1、會計學1n隱函數的求導公式隱函數的求導公式 一一 一個方程的情形一個方程的情形在上在上冊冊0),(. 1 yxF0),( yxF的求導法的求導法. .已經討論過方程下列定理給出了隱函數存在的充分條件.所確定的隱函數所確定的隱函數)(xyy 第1頁/共44頁隱函數存在定理),(yxF),(00yxP設二元函數設二元函數的某一鄰域內滿足的某一鄰域內滿足: :在點在點, 0),()3(00 yxFy則方程則方程; 0),()2(00 yxF),(xyy ),(00 xyy 的某一鄰域內并有),(),(ddyxFyxFxyyx (1) 具有連續偏導數具有連續偏導數;0),( yxF),(00yxP它滿

2、足條件在點在點隱函數的求導公式恒能唯一確定一個連續且具有連續導數的函數說明說明公式推導如下公式推導如下第2頁/共44頁, 0),( yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx .yxFF ),(yxFx),(yxFy xydd 0 ),(xF)(xy0 將恒等式將恒等式兩邊關于兩邊關于x求導求導,得得0),( yxF)(xyy 將將代代入入第3頁/共44頁例例驗驗證證方方程程0122 yx在在點點)1 , 0(的的某某鄰鄰域域內內能能唯唯一一確確定定一一個個單單值值可可導導、且且0 x時時1 y的的隱隱函函數數)(xfy ，并并求求這這函函數數的的一一階階和和二二階階導導數數在在0 x的的值

3、值.解解令令1),(22 yxyxF則則,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依定理知方程依定理知方程0122 yx在點在點)1 , 0(的某鄰域的某鄰域內能唯一確定一個單值可導、且內能唯一確定一個單值可導、且0 x時時1 y的的函數函數)(xfy 第4頁/共44頁函函數數的的一一階階和和二二階階導導數數為為yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd1),(22 yxyxF第5頁/共44頁0122 yx 法法2 方程確定了方程確定了1個個1元函數元函數方程兩邊對方程兩邊對x求導求導

4、：022 dxdyyx,yxdxdy , 00 xdxdy)(xyy 余下同法余下同法1第6頁/共44頁8先變形方程先變形方程方程兩邊對方程兩邊對x求導求導,arctan)ln(2122xyyx ,)(1122212222xyxyxyyxyyx yxyyyx .ddxyyxxy 例例.dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 法一 推導法解解（即一元隱函數求導法）第7頁/共44頁9解解令令則則,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx 例例.dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 )

5、,(),(ddyxFyxFxyyx 隱函數的求導公式法二 公式法第8頁/共44頁隱函數存在定理隱函數存在定理2 2 設函數設函數),(zyxF在點在點,(0 xP),00zy的某一鄰域內有連續的偏導數，且的某一鄰域內有連續的偏導數，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，則方程，則方程,(yxF0) z在點在點),(000zyxP的某一鄰域內恒能唯一確的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續偏導數的函數定一個單值連續且具有連續偏導數的函數),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),(. 2 zy

6、xF第9頁/共44頁公式推導如下公式推導如下: :將恒等式將恒等式),(yxF),(yxz0 xFzF xz , 0 ,zxFFxz .zyFFyz yFzF yz . 0 ，0),(000 zyxFz0),( zyxF),(yxzz 將將代代入入兩邊對兩邊對x 求偏導求偏導（ y 看作常數看作常數）對對 y求求偏偏導導：( x看作常數看作常數）第10頁/共44頁例例 3 3 設設04222 zzyx，求求22xz .解解令令則則,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(32

7、2zxz 不用公式不用公式?第11頁/共44頁方程確定了方程確定了1個個2元函數元函數確定了隱函數確定了隱函數設方程設方程1 zxyzxy.,2222yzxz 試求試求解解yyxzyxz ),(yxzz y xz z x xz 0 )(x,yzz 練習練習方程兩邊對方程兩邊對x 求偏導求偏導：（ y 看作常數看作常數）第12頁/共44頁再將上式兩邊對x求偏導, （ y看作常數）yxzyxz 22xz2)()(2yxzy 確確定定了了隱隱函函數數設設方方程程1 zxyzxy.,2222yzxz 試求試求),(yxzz 2)(yx xz )(yx )(zy 1 由原方程x, y的對稱性知 22yz

8、2)()(2yxzx 第13頁/共44頁例例 4 4 設設),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .思路：思路：把把z看成看成yx,的函數對的函數對x求偏導數得求偏導數得xz ，把把x看看成成yz,的的函函數數對對y求求偏偏導導數數得得yx ，把把y看成看成zx,的函數對的函數對z求偏導數得求偏導數得zy .解解令令, zyxu ,xyzv 則則),(vufz 第14頁/共44頁把把z看成看成yx,的函數對的函數對x求偏導數得求偏導數得xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函數對的函數對y求偏導數得求偏導

9、數得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv ),(xyzzyxfz 第15頁/共44頁整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看看成成zx,的的函函數數對對z求求偏偏導導數數得得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff ),(xyzzyxfz 第16頁/共44頁0),( yxF)(xyy 說說明明1個個方程方程2個個變量，變量，確定了確定了1個個0),( zyxF),(yxzz 1元函數元函數1個個方程方程3個個變量，變量，確定了確定了1個個 2元函數元函數第17頁/共44頁隱函數求導原則n n個方程個方程, ,m m個變量個變量的

10、方程組的方程組可確定可確定 n n個個（m-nm-n元元）函數，函數，),(nm 一般的：一般的：由題目情況，由題目情況，其余其余m-nm-n個個變量變量作自變量，作自變量，選定選定n n個個變量作變量作函數變量，函數變量，方程組對某一個自變量求導時，方程組對某一個自變量求導時，其余自變量其余自變量看作常數。看作常數。一個方程推廣到多個方程一個方程推廣到多個方程第18頁/共44頁,0),(0),( vuxGvuxF如果方程組為),(),(xvvxuu 則可求則可求xvxudddd與與方程組兩邊關于方程組兩邊關于x求導求導,二方程組的情形(隱函數組)2個個方程方程3個個變量，變量，確定了確定了2

11、個個 1元函數元函數第19頁/共44頁 0),(0),(vuyxGvuyxF,xu ,yu ),(yxuu ).,(yxvv ,xv .yv 如果方程組為則則可求可求方程組兩邊關于方程組兩邊關于x求偏導求偏導, y看成常數看成常數方程組兩邊關于方程組兩邊關于y求偏導求偏導, x看成常數看成常數則可求則可求2個個方程方程4個個變量，變量，確定了確定了2個個 2元函數元函數第20頁/共44頁 0),(0),(vuyxGvuyxF隱函數存在定理隱函數存在定理 3 3 設設),(vuyxF、),(vuyxG在在點點),(0000vuyxP的某一鄰域內有對各個變量的連續的某一鄰域內有對各個變量的連續偏導

12、數，且偏導數，且0),(0000 vuyxF, ,),(0000vuyxG0 ，且偏導數所組成的函數行列式，且偏導數所組成的函數行列式（或稱雅可比（或稱雅可比式）式） vGuGvFuFvuGFJ ),(),(第21頁/共44頁在點在點),(0000vuyxP不等于零，則方程組不等于零，則方程組 0),( vuyxF、 0),( vuyxG在點在點),(0000vuyxP的某一鄰域內恒能唯一確定一的某一鄰域內恒能唯一確定一組單值連續且具有連續偏導數的函數組單值連續且具有連續偏導數的函數),(yxuu ，),(yxvv ，它們滿足條件，它們滿足條件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx

13、，并有，并有,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu 第22頁/共44頁vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 第23頁/共44頁25例例)0, 0( ,212222 zyzyxzyx設設及及求求xzxydd,dd.dd,dd11 xxxzxy解解分析分析),(xyy ).(xzz 直接代入公式；直接代入公式；法一令令, 2),( zyxzyxF.21),(222zyxzyxG 0),(0),(zyxGzyxF),(),()

14、,(),(ddzyGFzxGFxy ),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz , 1 xF, 1 yF, 1 zF,2xxG ,2yyG , zzG zGyGzFyFzyGF),(),(第24頁/共44頁26 ),(),(zyGFJ, 1 xF, 1 yF, 1 zF,2xxG ,2yyG , zzG zy 211yz2 zGyGzFyF ),(),(zxGFzGxGzFxF zx 211xz2 zyzxxy 22dd1 x1 x0 0),(0),(zyxGzyxF),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy ),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz 第25頁/共44頁27

15、, 1 xF, 1 yF, 1 zF,2xxG ,2yyG , zzG ),(),(xyGFxGyGxFyF xy2211 yx22 1 x1 x1 0),(0),(zyxGzyxF),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy ),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz zyyxxz 222dd第26頁/共44頁例例)0, 0( ,212222 zyzyxzyx設設及及求求xzxydd,dd.dd,dd11 xxxzxy解解),(xyy ).(xzz 方程組兩邊方程組兩邊對對x求導1 x2xydd xzdd 0 y2 xzdd xydd z 確定了確定了2個個 1元函數元函數第27頁

16、/共44頁1 xdxdzzdxdyydxdzdxdy221x2xydd xzdd 0 y2 xzdd xydd z dxdy,22yzxz zy 211z 11 x2 dxdz,222yzyx zy 211y211 x2 第28頁/共44頁得得zyzxxy 22ddzyyxxz 222dd1 x1 x0 1 x1 x1 dxdy,22yzxz dxdz,222yzyx )0, 0( ,212222 zyzyxzyx設設.dd,dd11 xxxzxy 222113zyzy,1時時 x得得2, 1 zy第29頁/共44頁例例設方程組設方程組,0022222 vuxyuvyx確定函數確定函數和和),

17、(yxuu ),(yxvv .,yvxvyuxu 求求解解原方程組兩邊分別對原方程組兩邊分別對x2x求偏導數, y看成常數 2yv u 0 xu xv u2 v2 0 xu xv 0 2個個方程方程4個個變量，變量，確定了確定了2個個 2元函數元函數),(yxuu ).,(yxvv 第30頁/共44頁解方程組得解方程組得,2222 yxvvxuuxxvuxuv移項得：,022022 xvvxuuyxvuxuvx xv xu,)(24222vuuyxv vuuv22 vu2x22y .)(24222vuvyxu vuuv22 uv2 x22y 第31頁/共44頁原方程組兩邊分別原方程組兩邊分別對

18、對,022202 yvvyuuxyyvuyuvy,222vuxyvyvyu .222vuxyvyuyv 解方程組得解方程組得yvyu ,求求 0022222vuxyuvyx練習y求偏導數, x 看成常數第32頁/共44頁（分以下幾種情況）（分以下幾種情況）隱函數的求導法則0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF第33頁/共44頁解解運用公式推導的方法，運用公式推導的方法，將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對 求導并移項求導并移項x, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 第34頁/共44頁在在0 J的條件下，的條件下，xyyxxv

19、yuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 將所給方程的兩邊對將所給方程的兩邊對 求導，用同樣方法得求導，用同樣方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv , vxvxxuyuxvyxux第35頁/共44頁已已知知)(zyzx ，其其中中 為為可可微微函函數數，求求? yzyxzx思考題第36頁/共44頁思考題解答記記)(),(zyzxzyxF , 則則zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .第37頁/共44頁39作業習題習題8.58.5 (340(340頁頁) )第38頁/共44頁40例例.,yyrxxr 求求解解 法一法一,sincos ryrx對x求偏導: cossinsincosrrxr cos0sin1rr cos xr 0 sin cos r x 1 cosxr r sin x 第39頁/共44頁41對對 y求偏導求偏導,r sin .cosry ,sin yr同理, xrxrxrxr cossin0sincos1 cossinsincosrrx 0sin1cos 自己練.,sincos