1、信號與系統信號與系統第一章第一章 信號與系統概信號與系統概述述（6學時）學時）第二章第二章 連續系統的時域分析（連續系統的時域分析（4學時）學時）第三章第三章 離散系統的時域分析（離散系統的時域分析（4學時）學時）第四章第四章 傅立葉變換和系統的頻域分析（傅立葉變換和系統的頻域分析（13學時）學時）第五章第五章 連續系統的連續系統的S域分析（域分析（9學時）學時）第六章第六章 離散系統的離散系統的Z域分析（域分析（7學時）學時）第七章第七章 系統函數（系統函數（5學時）學時）第八章第八章 系統的狀態變量分析（系統的狀態變量分析（6學時）學時）二二、主要內容（、主要內容（54學時）學時）一、選用

2、教材一、選用教材信號與線性系統分析信號與線性系統分析(第第4版版)，吳大正著，吳大正著，高等教育出版社，高等教育出版社，2005年版。年版。三、課程特點三、課程特點四、學習目的四、學習目的五、三個重要問題五、三個重要問題 專業基礎課專業基礎課 數學應用多數學應用多 基本概念和基本分析方法重要基本概念和基本分析方法重要 掌握基本概念和分析方法掌握基本概念和分析方法 培養邏輯分析能力培養邏輯分析能力 基本信號及其響應基本信號及其響應 信號的分解信號的分解 LTI系統分析方法系統分析方法七、考核方式七、考核方式 平時平時考勤考勤 +隨堂測試隨堂測試+課堂表現課堂表現（10%） 課后作業情況課后作業情

3、況（20%） 期末期末閉卷筆試閉卷筆試（70%）六六、學習方法、學習方法 理解理解+記憶記憶 反復練習反復練習八八、課堂紀律、課堂紀律 不得無故曠課、遲到不得無故曠課、遲到 上課手機靜音，不得做與上課無關的事情上課手機靜音，不得做與上課無關的事情 認真聽講，積極回答問題認真聽講，積極回答問題九九、參考書目、參考書目 信號與線性系統分析信號與線性系統分析(第第4版版)，管致中著，管致中著，高等教育出版社，高等教育出版社，2004年版。年版。 信號與系統信號與系統(第第3版版)，鄭君里著，高等教，鄭君里著，高等教育出版社，育出版社，2011年版。年版。 信號與系統，趙淑清著，哈爾濱工業大信號與系統

4、，趙淑清著，哈爾濱工業大學出版社，學出版社，2008年版。年版。 信號與系統信號與系統(第第2版版)，奧本海姆著，電子，奧本海姆著，電子工業出版社，工業出版社，2013年版。年版。十、問題與要求十、問題與要求第一第一章章 信號與信號與系統概述系統概述1.1 緒論緒論 一、信號的概念一、信號的概念 二、系統的概念二、系統的概念1.2 信號的描述與分類信號的描述與分類 一、信號的描述一、信號的描述 二、信號的分類二、信號的分類1.3 信號的基本運算信號的基本運算 一、加法和乘法一、加法和乘法 二、時間變換二、時間變換1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數 一、階躍函數一、階躍函數 二、沖激函

5、數二、沖激函數 三、沖激函數的性質三、沖激函數的性質 四、序列四、序列(k)和和(k)1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類 一、系統的定義一、系統的定義 二、系統的分類及性質二、系統的分類及性質1.6 系統的描述系統的描述 一、連續系統一、連續系統 二、離散系統二、離散系統1.7 LTI系統分析方法概述系統分析方法概述1.消息消息 (message):2.信息信息 (information):人們常常把來自外界的各種報道統稱為人們常常把來自外界的各種報道統稱為消息消息。信息量信息量=收到消息前對某事件的無知程度收到消息前對某事件的無知程度-收到消息后對某事件的無知程度收到消息后對某事件的無

6、知程度一、信號的概念一、信號的概念思考問題：思考問題：什么是信號？什么是系統？為什么把這什么是信號？什么是系統？為什么把這兩個概念連在一起？兩個概念連在一起？1.1 緒論緒論第一章第一章 信號與系統概述信號與系統概述消息：反映知識狀態的改變。消息：反映知識狀態的改變。通常把消息中有意義的內容稱為通常把消息中有意義的內容稱為信息信息。學校的鈴聲學校的鈴聲聲信號聲信號3.信號信號 (signal):信號信號是信息的載體，通過信號傳遞信息。是信息的載體，通過信號傳遞信息。信號我們并不陌生。信號我們并不陌生。十字路口的紅綠燈十字路口的紅綠燈光光信號信號有線電視接收到信息有線電視接收到信息電信號電信號

7、廣告牌上的文字、圖廣告牌上的文字、圖象信號等象信號等1.1 緒論緒論 信號的產生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，信號的產生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統。這樣的物理裝置常稱為系統。 一般而言，一般而言，系統系統(system)是指若干是指若干相互關聯相互關聯的的事物組合而成具有事物組合而成具有特定功能特定功能的的整體整體。 如手機、電視機、通信網、計算機網等都可以看成系如手機、電視機、通信網、計算機網等都可以看成系統。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等都可以看成統。它們所傳送的語音、音樂、圖象、文字等都可以看成信號。信號的概念與系統的概念常常緊密地聯系在一起。信號。

8、信號的概念與系統的概念常常緊密地聯系在一起。 系統的基本作用系統的基本作用是對信號進行傳輸和是對信號進行傳輸和處理，將其轉化為所處理，將其轉化為所需要的輸出信號。需要的輸出信號。輸入信號輸入信號激勵激勵輸出信號輸出信號響應響應二、系統的概念二、系統的概念系統系統1.1 緒論緒論 舉例：通信系統舉例：通信系統信號源信號源發送發送設備設備信道信道接收接收設備設備受信者受信者1.1 緒論緒論一、信號的描述一、信號的描述 信號信號是信息的一種物理體現，它一般是隨時間是信息的一種物理體現，它一般是隨時間或位或位置變化的物理量。置變化的物理量。 信號按物理屬性分：信號按物理屬性分：電信號電信號和和非電信號

9、非電信號，它們，它們可以相互轉換。電信號容易產生，便于控制，易于可以相互轉換。電信號容易產生，便于控制，易于處理。處理。電信號的基本形式：電信號的基本形式：隨時間變化的電壓或電流。隨時間變化的電壓或電流。描述信號的常用方法：描述信號的常用方法：本課程討論電信號本課程討論電信號-簡稱簡稱“信號信號”。（2）信號的圖形表示）信號的圖形表示-波形波形（1）表示為時間的函數）表示為時間的函數“信號信號”與與“函數函數”兩詞常相互通用。兩詞常相互通用。1.2 信號的描述和分類信號的描述和分類第一章第一章 信號與系統概述信號與系統概述1. 確定信號和隨機信號確定信號和隨機信號 可用確定的時間函數表示的信號

10、，稱為可用確定的時間函數表示的信號，稱為確定確定信號信號或或規則信號規則信號，如正弦信號，如正弦信號 電子系統中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號就電子系統中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號就是兩種典型的隨機信號。是兩種典型的隨機信號。 本課程研究確定信號。本課程研究確定信號。 若信號不能用確定的函數描述，它在任意時若信號不能用確定的函數描述，它在任意時刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統計刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統計特性，如在某一時刻取某一值的概率，這類信號特性，如在某一時刻取某一值的概率，這類信號稱為稱為隨機信號隨機信號或或不確定信號不確定信號。二、信號的分類二、信號的分類1.2 信號

11、的描述和分類信號的描述和分類2. 連續信號和離散信號連續信號和離散信號(1) 連續時間信號：連續時間信號：值域連值域連續續值域不連值域不連續續在連續的時間范圍內（在連續的時間范圍內（-t+ ）有定義的）有定義的信號稱為信號稱為連續時間信號連續時間信號，簡稱，簡稱連續信號連續信號。函數值。函數值為連續時常稱為為連續時常稱為模擬信號模擬信號。這里的這里的“連續連續”指函數的定義域指函數的定義域時間是連續時間是連續的，但可含間斷點，至于值域可連續也可不連續。的，但可含間斷點，至于值域可連續也可不連續。根據信號自變量為連續根據信號自變量為連續/離散特點進行區分。離散特點進行區分。1.2 信號的描述和分

12、類信號的描述和分類(2) 離散時間信號：離散時間信號：僅在一些離散的瞬間才有定義的信號，簡稱僅在一些離散的瞬間才有定義的信號，簡稱離離散信號散信號。取值為規定數值時常稱為。取值為規定數值時常稱為數字信號數字信號。離散點間隔，離散點間隔，Tk= tk+1-tk可以相等也可不等；通可以相等也可不等；通常取等間隔常取等間隔T，表示為，表示為f(kT)，簡寫為，簡寫為f(k)；等；等間隔的離散信號稱為間隔的離散信號稱為序序列列，其中，其中k稱為稱為序號序號。1.2 信號的描述和分類信號的描述和分類上述離散信號可簡畫為：上述離散信號可簡畫為：用表達式可寫為：用表達式可寫為： k，k，k,k,k,.k,k

13、,kf其他04130221510211)(或寫為：或寫為：f(k)= ，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，k=0 對應某序號對應某序號m的序列值稱為第的序列值稱為第m個樣點的個樣點的“樣值樣值”。 1.2 信號的描述和分類信號的描述和分類1.2 信號的描述和分類信號的描述和分類數字信號：數字信號：時間和幅值均為離散時間和幅值均為離散 的信號的信號。模擬信號：模擬信號：時間和幅值均為連續時間和幅值均為連續 的信號的信號。取樣信號：取樣信號：時間離散的，幅值時間離散的，幅值 連續的信號連續的信號。量化量化Ot tf取樣取樣連續信號與模擬信號，離散信號與連續信號與模擬信號，離散信號與數字信號常通

14、用。數字信號常通用。3. 周期信號和非周期信號周期信號和非周期信號 周期信號（周期信號（period signal）是定義在是定義在(-，)區區間，每隔一定時間間，每隔一定時間T (或整數或整數N），按相同規律重復），按相同規律重復變化的信號。變化的信號。連續周期信號連續周期信號f(t)滿足滿足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2,離散周期信號離散周期信號f(k)滿足滿足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,滿足上述關系的最小滿足上述關系的最小T(或整數或整數N)稱為該信號的稱為該信號的周期周期。不具有周期性的信號稱為不具有周期性的信號稱為非周期信號非周期信

15、號。1.2 信號的描述和分類信號的描述和分類連續周期信號舉例例例1 判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint解解:（1）sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為是周期信號，其角頻率和周期分別為 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t是周期信號，其角頻率和周期分別為是周期信號，其角頻率和周期分別為 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s 由于由于T1/T2= 3/2為有理數，故為有理數，故f1(t)為周期

16、信號，為周期信號，其周期為其周期為T1和和T2的最小公倍數的最小公倍數2。 （2） cos2t 和和sint的周期分別為的周期分別為T1= s， T2= 2 s，由于，由于T1/T2為無理數，故為無理數，故f2(t)為非周期信號。為非周期信號。1.2 信號的描述和分類信號的描述和分類例例2 2 判斷正弦序列判斷正弦序列f(k) = sin(k)是否為周期信號，若是否為周期信號，若是，確定其周期。是，確定其周期。解解: f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m = 0,1,2,m mN N) ) s si in n ( (k k 2 2 m mk k s si in n

17、僅當僅當2/ 為整數時，正弦序列才具有周期為整數時，正弦序列才具有周期N = 2/ 。 當當2/ 為有理數時，正弦序列仍為具有周期性，但為有理數時，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為其周期為N= M(2/ )，M取使取使N為整數的最小整數。為整數的最小整數。 當當2/ 為無理數時，正弦序列為非周期序列。為無理數時，正弦序列為非周期序列。1.2 信號的描述和分類信號的描述和分類式中式中稱為正弦序列的數字角頻率，單位：稱為正弦序列的數字角頻率，單位：rad。由上式可見：由上式可見： 例例3 判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。期。 （1）f1(k

18、) = sin(3k/4) + cos(0.5k) （2）f2(k) = sin(2k)解解: （1）sin(3k/4) 和和cos(0.5k)的數字角頻率分別為：的數字角頻率分別為： 1 = 3/4 rad， 2 = 0.5 rad由于由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4為有理數，故它們的周期為有理數，故它們的周期分別為分別為N1 = 8 ， N2 = 4，故，故f1(k) 為周期序列，其周期為周期序列，其周期為為N1和和N2的最小公倍數的最小公倍數8。 （2）sin(2k) 的數字角頻率為的數字角頻率為 1 = 2 rad；由于；由于2/ 1 = 為無理數，故為無理數，故f2(k)

19、 = sin(2k)為非周期序列為非周期序列 。1.2 信號的描述和分類信號的描述和分類4能量信號與功率信號能量信號與功率信號 將信號將信號f (t)施加于施加于1電阻上，它所消耗的瞬時功率電阻上，它所消耗的瞬時功率為為| f (t) |2，在區間，在區間( , )的的能量能量和和平均功率平均功率定義為定義為（1）信號的能量）信號的能量E（2）信號的功率）信號的功率P 若信號若信號f (t)的能量有界，即的能量有界，即 E ,則稱其為能量有則稱其為能量有限信號，簡稱限信號，簡稱能量信號能量信號。此時。此時 P = 0 若信號若信號f (t)的功率有界，即的功率有界，即 P 0，則將，則將f (

20、)右移；否則右移；否則左移。左移。 如如f (t)to11右移右移t t 1f (t-1-1)to211左移左移t t + 1f (t+1+1)to1- -1f(t)f(t-1)f(0)=0t=0t=1f(1)=1t=1t=2f(t)f(t+1)f(0)=0t=0t=-1f(1)=1t=1t=0平移與反轉相結合平移與反轉相結合f (t)to11法一：法一：先平移先平移f (t) f (t +2) 再反轉再反轉 f (t +2) f ( t +2)法二：法二：先反轉先反轉 f (t) f ( t) 如圖，畫出如圖，畫出 f (2 t)波形。波形。 f (- - t )- -11to再平移再平移

21、f ( t) f ( t +2)f (t)to112to11 1f (- -t +2+2)- -1to1 1- -2f (t +2+2)左移左移右移右移= f (t 2)注意：是對注意：是對t 的變換！的變換！1.3 信號的基本運算信號的基本運算1.3 信號的基本運算信號的基本運算 3. 3. 尺度變換（橫坐標展縮）尺度變換（橫坐標展縮） 將將 f (t) f (a t) ， 稱為對信號稱為對信號f (t)的的尺度變換尺度變換。若若a 1 ，則波形沿橫坐標壓縮；若，則波形沿橫坐標壓縮；若0 a 1 ，則展開，則展開 。如如tof ( t )1- -22t 2t 壓縮壓縮to1- -1f (2

22、t )1t 0.5t 展開展開to1- -4f (0.5 t )4對于離散信號，由于對于離散信號，由于 f (a k) 僅在為僅在為a k 為為整數整數時才有意義，時才有意義， 進行尺進行尺度變換時可能會使部分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。度變換時可能會使部分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。f(t)f(2t)f(-2)=1t=-2t=-1f(0)=1t=0t=0f(2)=0t=2t=1f(t)f(0.5t)f(-2)=1t=-2t=-4f(2)=0t=2t=41.3 信號的基本運算信號的基本運算畫出畫出 f (3t + 5)。 Ot)(tf1 11t)5( tf6 14 5 Ot

23、)53( tf12 34 時移時移 尺度尺度變換變換尺度尺度變換變換時移時移平移與展縮相結合平移與展縮相結合左移左移t t + 5t 3t 壓縮壓縮t 3t 壓縮壓縮左移左移t t + 5/3注意：是對注意：是對t 的變換！的變換！先平移再展縮先平移再展縮先展縮再平移先展縮再平移1.3 信號的基本運算信號的基本運算平移、反轉、尺度變換相結合平移、反轉、尺度變換相結合tof ( t )1- -22已知已知f (t)，畫出，畫出 f ( 4 2t)。 三種運算的次序可任意。三種運算的次序可任意。但一定要注意始終對時間但一定要注意始終對時間 t 進行。進行。f (t -4-4)426to1壓縮，得壓

24、縮，得f (2t 4)f (2t -4-4)213to1反轉，得反轉，得f ( 2t 4)- -1- -3f (- -2t -4-4)to1右移右移4，得，得f (t 4)先平移、再展縮、最后翻轉先平移、再展縮、最后翻轉tof ( t )1- -22壓縮，得壓縮，得f (2t)f ( 2t )- -11to1右移右移2，得，得f (2t 4)f (2t -4-4)213to1反轉，得反轉，得f ( 2t 4)- -1- -3f (- -2t -4-4)to1也可以先壓縮、再平移、最后反轉。也可以先壓縮、再平移、最后反轉。 1.3 信號的基本運算信號的基本運算若已知若已知f ( 4 2t) ，畫

25、出，畫出 f (t) 。 - -1- -3f (- -2t - -4)to1反轉，得反轉，得f (2t 4)f (2t - -4)213to1展開，得展開，得f (t 4)to1 1f (t - -4)246左移左移4，得，得f (t)tof ( t )1- -221.3 信號的基本運算信號的基本運算1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數第一章第一章 信號與系統概述信號與系統概述l 階躍函數階躍函數l 沖激函數沖激函數是兩個典型的奇異函數。是兩個典型的奇異函數。l 階躍序列和單位樣值序列階躍序列和單位樣值序列 函數本身有不連續點函數本身有不連續點( (跳變點跳變點) )或其導數與積或其導

26、數與積分有不連續點的一類函數統稱為分有不連續點的一類函數統稱為奇異信號或奇異奇異信號或奇異函數。函數。1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數一、階躍函數一、階躍函數下面采用求函數序列極限的方法下面采用求函數序列極限的方法定義階躍函數定義階躍函數。選定一個函數序列選定一個函數序列n(t)如圖所示。如圖所示。 ton1n11n21n to1 (t)0, 10,210, 0)(lim)(deftttttnn1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數0 ,10)(0000ttttttt0 , 1 0)(0000ttttttt延遲單位階躍信號延遲單位階躍信號階躍函數性質：階躍函數性質：（1）可以

27、方便地表示某些信號）可以方便地表示某些信號 f (t)o2t12-1f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2) (a)(b)f (t)f(t) (t)oottot(c)f(t) (t- -t1)- - (t- -t2)t1t2（2）用階躍函數表示信號的作用區間）用階躍函數表示信號的作用區間 （3）積分）積分 )(d)(ttt1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數二、沖激函數二、沖激函數 單位沖激函數單位沖激函數是個奇異函數，它是對強度極大，是個奇異函數，它是對強度極大，作用時間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特作用時間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義（由殊

28、的方式定義（由狄拉克狄拉克最早提出）最早提出） 1)(0, 0)(dttttto(1) (t) 函數值只在函數值只在t = 0時不為零；時不為零； 積分面積為積分面積為1； t =0 時，時， ，為無界函數。，為無界函數。 )(t001)()(dttdtt1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數對對n(t)求導得到如圖所示的矩形脈沖求導得到如圖所示的矩形脈沖pn(t) 。 )(lim)(deftptnn求導求導高度無窮大，寬度無窮小，面積為高度無窮大，寬度無窮小，面積為1的對稱窄脈沖。的對稱窄脈沖。 函數序列極限定義單位沖積函數函數序列極限定義單位沖積函數1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數

29、和沖激函數tttpnnd)(d)(求導求導tttd)(d)(nttd)()(求導求導沖激函數與階躍函數關系：沖激函數與階躍函數關系：1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數引入沖激函數之后，間斷點的導數也存在。如引入沖激函數之后，間斷點的導數也存在。如tof (t)21- -1f(t) = 2(t +1)- -2(t - -1)f(t) = 2(t +1)- -2(t - -1)求導求導1- -1otf (t)(2)(- -2)1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數l取樣性取樣性l沖激偶沖激偶 l尺度變換尺度變換l復合函數形式的沖激函數復合函數形式的沖激函數沖激函數的性質沖激函數的性

30、質1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數 1. 1.取樣性取樣性與普通與普通函數函數 f(t) 的乘積的乘積如果如果f(t)在在 t = 0處連續，且處處有界，則有處連續，且處處有界，則有)0(d)()(ftttf)(d)()(aftattf)()0()()(tfttf對于平移情況：對于平移情況：)-()()-()(000tttftttf1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數分分t = 0和和t 0 兩種情況討論兩種情況討論 當當t 0 時，時， (t)= 0，f(t)(t)= 0， (注意：當注意：當t 0 時時)當當t = 0 時，時， (t) 0，f(t)(t)= f(0)(

31、t) ， (注意：當注意：當t =0 時時) 0000)0(d)()0(d)()0( fttfttf 積積分分為為 )0(d)()( fttft 即即沖擊函數取樣性質證明沖擊函數取樣性質證明 000d 0d t)t ()t (ft)t ()t (f 且且積積分分為為1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數)(22)()4sin()()4sin(tttt22d)()4sin(ttt?d) 1()4sin(03ttt?d)()4sin(91ttt?d)(211t?d)() 1(12t022其它, 011,2tt(t)(e2)()(e2)(e)(edd2222tttttttttt取樣性質舉例取樣

32、性質舉例1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數2. 2. 沖激偶沖激偶0 求求導導)(tdttd )(1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數)()()()()()(tftfttf 00 利用全微分運算利用全微分運算)()()()()()(tfttfttf 0 )t ()(f)t ()(f)t ()(f)t ()t (f)t ()t (f 000 整理上式整理上式)()( )(0fdtttf 對兩邊同時積分，并利用式結論對兩邊同時積分，并利用式結論 )()( )()( )()( )(000fdttfdttfdtttf )( )( tdt 0)( dtt1.4 階躍函數和沖激函數階躍函

33、數和沖激函數也可直接利用分部積分推導也可直接利用分部積分推導 )()()( )()()()(0fdtttfttfdtttf )()( )(00tfdttttf 平移平移 )()()( )(01nnnfdtttf n n階導階導422220022tttttttt)()(ddd)()( 例例1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數 3. 3. (t) 的尺度變換的尺度變換)(|)(taat 1從從 定義看：定義看： )(t pn(t)面積為面積為1， 強度為強度為1 t pn(at)面積為面積為 ， 強度為強度為 a1 at a1, 時n,ttpn)()()(1)(taatpn1.4 階躍函數

34、和沖激函數階躍函數和沖激函數)(1|1)()()(taaatnnn推論推論:(1)(|1)(00attatat)() 1()()()(ttnnn(2)當當a = 1時時所以，所以，( t) = (t) 為偶函數，為偶函數， ( t) = (t)為奇函數為奇函數)(1|1)(taaat)(|)(taat 1對對 兩邊進行求導，可得兩邊進行求導，可得1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數已知已知f(t)，畫出，畫出g(t) = f (t)和和 g(2t) 求導，得求導，得g(t) o2tf (t)-24(4)o2tg(t) = f (t)-2-1壓縮，得壓縮，得g(2t) (2)o1tg(2

35、t)-1-1)2()2()2(4)(ttttg) 1() 1() 1(2)22()22()22(4)2(tttttttg)2()2()2()(ttttf1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數4. 4. 復合函數形式的沖激函數復合函數形式的沖激函數ttftftftd)(d)()(dd)(dd)( 1)(tfttftff(t)圖示說明：圖示說明： 例例f(t)= t2 4 (t2 4)=1 (t+2)+(t 2)f (t)t- -4- -22o1 f (t) 2- -2to 實際中有時會遇到形如實際中有時會遇到形如f(t)的沖激函的沖激函數，其中數，其中f(t)是普通函數。并且是普通函數。并

36、且f(t) = 0有有n個個互不相等的實根互不相等的實根 ti ( i=1，2，n)1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數)2(41)2(41)2(221)2(221)2()2(21)4(dd21422ttttttttttt( t 2 4) =1 (t+2)+(t 2)一般地，一般地，niiitttftf1)()( 1)(這表明，這表明，f(t)是位于各是位于各ti處，強度為處，強度為 的的n個沖激個沖激函數構成的沖激函數序列。函數構成的沖激函數序列。 )( 1itf)21(41)21(41) 14(2ttt注意注意：如果：如果f(t)=0有重根，有重根，f(t)無意義。無意義。 1.4

37、 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數（1 1）取樣性）取樣性 )0(d)()(ftttf )()0()()(tfttf （2 2）奇偶性）奇偶性 )()(tt （3 3）比例性）比例性 taaatnnn)()(11)(（4 4）微積分性質）微積分性質tttd)(d)()(d)(tt（5 5）沖激偶）沖激偶 )()(tt 0d)(tt tttt)(d)( )()0()()0()()(tftfttf )()()( )(01nnnfdtttf 1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數這兩個序列是普通序列。這兩個序列是普通序列。（1）單位）單位(樣值樣值)序列序列(k)的定義的定義0, 00,

38、1)(defkkko11-1k (k)取樣性質：取樣性質： f(k)(k) = f(0)(k)0()()(fkkfkf(k)(k k0) = f(k0)(k k0) 例例?)(kk?)()5(kkk?)(iik三、序列三、序列(k)和和(k)1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數（2）單位階躍序列）單位階躍序列(k)的定義的定義0, 00, 1)(defkkko11-1k (k)23（3）(k)與與(k)的關系的關系(k) = (k) (k 1) kiik)()(或或0)()(jjkk(k) = (k)+ (k 1)+1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數*廣義函數和廣義函數和函數

39、性質函數性質 作為常規函數，在間斷點處的導數是不存在的。除間斷點外，自變量t在定義域內取某值時，函數有確定的值。但前面介紹的單位階躍信號(t)在間斷點處的導數是單位沖激信號，函數在其惟一不等于零的點t=0處的函數值為無限大。顯然，這些結論是與常規函數的定義相違背的，或者說，信號(t)和(t)已經超出了常規函數的范疇，故對這類函數的定義和運算都不能按通常的意義去理解。人們將這類非常規函數稱為奇異函數或廣義函數。 1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數 1. 廣義函數的基本概念廣義函數的基本概念 如果把普通函數y=f(t)看成是對定義域中的每個自變量t， 按一定的運算規則f指定一個數值y的過

40、程，那么，可以把廣義函數g(t)理解為是對試驗函數集(t)中的每個函數(t)，按一定運算規則Ng分配(或指定)一個數值Ng(t)的過程。廣義函數g(t)的定義為 )()()(tNdtttgg1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數廣義函數與普通函數的對應關系 1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數廣義函數的基本運算包括： （1）相等)()(21tgtg若),()(21tNtNgg則定義（2）相加若則定義),()()(21tNtNtNggg)()()(21tgtgtg1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數(3) 尺度變換。 定義廣義函數g(at)為)(1)()(ataNtNgat

41、g(4) 微分。 )() 1()()(tNtNnngtgn定義廣義函數g(t)的n階導數g(n)(at)為1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數2. 函數的廣義函數定義函數的廣義函數定義 按廣義函數理論，函數定義為 )0()()(dtttnnndttndtttp11)(2)()(當n時，在(-1/n, +1/n)區間上，(t)(0)，故有 )0()0(2lim)(2lim)()(lim1101100nnnnnnnndtndttndtttp)(lim)(0tptnn1.4 階躍函數和沖激函數階躍函數和沖激函數l 系統的定義系統的定義l 系統的分類及性質系統的分類及性質1.5 1.5 系統的

42、特性與分類系統的特性與分類第一章第一章 信號與系統概述信號與系統概述 系統：系統： 具有特定功能的總體，可以看作信號的變具有特定功能的總體，可以看作信號的變換器、處理器。換器、處理器。 電系統是電子元器件的集合體。電系統是電子元器件的集合體。 電路側重于局部，系統側重于整體。電路側重于局部，系統側重于整體。 電路、系統兩詞通用。電路、系統兩詞通用。一、系統的定義一、系統的定義1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類 可以從多種角度來觀察、分析研究系統的特可以從多種角度來觀察、分析研究系統的特征，提出對系統進行分類的方法。常用的分類有：征，提出對系統進行分類的方法。常用的分類有： 連續系統與離散

43、系統連續系統與離散系統 動態系統與即時系統動態系統與即時系統 單輸入單輸出系統與多輸入多輸出系單輸入單輸出系統與多輸入多輸出系統統 線性系統與非線性系統線性系統與非線性系統 時不變系統與時變系統時不變系統與時變系統 因果系統與非因果系統因果系統與非因果系統 穩定系統與不穩定系統穩定系統與不穩定系統二二. 系統的分類及性質系統的分類及性質1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類 連續連續(時間時間)系統系統：系統的激勵和響應均為連續信號。系統的激勵和響應均為連續信號。 離散離散(時間時間)系統系統：系統的激勵和響應均為離散信號。系統的激勵和響應均為離散信號。 混合系統混合系統： 系統的激勵和響應

44、一個是連續信號，一個為離散系統的激勵和響應一個是連續信號，一個為離散信號。如信號。如A/D，D/A變換器。變換器。 1. 1. 連續系統與離散系統連續系統與離散系統1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類 動態系統動態系統也稱為也稱為記憶系統。記憶系統。 若系統在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵有若系統在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關，而且與它過去的歷史狀況有關關，而且與它過去的歷史狀況有關，則稱為則稱為動態系統動態系統 或或記憶系統記憶系統。 含有記憶元件含有記憶元件( (電容、電感等電容、電感等) )的系統是動態系統。的系統是動態系統。 否則稱否則稱即時系統即時系統或或無記憶系統無記

45、憶系統。 2. 2. 動態系統與即時系統動態系統與即時系統1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類單輸入單輸出系統：單輸入單輸出系統： 系統的輸入、輸出信號都只有一個。系統的輸入、輸出信號都只有一個。多輸入多輸出系統：多輸入多輸出系統： 系統的輸入、輸出信號有多個。系統的輸入、輸出信號有多個。3. 3. 單輸入單輸出系統與多輸入多輸出系統單輸入單輸出系統與多輸入多輸出系統1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類（1 1）線性性質：）線性性質：齊次性齊次性和和可加性可加性可加性：可加性：齊次性齊次性：f() y() y() = T f () f () y() a f() a y() f1() y

46、1() f2() y2() f1() +f2() y1()+y2() af1() +bf2() ay1()+by2() 綜合，綜合，線性性質線性性質：4. 4. 線性系統與非線性系統線性系統與非線性系統Taf()=aTf ()Tf1()+f2()=Tf1()+Tf2()Taf1() + bf2() = aTf1()+bTf2() 滿足線性性質的系統稱為滿足線性性質的系統稱為線性系統線性系統。1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類（2 2）動態系統是線性系統的條件）動態系統是線性系統的條件 動態系統不僅與激勵動態系統不僅與激勵 f () 有關，而且與系統的有關，而且與系統的初始狀態初始狀態x(

47、0)有關。有關。 初始狀態也稱初始狀態也稱“內部激勵內部激勵”。完全響應可寫為完全響應可寫為 y () = T f () , x(0)零狀態響應為零狀態響應為 yzs() = T f () , 0零輸入響應為零輸入響應為 yzi() = T 0，x(0)1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類當動態系統滿足下列三個條件時該系統為線性系統當動態系統滿足下列三個條件時該系統為線性系統：零狀態線性零狀態線性：Ta f () , 0 = a T f () , 0 Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T f2 () , 0或或Taf1(t) +bf2(t) , 0 =

48、aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0零輸入線性零輸入線性：T0,ax(0)= aT 0,x(0)T0,x1(0) + x2(0) = T0,x1(0) + T0,x2(0)或或T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)可分解性可分解性： y () = yzs() + yzi() = T f () , 0+ T 0，x(0)1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類例例1：判斷下列系統是否為線性系統？：判斷下列系統是否為線性系統？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) =

49、 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)解解： （1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1顯然，顯然， y (t) yzs(t) yzi(t) 不滿足可分解性，故為非線性不滿足可分解性，故為非線性（2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t) 滿足可分解性；滿足可分解性；由于由于 Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yzs(t) 不滿足零狀態線性。不滿足零狀態線性。故為非線性系統。故為非線性系統。（3）

50、 yzs(t) = 2 f (t) , yzi(t) = x2(0) ，顯然滿足可分解性；，顯然滿足可分解性；由于由于T 0,a x(0) =a x(0)2 a yzi(t)不滿足零輸入線性。不滿足零輸入線性。故為非線性系統。故為非線性系統。1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類例例2：判斷下列系統是否為線性系統？判斷下列系統是否為線性系統？xxfxxtyttd)()sin()0(e)(0解：解：)0(e)(,d)()sin()(0 xtyxxfxtytzitzsy (t) = yf(t) + yx(t) ， 滿足可分解性；滿足可分解性；Ta f1(t)+ b f2(t) , 0 xxfxx

51、xfxxxfxfxtttd)()sin(bd)()sin(ad)(b)()asin(0201021= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，滿足零狀態線性；，滿足零狀態線性；T0,ax1(0) + bx2(0) = e- -tax1(0) +bx2(0) = ae- -tx1(0)+ be- -tx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 滿足零輸入線性；滿足零輸入線性；所以，該系統為線性系統。所以，該系統為線性系統。1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類5. 5. 時不變系統與時變系統時不變系統與時變系統系統的參數都是常數，它們不隨時間變化，稱為系統的參數都是常

52、數，它們不隨時間變化，稱為時不變系統時不變系統。（1 1）時不變性質）時不變性質 f(t ) yzs(t ) f(t - - td) yzs(t - - td)系統滿足輸入延遲多少時間，其零狀態響應也延遲多少時間系統滿足輸入延遲多少時間，其零狀態響應也延遲多少時間若若Tf(t)，0 = yzs(t)則則Tf(t - td)，0 = yzs(t - td)1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類（2 2）LTI連續系統的微分特性和積分特性連續系統的微分特性和積分特性 本課程重點討論線性時不變系統本課程重點討論線性時不變系統(Linear Time-Invariant)，簡稱，簡稱LTI系統。系統

53、。 微分特性：微分特性：若若 f(t) yzs(t)，則，則 f(t) yzs(t)對零狀態系統對零狀態系統 f(t) yzs(t)f(t - - t) yzs(t - - t)根據時不變性質，有根據時不變性質，有利用線性性質得利用線性性質得tttftf)()(tttytyzszs)()(t 0 得得ttyttfzsd)(dd)(d證明：證明：1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類 積分特性積分特性：tzstxxyxxfd)(d)(若若 f (t) yzs(t)，則，則對零狀態系統對零狀態系統 f(t) yzs(t)f(t - nx) yzs(t - nx)根據時不變性質，有根據時不變性質，

54、有利用線性性質得利用線性性質得證明：證明：f(t - nx) x yzs(t - nx) x00)()(nzsnxxntyxxntfx0 得得00)()(dxxtydxxtfzs變量替換，得變量替換，得tzstdxxydxxf)()(1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類例例：判斷下列系統是否為時不變系統？：判斷下列系統是否為時不變系統？ （1） yzs (k) = f (k) f (k 1) （2） yzs (t) = t f (t) （3） yzs(t) = f ( t)解解(1)令令g (k) = f(k kd) T0，g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f

55、 (kkd 1 )而而 yzs (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 顯然顯然 T0，f(k kd) = yzs (k kd) 故該系統是時不變的。故該系統是時不變的。(2) 令令g (t) = f(t td) T0，g (t) = t g (t) = t f (t td) 而而 yzs (t td)= (t td) f (t td)顯然顯然 T0，f(t td) yzs (t td) 故該系統為時變系統。故該系統為時變系統。1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類(3) 令令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td) 而而

56、yzs (t td) = f ( t td)，顯然，顯然 T0，f(t td) yzs (t td) 故該系統為時變系統。故該系統為時變系統。直觀判斷方法：直觀判斷方法： 若若f ()前出現變系數，或有反轉、展縮變換，則前出現變系數，或有反轉、展縮變換，則系統為時變系統。系統為時變系統。 判斷下列判斷下列yzs(t) = f ( t)是否為時不變系統？是否為時不變系統？1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類6. 6. 因果系統與非因果系統因果系統與非因果系統 因果系統：因果系統： 指零狀態響應不會出現在激勵之前的系統。指零狀態響應不會出現在激勵之前的系統。即對因果系統，即對因果系統， 當當t

57、 t0 ，f(t) = 0時，有時，有t t0 ，yzs(t) = 0。輸出不超前于輸入。輸出不超前于輸入。 判斷方法：判斷方法：1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類如下列系統均為如下列系統均為因果系統因果系統：txxftyd)()(zsyzs(t) = 3f(t 1)而下列系統為而下列系統為非因果系統非因果系統：(1) yzs(t) = 2f(t + 1)(2) yzs(t) = f(2t)因為，令因為，令t=1時，有時，有yzs(1) = 2f(2)因為，若因為，若f(t) = 0， t t0 ，有，有yzs(t) = f(2t)=0, t 0；當當x(0-) =2，輸入信號，輸入信號

58、f2(t)=3f1(t)時，全響應時，全響應 y2(t) = 2e t +3 cos(t)，t0；求輸入求輸入f3(t) = +2f1(t-1)時，系統的零狀態響應時，系統的零狀態響應y3f(t) 。ttfd)(d1解解 設當設當x(0) =1，輸入因果信號，輸入因果信號f1(t)時，系統的零輸入時，系統的零輸入響應和零狀態響應分別為響應和零狀態響應分別為y1zi(t)、y1zs(t)。當。當x(0-) =2，輸入信號輸入信號f2(t)=3f1(t)時，系統的零輸入響應和零狀態響時，系統的零輸入響應和零狀態響應分別為應分別為y2zi(t)、y2zs(t)。 1.5 系統的性質及分類系統的性質及

59、分類由題中條件，有由題中條件，有y1(t) = y1zi(t) + y1zs(t) = e t + cos(t)，t0 （1）y2(t) = y2zi(t) + y2zs(t) = 2e t +3 cos(t)，t0 （2）根據線性系統的齊次性：根據線性系統的齊次性： y2zi(t)=2y1zi(t)，y2zs(t)=3y1zs(t)代入式（代入式（2）得）得y2(t) = 2y1zi(t)+3y1zs (t) = 2et+3cos(t)，t0 （3）式式(3) 2式式(1)，得，得 y1zs(t) = 4e-t + cos(t)，t0由于由于y1zs(t) 是因果系統對因果輸入信號是因果系統

60、對因果輸入信號f1(t)的零狀態響的零狀態響應，故當應，故當t0，y1zs(t)=0；因此；因此y1zs(t)可改寫成可改寫成 y1zs(t) = 4e-t + cos(t)(t) （4） 1.5 系統的性質及分類系統的性質及分類f1(t) y1zs(t) = 4e-t + cos(t)(t)根據根據LTI系統的微分特性系統的微分特性)()sin(4)(3d)(dd)(dzsf1ttetttyttft根據根據LTI系統的時不變特性系統的時不變特性f1(t1) y1zs(t 1) = 4 + cos(t1)(t1) 由線性性質，得：當輸入由線性性質，得：當輸入f3(t) = +2f1(t1)時，