1、第第3 3章章 多軸應力下混凝土的多軸應力下混凝土的本構關系本構關系 鋼筋混凝土結構中，混凝土幾乎不存在單一軸壓鋼筋混凝土結構中，混凝土幾乎不存在單一軸壓或軸拉應力狀態；或軸拉應力狀態； 梁、板、柱構件，混凝土事實上處于二維或三維梁、板、柱構件，混凝土事實上處于二維或三維應力狀態；應力狀態； 雙向板、墻板、剪力墻和折板、殼體，重大的特雙向板、墻板、剪力墻和折板、殼體，重大的特殊結構，如核反應堆的壓力容器和安全殼、水壩、設殊結構，如核反應堆的壓力容器和安全殼、水壩、設備基礎、重型水壓機等，都是典型的二維和三維結構，備基礎、重型水壓機等，都是典型的二維和三維結構，其中混凝土的多軸應力狀態更是確定無

2、疑；其中混凝土的多軸應力狀態更是確定無疑； 設計時，如采用混凝土單軸壓或拉強度，其結果設計時，如采用混凝土單軸壓或拉強度，其結果是：是：過低地給出二軸和三軸抗壓強度，造成材料浪費，過低地給出二軸和三軸抗壓強度，造成材料浪費，卻又過高地估計多軸拉卻又過高地估計多軸拉- -壓應力狀態的強度，埋下不安壓應力狀態的強度，埋下不安全的隱患，全的隱患，顯然都不合理。顯然都不合理。 許多國家對混凝土多軸性能的大量系統性試驗和理許多國家對混凝土多軸性能的大量系統性試驗和理論研究，取得的研究成果有的已經融入相關設計規范。論研究，取得的研究成果有的已經融入相關設計規范。 美、英、德、法等國的預應力混凝土壓力容器設

3、計美、英、德、法等國的預應力混凝土壓力容器設計規程、俄國和日本的水工結構設計規范，以及模式規規程、俄國和日本的水工結構設計規范，以及模式規范范CEB-FIP MC90等都有明確的條款，規定了混凝土等都有明確的條款，規定了混凝土多軸強度和本構關系的計算公式（或圖、表）。這些多軸強度和本構關系的計算公式（或圖、表）。這些成果應用于工程實踐中，取得了很好的技術經濟效益。成果應用于工程實踐中，取得了很好的技術經濟效益。 自上世紀自上世紀60年代，我國一些高校和研究院相繼開展年代，我國一些高校和研究院相繼開展了混凝土多軸性能的試驗和理論研究，取得了相應成了混凝土多軸性能的試驗和理論研究，取得了相應成果，

4、為在果，為在混凝土結構設計規范混凝土結構設計規范GB-50010-2002 中中首次列入多軸強度和本構關系奠定了堅實的基礎。首次列入多軸強度和本構關系奠定了堅實的基礎。 另外，計算機的發展應用，有限元分析方法漸趨成另外，計算機的發展應用，有限元分析方法漸趨成熟，為準確地分析復雜結構提供了強有力的理論和運熟，為準確地分析復雜結構提供了強有力的理論和運算手段，研究合理、準確的混凝土破壞準則和本構關算手段，研究合理、準確的混凝土破壞準則和本構關系已成為可能。電子量測和控制技術的進步，為建造系已成為可能。電子量測和控制技術的進步，為建造復雜的混凝土多軸試驗設備和改進量測技術提供了條復雜的混凝土多軸試驗

5、設備和改進量測技術提供了條件。件。 混凝土的材料性質復雜多變，其多軸強度和變形又混凝土的材料性質復雜多變，其多軸強度和變形又隨三軸應力狀態的不同而有很大差異。隨三軸應力狀態的不同而有很大差異。至今還沒有，至今還沒有，以后也難以找到一種準確的理論方法，可以從混凝土以后也難以找到一種準確的理論方法，可以從混凝土原材料的性質、組成和制備工藝等原始條件推算其多原材料的性質、組成和制備工藝等原始條件推算其多軸力學性能。軸力學性能。因而，因而，最現實和合理的辦法是創建混凝最現實和合理的辦法是創建混凝土多軸試驗設備、制作試件直接進行試驗測定。土多軸試驗設備、制作試件直接進行試驗測定。 3.1試驗設備和方法試

6、驗設備和方法 所有的混凝土多軸試驗裝置，按試件的應力狀所有的混凝土多軸試驗裝置，按試件的應力狀態分為兩大類：態分為兩大類：1、常規三軸試驗機、常規三軸試驗機 一般利用已有的大型材料試驗機，配備一個帶一般利用已有的大型材料試驗機，配備一個帶活塞的高壓油缸和獨立的油泵、油路系統。活塞的高壓油缸和獨立的油泵、油路系統。 試驗時將試件置于油缸內的活塞之下，試件的試驗時將試件置于油缸內的活塞之下，試件的橫向由油泵施加液壓，縱向由試驗機通過活塞加橫向由油泵施加液壓，縱向由試驗機通過活塞加壓。試件在加載前外包橡膠薄膜，防止高壓油進壓。試件在加載前外包橡膠薄膜，防止高壓油進入試件裂縫，脹裂試件，降低其強度。入

7、試件裂縫，脹裂試件，降低其強度。 試驗采用圓柱體或棱柱體試件，試驗采用圓柱體或棱柱體試件，當試當試件三軸受壓（件三軸受壓（C/C/C）時，）時，必有兩方向必有兩方向應力相等應力相等，稱為常規三軸受壓，以區別，稱為常規三軸受壓，以區別真三軸受壓試驗。真三軸受壓試驗。 如果采用空心圓筒試件，在筒外或筒如果采用空心圓筒試件，在筒外或筒內施加側壓，還內施加側壓，還可進行二軸受壓可進行二軸受壓(C/C)或拉壓或拉壓(T/C)試驗試驗。2、真三軸試驗裝置、真三軸試驗裝置 試驗裝置的構造見圖。試驗裝置的構造見圖。 60年代，年代，Krupp通用建筑公司通用建筑公司機架焊接整體結構，三軸機架焊接整體結構，三軸

8、剛性連接剛性連接 試驗中：試件擠在一角，變形增大時試件受到不對稱應力增試驗中：試件擠在一角，變形增大時試件受到不對稱應力增大。因為軸是互相固定死的，變形得不到互相補償。這種機械大。因為軸是互相固定死的，變形得不到互相補償。這種機械設備限制在試件中產生強制應力，實測破壞荷載并不能真實代設備限制在試件中產生強制應力，實測破壞荷載并不能真實代表試件的破壞荷載。表試件的破壞荷載。慕尼黑工大慕尼黑工大（68年）年）一框架彈性一框架彈性懸掛在另一懸掛在另一框架上，鋼框架上，鋼刷傳力，可刷傳力，可減小不對稱減小不對稱應力。應力。 三軸分離試驗裝置：由三個獨立的互不相連的機架三軸分離試驗裝置：由三個獨立的互不

9、相連的機架組成，在水平方向的兩個機架，一個用纜繩懸掛起來，組成，在水平方向的兩個機架，一個用纜繩懸掛起來，另一個放置在滾動軸承上。垂直機架用平衡重物懸掛另一個放置在滾動軸承上。垂直機架用平衡重物懸掛起來，能適應試件在水平方向和垂直方向上受應力而起來，能適應試件在水平方向和垂直方向上受應力而產生的變形。產生的變形。 共同特點是：在共同特點是：在3個相互垂直的方向都設有獨立的活塞、液壓缸、個相互垂直的方向都設有獨立的活塞、液壓缸、供油管路和控制系統。供油管路和控制系統。 但主要機械構造差異很大，有的在但主要機械構造差異很大，有的在3個方向分設絲杠和橫梁等組個方向分設絲杠和橫梁等組成的加載架，有的則

10、利用試驗機施加縱向應力，橫向（水平）的兩成的加載架，有的則利用試驗機施加縱向應力，橫向（水平）的兩對活塞和油缸置于一剛性承載框內，以減小設備占用空間，方便試對活塞和油缸置于一剛性承載框內，以減小設備占用空間，方便試驗。驗。 在復雜結構中，混凝土的三向主應力不等，且可能在復雜結構中，混凝土的三向主應力不等，且可能是有拉有壓。顯然，試驗裝置應能在是有拉有壓。顯然，試驗裝置應能在3個方向施加任意個方向施加任意的拉、壓應力和不同的應力比例（的拉、壓應力和不同的應力比例（1：2：3）。）。70年年代后研制的試驗裝置大部分屬此類。代后研制的試驗裝置大部分屬此類。真三軸試驗裝置的最大加載能力為壓力：真三軸試

11、驗裝置的最大加載能力為壓力： 3000 kN / 2000 kN / 2000 kN拉力為：拉力為： 200kN / 200kN 混凝土試件一般為邊長混凝土試件一般為邊長50150 mm的立方體。進行的立方體。進行二軸應力狀態試驗時也可采用板式試件，最大尺寸二軸應力狀態試驗時也可采用板式試件，最大尺寸為為200 mm 200 mm 50 mm。 真三軸試驗裝置需要自行設計和研制，且無統一的真三軸試驗裝置需要自行設計和研制，且無統一的試驗標準可依循，還有些復雜的試驗技術問題需解決，試驗標準可依循，還有些復雜的試驗技術問題需解決，造價和試驗費用都比較高。但是為了獲得混凝土的真造價和試驗費用都比較高

12、。但是為了獲得混凝土的真三軸性能，卻又缺之不可。三軸性能，卻又缺之不可。 在設計混凝土的三軸試驗方法和試驗裝置時，有些試驗技術問在設計混凝土的三軸試驗方法和試驗裝置時，有些試驗技術問題需要研究解決，否則影響試驗結果的可靠性和準確性，決定三題需要研究解決，否則影響試驗結果的可靠性和準確性，決定三軸試驗的成敗。主要的技術難點和其解決措施有：軸試驗的成敗。主要的技術難點和其解決措施有：1、消減試件表面的摩擦、消減試件表面的摩擦 混凝土立方體試件的標準抗壓試驗中，只施加單向壓力，由于混凝土立方體試件的標準抗壓試驗中，只施加單向壓力，由于鋼壓板對試件端面的橫向摩擦約束，提高了混凝土的試驗強度。鋼壓板對試

13、件端面的橫向摩擦約束，提高了混凝土的試驗強度。在多軸受壓試驗時，如不采取措施消除或減小此摩擦作用，各承在多軸受壓試驗時，如不采取措施消除或減小此摩擦作用，各承壓端面的約束相互強化，可使混凝土的試驗強度成倍地增長，試壓端面的約束相互強化，可使混凝土的試驗強度成倍地增長，試驗結果不真實，毫無實際價值。驗結果不真實，毫無實際價值。混凝土多軸試驗中，行之有效的減摩措施有混凝土多軸試驗中，行之有效的減摩措施有4類：類： 在試件和加壓板之間在試件和加壓板之間設置減摩墊層設置減摩墊層； 刷形加載板刷形加載板； 柔性加載板柔性加載板； 金屬箔液壓墊金屬箔液壓墊。 后三類措施取得較好的試驗數據，但其附件的構造復

14、雜，加工后三類措施取得較好的試驗數據，但其附件的構造復雜，加工困難，造價高，且減摩效果也不盡理想。至今應用最多的還是各困難，造價高，且減摩效果也不盡理想。至今應用最多的還是各種材料和構造的減摩墊層，例如兩片聚四氟乙烯（厚種材料和構造的減摩墊層，例如兩片聚四氟乙烯（厚2 mm）間加）間加二硫化鉬油膏，三層鋁箔（厚二硫化鉬油膏，三層鋁箔（厚0.2 mm）中間加二硫化鉬油膏，分）中間加二硫化鉬油膏，分小塊的不銹鋼墊板等。小塊的不銹鋼墊板等。2、施加拉力、施加拉力 對試件施加拉力，須有高強粘結膠把試件和加載板牢固地粘結對試件施加拉力，須有高強粘結膠把試件和加載板牢固地粘結在一起。此外，在一起。此外，試

15、件在澆注和振搗過程中形成含有氣孔和水泥砂試件在澆注和振搗過程中形成含有氣孔和水泥砂漿較多的表層（厚約漿較多的表層（厚約24 mm），抗拉強度偏低，故用作受拉試），抗拉強度偏低，故用作受拉試驗的試件先要制作尺寸較大的混凝土試塊，后用切割機鋸除表層驗的試件先要制作尺寸較大的混凝土試塊，后用切割機鋸除表層5 mm后制成。后制成。3、應力和應變的量測、應力和應變的量測 混凝土多軸試驗時，試件表面有加載板阻擋，周圍的空間很小，混凝土多軸試驗時，試件表面有加載板阻擋，周圍的空間很小，成為應變量測的難點。試驗中一般采用兩類方法：成為應變量測的難點。試驗中一般采用兩類方法： 直接量測法，直接量測法，在試件表面

16、上預留淺槽（深在試件表面上預留淺槽（深23 mm）內粘貼電）內粘貼電阻應變片，并用水泥砂漿填滿抹平；或者在打磨過的試件棱邊上阻應變片，并用水泥砂漿填滿抹平；或者在打磨過的試件棱邊上粘貼電阻片（影響試件性能，應變片可能被破壞）；粘貼電阻片（影響試件性能，應變片可能被破壞）； 間接量測法，間接量測法，使用電阻式或電感式變形傳感器量測試件同方使用電阻式或電感式變形傳感器量測試件同方向兩塊加載板的相對位移，扣除事先標定的減摩墊層的相應變形向兩塊加載板的相對位移，扣除事先標定的減摩墊層的相應變形后，計算試件應變。后，計算試件應變。 前者較準確，但量程有限，適用于二軸試驗和三軸拉壓試驗；前者較準確，但量程

17、有限，適用于二軸試驗和三軸拉壓試驗；后者的構造較復雜，但量程大，適用于三軸受壓試驗。后者的構造較復雜，但量程大，適用于三軸受壓試驗。 4、應力（變）途徑的控制、應力（變）途徑的控制 實際結構中一點的三向主應力值，隨荷載的變化可實際結構中一點的三向主應力值，隨荷載的變化可有不同的應力途徑。已有的大部分三軸試驗是等比例有不同的應力途徑。已有的大部分三軸試驗是等比例（1:2:3 =const）單調加載、直到試件破壞。）單調加載、直到試件破壞。 應力比例由電應力比例由電-液控制系統實現，一般設備都具備這液控制系統實現，一般設備都具備這一功能。有些設備還可進行多種應力（變）途徑的試一功能。有些設備還可進

18、行多種應力（變）途徑的試驗，例如驗，例如三向應力變比例加載、恒側壓加載、反復加三向應力變比例加載、恒側壓加載、反復加卸載、應變或應變速度控制加載卸載、應變或應變速度控制加載等。需要指出，應用等。需要指出，應用三軸試驗裝置也可以進行混凝土的單軸受壓和受拉試三軸試驗裝置也可以進行混凝土的單軸受壓和受拉試驗，得到相應的強度值和應力驗，得到相應的強度值和應力-應變曲線。但是這些試應變曲線。但是這些試驗結果與用標準試驗方法得到的不完全一致，有些甚驗結果與用標準試驗方法得到的不完全一致，有些甚至相差較大。這是因為兩者的試驗加載設備、試件的至相差較大。這是因為兩者的試驗加載設備、試件的形狀和尺寸、量測精度、

19、承壓面的摩擦約束等條件都形狀和尺寸、量測精度、承壓面的摩擦約束等條件都不相同。在分析混凝土的多軸性能時，一般取可比性不相同。在分析混凝土的多軸性能時，一般取可比性強的前者作為對比標準。強的前者作為對比標準。 5、 試件的尺寸，即加載的空間很小（一般為試件的尺寸，即加載的空間很小（一般為50100mm），而承載力很大（），而承載力很大（10003000kN），要求），要求有較大而剛性的加載油缸和活塞）和承力（橫梁和拉有較大而剛性的加載油缸和活塞）和承力（橫梁和拉桿）機構，造成構造上的困難；桿）機構，造成構造上的困難； 6、試件受力后的變形過程中，要求三個方向施加、試件受力后的變形過程中，要求三個

20、方向施加的力始終保持居中，不產生偏心作用；的力始終保持居中，不產生偏心作用； 3.2破壞準則破壞準則3.2.1破壞包絡面的形狀及其表達破壞包絡面的形狀及其表達 在主應力空間坐標系（在主應力空間坐標系（1, 2, 3）中，）中， 將試驗中獲得的混凝土將試驗中獲得的混凝土多軸強度（多軸強度（f1， f2， f3）的數據，逐個地標在主應力坐標空間，相）的數據，逐個地標在主應力坐標空間，相鄰各點以光滑曲面相連，可得混凝土的破壞包絡曲面。鄰各點以光滑曲面相連，可得混凝土的破壞包絡曲面。破壞包絡曲面與坐標平面的交線，即混凝土的二軸破壞包絡線。破壞包絡曲面與坐標平面的交線，即混凝土的二軸破壞包絡線。1-fc

21、2-fc1122ftftfttfcc坐標軸的順序按右手螺旋法則規定-1-3-2312+(1, 2)-(1, 2) 在主應力空間中，在主應力空間中，與各坐標軸保持等距的各點連結成為靜水與各坐標軸保持等距的各點連結成為靜水壓力軸（即各點應力狀態均滿足：壓力軸（即各點應力狀態均滿足：1=2=3）。）。 此軸必通過坐標原點，且與各坐標軸的夾角相等，此軸必通過坐標原點，且與各坐標軸的夾角相等，均為均為)3/1cos( arc 靜水壓力軸上一點與坐靜水壓力軸上一點與坐標原點的距離稱為標原點的距離稱為靜水壓靜水壓力（力（）；）； 其值為其值為3個主應力在靜水個主應力在靜水壓力軸上的投影之和，故：壓力軸上的投

22、影之和，故：cot132133313/ )(mI-1-3-2312+(1, 2)-(1, 2)靜水壓力軸靜水壓力軸垂直于靜水壓力軸的平面為偏平面。垂直于靜水壓力軸的平面為偏平面。3個主應力軸在偏平面上的投影各成個主應力軸在偏平面上的投影各成120o角。角。同一偏平面上的每一點的同一偏平面上的每一點的3個主個主應力之和為一常數：應力之和為一常數：I1為應力張量為應力張量ij的第一不變量的第一不變量1321Iconst 偏平面與破壞包絡曲面的交線成為偏平面包絡線。偏平面與破壞包絡曲面的交線成為偏平面包絡線。不同靜水壓力下的偏平面不同靜水壓力下的偏平面包絡線構成一族封閉曲線。包絡線構成一族封閉曲線。

23、 偏平面包絡線為偏平面包絡線為三折對稱三折對稱，有夾角，有夾角60o范圍內的曲線段，和直范圍內的曲線段，和直線段一起共同構成全包絡線。取線段一起共同構成全包絡線。取主應力軸正方向處為主應力軸正方向處為=0o，負，負方向處為方向處為=60o ，其余各處為，其余各處為0o60o。 在偏平面上，在偏平面上，包絡線上一點至靜水壓力軸的距離稱為偏應力包絡線上一點至靜水壓力軸的距離稱為偏應力 r。偏應力在偏應力在=0o處最小處最小(rt），隨），隨角逐漸增大，至角逐漸增大，至=60o處為最大處為最大(rc），故），故rt rc 。 一些特殊應力狀態的混凝土強度點，在破壞包絡面上占有特定的一些特殊應力狀態的

24、混凝土強度點，在破壞包絡面上占有特定的位置。從工程觀點，混凝土沿各個方向的力學性能可看作相同，即位置。從工程觀點，混凝土沿各個方向的力學性能可看作相同，即立方體試件的多軸強度只取決于應力比例立方體試件的多軸強度只取決于應力比例 1：2：3，而與各應力，而與各應力的作用方向的作用方向X、Y、Z無關。例如：無關。例如： 混凝土的單軸抗壓強度混凝土的單軸抗壓強度 fc 和抗拉強度和抗拉強度 ft 不論作用在哪一個方向，不論作用在哪一個方向，都有相等的強度值都有相等的強度值。在包絡面各有在包絡面各有3個點，分別位于個點，分別位于3個坐標軸的負、個坐標軸的負、正方向；正方向； 同理，混凝土的二軸等壓（同

25、理，混凝土的二軸等壓（1=0，f2=f3=fcc）和等拉（）和等拉（ 3=0， f1=f2=ftt ）強度）強度位于坐標平面內的兩個坐標軸的等分線上，位于坐標平面內的兩個坐標軸的等分線上，3個坐標面內各有一點；個坐標面內各有一點； 混凝土的三軸等拉強度（混凝土的三軸等拉強度（fl=f2=f3=fttt )只有一點且落在靜水壓力軸的正方向。只有一點且落在靜水壓力軸的正方向。 對于任意應力比對于任意應力比(flf2f3)的三軸受壓、受拉或拉壓應力狀態，從工程觀點的三軸受壓、受拉或拉壓應力狀態，從工程觀點考考慮混凝土的各向同性，慮混凝土的各向同性，可由坐標或主應力可由坐標或主應力(fl，f2，f3

26、)值的輪換（破壞橫截面三重值的輪換（破壞橫截面三重對稱），在應力空間中各畫出對稱），在應力空間中各畫出6個點，位于同一偏平面上，且夾角個點，位于同一偏平面上，且夾角值相等。值相等。 破壞包絡曲面的三維立體圖既不便繪制，又不適于理解和應用，常改用拉破壞包絡曲面的三維立體圖既不便繪制，又不適于理解和應用，常改用拉壓子午面和偏平面上的平面圖形來表示。壓子午面和偏平面上的平面圖形來表示。 拉壓子午面拉壓子午面為為靜水壓力軸與任一主應力軸（如圖中的靜水壓力軸與任一主應力軸（如圖中的3軸）組成的平面，軸）組成的平面，同時通過另兩個主應力軸（同時通過另兩個主應力軸（ 1 ， 2 ）的等分線）的等分線。此平面

27、與破壞包絡面的交。此平面與破壞包絡面的交線，分別稱為拉、壓子午線。線，分別稱為拉、壓子午線。1、拉子午線的應力條件為、拉子午線的應力條件為1 2 = 3 ，線上特征強度點有單軸受拉，線上特征強度點有單軸受拉(ft,0,0)和二軸等壓和二軸等壓(0,-fcc,-fcc）在偏平）在偏平面上的夾角為面上的夾角為 =0o ;2、壓子午線的應力條件則為、壓子午線的應力條件則為1 = 2 3 ，線上有單軸受壓，線上有單軸受壓(0,0,-fc )和二和二軸等拉軸等拉(ftt, ftt, 0)，在偏平面上的夾角，在偏平面上的夾角 =60o。 3、拉、壓子午線與靜水壓力軸同交、拉、壓子午線與靜水壓力軸同交于一點

28、，即三軸等拉于一點，即三軸等拉(fttt, fttt, fttt)。拉、。拉、壓子午線至靜水壓力軸的垂直距離壓子午線至靜水壓力軸的垂直距離即為偏應力即為偏應力 rt 和和 rc。 =0o =60o 拉壓子午線的命名，并非指應力狀態的拉或壓，而是相應于拉壓子午線的命名，并非指應力狀態的拉或壓，而是相應于三軸試驗過程。三軸試驗過程。 若試件先施加靜水應力若試件先施加靜水應力1 = 2 = 3 ，后在一軸后在一軸1上施加拉力上施加拉力，得得1 2 = 3 ，稱拉子午線；，稱拉子午線； 若試件先施加靜水應力若試件先施加靜水應力1 = 2 = 3 ，后在另一軸后在另一軸3上施加壓力上施加壓力，得得1 =

29、2 3 ，稱壓子午線。，稱壓子午線。 另外也可以理解為另外也可以理解為以單軸拉、以單軸拉、壓條件定義拉、壓子午線，壓條件定義拉、壓子午線，即即單單軸拉狀態所在的子午線成為拉子軸拉狀態所在的子午線成為拉子午線午線，而，而單軸壓狀態所在的子午單軸壓狀態所在的子午線成為壓子午線線成為壓子午線。 試驗研究指出，混凝土的三維試驗研究指出，混凝土的三維破壞面也破壞面也可用三維主應力空間破可用三維主應力空間破壞曲面的圓柱坐標壞曲面的圓柱坐標，r，來描述來描述，其本身也是應力不變量其本身也是應力不變量。 =0o =60o12oNr31 =2 = 3oct3oct3圓柱坐標系及主應圓柱坐標系及主應力空間應力分解

30、力空間應力分解，r，的幾何表示的幾何表示12oNP(1 ,2 , 3)r3e=60o=0orcrt拉子午線拉子午線壓子午線壓子午線偏平面-3+3-(1, 2)等應力軸和一個主應力軸組成的平等應力軸和一個主應力軸組成的平面通過另兩個主應力軸的等分線面通過另兩個主應力軸的等分線轉換過轉換過程歸納程歸納偏平面偏平面1-12-2-33rN靜水應力偏斜應力偏斜應力平面中矢量的方向P121333235octmoctmIJ12312223cos22 3sJJ1 12 23 3123m1()33ONlll123sNPOPONss222123223octNPsssJ22221231()2Jsss123100OA

31、 將OA分解為等傾軸上的分量OB和垂直于等傾軸的分量OC，則11131OB 21131OC21161OC方向與OC一致而模的長度為1的向量為OP在平面上的投影等于NP在平面上的投影，矢量NP的分量為s1, s2, s3兩向量間的夾角可由向量的點積求得123212321cos(2)2 31(2)2 3NP esssNP eJJ 將以上圖形繞坐標原點逆時針方向旋轉一角度將以上圖形繞坐標原點逆時針方向旋轉一角度(90o)，得到以，得到以靜水壓力軸靜水壓力軸()為橫坐標、偏應力為橫坐標、偏應力(r)為縱坐標的拉、壓子午線。為縱坐標的拉、壓子午線。 于是，空間的破壞包絡面于是，空間的破壞包絡面改為由子午

32、面和偏平面上的包絡曲線改為由子午面和偏平面上的包絡曲線來表達來表達。破壞面。破壞面上任一點的直角坐標上任一點的直角坐標(fl ， f2， f3 )改為由圓柱坐改為由圓柱坐標標(,r,)來表示來表示，換算關系為：，換算關系為：)6/()2(cos33/)()()(33/)(321213232221321rfffffffffrfffoctoct 由上式可知，將上圖的坐標縮由上式可知，將上圖的坐標縮小小 可以用八面體正應力（可以用八面體正應力（oct）和剪應力（和剪應力（oct）坐標代替靜水）坐標代替靜水壓力和偏應力坐標，得到相應的壓力和偏應力坐標，得到相應的拉、壓子午線和破壞包絡線。拉、壓子午線和

33、破壞包絡線。3 根據試驗結果繪制的拉、壓子午線和偏平面包絡線。根據試驗結果繪制的拉、壓子午線和偏平面包絡線。 子午線按照偏平面夾角劃分，試驗點的子午線按照偏平面夾角劃分，試驗點的=3060o 分別列在橫分別列在橫坐標軸的上、下。坐標軸的上、下。試驗時測試試驗時測試=0o60o的扇形的扇形（其他的扇形是對稱的）（其他的扇形是對稱的） 偏平面包絡線則以八面體應力值分段給出。圖中曲線為混凝偏平面包絡線則以八面體應力值分段給出。圖中曲線為混凝土破壞準則的理論值。土破壞準則的理論值。 根據國內外混凝土多軸強根據國內外混凝土多軸強度的大量試驗資料分析，破度的大量試驗資料分析，破壞包絡曲面的幾何形狀具有壞包

34、絡曲面的幾何形狀具有如下特征：如下特征：曲面連續、光滑、外凸；曲面連續、光滑、外凸；對靜水壓力軸三折對稱，對靜水壓力軸三折對稱，當應力狀態為靜水應力與單當應力狀態為靜水應力與單向拉應力疊加時，向拉應力疊加時，=0o，故，故=0o的子午線稱為受拉子午的子午線稱為受拉子午線。如將單向拉應力換為壓線。如將單向拉應力換為壓應力，則相應于受壓子午線，應力，則相應于受壓子午線，=60o。破壞曲線與等應力軸破壞曲線與等應力軸有關。在有關。在軸的正向，靜水壓力軸的拉端軸的正向，靜水壓力軸的拉端封閉，頂點為三軸等拉應力狀態；在封閉，頂點為三軸等拉應力狀態；在軸的負向，壓端開口，不與軸的負向，壓端開口，不與靜水壓

35、力軸相交，破壞曲線的開口隨靜水壓力軸相交，破壞曲線的開口隨軸絕對值的增大而增大；軸絕對值的增大而增大；子午線上各點的偏應力或子午線上各點的偏應力或八面體剪應力值，八面體剪應力值，隨靜水壓隨靜水壓力或八面體正應力的力或八面體正應力的代數值代數值的減小而單調增大，但斜率的減小而單調增大，但斜率漸減，有極限值；漸減，有極限值；偏平面上的封閉曲線三折偏平面上的封閉曲線三折對稱，其形狀對稱，其形狀隨靜水壓力或隨靜水壓力或八面體正應力值的減小，由八面體正應力值的減小，由近似三角形近似三角形(rtrc0.5)逐漸逐漸外凸飽滿，過渡為一圓外凸飽滿，過渡為一圓(rtrc=1）。）。3.2.2破壞準則破壞準則 將

36、混凝土的破壞包絡曲面用數學函數加以描述，作將混凝土的破壞包絡曲面用數學函數加以描述，作為判定混凝土是否達到破壞狀態或極限強度的條件，為判定混凝土是否達到破壞狀態或極限強度的條件，稱為破壞準則或強度準則。稱為破壞準則或強度準則。雖然它不屬基于機理分析、雖然它不屬基于機理分析、具有明確物理概念的強度理論，但它是大量試驗結果具有明確物理概念的強度理論，但它是大量試驗結果的總結，具有足夠的計算準確性，對實際工程有重要的總結，具有足夠的計算準確性，對實際工程有重要的指導意義。的指導意義。 1、分類：、分類： 借用古典強度理論的觀點和計算式借用古典強度理論的觀點和計算式; 以混凝土多軸強度試驗資料為基礎的

37、經驗回歸式；以混凝土多軸強度試驗資料為基礎的經驗回歸式； 以包絡曲面的幾何形狀特征為依據的純數學推導式，以包絡曲面的幾何形狀特征為依據的純數學推導式，參數值由若干特征強度值標定。各個準則的表達方式參數值由若干特征強度值標定。各個準則的表達方式和簡繁程度各異，適用范圍和計算精度差別大，使用和簡繁程度各異，適用范圍和計算精度差別大，使用時應認真選擇。時應認真選擇。2、著名的古典強度理論包括：、著名的古典強度理論包括：最大主拉應力理論（最大主拉應力理論（Rankine)；最大主拉應變理論（最大主拉應變理論（Mariotto）；）；最大剪應力理論最大剪應力理論(Tresca)；統計平均剪應力理論（統計

38、平均剪應力理論（Von Mises)；Mohr-Coulomb理論；理論；Drucker-Prager理論。理論。 共同特點：共同特點： 針對某種特定材料而提出，對于解釋材料破壞的內在原因和針對某種特定材料而提出，對于解釋材料破壞的內在原因和規律有明確的理論（物理）觀點，有相應的試驗驗證，破壞包規律有明確的理論（物理）觀點，有相應的試驗驗證，破壞包絡面的幾何形狀簡單，計算式簡明，只含絡面的幾何形狀簡單，計算式簡明，只含1個或個或2個參數，其值個參數，其值易于標定。因而，它們應用于相適應的材料時，可在工程實踐易于標定。因而，它們應用于相適應的材料時，可在工程實踐中取得良好的效果。例如中取得良好的

39、效果。例如.Von Mises準則適用于塑性材料（如軟準則適用于塑性材料（如軟鋼），在金屬的塑性力學中應用最廣；鋼），在金屬的塑性力學中應用最廣；Mohr-Coulomb準則反準則反映了材料抗拉和抗壓強度不等（映了材料抗拉和抗壓強度不等（ ftfc）的特點，適用于脆性的）的特點，適用于脆性的土壤、巖石類材料，在巖土力學中廣為應用。土壤、巖石類材料，在巖土力學中廣為應用。3、以混凝土多軸強度試驗資料為基礎的經驗回歸式、以混凝土多軸強度試驗資料為基礎的經驗回歸式 隨試驗數據的積累，許多研究人員提出了若干基于試驗結果、隨試驗數據的積累，許多研究人員提出了若干基于試驗結果、較為準確、但數學形式復雜的混

40、凝土破壞準則。準則中一般需較為準確、但數學形式復雜的混凝土破壞準則。準則中一般需要包含要包含45個參數。個參數。這些破壞準則的原始表達式中采用了不同的應力量作這些破壞準則的原始表達式中采用了不同的應力量作為變量，分為變量，分5種：種：主應力主應力fl , f2, f3 ;應力不變量應力不變量Il ,J2,J3 ;靜水壓力和偏應力靜水壓力和偏應力 , r,;八面體應力八面體應力 oct ,oct ;平均應力平均應力m ,m 。 采用上述應力量致使準則的數學形式差別很大，不采用上述應力量致使準則的數學形式差別很大，不便作深入對比分析。但這些應力量借助下列基本公式便作深入對比分析。但這些應力量借助下

41、列基本公式可以很方便地互相變換：可以很方便地互相變換： 采用上述應力量致使準則的數學形式差別很大，不便作深人采用上述應力量致使準則的數學形式差別很大，不便作深人對比分析。但這些應力量借助下列基本公式可以很方便地互相對比分析。但這些應力量借助下列基本公式可以很方便地互相變換：變換：3oct31.52332132123213212213232221013210J22JJ33cos3 30262322232cos353323)()()(333或moctmoctcmoctcfffrfffJffffffrJfffffffIffff 最終可統一用相對八面體強度（最終可統一用相對八面體強度（ 0 = oct

42、 / fc和和0= oct / fc ）表達，）表達，經歸納得子午線方程的經歸納得子午線方程的3種基本形式：種基本形式： 最終可統一用相對八面體強度（最終可統一用相對八面體強度（ 0 = oct / fc和和0= oct / fc ）表達，經歸納得子午線方程的）表達，經歸納得子午線方程的3種基本形式：種基本形式：HGFEDCBA)(0020002000 一些常用的、有代表性的混凝土破壞準則列于下表一些常用的、有代表性的混凝土破壞準則列于下表,同時給出了原始表達式和統一表達式，可看到兩者中同時給出了原始表達式和統一表達式，可看到兩者中參數的互換關系。參數的互換關系。 過鎮海、王傳志、張秀琴等搜集

43、了國內外大量的混過鎮海、王傳志、張秀琴等搜集了國內外大量的混凝士多軸強度試驗數據，與按上述準則計算的理論值凝士多軸強度試驗數據，與按上述準則計算的理論值進行全面比較，根據三項標準：進行全面比較，根據三項標準：計算值與試驗強度的相符程度；計算值與試驗強度的相符程度；適用的應力范圍寬窄；適用的應力范圍寬窄；理論破壞包絡面幾何特征的合理性等加以評定。理論破壞包絡面幾何特征的合理性等加以評定。所得結論為：所得結論為：較好的準則：過較好的準則：過王、王、Ottosen和和Podgorski準則；準則；一般的準則：一般的準則：Hsieh-Ting-Chen，Kotsovos， Willam-Warnke準

44、則；準則；較差準則：較差準則：Bresler-Pister準則。準則。 在結構的有限元分析中，可根據結構的應力范圍和在結構的有限元分析中，可根據結構的應力范圍和準確度要求選用合理的混凝土破壞準則。準確度要求選用合理的混凝土破壞準則。4、以包絡曲面的幾何形狀特征為依據的純數學推導公式以包絡曲面的幾何形狀特征為依據的純數學推導公式 模式規范模式規范CEB FIP MC90C采納了采納了Ottosen準則。它根據偏平面準則。它根據偏平面包絡線由三角形過渡為圓形的特點、應用薄膜比擬法：即在等邊包絡線由三角形過渡為圓形的特點、應用薄膜比擬法：即在等邊三角形邊框上蒙上一薄膜，承受均勻壓力后薄膜鼓起，等高線

45、的三角形邊框上蒙上一薄膜，承受均勻壓力后薄膜鼓起，等高線的形狀由外向內的變化恰好相同據此建立了二階偏微分方程，求形狀由外向內的變化恰好相同據此建立了二階偏微分方程，求解后轉換得到以應力不變量表達的破壞準則式：解后轉換得到以應力不變量表達的破壞準則式：011222cccfIbfJfJa)3cos(cos313cos 0cos3 ,30 )3cos(cos31cosr1 0cos3 ,30 211o211okkkk時即當時即當011222cccfIbfJfJa)3cos(cos313cos 0cos3 ,30 )3cos(cos31cosr1 0cos3 ,30 211o211okkkk時即當時即

46、當其中：其中： a和和b決定子午線的形狀，決定子午線的形狀， k1和和k2分別決定偏平面包分別決定偏平面包絡線的大小和形狀。絡線的大小和形狀。標定參數值的標定參數值的4個特征強度值取為：個特征強度值取為：單軸抗壓單軸抗壓(- fc)、單軸抗拉、單軸抗拉(ft）、二軸等壓）、二軸等壓(fcc=1.16 fc) 三軸抗壓強度三軸抗壓強度22/J , 5/,60210ccffI三軸抗壓強度三軸抗壓強度按下式計算各特征強度的按下式計算各特征強度的22/J , 5/,60210ccffI代入代入值 , J , 21I3oct31.52332132123213212213232221013210J22JJ

47、33cos3 30262322232cos353323)()()(333或moctmoctcmoctcfffrfffJffffffrJfffffffIffff011222cccfIbfJfJa)3cos(cos313cos 0cos3 ,30 )3cos(cos31cosr1 0cos3 ,30 211o211okkkk時即當時即當 得得4階聯立方程，解得各參數值。若取階聯立方程，解得各參數值。若取ft=0.1fc，解得，解得的的4個參數為：個參數為：a=1. 2759, b=3.1962 k111.7365，k2=0.9801Hsieh-Ting-Chen和和Podgorski準則是對準則是

48、對Ottosen準則的簡準則的簡化和修正。化和修正。 我國的我國的混凝土結構設計規范混凝土結構設計規范附錄附錄C.4中采納了過中采納了過王準則，王準則，其與試驗結果相符較好、以八面體應力無量綱量表達、應用幕其與試驗結果相符較好、以八面體應力無量綱量表達、應用幕函數擬合混凝土的破壞包絡面，一般計算式為函數擬合混凝土的破壞包絡面，一般計算式為:octoctoctctdcoctcoctdcoctfffarcrfffffffffcccfcfbacbaf232cos 31)()()(31313)23(sin)23(cos/32121323222132125.10003.2.3、規范中的破壞準則、規范中的

49、破壞準則 破壞準則的計算公式破壞準則的計算公式式中式中5個參數都有明確的幾何（物理）意義：個參數都有明確的幾何（物理）意義： 當當 a=0,max時，時，0時時0有極限值（高壓應力狀態），即有極限值（高壓應力狀態），即25.1000)23(sin)23(cos/ctdcoctcoctdcoctcccfcfbacbaf參數參數b，當，當oct/ fc=0時，時，b= oct/ fc即包絡面或子午線與靜水即包絡面或子午線與靜水壓力軸交點的坐標；故壓力軸交點的坐標；故b值為混凝土三軸等拉強度（值為混凝土三軸等拉強度（ f1= f2 = f3= fttt）與單軸抗壓強度的比值與單軸抗壓強度的比值 符合

50、破壞曲面包絡線隨符合破壞曲面包絡線隨oct的增大由近似三角形趨向圓柱面過渡的增大由近似三角形趨向圓柱面過渡的特性；即，此時，拉、壓子午線與靜水壓力軸平行切等距的特性；即，此時，拉、壓子午線與靜水壓力軸平行切等距（rc=rt），偏平面上包絡線為一半徑），偏平面上包絡線為一半徑a的圓，破壞包絡面趨于圓的圓，破壞包絡面趨于圓柱形。柱形。maxcoctfactttffb 0d1. 0時，時， =0o時時c=ct，=60o時。時。 c=cc ，代人上式分別得拉、，代人上式分別得拉、壓子午線，即為拉、壓子午線對應的剪切強度。壓子午線，即為拉、壓子午線對應的剪切強度。 當當=0o增加到增加到60o時，時，c

51、t逐漸增加至逐漸增加至cc，符合光滑、外凸，符合光滑、外凸的特性；的特性；dcoctcoctcoctfcfbaf/ 其導數在其導數在 oct/ fc=b處的數值為處的數值為，即切線垂直于橫，即切線垂直于橫坐標，拉、壓子午線在此處連續，破壞包絡面頂點處坐標，拉、壓子午線在此處連續，破壞包絡面頂點處連續、光滑；連續、光滑；25 .1000)23(sin)23(cos/ctdcoctcoctdcoctcccfcfbacbaf 另外，由于該破壞準則是根據包括整個應力空間另外，由于該破壞準則是根據包括整個應力空間8個個象限的各種應力狀態的上千個試驗點建立起來的，所象限的各種應力狀態的上千個試驗點建立起來

52、的，所以它不僅在中、高靜水壓力區域實驗值符合較好，而以它不僅在中、高靜水壓力區域實驗值符合較好，而且在拉區乃至三向等拉狀態也能較好地反映實際受力且在拉區乃至三向等拉狀態也能較好地反映實際受力情況。情況。 該準則適用于平面應力、平面應變、三向受壓、三該準則適用于平面應力、平面應變、三向受壓、三向受拉、乃至三向拉壓等多種應力狀態，且計算簡單，向受拉、乃至三向拉壓等多種應力狀態，且計算簡單，便于工程設計和非線性分析應用。便于工程設計和非線性分析應用。25 .1000)23(sin)23(cos/ctdcoctcoctdcoctcccfcfbacbaf 計算參數值的確定計算參數值的確定 混凝土破壞準則

53、中包含的混凝土破壞準則中包含的5個參數，可以用全部試驗個參數，可以用全部試驗數據進行回歸分析擬定，也可在破壞包絡面上，或拉、數據進行回歸分析擬定，也可在破壞包絡面上，或拉、壓子午線上選定任意壓子午線上選定任意5個特征強度值加以標定。前者計個特征強度值加以標定。前者計算工作量大，一般取用后者。算工作量大，一般取用后者。 單軸抗壓和抗拉強度是混凝土的基本強度指標，應單軸抗壓和抗拉強度是混凝土的基本強度指標，應作為首選的二個特征強度值。其余作為首選的二個特征強度值。其余3個特征強度可以個特征強度可以選用：包絡面頂端，即拉壓子午線交點處的三軸等拉選用：包絡面頂端，即拉壓子午線交點處的三軸等拉強度；試驗

54、數量較多的二軸等壓強度；和一個強度較強度；試驗數量較多的二軸等壓強度；和一個強度較高的常規三軸抗壓強度高的常規三軸抗壓強度(0 f1= f2 f3，=60o ）。這）。這樣使拉、壓子午線上各有樣使拉、壓子午線上各有3個控制點，可以較好地擬個控制點，可以較好地擬合試驗結果。合試驗結果。 將這將這5個特征值的應力狀態分別代入式個特征值的應力狀態分別代入式計算計算octoctoctfffarcrfffffffff232cos 31)()()(31313321213232221321coctfcoctf并代人破壞準則計算式，并代人破壞準則計算式，可得可得5個聯立方程如下：個聯立方程如下：25.1000

55、)23(sin)23(cos/ctdcoctcoctdcoctcccfcfbacbafdddddScSba TFcFbaF.FcFbaScSbaTcba0t00tc60c6060c 3/3/47140 0 3/13/10.4714 從這些方程求解從這些方程求解5個參數值，個參數值，難有顯式解，可采用迭代難有顯式解，可采用迭代法進行數值計算：法進行數值計算： 由式由式直接得：直接得：dddddScSba TFcFbaF.FcFbaScSbaTcba0t00tc60c6060c 3/3/47140 0 3/ 13/ 10.4714 ctttffFbc ffFffttttt、其中：其中：由其余由其余

56、4式消去參數式消去參數a，有：，有：F.TScFcFbSbFcFcFbbTSccbSb471403/3/ 13/ 13/3/3/ 1 4714. 03/ 13/ 1 0d0tt0dct60d60cc60由式由式F.TScFcFbSb471403/3/ 0d0tt0得參數得參數 d 的計算式：的計算式：3/log47140log3/3/log47140log0000tt0FbSbnF.TFbSbScFcF.Td13/0ttScFcn其中取4714. 03/13/1 60d60cc60TSccbSb由式由式1/ 1606060cc4714. 03/13/1KTSbbSccd160113/ 1KSK

57、cc取取得得由式由式FcFcFbb13/ 13/3/3/ 1 dct取取2/ 1ct13/ 13/ 3/ 13/KFbFbcFcd得得3312FKccct最后由式最后由式中任意一式計算參數中任意一式計算參數a，取，取式得：式得：dtFcFbFa3/3/4714.0 在設定了在設定了5個特征強度值后、即個特征強度值后、即S60、T60、 S0、T0等值已知，等值已知，可應用這些方程進行迭代計算，以確定混凝土破壞準則的可應用這些方程進行迭代計算，以確定混凝土破壞準則的5個參個參數值。其步驟如下：數值。其步驟如下：計算參數計算參數b；ctttffFb 設定設定n（1）的初始值，如）的初始值，如n0=

58、0.98；代入代入計算參數計算參數d；3/log47140log3/3/log47140log0000tt0FbSbnF.TFbSbScFcF.Td由式由式代入代入1/ 1606060cc4714. 03/13/1KTSbbSccd2/ 1ct13/ 13/ 3/ 13/KFbFbcFcd計算計算K1和和K2；由式由式160113/ 1KSKcc3312FKccct計算參數計算參數cc和和ct；代入代入13/0ttScFcn得得n的第一次近似值的第一次近似值n1，計算誤，計算誤差，差，01nn 若不滿足精度要求（取若不滿足精度要求（取0.0001），），則按步驟則按步驟繼續迭代計算；繼續迭代計

59、算；代入代入dtFcFbFa3/3/4714.0計算參數計算參數a。 確定這確定這5個參數采用的混凝土特征強度值為：個參數采用的混凝土特征強度值為：單軸抗壓（單軸抗壓（ - fc)； 單軸抗拉單軸抗拉(ft=0.1 fc，F=0.1）；）；二軸等壓二軸等壓(fcc =1.28 fc ， S0 = -0.8533， T0= 0.6034）；）；三軸等拉三軸等拉(fttt=0.9 ft ，=0.9）；）；三軸抗壓強度三軸抗壓強度 （=60o， S60 = oct/fc=4， T60= oct/fc =2.7 ）。）。 分別代入上式，用迭代法計算的參數值：分別代入上式，用迭代法計算的參數值： a6.

60、9638 b=0.09 d=0.9297 ct12.2445 cc7.3319 按此公式可計算各種應力狀態下的混凝土多軸強度按此公式可計算各種應力狀態下的混凝土多軸強度理論值，并繪制子午線和偏平面包絡線，以及二軸和理論值，并繪制子午線和偏平面包絡線，以及二軸和三軸包絡線。按此準則計算的混凝土多軸強度值與國三軸包絡線。按此準則計算的混凝土多軸強度值與國內外的試驗結果比較吻合。內外的試驗結果比較吻合。 將所得參數值代入基本方程，即得混凝土的破壞準將所得參數值代入基本方程，即得混凝土的破壞準則公式：則公式：25.19297.0)23(sin3319.7)23(cos2445.12/09.09638.