1、第13講與角度有關(guān)的計算與角度有關(guān)的計算角的概念及度分秒的換算角平分線的定義余角和補角對頂角及鄰補角知識點1:角的概念以及度分秒的換算1 .有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點就是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊。角通常用三個字母及符號2”來表示，在不引起混淆的情況下，角還可以用它的頂點字母來表示.2 .用量角器測量角度時一定要做到兩對齊：量角器的中心和角的頂點對齊、量角器的刻度線和角的一條邊對齊.3 .角的常用度量單位是度、分、秒.11°的60為1分，記作1；即1°=60',11,1的為1秒，記作1，即1'=60601.下列四個圖中，能用/1

2、,/AOB,/O三種方法表示同一個角的是（）【解析】解：A、圖中以O(shè)為頂點的角不止1個，/AOB不能用/O表示，故本選項錯誤;B、圖中以O(shè)為頂點的角有3個，/AOB不能用/O表示，故本選項錯誤;C、圖中以O(shè)為頂點的角只有1個，/1、/AOB、/O表示同一個角，故本選項正確;第1頁（共23頁）D、圖中以O(shè)為頂點的角不止1個，ZAOB不能用/O表示，故本選項錯誤;【方法總結(jié)】所有的角都可以用頂點處的字母和表示兩條射線的另外兩個字母來表示；當(dāng)某個角的頂點處只有1個角（兩條射線）時，該角可以用2”和頂點字母來表示。【隨堂練習(xí)】1.（2018別北）如圖，快艇從P處向正北航行到處，再向右轉(zhuǎn)80繼續(xù)航行，此

3、時的航行方向為（、/北'X=/PA.北偏東300B.北偏東800C.北偏西300DA113籌:*c;【解答】解：如圖1P,AP/BC,/2=/1=50°./3=/4-/2=80°-50=30°,此時的航行方向為北偏東30；故選：A.A處時，向左轉(zhuǎn)50航行到B）.北偏西50°第2頁（共23頁）2. （2017秋？俞樹市期末）計算：90-（36°31'52+12°22'14【解答】解：90-(36°31'52+12°22'14=90-48°53'66=90-48

4、°54'6=89059'6048°54'6=41°5'543. (2017秋?興化市期末)鐘面角是指時鐘的時針與分針?biāo)傻慕?如圖，在鐘面上，點O為鐘面的圓心，圖中的圓我們稱之為鐘面圓.為便于研究，我們規(guī)定:鐘面圓的半徑OA表示時針，半徑OB表示分針，它們所成的鐘面角為/AOB;本題中所提到的角都不小于0°,且不大于180;本題中所指的時刻都介于0點整到12點整之間.(1)時針每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為°,分針每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為;(2)8點整，鐘面角/AOB=，。鐘面角與此相等的整點還有：一點:(3)如圖，設(shè)半徑OC指向

5、12點方向，在圖中畫出6點15分時半徑OA、OB的大概位置，并求出此時/AOB的度數(shù).【解答】解：(1)時針每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為0.5,0分針每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為6°故答案為：0.5,6;(2)0.560*=120；4點時0.560>4=120；第3頁(共23頁)故答案為：120,4;(3)如圖一，/AOB=630+15X0.5-15>6=97.5°.4. (2017秋年感期末)計算：(1) 48039'+672131*'(2) 2353-107043.'+5【解答】解：(1)48°39'+67213117'=116

6、°1M21°17'=94053'(3) 23053-107043-5=71°39'21°32'36=5006'24知識點2:角平分線的定義1 .從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線。2 .尺規(guī)作圖，作/AOB的平分線的方法：AOB兩邊于點M,N。(1)以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交角第4頁(共23頁)(2)分別以點M,N為圓心，以大于1/2MN的長度為半徑畫弧，兩弧交于點P。(3)作射線OP。射線OP即為所求。【典例】1.已知/AOB=20°,/AO

7、C=4/AOB,OD平分/AOB,OM平分/AOC,則/MOD的度數(shù)是【解析】解：分為兩種情況：如圖1,當(dāng)/AOB在/AOC內(nèi)部時，/AOB=20,/AOC=4/AOB,/AOC=80,.OD平分/AOB,OM平分/AOC, ./AOD=/BOD=-/AOB=10,/AOM=/COM=-/AOC=40, ./DOM=ZAOM-/AOD=40-10°=30°如圖2,當(dāng)ZAOB在/AOC外部時，ZDOMFZAOM+ZAOD=40+10°=50°第5頁（共23頁）【方法總結(jié)】本題已知角的數(shù)量關(guān)系/AOC=4/AOB,以及OD、OM是角平分線，但不知道角/AOC

8、與/AOB的位置關(guān)系，無法直接得出結(jié)論。所以作圖分兩種情況，即：ZAOB在/AOC內(nèi)部和ZAOB在/AOC外部，結(jié)合圖形根據(jù)已知條件求出未知角的度數(shù)。【隨堂練習(xí)】1. （2017秋明江縣期末）如圖，/BOE=2/AOE,OF平分/AOB,/EOF=2O,求/AOB.30【解答】解：設(shè)/AOE=x°,則/BOE=2/AOE=2x°,所以/AOB=/BOE+/AOE=3x;.OF平分ZAOB,ZAOF=-j-ZAOB=1.5x,vZEOF=20,1.5x-x=20,解得：x=40,./AOB=3x=120°.2. (2017秋?定邊縣期末)如圖，O為直線AB上一點，/

9、AOC=50,OD平分/AOC,/DOE=90.(1)求出/BOD的度數(shù)；(2)請通過計算說明OE是否平分/BOC.第6頁（共23頁）【解答】解：(1)因為/AOC=50°,OD平分/AOC,所以/DOC=j-ZAOC=25°,/BOC=180。-/AOC=130；所以/BOD=/DOC+/BOC=155;(2) OE平分/BOC.理由如下：vZDOE=90,/DOC=25, ./COE=90-25=65°, /BOC=130,丁./BOE=/BOC-/COE=130-65°=65°, ./COE=/BOE, OE平分/BOC.OE平分/AOB

10、,3. （2017秋砂縣期末）如圖，已知/AOB=90,/EOF=60,OF平分/BOC,求/COB和/AOC的度數(shù).8【解答】解：./AOB=90；OE平分/AOB,/BOE=工/AOB=45,2丁/EOF=60,丁./BOF=/EOF-/BOE=15,第7頁（共23頁）.OF平分/BOC,./BOC=2/BOF=30,丁./AOC=/AOB+/BOC=120.4. （2017秋?ft爾伯特縣期末）如圖所示.(1)已知/AOB=90°,/BOC=30°,OM平分/AOC,ON平分/BOC,求/MON的度數(shù);(2)/AOB=a,/BOC=B,OM平分/AOC,ON平分/BO

11、C,求/MON的大小.【解答】解：(1)./AOB=90°,/BOC=30°丁./AOC=/AOB+/BOC=90+30°=120°vOM平分/AOC,ON平分/BOC,./MOC=-i-ZAOC=60,/CON=/BOC=15.丁./MON=/MOC/CON=6015=45°.故答案為：450(2)同理可得，ZMOC=-(a+)6/CONJ就貝U/MON=/MOC/CON=g(a+)0寺以知識點3:余角和補角第8頁（共23頁）1 .如果兩個角的和是一個直角，那么稱這兩個角互為余角，簡稱互余，也可以說其中一個角是另一個角的余角.ZA+/C=90

12、；/A=90-°ZC,/A與/C互余；余角的性質(zhì)：同角的余角相等。比如：/A+/B=90；/A+/C=90，則：/C=/B。等角的余角相等。比如：/A+/B=90；/D+/C=90；/A=/D貝U:/C=/B。2 .如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角互為補角.其中一個角叫做另一個角的補角ZA+/C=180，/A=180°-/C,/A與/C互補；補角的性質(zhì)：同角的補角相等。比如：/A+/B=180;/A+/C=180;則：ZC=ZBo等角的補角相等。比如：/A+/B=180,°ZD+ZC=180:/A=/D,則：/C=/B。【典例】1.如圖，點A、B、O在同一條

13、直線上，/COE和/BOE互余，射線OF和OD分別平分/COE和/BOE,貝U/AOF+/BOD與/DOF的關(guān)系是【解析】解：/AOF+/BOD=3/DOF.理由如下:設(shè)/COF=/EOF=x,/DOE=/BOD=y,2x+2y=90°,/DOF=x+y=45°,/AOF+/BOD=90°+x+y=135°,/AOF+/BOD=3/DOF,第9頁（共23頁）【方法總結(jié)】題中給出了互余的兩個角，隱含了一對互補的角。通過一對互余角的角平分線求出平分后小角組成的大角為45。，利用平角是180；求出剩余角度之和是135；進而求出二者之間的比例關(guān)系。【隨堂練習(xí)】1

14、. （2017秋?»口期末）已知/2是/1的余角，/3是/2的補角，且/1=38°,則/3等于（）A.620B,128°C,138°D,142°【解答】解：:/2是/1的余角，.Z2=90-71=90-38°=52°,3是/2的補角，/3=180°-72=180°-52=128°.故選：B.2. （2017秋？栗水區(qū)期末）如果/a和/B互補，且/B,下列表達式：90-Z5/0-90°；吟（/B廿a）；=（/0-/a）中，等于/a的余E-r角的式子有（A.1個B.2個C.3個D.4個【解

15、答】解：一/a和/B互補,./B=180-/a的余角是90°-a,/090=180°/a-90=90°-/a,第10頁（共23頁）（/B廿a）JX（180/a廿a）=90°（/0-/a）*X（180-Za-Za）=90-Z即，3個,故選：C.3. (2017秋?寧縣期末)如圖1,點O為直線AB上一點，過點O作射線OC,使/BOC=112:將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方.(1)將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊OM在/BOC的內(nèi)部，且恰好平分/BOC,問：直線ON是否平分/AOC?請說明理由

16、；(2)將圖1中的三角板繞點O按每秒4°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角/AOC,則t的值為多少？(3)將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在/AOC的內(nèi)部，請?zhí)骄浚?AOM與/NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.S1圖2圖M【解答】解：（1）平分，理由：延長NO到D,/MON=g0/MOD=g0/MOB+/NOB=90,/MOC+ZCOD=90,./MOB=/MOC,./NOB=/COD,第11頁(共23頁)./NOB=ZAOD,ZCOD=ZAOD,直線NO平分/AOC;(2)分兩種情況：如圖2,ZBOC=112ZAOC=68,當(dāng)直

17、線ON恰好平分銳角ZAOC時，ZAOD=ZCOD=34°,ZBON=34,ZBOM=56,即逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為56°,由題意得，4t=56°解得t=14(s);如圖3,當(dāng)NO平分/AOC時，ZNOA=34,./AOM=56,即逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為：180+56=236,°由題意得，4t=236,°解得t=59(s),綜上所述，仁14s或59s時，直線ON恰好平分銳角ZAOC;(3)ZAOM-ZNOC=22°,理由：vZAOM=90-ZAONZNOC=68-ZAON,ZAOM-ZNOC=(90-ZAON)-(68-ZAON)第12頁（共2

18、3M）4.(2017秋得1城區(qū)期末)如圖1,點O為直線AB上一點，過點O作射線OC,使/BOC=120:將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方.CCMC(1)如圖2,將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使邊OM在/BOC的內(nèi)部，且OM恰好平分/BOC.止匕時/AOM二度；(2)如圖3,繼續(xù)將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得ON在/AOC的內(nèi)部.探究/AOM與/NOC之間數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由；(3)將圖1中的三角板繞點O以每秒10的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若直線ON恰好平分/AOC,則此時三角板繞點O旋轉(zhuǎn)的時間是多少秒？

19、(直接寫出答案即可，不必說明理由)【解答】解：(1)=OM恰好平分/BOC, ./BOM=120攵=60°, ./AOM=180-60=120°.第13頁(共23頁)(2)如圖3,%圖3,/AOM-/NOC=30,/BOC=120, ./A0C=60, /AON=90-ZAOM=60-ZNOC,丁./AOM-/NOC=30.（3）設(shè)三角板繞點O旋轉(zhuǎn)的時間是x秒， /BOC=120,./AOC=60,丁./BON=30,旋轉(zhuǎn)60°時ON平分/AOC,.10x=60或10x=240,x=6或x=24,即此時三角板繞點O旋轉(zhuǎn)的時間是6或24秒.故答案為：120.5.（2

20、017秋次余縣期末）如圖1,點O為直線AB上一點，過點O作射線OC,使/BOC=120；將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB第14頁（共23頁）上，另一邊ON在直線AB的下方.(1)將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊OM在/BOC的內(nèi)部，且恰好平分/BOC,設(shè)ON的反向延長線為OD,則/COD=；/AOD=:(2)將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在/AOC的內(nèi)部，求/AOM-/NOC的度數(shù).圖圖2圖3【解答】解：(1)./BOC=120； ./AOC=180-120=60°,.OM恰好平分/BOC, ./COD=30,/AOD=30.(2)

21、/AOM-/NOC=(/AOM+/AON)-(/NOC+/AON)=90-60°=30°.故答案為：30,30.知識點4:對頂角和鄰補角1 .如果一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，且這兩個角有公共頂點，那么這兩個角是對頂角。對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。第15頁(共23頁)2 .兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，叫做鄰補角。鄰補角的性質(zhì)：（1）一個角與它的鄰補角的和等于180;（2）如果兩個角互為鄰補角，那么它們的角平分線互相垂直。1.如圖所示，直線AB交CD于點O,OE平分/BOD,OF平分ZCOB,/AOD:/BOE=4:1,

22、則/AOF=【方法總結(jié)】解角度問題常設(shè)某一角度為未知數(shù)，把其他關(guān)聯(lián)角用未知數(shù)表示出來，根據(jù)已知條件間建立關(guān)于該未知數(shù)的方程，解方程即可求得未知數(shù)的值，從而得到所求角的度數(shù)。用代數(shù)方法解幾何問題是常用方法之一。【隨堂練習(xí)】1.（2016秋彩武區(qū)校級期末）如圖，直線AB與CD相交于點O,/AOC:/AOD=4:5,OE平/BOD分，請在圖中畫出OFLAB并求出/BOF的度數(shù).【解答】解：設(shè)/AOC=4x,則/AOD=5x,第16頁（共23頁）./AOC+/AOD=180,.4x+5x=180°,解得x=20°,./AOC=4x=80,丁./BOD=80,.OF，AB,丁./BO

23、F=90.2.（2017秋以河區(qū)期末）如圖，已知直線AB和CD相交于點O,在/COB的內(nèi)部作射線OE.(1)若/AOC=36°,/COE=90；求/BOE的度數(shù);3:2,求/AOE的度數(shù).COE=90；./BOC=180-ZAOC=144;(2) ZCOE:/EOB:/BOD=4:3:2,設(shè)/COE=4,ZEOB=3,/BOD=2/COE+/EOB+/BOD=180,.4a+3a+2a=180°a=20°丁./COE=4=80°,/EOB=3=60°,/BOD=2=40°,第17頁(共23頁)./AOE=180/EOB=180-60=

24、120°.3.（2017秋?平邑縣期末）如圖，直線AB,CD相交于點O,/BOE=90,OF平分/AOD,/COE=20；求/BOD與/DOF的度數(shù).【解答】解：vZCOE=20；/BOE=90；./BOD=18020°90=70°,/AOA180°70=110°,OF平分/AOD,./DOF=J-/AOD=55.2丁./BOD=70,/DOF=55綜合集訓(xùn)1 .如圖，直線a、b相交于點O,將量角器的中心與點O重合，發(fā)現(xiàn)表示60。的點在直線a/1=【解析】解：根據(jù)題意得：/1=138-60=78°,故答案為：78第18頁（共23頁）2

25、 .如圖，直線AB、CD相交于點O,/AOD=140°,/COE=20°,貝U/BOE=【解析】解：二直線AB、CD相交于點O,ZAOD=140;，/COB=140,/COE=20,，/BOE=140-20=120°.故答案為：120.3 .一個角的補角為158°12那么這個角的余角等于【解析】解：設(shè)原角為/%所求角為/3,則/a=180-158°12'=21°48'/3=90-/a=68°12'故答案為：68°12'4 .如圖，/AOB=90°,OC平分/AOB,OE平分

26、/AOD,若/EOC=6O°,則/BOD=【解析】解：OC平分/AOB,.ZAOC=-ZAOB=45,/EOC=60,，/AOE=15,第19頁（共23頁）.OE平分ZAOD,/AOD=30,./BOD=30+90°=120°,故答案為：120：5.一個角的補角加上14°,等于這個角的余角的5倍，這個角的度數(shù)是【解析】解：設(shè)這個角為x,則補角為180-x,余角為90°-x,由題意得：180-x+14=5(90-x),解得：x=64:故填：64°6如圖，直線AB、CD相交于點O,ZBOF=ZDOE=90°,ZDOF=58°,貝U/BOE=/AOC=【解析】解：/BOF=90；ZDOF=58;dDDOB=9058=32°,/DOE=90,./BOE=90-32=58°,/DOB=32,/AOC=32,第20頁(共23頁)7 .計算:(1) 48°39'+67213117'(2) 2353-107°43.'+5【解析】解：(1)48°39'+67213117'=116°10'21°17'