏移時，都會使正確匹配產生的響應急劇降低，甚至被噪聲所湮沒，使正確匹配產生的響應急劇降低，甚至被噪聲所湮沒，使識別發生錯誤。識別發生錯誤。例如：例如： 指紋識別指紋識別L1P2L2亮亮點點若若 x* = x 或或x*與與 x 相關相關x平面波平面波P1參照指紋參照指紋x*頻譜面頻譜面待查指紋

19、待查指紋出現亮點出現亮點即被識別即被識別2.4 2.4 模糊圖像的復原模糊圖像的復原一一. .基本原理基本原理 在相干光學濾波系統中，在頻譜面上對系統傳遞函在相干光學濾波系統中，在頻譜面上對系統傳遞函數作適當補償，將在輸出平面上得到清晰的像，這一相數作適當補償，將在輸出平面上得到清晰的像，這一相干光學處理過程稱為圖像消模糊。干光學處理過程稱為圖像消模糊。設物的光場分布為設物的光場分布為)(yxf，造成模糊像的點擴散函數，造成模糊像的點擴散函數為為)(yxh ，像函數為，像函數為)()()(yxhyxfyxg， 將模糊圖像置于將模糊圖像置于 4f 系統的輸入面上，則頻譜面上的復振系統的輸入面上，

20、則頻譜面上的復振幅分布為幅分布為)()()(yxyxyxffHffFffG，若選擇濾波函數滿足若選擇濾波函數滿足)()()(yxyxyxffHffFffG，2)()()(1)(yxyxyxyxffHffHffHffH，則濾波后的頻譜變為則濾波后的頻譜變為)()(1)()()()(yxyxyxyxyxyxffFffHffHffFffHffG，濾波函數滿足（濾波函數滿足（1）式的濾波器稱為）式的濾波器稱為逆濾波器逆濾波器（1） 逆濾波器抵消了造成模糊的因素，因而在輸出面逆濾波器抵消了造成模糊的因素，因而在輸出面將得到理想的圖像。將得到理想的圖像。二二. .逆濾波器的制作方法逆濾波器的制作方法22)

21、()()()()(1)(yxyxyxyxyxyxffHffHffHffHffHffH，將兩個濾波器對準疊合，即構成所需的逆濾波器。將兩個濾波器對準疊合，即構成所需的逆濾波器。逆濾波器的濾波函數為逆濾波器的濾波函數為全息濾波器全息濾波器 振幅濾波器振幅濾波器光學全息方法光學全息方法普通照相方法普通照相方法圖像消模糊實例圖像消模糊實例【說明說明】 制作逆濾波器需要預先知道產生像模糊的點擴展函制作逆濾波器需要預先知道產生像模糊的點擴展函數，再加之膠片動態范圍的限制，使得只能得到近似的數，再加之膠片動態范圍的限制，使得只能得到近似的逆濾波函數。此外，逆濾波過程與成像過程一樣，也受逆濾波函數。此外，逆濾

22、波過程與成像過程一樣，也受到系統空間帶寬積的限制，因此，期望用逆濾波器的辦到系統空間帶寬積的限制，因此，期望用逆濾波器的辦法實現圖像超越衍射極限的復原是不現實的。法實現圖像超越衍射極限的復原是不現實的。例例2.1 攝影時由于不小心，在橫向抖動了攝影時由于不小心，在橫向抖動了2a，形成兩個像，形成兩個像的重影，試設計一個改良此照片的逆濾波器。的重影，試設計一個改良此照片的逆濾波器。解解 在此情況下引起成像缺陷的點擴散函數為在此情況下引起成像缺陷的點擴散函數為)()()(axaxyxh，有成像缺陷系統的傅里葉變換傳遞函數為有成像缺陷系統的傅里葉變換傳遞函數為)2cos(2)(F)(22afeeyx

23、hffHxafiafiyxxx，則逆濾波器的濾波函數為則逆濾波器的濾波函數為)2cos(21)(1)(afffHffHxyxyx，2.5 2.5 光學微分光學微分像邊緣增強像邊緣增強 輪廓是物體的重要特征之一，有些圖像的各部分的強輪廓是物體的重要特征之一，有些圖像的各部分的強度變化很小，不容易辨認。利用微分濾波器可以使圖像輪度變化很小，不容易辨認。利用微分濾波器可以使圖像輪廓分明，這種圖像處理方法稱為圖像的邊緣增強。廓分明，這種圖像處理方法稱為圖像的邊緣增強。一一. .光學微分光路系統及基本原理光學微分光路系統及基本原理1. 光學微分光路系統光學微分光路系統 將待微分的圖像置于輸入面的原點位置

24、，微分濾波器置于將待微分的圖像置于輸入面的原點位置，微分濾波器置于頻譜面上，當位置調整適當時可在輸出面上得到微分圖形。頻譜面上，當位置調整適當時可在輸出面上得到微分圖形。2. 光學微分原理光學微分原理設輸入圖像為設輸入圖像為)(yxt，其傅里葉頻譜為，其傅里葉頻譜為)(yxffT，則其輸出圖像為則其輸出圖像為yxyxyxffyfxfiffTyxtd)d(2)exp()(，根據傅里葉變換的微商定理根據傅里葉變換的微商定理)(2)(FyxxffTfixyxt，置于頻譜面上的微分濾波器的濾波函數為置于頻譜面上的微分濾波器的濾波函數為fxififfHxyx222)(，二二. .微分濾波器的制作光路微分

25、濾波器的制作光路 微分濾波器實際上是利用光學全息方法制作的一個微分濾波器實際上是利用光學全息方法制作的一個復合光柵，它由兩套空間取向完全相同、空間頻率差為復合光柵，它由兩套空間取向完全相同、空間頻率差為f 0 的一維余弦振幅光柵疊合而成。的一維余弦振幅光柵疊合而成。 采用兩次曝光法，設第一次曝光得到光柵的頻率為采用兩次曝光法，設第一次曝光得到光柵的頻率為 f 0 ，第二次曝光得到光柵的頻率為第二次曝光得到光柵的頻率為 f 0 。激光器激光器分束鏡分束鏡干板干板擴束鏡擴束鏡擴束鏡擴束鏡M1M2三三. .用復合光柵進行微分濾波操作的機理用復合光柵進行微分濾波操作的機理設設復合光柵在初始位置時的透過

26、率函數為復合光柵在初始位置時的透過率函數為)2(cos)2(cos)(202201022xftxfttfyfxH， 將待微分的圖像置于輸入面的原點，將此將待微分的圖像置于輸入面的原點，將此復合光柵復合光柵置于置于4f 系統頻譜面上，系統頻譜面上，當受當受第一次曝光得到的光柵調制后，在第一次曝光得到的光柵調制后，在輸出面上可得到三個衍射像，其中輸出面上可得到三個衍射像，其中零級像在原點，零級像在原點，正、負正、負一級像距原點的距離為一級像距原點的距離為 當受當受第二次曝光得到的光柵調制后，在輸出面上可得第二次曝光得到的光柵調制后，在輸出面上可得到另一組衍射像，到另一組衍射像，零級像仍在原點，零級

27、像仍在原點，正、負一級像距原正、負一級像距原點的距離為點的距離為0ffl0f fl000fff 由于由于 相干疊加時同級衍射像的重疊部分相消，只留下錯相干疊加時同級衍射像的重疊部分相消，只留下錯開的圖像邊緣部分，從而實現了邊緣增強。開的圖像邊緣部分，從而實現了邊緣增強。 很小，因此很小，因此0fflll 也很小，也很小，使兩個對應的使兩個對應的1級衍射像幾乎重疊。當復合光柵平移一適當的級衍射像幾乎重疊。當復合光柵平移一適當的距離距離x2 時，引起兩個同級衍射像的相移量為時，引起兩個同級衍射像的相移量為2012xf 2022xf 20122xf 相應的附加相位差為相應的附加相位差為令令0221f

28、xxy輸出平面上圖像微分運算結果示意圖輸出平面上圖像微分運算結果示意圖 “利用復合光柵實現光學圖像微分利用復合光柵實現光學圖像微分” 和和 “利用正弦光利用正弦光柵實現光學圖像相減柵實現光學圖像相減” 都涉及圖像相減，二者在原理上都涉及圖像相減，二者在原理上有何異同點？有何異同點？ 什么是匹配濾波器？簡述利用匹配濾波器進行圖像識別什么是匹配濾波器？簡述利用匹配濾波器進行圖像識別的基本原理。的基本原理。 在照相時，若相片的模糊只是由于物體在曝光過程中的在照相時，若相片的模糊只是由于物體在曝光過程中的勻速直線運動造成的，運動的結果使像點在底片上的位勻速直線運動造成的，運動的結果使像點在底片上的位移

29、為移為 0.5 mm。試寫出造成模糊的點擴展函數。試寫出造成模糊的點擴展函數 h( x, y)，如，如果要對該相片進行消模糊處理，試寫出逆濾波器的透過果要對該相片進行消模糊處理，試寫出逆濾波器的透過率函數。率函數。4. 在用復合光柵進行光學微分的實驗中，若所用光波波在用復合光柵進行光學微分的實驗中，若所用光波波長為長為 632.8 nm，透鏡的焦距為，透鏡的焦距為20 cm，兩次曝光所得的光，兩次曝光所得的光柵頻率各為柵頻率各為 f 0 = 50 線線/ mm 和和 f 0 = 52 線線/ mm，試求其，試求其1 級衍射像彼此錯開的距離；為了使兩個同級衍射像正好相級衍射像彼此錯開的距離；為了

30、使兩個同級衍射像正好相差差 位相，復合光柵的位移量應為多少？位相，復合光柵的位移量應為多少？例例1 利用阿貝成像原理導出相干照明條件下顯微鏡的最小分利用阿貝成像原理導出相干照明條件下顯微鏡的最小分辨距離公式，并同非相干照明條件下的最小分辨距離公式辨距離公式，并同非相干照明條件下的最小分辨距離公式比較。比較。D/2A Ff0【解解】 對于相干照明，系統的截對于相干照明，系統的截止頻率由物鏡孔徑限制的最止頻率由物鏡孔徑限制的最大孔徑角大孔徑角0 決定，即決定，即fDfC2sin0最小分辨距離為最小分辨距離為DfC2sin0 對于非相干照明，由幾何光學可知其分辨距離為對于非相干照明，由幾何光學可知其

31、分辨距離為0sin61. 0非相干照明時顯微鏡的分辨率大約為相干照明時的兩倍非相干照明時顯微鏡的分辨率大約為相干照明時的兩倍DfC2例例2 在在 4f 系統輸入平面處放置系統輸入平面處放置 40 線線/ mm 的光柵，入射光波的光柵，入射光波長為長為 632.8 nm，為了使頻譜面上至少能夠獲得，為了使頻譜面上至少能夠獲得5 級衍射斑，級衍射斑，且相鄰衍射斑間距不少于且相鄰衍射斑間距不少于2 mm，求透鏡的焦距和直徑。，求透鏡的焦距和直徑。【解解】設光柵可近似看成無窮大，則其透過率函數可表示成設光柵可近似看成無窮大，則其透過率函數可表示成:)()(1)(dxcombaxrectdxt其頻譜為其頻譜為)()(sin)t()T(1xxxdfcombafcaxFf)()(sindmfafcd