1、機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社在線教務(wù)輔導(dǎo)網(wǎng)：在線教務(wù)輔導(dǎo)網(wǎng)：http:/教材其余課件及動畫素材請查閱在線教務(wù)輔導(dǎo)網(wǎng)教材其余課件及動畫素材請查閱在線教務(wù)輔導(dǎo)網(wǎng)QQ:349134187 或者直接輸入下面地址：或者直接輸入下面地址：http:/機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 第第一一節(jié)節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和

2、性質(zhì)第二節(jié)第二節(jié) 正項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別正項(xiàng)級數(shù)的斂散性判別方法方法第三節(jié)第三節(jié) 任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念二、收斂級數(shù)的性質(zhì)二、收斂級數(shù)的性質(zhì)機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念定義定義1 如果給定

3、一個無窮數(shù)列如果給定一個無窮數(shù)列,321nuuuu由數(shù)列的每一項(xiàng)構(gòu)成的由數(shù)列的每一項(xiàng)構(gòu)成的表達(dá)式表達(dá)式,321 nuuuu叫做叫做常數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù)常數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù),簡稱簡稱常數(shù)項(xiàng)級數(shù)常數(shù)項(xiàng)級數(shù), 記為記為,1nnu 構(gòu)成的數(shù)列稱作部分和數(shù)列，記為構(gòu)成的數(shù)列稱作部分和數(shù)列，記為 .ns即即 nnu1,321 nuuuu其中其中一般項(xiàng)；一般項(xiàng)；nu部分和部分和nnuuuus 321, , ,2121211nnuuusuusus 由部分和由部分和機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社ssnn

4、 lim則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù)nnu 1收斂收斂, ,如果部分和數(shù)列沒有極限如果部分和數(shù)列沒有極限, ,則稱則稱級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散. .稱為稱為級數(shù)的余項(xiàng)級數(shù)的余項(xiàng)。 21nnnnuussr定義定義2如果級數(shù)如果級數(shù)nnu 1有極限有極限 s, , 的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列 ns其極限其極限s s稱作稱作級數(shù)的和，級數(shù)的和，并記作并記作,321 nuuuus當(dāng)級數(shù)收斂時，把當(dāng)級數(shù)收斂時，把即即機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社證證qaqaaqaqasnnn 11qasnn 1l

5、im nnslim級數(shù)收斂級數(shù)收斂;例例1 1 討論常數(shù)項(xiàng)級數(shù)討論常數(shù)項(xiàng)級數(shù)等比級數(shù)等比級數(shù)(又稱又稱幾何級數(shù)幾何級數(shù))：)0(20 aaqaqaqaaqnnn的斂散性的斂散性 ( (q稱為級數(shù)的公比稱為級數(shù)的公比).)., 0lim nnq, 1 q若若1 q當(dāng)當(dāng)時，時，,lim nnq, 1 q若若級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散;1 q當(dāng)當(dāng)時，時，, nasn,1 q若若, 1 q若若ns隨隨n的取奇、偶數(shù)而等于的取奇、偶數(shù)而等于a或或0， 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散;級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散;機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械

6、工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社例如例如3212 0132 1nnn.0322nn6收斂收斂 045 2nnn.發(fā)散。發(fā)散。nn0451 q級數(shù)收斂級數(shù)收斂;1 q級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散.所以所以qas 1)0(20 aaqaqaqaaqnnn機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社部分和為部分和為 21321 nnnsn級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散.111 n解解,111) 1(1 nnnnun) 1(1321211 nnsn)111()3121()211 ( nn, 1)111 (limlim nsnnn

7、故級數(shù)收斂故級數(shù)收斂.例例2 證明下面級數(shù)：證明下面級數(shù)： n321發(fā)散發(fā)散。證證,lim nns例例3 判別級數(shù)判別級數(shù))1(11 nnn的斂散性。的斂散性。機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社二、收斂級數(shù)的性質(zhì)二、收斂級數(shù)的性質(zhì)如果級數(shù)如果級數(shù)nnu 1收斂于和收斂于和s, 則它的各項(xiàng)同乘以一個常數(shù)則它的各項(xiàng)同乘以一個常數(shù)k所得的級數(shù)所得的級數(shù)nnku 1也收斂也收斂,且其和為且其和為 ks.證證1nnii=ku niiuk1,ksnlimlimnnnnks limnnks

8、ks注：注： nn= ks0k 的斂散性相同的斂散性相同.1 nnku1 nnu與與性質(zhì)性質(zhì)1 1機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社113 nn例如例如：級數(shù)：級數(shù)1131nn因級數(shù)因級數(shù) 發(fā)散，發(fā)散，11 nn所以此級數(shù)發(fā)散所以此級數(shù)發(fā)散.1132 nn再如再如：級數(shù)：級數(shù)112nn 收斂收斂, 此級數(shù)收斂。此級數(shù)收斂。 2213nn機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工

9、業(yè)出版社niiv1證證1nniii= =uvniiu1nns limlimnnnnnslimlimnnnns snnv 1、nnu 1性質(zhì)性質(zhì)2 如果級數(shù)如果級數(shù)分別分別收斂收斂于和于和S、 ，則級數(shù)，則級數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, 且其和為且其和為S .思考思考1.若若11nnnnvu 、發(fā)散發(fā)散,則則1nnnvu收斂收斂?發(fā)散發(fā)散?則則2.若若11nnnnvu 、中有一個發(fā)散中有一個發(fā)散,1nnnvu收斂收斂?發(fā)散發(fā)散?（不定）（不定）（發(fā)散）（發(fā)散）機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)

10、出版社機(jī)械工業(yè)出版社的的幾幾何何級級數(shù)數(shù)。收收斂斂。為為公公比比為為而而級級數(shù)數(shù)21211 nn是是調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)，發(fā)發(fā)散散。 11nn也也發(fā)發(fā)散散。所所以以 12nn反反證證法法：原級數(shù)發(fā)散。原級數(shù)發(fā)散。 1221nnn例例 級數(shù)：級數(shù)：收收斂斂。若若級級數(shù)數(shù) 1221nnn 111212212nnnnnnn則：則：為為調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)，但但 12nn收收斂斂，發(fā)發(fā)散散，矛矛盾盾！機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社去掉前去掉前 項(xiàng)得級數(shù)項(xiàng)得級數(shù)證證級數(shù)級數(shù)nkkkuuuuu

11、121（1）ks為常數(shù)為常數(shù),n knkssnkkuu1級數(shù)（級數(shù)（2）的前）的前n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為所以級數(shù)（所以級數(shù)（1）與（）與（2）具有相同的斂散性。）具有相同的斂散性。其它情況類似可證。其它情況類似可證。性質(zhì)性質(zhì)3 在級數(shù)中去掉、加上或改變在級數(shù)中去掉、加上或改變有限有限項(xiàng)項(xiàng), 斂散性不變斂散性不變.knkkuu1（2）機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社級數(shù)的斂散性與級數(shù)的斂散性與有限項(xiàng)有限項(xiàng)無關(guān)。但是，同時收斂無關(guān)。但是，同時收斂時，收斂和可能不同。時，收斂和可能不同。

12、性質(zhì)性質(zhì)3說明：說明：例如例如, 232nn與與 032nn具有相同的斂散性具有相同的斂散性, 均收斂。均收斂。收斂和不同。收斂和不同。 032 nn：但但, 33211 232nn34 321322 機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社性質(zhì)性質(zhì)4 如果級數(shù)如果級數(shù)nnu 1收斂收斂,則對這級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后則對這級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后的級數(shù)仍的級數(shù)仍收斂收斂, 且其和不變且其和不變. 形式如下形式如下: )()()(1111211kknnnnnuuuuuu所成所成設(shè)設(shè)12=+n

13、suuu證證（1）添括號后得添括號后得 54321uuuuu（2）（2）的前）的前 m 項(xiàng)和相當(dāng)于（項(xiàng)和相當(dāng)于（1）的前）的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和.,12 s,25s ,mn= s lim mm limnns s機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社（1）若加括號后所得級數(shù)發(fā)散）若加括號后所得級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)發(fā)散。則原級數(shù)發(fā)散。 （2）收斂級數(shù)去掉括號后所得級數(shù)未必收斂）收斂級數(shù)去掉括號后所得級數(shù)未必收斂.注意注意例例: 111111收斂收斂,去掉括號后去掉括號后,111111發(fā)散。

14、發(fā)散。（逆否命題）（逆否命題）機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社證證,limssnn . 0limlim)(limlim11 ssssssunnnnnnnnn 注注 如果級數(shù)的一般項(xiàng)如果級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零不趨于零, ,則該級數(shù)必定則該級數(shù)必定發(fā)散發(fā)散. .例如例如 級數(shù)級數(shù)1)1(11 nnnn其一般項(xiàng)不趨向于其一般項(xiàng)不趨向于0, ,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散. .性質(zhì)性質(zhì)5一般項(xiàng)趨于零一般項(xiàng)趨于零. .則它的則它的nnu 1收斂收斂, ,如果級數(shù)如果級數(shù). 0lim nnu即即( (

15、級數(shù)級數(shù)收斂收斂的的必要條件必要條件) )機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社nnnnnnu 1limlim e011nnnn 再如（再如（1 1）：）：所以此級數(shù)發(fā)散。所以此級數(shù)發(fā)散。（2）：）：222221231 +2 -1352 -1 nnnnn21limlim=0,2 -14nnnnun所以此級數(shù)發(fā)散。所以此級數(shù)發(fā)散。12sinsinsinsin6666n=nn=+ （3）：）：limlimsin6nnnnu不存在，不存在，所以此級數(shù)發(fā)散。所以此級數(shù)發(fā)散。機(jī) 械 工 業(yè)

16、出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版社機(jī)械工業(yè)出版社 級數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件，級數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件， 即即級數(shù)的一般項(xiàng)趨于零級數(shù)的一般項(xiàng)趨于零, ,級數(shù)仍然可能收斂級數(shù)仍然可能收斂, ,也可能發(fā)散也可能發(fā)散. .例例4 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù) nnn13121111是是發(fā)散發(fā)散的。的。證明證明(反證法反證法)：設(shè)：設(shè).limssnn . 0lim2 ssssnnn又又nnnssnn2121112 ,21212121 nnn . 0lim2 nnnss與假設(shè)矛盾，故與假設(shè)矛盾，故調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)發(fā)散。發(fā)散。機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社機(jī) 械 工 業(yè) 出 版 社 微積分及其應(yīng)用（下）微積分及其應(yīng)用（下）第九章第九章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)機(jī)械工業(yè)出版