1、 象這些象這些桌面、桌面、平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以平靜的湖面、鏡面、黑板面等都給我們以_的印的印象象一一. .平面的概念：平面的概念：（1 1）平面的直觀認識）平面的直觀認識光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們很熟悉光滑的桌面、平靜的湖面等都是我們很熟悉. .（2 2）平面的特征：）平面的特征：平面沒有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是平面沒有大小、厚薄和寬窄，平面在空間是無限延展的。無限延展的。數學中的平面概念是現實平面加以抽象的結果。數學中的平面概念是現實平面加以抽象的結果。平面平面ADCB 平面平面、 平面平面ABCD、（3 3）平面的表示方法）平面的表示方法幾何畫法幾何畫法：通常用

2、平行四邊形來表示平面：通常用平行四邊形來表示平面 符號表示：符號表示：通常用希臘字母通常用希臘字母 等來表等來表示，如：平面示，如：平面 也可用表示平行四邊形的兩個也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母來表示，如：平面相對頂點的字母來表示，如：平面AC,平面平面AC（1）水平放置的平面：）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：）垂直放置的平面：a一般用水平放置的正方形的直觀圖作為水平放一般用水平放置的正方形的直觀圖作為水平放置的平面的直觀圖置的平面的直觀圖（3）在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，）在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫。可以把遮住

3、部分畫成虛線，也可以不畫。Company Logo平面的特征平面的特征1平面的畫法平面的畫法2平面的表示平面的表示3a.平面在空間是無限延展的；平面在空間是無限延展的；b.平面不能講大小和厚度。平面不能講大小和厚度。我們畫出平面的一部分表示平我們畫出平面的一部分表示平面，通常畫平行四邊形來表示面，通常畫平行四邊形來表示平面平面。a.通常用字母通常用字母、等表示等表示；b.用平行四邊形對角線上的兩用平行四邊形對角線上的兩個大寫字母表示。個大寫字母表示。C D A B 總結總結二二. .用數學符號來表示點、線、面之間的位置關系：用數學符號來表示點、線、面之間的位置關系：A AB Ba a 點點A

4、A在直線在直線a a上：上：記為：記為：AaAa點點B B不在直線不在直線a a上：上：記為：記為：BaBa點點A A在平面在平面內：內：記為：記為：AA點點B B不在平面不在平面上：上：記為：記為：B B A AB B(1)(1)點與直線的位置關系：點與直線的位置關系：(2)(2)點與平面的位置關系：點與平面的位置關系：(3)(3)直線與平面的位置關系：直線與平面的位置關系： 直線直線a a上的所有點都在平面上的所有點都在平面上，稱直線上，稱直線a a在平面在平面內，或稱平面內，或稱平面通過直線通過直線a.a.記為：記為：a a 直線直線a a與平面與平面只有一個公共點只有一個公共點A A時

5、，稱直時，稱直線線a a與平面與平面相交。記為：相交。記為：aaA Aa aA Aa a圖形圖形符號語言符號語言文字語言文字語言(讀法讀法)?A?aAa?A?aAa?AA?AA?b?a?AabA點在直線上點在直線上點不在直線上點不在直線上點在平面內點在平面內 點不在平面內點不在平面內 直線直線a、b交于點交于點A 點、線、面的基本位置關系點、線、面的基本位置關系（1）符號表示：）符號表示：（2）集合關系：）集合關系：點點A、 線線a、 面面,A, aA,a圖形圖形符號語言符號語言文字語言文字語言(讀法讀法)a直線直線a在平面在平面內內?a直線直線a與平面與平面平行平行?a?AaA直線直線a與平

6、面與平面交于交于點點Al平面平面與與相交于相交于直線直線la/a點、線、面的基本位置關系點、線、面的基本位置關系,_) 1 (1A_A,_)2(1B_D正方體的各頂點如圖所示，正方體的三個面所在平正方體的各頂點如圖所示，正方體的三個面所在平面面?，分別記作，分別記作?，試用適當的符號填，試用適當的符號填空空 CBBACA1111,、) 3() 4(,_) 5 (11BA_11BA練一練練一練11BA1BB(6)平面A1C1CA平面D1B1BD= A1B1C1D1O1ABCDOoo1平面的基本性質平面的基本性質把一根木條固定在墻面上把一根木條固定在墻面上需要幾根釘子需要幾根釘子?問題一如果把桌面

7、看作一個平面，把筆看作是如果把桌面看作一個平面，把筆看作是一條直線的話，你覺得在什么情況下，一條直線的話，你覺得在什么情況下，才能使筆所代表的直線上所有的點都能才能使筆所代表的直線上所有的點都能在桌面上？在桌面上？問題二 公理公理1.1.如果一條直線上兩點在一個平面內，那么如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內（即直線在平這條直線上的所有的點都在這個平面內（即直線在平面內）。面內）。lAB桌面桌面AB觀察下列圖形，你能得到什么結論？觀察下列圖形，你能得到什么結論？三三.平面的基本性質平面的基本性質公理公理1.1.如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條直如果一條

8、直線上兩點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內（即直線在平面內）。線上的所有的點都在這個平面內（即直線在平面內）。lAB,Al BlABl 符號表示：且文字語言：文字語言：圖形語言：圖形語言：符號語言：符號語言：,ABAB若直 線一一 是是可以用來判定一條直線是否在平面內可以用來判定一條直線是否在平面內，即，即 要判定直線在平面內，只需確定直線上兩個要判定直線在平面內，只需確定直線上兩個 點在平面內即可；點在平面內即可； 二二 是是可以用來判定點在平面內可以用來判定點在平面內，即如果直線在，即如果直線在 平面內、點在直線上，則點在平面內平面內、點在直線上，則點在平面內. . 三

9、三 是是表明平面是表明平面是“平的平的” 公理公理2.2.如果兩個平面如果兩個平面( (不重合的不重合的) )有一個公共點，有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經過這個公共點的一條直線過這個公共點的一條直線. .Pa觀察下列圖形，你能得到什么結論？觀察下列圖形，你能得到什么結論？P天花板天花板墻面墻面墻面墻面公理公理2.如果兩個平面如果兩個平面(不重合的不重合的)有一個公共點，那么它們還有有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經過這個公共點的一條直線其他公共點，這些公共點的集合是經過這個公共點的一條直線.PaPl

10、PlP且如果兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平如果兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相交，這條公共直線叫做這兩個平面的面相交，這條公共直線叫做這兩個平面的交線交線。一一 是是判定兩個平面相交判定兩個平面相交，即如果兩個平面有一個，即如果兩個平面有一個 公共點，那么這兩個平面相交；公共點，那么這兩個平面相交；二二 是是判定點在直線上判定點在直線上，即點若是某兩個平面的公，即點若是某兩個平面的公 共點，那么這點就在這兩個平面的交線上共點，那么這點就在這兩個平面的交線上. .公理2的作用有三：三三 兩平面兩個兩平面兩個公共點的連線就是它們的交線公共點的連線就是它們的交線相交平面的畫法：相交平面

11、的畫法：在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可在畫圖時，如果圖形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫。以把遮住部分畫成虛線，也可以不畫。兩個相交平面的畫法：兩個相交平面的畫法：Company Logo如果點如果點A、點、點、點、點平面平面，且點，且點A、點、點點、點平面平面，那么點、點、，那么點、點、點有什么關系？點有什么關系？跟蹤練習答：、三點共線Company LogoABC問題一平面的基本性質平面的基本性質 用手指頭將一本書平衡地擺方在空用手指頭將一本書平衡地擺方在空間某一位置，至少需要幾個手指頭？間某一位置，至少需要幾個手指頭？手指的位置需要滿足什么條件？手

12、指的位置需要滿足什么條件？問題二公理公理3.3.經過不在同一條直線上的三點，經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面有且只有一個平面. .ACBCBACBA,使有且只有一個平面三點不共線公理公理3.3.經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面經過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面. .ACB或記為平面或記為平面ABCABC公理3的作用確定平面的依據; 判定點或線的共面Company Logo至少有一個至少有一個“只有一個只有一個”至多有一個至多有一個“有有”說明圖形是存在的說明圖形是存在的說明圖形是唯一的說明圖形是唯一的推論推論1公理公理3Aa經過一條直線和這經過一條直線和這條直線外

13、一點條直線外一點,有且只有一有且只有一個平面個平面.推論推論2經過兩條相交直線，經過兩條相交直線，有且只有一個平面有且只有一個平面.推論推論3經過兩條平行直線，經過兩條平行直線，有且只有一個平面有且只有一個平面.baabABC的推論的推論推論推論1.1.一條直線和直線外一點唯一確定一個平面。一條直線和直線外一點唯一確定一個平面。aABC.AaAa直線有且只有一個平面 ，使得，數學語言表示數學語言表示:推論推論1經過一條直線和這條直線外一點經過一條直線和這條直線外一點,有且只有有且只有一個平面一個平面.已知：點已知：點A a.求證：過點求證：過點A和直線和直線a可以確定一個平面可以確定一個平面.

14、證明：證明：存在性存在性. 因為因為A a，在，在a上任取兩點上任取兩點B，C.所以過不共線的三點所以過不共線的三點A，B，C有一個平面有一個平面 .（公理（公理3）因為因為B ，C ，故經過點故經過點A和直線和直線a有一個平面有一個平面 .ABCa因為因為B，C在在a 上，上，所以過直線所以過直線a和點和點A的平面一定經過點的平面一定經過點A，B，C。據公理據公理3，過不共線三點，過不共線三點A，B，C的平面只有一個，的平面只有一個，所以過直線所以過直線a和點和點A的平面只有一個。的平面只有一個。唯一性唯一性.所以所以a .（公理（公理1）推論2.兩條相交直線唯一確定一個平面。Cab數學語言

15、表示數學語言表示:.abCab直線有且只有一個平面 ，使得，推論推論2的證明的證明推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面。已知：直線a與b交與A求證：經過直線a、b有且只有一個平面。【證明】（存在性）如圖所示，在直線a,b上分別取不同于點A的點C、B，得不在同一直線上的三點A、B、C，過這三個點有且只有一個平面(公理2)。又 (公理1)所以平面是過相交直線a，b的平面。推論推論2的證明的證明推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面。已知：直線a與b交與A求證：經過直線a、b有且只有一個平面。【證明】（唯一性）如果過直線a和b還有另一平面，那么A,B,C三點也一定都在平面內，這樣過不在一條

16、直線上的三點A,B,C就有兩個平面 、了，這與公理2矛盾。所以過直線a，b的平面只有一個。綜上知，過直線a、b有且只有一個平面。推論推論3.3.兩條平行直線唯一確定一個平面。兩條平行直線唯一確定一個平面。ACBab數學語言表示數學語言表示:/.abab直線有且只有一個平面 ，使得，思考1：不共面的四點可以確定多少個平面？思考2：四條相交于同一點的直線a,b,c,d并且任意三條都不在同一平面內，由它們中的兩條來確定平面，可以確定多少個平面?:,D 1 已知求證:直線AD,BD,例C、D共面A B CllA B CDl.:與 確定平面證明DllD ,.又A B Cl lA B C ,即共面DBD

17、CD ADAD BD CD 例題講解例題講解11,11在長方體中為棱的中點 畫出?由A ,C ,P三點所確定的平面 與長方體?例2?表面的交.、線ACPBB PCDBC1AB1A1D1PCDBC1AB1A1D1例題講解例題講解例例3、兩兩相交且不同點的三條直線必在同一個平面內、兩兩相交且不同點的三條直線必在同一個平面內ABC已知：已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C求證：直線求證：直線AB，BC，AC共面共面.證法一證法一：因為因為ABAB=A所以直線所以直線AB，AC確定一個平面確定一個平面 .（推論（推論2）因為因為BAB，CAC，所以，所以B ，C ，故故BC.（公理（公理1）

18、因此直線因此直線AB，BC，CA共面共面.例題講解例題講解ABC證法二證法二：因為因為A 直線直線BC上，上，所以過點所以過點A和直線和直線BC確定確定平面平面 .（推論（推論1）因為因為A ，BBC，所以，所以B .故故AB ，同理同理AC ，所以所以AB，AC，BC共面共面.ABC證法三：證法三：因為因為A，B，C三點不在一條直線上，三點不在一條直線上，所以過所以過A，B，C三點可以確定平面三點可以確定平面 .（公理（公理3）因為因為A ，B ，所以，所以AB .（公理（公理1）同理同理BC ，AC ，所以所以AB，BC，CA三直線共面三直線共面.要證各線共面，先確定一個平面，要證各線共面，先確定一個平面，再證明其他直線也在這個平面內再證明其他直線也在這個平面內例例4、已知三角形已知三角形ABC的的三條邊三條邊AB、BC、AC與平與平面面分別交于分別交于P、Q、R求證：求證：P、Q、R共線共線BAQRCP證明：證明：ABCABCPABP平面平面ABC平面PP同理同理Q、R也為公共點，也為公共點， 所以所以P、Q、R共線共線.要證明各點共線，只要證