1、授課類型T周期性與對稱性C哥函數圖像T哥函數性質教學內容周期性1、周期函數的定義一般地，對于函數yf(x),如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(xT)f(x),那么函數yf(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的一個周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數，就把這個最小的正數叫做最小正周期。顯然，若T是函數的周期，則kT(kz,k0)也是f(x)的周期。如無特別說明，我們后面一般所說的周期是指函數的最小正周期。說明：1、周期函數定義域必是無界的。2、周期函數不一定都有最小正周期。推廣：若f(xa)f(xb),則f(x)是周期函數，|ba|是它的一個周期；f(

2、xT)f(x二)，則f(x)周期為T；22山入Tf(x)的周期為Tf(x)的周期為一。2、常見周期函數的函數方程：(1)函數值之和定值型，即函數f(ax)f(bx)C(ab)對于定義域中任意x滿足f(ax)f(bx)C(ab),則有fx(2b2a)f(x),故函數f(x)的周期是T2(ba)特例：fxafx,則fx是以T2a為周期的周期函數；(2)兩個函數值之積定值型，即倒數或負倒數型f(x2a)(2b2a),所以函數f(x)的若f(ax)f(bx)C(ab,C可正可負)，則得f(x2a)周期是T2(ba)(3)分式型，即函數f(x)滿足f(xa)1f(xb)(ab)1f(xb),進而得f(x

3、2b)由f(xa)1f-(b)(ab)得f(x2a)1f(xb)f(x2a)f(x2b)1,由前面的結論得f(x)的周期是T4(ba)(4)遞推型：f(xa)f(x)f(xa)(或f(x)f(xa)f(x2a),則f(x)的周期T=6a(聯系數列)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；yf(x)滿足f(xa)g(f(x),(a0),其中g1(x)g(x),則yf(x)是以2a為周期的周期函數。3、函數的對稱性與周期性之間的聯系：雙對稱性函數的周期性具有多重對稱性的函數必具有周期性。即，如果一個函數

4、有兩條對稱軸(或一條對稱軸和一個對稱中心、或兩個縱坐標相同的對稱中心)，則該函數必為周期函數。相關結論如下：結論1：兩線對稱型：如果定義在R上的函數f(x)有兩條對稱軸xa、xb,即f(ax)f(ax),且f(bx)f(bx),那么f(x)是周期函數，其中一個周期T2|ab結論2：兩點對稱型：如果函數同時關于兩點a,c、b,c(ab)成中心對稱，即f(ax)f(ax)2c和f(bx)f(bx)2c(ab),那么f(x)是周期函數，其中一個周期T21abi結論3：一線一點對稱型：如果函數f(x)的圖像關于點a,c(a0)成中心對稱，且關于直線xb(ab)成軸對稱，那么f(x)是周期函數，其中一個

5、周期T41ab例1、定義域為R的函數fx滿足f4xfx8,且yfx8為偶函數，則f(x)()(A)是周期為4的周期函數(B)是周期為8的周期函數(C)是周期為12的周期函數(D)不是周期函數例2、定義在R上的函數f(x),給出下列四個命題：(1)若f(x)是偶函數，則f(x3)的圖象關于直線x3對稱若f(x3)f(3x),則f(x)的圖象關于點(3,0)對稱(3)若f(x3)=f(3x),且f(x4)f(4x),則f(x)的一個周期為2。(4)yf(x3)與yf(3x)的圖象關于直線x3對稱。其中正確命題的序號為。對稱性一、對稱性的概念及常見函數的對稱性1、對稱性的概念函數軸對稱：如果一個函數

6、的圖像沿一條直線對折，直線兩側的圖像能夠完全重合，則稱該函數具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函數的對稱軸。中心對稱：如果一個函數的圖像沿一個點旋轉180度，所得的圖像能與原函數圖像完全重合，則稱該函數具備對稱性中的中心對稱，該點稱為該函數的對稱中心。二、抽象函數的對稱性1、函數yf(x)圖象本身的對稱性(自對稱問題)(1)軸對稱yf(x)的圖象關于直線xa對稱f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)f(2ax)f(ax)f(bx)yf(x)的圖象關于直線x(ax)(bx)旦對稱.特別地，函數yf(x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f(x)f(x).(2)中心對稱yf(x)的圖象關于點

7、(a,b)對稱f(ax)f(ax)2bf(x)f(2ax)2bf(x)f(2ax)2bf(ax)f(bx)2cyf(x)的圖象關于點(abc)對稱.2特別地，函數yf(x)的圖像關于原點(0,0)對稱的充要條件是f(x)f(x)0.(3)對稱性與周期性之間的聯系若函數f(x)既關于直線xa對稱，又關于直線xb對稱(ab),則函數f(x)關于無數條直線對稱，相鄰對稱軸的距離為ba|；且函數f(x)為周期函數，周期T21ba|；特別地：若yf(x)是偶函數，其圖像又關于直線xa對稱，則f(x)是周期為21a的周期函數；若函數f(x)既關于點(a,0)對稱，又關于點(b,0)對稱(ab),則函數f(

8、x)關于無數個點對稱，相鄰對稱中心的距離為ba|；且函數f(x)為周期函數，周期T21ba|；若函數f(x)既關于直線xa對稱，又關于點(b,0)對稱(ab),則函數f(x)關于無數個點和直線對稱，相鄰對稱軸和中心的距離為|ba|,相鄰對稱軸或中心的距離為21ba|;且函數f(x)為周期函數，周期T41b耳。特別地：若yf(x)是奇函數，其圖像又關于直線xa對稱，則f(x)是周期為4a|的周期函數。1 .已知函數f(x)定義域為R,且對于任意實數x滿足f(x2)f(6x),當0x2時，f(x)x22x|x35,則f(1)f(3)2 .已知函數f(x)|x22axa|(xR),給出下列四個命題：

9、當且僅當a0時，f(x)是偶函數；函數f(x)一定存在零點；函數在區間(，a上單調遞減；當0a1時，函數f(x)的最小值為aa2.那么所有真命題的序號是.哥函數的圖像與性質【知識梳理】1哥函數的定義：形如yx（aR）的函數稱為哥函數（為常數，2常用哥函數性質及其圖像yx2yx3yx12yx21yx定義域值域奇偶性單調性定點3性質如下：（1）所有的哥函數在（0,+8）都有定義，并且圖象都過點（1,1）；凸；當0Q).2-j1時，哥函數的圖象下0時，哥函數的圖象通過原點，并且在區間0,）上是增函數.1時，哥函數的圖象上凸;0時，哥函數的圖象在區間(0,）上是減函數.在第一象限內，當x從右邊趨向原點

10、時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.【典型例題分析】【例1】有下列函數：y2x,yx,3,yx313x2,yx4,yx2x2,其中哪些為募函數?變式練習：塞函數y1kxa的圖像經過點2,2k一.y21，則下列四個函數yy2,yy2,y1x中，是塞函數的是130【例2】求函數yx2x5x2的定義域。一2【例3】若fxxmZ的圖像與坐標軸沒有公共點，且關于y軸對稱，求fx的表達式。2變式練習1：函數y(m2m1)xm是哥函數，求實數m的值。.2變式練習2:備函數fxl1x的大致圖像是如圖所示的()再變：在上題的基礎上加上函數是奇函數，則m的取值為

11、2變式練習3：已知哥函數ym9m19xm的圖像不過原點，則m的值為【例4】比較下列各組中兩個數的大小：11(1)3,12與3.22(2)2a與aaa0變式練習1:比較下列各組中兩個數的大小2222(1)1.831,93(2)(2.1)3(2.2)344(3)(1,1)31.131變式練習2：已知(a1)31(32a)3,求a的取值范圍4變式練習4：已知a35412a5,求a的取值范圍。【例5】作出函數y匚2的圖像。X1變式練習1:作出函數fx的圖像。【例6】利用函數的圖像解不等式：.X2x133【例71已知函數f(x)2,求f(3)3.5Caxbx5-3,已知f(3)x1-對稱2例8已知函數f

12、x(1)求gx的解析式，并求出gx的單調區間；1、一3(2)右ab0,c,求證：gagcab*4【課堂小練】一、選擇題1、使x2>x3成立的x的取值范圍是B、A、x<1且xwo2、若四個募函數y=xa,y=y=xd在同一坐標系中的圖象如右圖,AJC*J4、m,n為整數，則下列各式中正確的是manB1.55、y10.940.48y3y1y2B、y2y3則a、b、c、d的大小關系是d>c>b>aa>b>c>dd>c>a>ba>b>d>c3、在函數y=口，y=2x3,y=x2+x,y=1中，哥函數有xB、1個6、.若

13、集合M=y|y=2x,P=y|y="x1,mnp=7、y|y>1B、y|y>1C、y|y>0、y|y>0f(x)=22x-5X2x-1+1它的最小值是0.5B9168、如果a>1,bv1,那么函數f(x)=ax+b的圖象在A第一、C第二、D第一、第一、三、四象限二、四象限二、填空題9、已知0<a<b<1,設aa,ab,ba,bb中的最大值是M最小值是myy1D、y110、已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(2)=10,則f(2)11、函數y=(x22x)29的圖象與x軸交點的個數是12、函數y=(x-1)3+1的圖象的中心對稱點的坐標是三、解答題13、設x,y,z4y6z.（1）求證：1X1(2)比較3x,4y,6z的大小.2z;14、已知哥函數值，并寫出相應的函數（X）=f（X）、2p232(peZ)在(o,+oo）上是增函數，且在其定義域內是偶函數，求15、已知哥函數2m3（mZ）的圖象與x,y軸都無交點，且關于y軸對稱，求m的值。【課后練習】一、基礎鞏固1.募函數y12,X1,4的值域為2.函數yx05的定義域為3 .兩個不同的帚函數圖像最多有4 .下列函數中，不是哥函數的是Ayx1ByX個交點，最少有（）1Cyx3D個交點。5.要作出函數yx112的圖像，將函數yx