1、9月月2020-2021學年山東省德州市夏津第一中學高二上學期考數學試題、單選題i,已知向量a1,42, i,則下列向量中與a同向的單位向量的坐標是（B.D.C.【答案】B【解析】求得a,進而可計算得出與a同向的單位向量士的坐標. a【詳解】,a1,v2, 1,則 a, 5 2 1 2,_a 1 <21所以，與a同向的單位向量的坐標是 門 ,-，二.Ia 2 2 2故選：B.【點睛】本題考查與向量同向的單位向量的坐標，考查計算能力，屬于基礎題2.直線J3x 3y 5 0的傾斜角為（）B.一32 C. 3根據直線傾斜角的正切值等于切線斜率求解即可直線、3x3y 5 0的斜率為 Y3,故傾斜

2、角的正切值tan3又 0,，故 .故選：A【點睛】本題主要考查了直線傾斜角與斜率的關系，屬于基礎題型3.已知在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，AAi AB ,則異面直線AB與AG所成角的余弦值為()C.15D.【答案】B【解析】以A為原點，在平面 ABC內，過點A作AC的垂線為x軸，以AC為y軸,AA為z軸，建立空間直角坐標系， 利用向量法能求出異面直線AB與ACi所成角的余弦值.【詳解】以A為原點，在平面 ABC內，過點A作AC的垂線為x軸，以AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，由題得，A(0, 0, 0), Ai(0,0, 2), B(V3,1,0) ,

3、Ci(0 , 2, 2),AiB (V3,1, 2) , AC? (0,2,2),設異面直線AB與AG所成角為則cos|cos ABAC1 | |A B- AC1|At|AC |1異面直線AB與ACi所成角的余弦值為 一.4故選：B.【點睛】本題主要考查異面直線所成的角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平4.已知直線 1i :ax y 1 0, 12：x ay 1 0,若 l"b,則實數 a ()A .1或 1B. 0 或 1C. 1D.1【答案】D【解析】討論a ,根據兩條直線平行的條件列式可解得結果【詳解】 當a 0時，12的斜率不存在，li的斜率為0,此時li I2,不

4、合題意;a 11當a 0時，由I1/I2可得了 一 了，解得a 1, 1 a 1故選：D本題查了由兩條直線平行求參數，屬于基礎題5.如圖，在正四棱柱ABCDAB1cQ1中，AA1 2AB2,則點C到平面BDC1的D. 2由余弦定理得cos BC1D5 5 22 .5 . 52B. 一3【解析】 結合余弦定理、三角形面積公式、棱錐得體積公式，利用等體積法1 -,1 -二 S -BDC1 d二 S BCD CC1,即可求出答案.33【詳解】 解：設點C到平面BDC/勺距離為d , AA1 2 AB 2,111由題意，&BCD 的面積 Sbcd - BC CD - 1 1 ,222在 dBD

5、C1中，易求得 BD 72，BC1 DC1 45,3，sin BC1D -,5c 1 “ 1一 3 3S bdcBC1 DC1 sin BC1D5 、5 ,1 225 2又VcBDC1VC1 BCDS.BCD CC1S. BDC1,即-31 22_321ABDC1 d - S., BCD CC1 ,3故選:B.【點睛】本題主要考查等體積法求點到平面的距離，考查轉化與化歸思想,屬于中檔題.6.已知空間向量a 3,0,1b 2,1,nc 1,2,32,則a與b的夾角的余弦值為（A.畫21B.21021c 7C21D.221首先根據2得至ij n從而得到2,1,再計算cos；：a,b即可.3,0,1

6、1,2,32,因為a2n2,解得n4,即b2,1, 4 .所以cos a,ba b、9 0 14 1 1621021故選：B本題主要考查空間向量的夾角計算，屬于簡單題7.無論a取何實數，直線ax y 2a 10恒過（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】 將直線化為點斜式，求出直線恒過定點即可得解;解：將直線方程化為點斜式為y 1 a（x 2）,可知直線恒過定點（2,1）,因為點（2,1）在第一象限，所以直線恒過第一象限.故選：A【點睛】本題考查直線過定點問題，屬于基礎題.8.已知直線l：2x 3y 12 0與x軸，y軸分別交于 A, B兩點，直線 m過點AB的 中點，若直線

7、l , m及x軸圍成的三角形面積為 6,則直線m的方程為()A. 2x 3y 0B. 2x 9y 0C. 2x 9y 0 或 2x 9y 24 0D, 2x 3y 0 或 2x 9y 24 0【答案】D【解析】求得A, B的中點坐標為(3,2),設直線m的方程為y kx 3k 2 ,且與x軸交于點C(xc，0)，結合三角形的面積公式，列出方程，求得xc 0或xc 12,進而求得直線m的方程.【詳解】由直線2x 3y 12 0,可得與x軸，y軸分別交于A(6,0), B(0,4),則A,B的中點為(S,),即中點坐標為(3,2), 22設直線m的方程為y 2 k(x 3),即y kx 3k 2

8、,且與x軸交于點C(xc,0),因為直線l , m及x軸圍成的三角形面積為 6,一1 H 1一一一一可得 Sapac-|ACYb-|6Xc2 6,即 6Xc6 ,解得Xc0 或 Xc12,2_當xc 0時，即點C(0,0),此時直線m的萬程為y x ,即2x 3y 0；32 02當xc 12時，即點C(12,0),此時k -,直線m的萬程為2x 9y 24 0 ,3 129綜上可得直線 m的方程為2x 3y 0或2x 9y 24 0.故選：D.【點睛】本題主要考查了直線方程的求解，以及三角形面積公式的應用，其中解答中熟練直線的點斜式方程，以及結合三角形的面積公式列出方程求解是解答的關鍵，著重考

9、查推理與運算能力.二、多選題9.已知空間四邊形 OABC,其對角線為OB、AC, M、N分別是對邊OA、BC的 中點，點G在線段MN上，且MG 2GN，現用基組 OA,OB,OC表示向量OG ,有 OG xOA yOB zOC，貝u（）1 11.A. x B. y -C. z -D. x y z 1633【答案】ABC【解析】求出mn關于OA、OB、OC的表達式，可求得OG關于OA、OB、oc的表達式，可得出 x、y、z的值，進而可判斷出各選項的正誤 .【詳解】如下圖所示，.'N為BC的中點，則ON OB BN OB1 一 一-BC OB 2一 1一 1一OB -OB -OC-.-M為

10、OA的中點，則OM1 一 -OA, 2MN-1 -ON OM 10B21 一 -OC 21一 -OA 2,rrsr 2 -2GN ，則 MG 一 MN 3OGOMMGOM2 一 £MN31 - 10A 22 1 -r2 10B3 2-OC21- 10A 21 -r-OA 610B310C 3故選:ABC.本題考查利用空間基底表示向量，考查計算能力,屬于中等題10.下列關于直線的方程，敘述不正確的是（A.經過定點P0 x0,yo的直線都可以用方程x %表示b.經過任意兩個不同點P x,yiP2 乂2，丫2的直線都可以用方程y y X2 % x Xiy2 yi 表示C.不經過原點的直線都

11、可以用方程個 丫 1表示a bD.經過定點 A 0,b的直線都可以用方程y kx b表示【答案】ACD【解析】根據各種直線方程的適用范圍，逐個分析判斷即可【詳解】解：對于A,經過定點P0 Xo,yo ,且斜率存在的直線都可以用方程y yo k x X）表示，所以A錯誤；對于B,經過任意兩個不同點 Pi xi,yi , P2 X2,y2的直線都可以用方程y yi X2 X,x Xi V2 yi表示，所以B正確；對于C,不經過原點，且與坐標軸不垂直的直線都可以用方程-y I表示，所以Ca b錯誤；對于D,經過定點 A 0,b ,且斜率存在的直線都可以用方程y kx b表示，所以D錯誤，故選：ACD

12、【點睛】此題考查各個直線方程的適用范圍，考查命題的真假判斷，屬于基礎題3 Iii,已知直線l的一個方向向量為u，-,且l經過點I, 2 ,則下列結論中正6 2確的是（）A. l的傾斜角等于I50B. l在X軸上的截距等于 漢33C . l與直線 J3x 3y 2 0垂直D. l上存在與原點距離等于 I的點【答案】CD【解析】由直線的方向向量可求得直線的斜率，從而可求出直線的傾斜角和直線方程，進而可判斷A, B, C,對于計算出原點到直的距離即可判斷【詳解】解：因為直線l的一個方向向量為u3 1-6,2，所以直線l的斜率為1k2 .36設直線的傾斜角為(0,180)則tanJ3，所以 120，所

13、以A錯誤;因為l經過點1, 2，所以直線l的方程為y 2J3（x1），令y 0，則所以l在x軸上的截距為返1，所以B錯誤;3因為直線 3x3y 20的斜率為X3，直線l的斜率為3J3，因為原點到直線1，所以l與直線J3x 3y 2 0垂直,所以C正確;l的距離為d2JL 至 1,2 (：3)22所以l上存在與原點距離等于 1的點，所以D正確,故選：CD此題考查直線方程的求法，考查兩直線的位置關系，考查斜率與傾斜角的關系，考查點BC，AB 2，BC 4，BBi 5,到直線的距離公式的應用，屬于中檔題12.如圖，在直三棱柱 ABC AB1C1中，ABD是AC1的中點，點E在AA上且靠近A，當CE

14、BiE時，則（A . BE 2近B. DE V6D.二面角A RE人 21D的余弦值為-21【答案】BD 【解析】以B為原點，BA, BC,BB1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，設 AE t,5 t 5 ,根據CE B1E 0求出t 4,可得E(2,0,4),根據空間兩點間的距離公式 2求出DEJ6,BE2J5,S；aace475 ,利用法向量求出二面角AB1ED的余弦值為_21 . 21【詳解】依題意可知BA BC, BBi BA, BB BC,以B為原點，BA,BC,BB1分別為x, y, z軸建立如圖所示的空間直角坐標系：_5設 AE t, - t 5,則 B(0,0,0) , B

15、i(0,0,5) , C(0,4,0), 2A(2,0,0) , E(2,0,t), A(2,0,5) , Ci(0,4,5), D(1,2,5),所以 CE (2, 4,t), B1E (2,0,t 5),因為 CEB1E ,所以 CE B1E 2 2 4 0 t(t 5) 0,即 t2 5t 4 0 ,解得t 4或t 1 (舍)，所以 E(2,0,4) , DE J(1 2)2 (2 0)2 (5 4)2 J6,故選項 B 正確，BE 7(2 0)2 (0 0)2 (4 0)2 2匹，故選項 A 不正確，因為 ac Jab2 bc2J22 422V5，所以Saace1AC AE 1 2M

16、4 4而，故C不正確，22取平面ABE的一個法向量為B1C1(0,4,0),設平面DBE的法向量為n (x, y, z),BD (1,2,0) , DE (1, 2, 1),由 BDn 0 即 x 2y 0 DE n 0 x 2y z 0取 y 1,則 x 2, z 4 ,所以 n 2,1, 4 ,顯然二面角A BiE D為銳角，所以二面角A BiE D的余弦值為|BlCl n| , 40，故選項D正| BiCi |n|4 "4 1 1621確.故選：BD【點睛】本題考查了空間向量垂直的坐標表示，考查了空間兩點間的距離公式，考查了二面角的向量求法，屬于中檔題.三、填空題13.已知直線

17、x my m 。與2x my 1 0垂直，則m .【答案】2【解析】 由題意得12m m 0,解出即可.【詳解】解：.直線x my m 0與2x my 1 0垂直，.12 m m 0,即 m2 2,解得m .2，故答案為：我.【點睛】本題主要考查根據兩條直線垂直求參數值，屬于基礎題.1-14.已知點P 3,1到直線l : x ay 3 0的距離為一，則a2【解析】 根據點到直線的距離公式列式可解得結果【詳解】由點到直線的距離公式得|3 a 3|i解得a2 a故答案為：-33【點睛】 本題考查了點到直線的距離公式，屬于基礎題DiP記db =入當Di B【解析】本題主要考查了用空間向量求直線間的夾

18、角，一元二次不等式的解法,意在考查考生的空間想象能力以及運算求解能力.以DA、DC、DDi為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,則有A(i,0,0), B(i,i,0), C(0,i,0), Di(0,0,i),則 DiB = (i,i, -i),得 DF =一入)所以 pa= PDi + D1A = ( N N 入并(i,0，i）= （i 入，一入,卜 i), PC =15.設動點P在棱長為1的正方體 ABCD AiBiCiDi的對角線 BDi上,PDi + DiC =(- X, - 入并(0,i, i)=(入 i人 ; i),顯然/APC 不是平角, 所以/ APC為鈍角

19、等價于 pa pc <0,即入（i入 > 入（i入并（q i）2<0，即（Q i）（3入-i）<0,解得<入<i因此入的取值范圍是（1，）.33四、雙空題_ _ _ 一 i16 .已知點A 2,3 , B 3,2 , C 2,若直線i過點P i,i與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是;若直線l過點P i,i與線段BC相交，則直線l的斜率k的取值范圍是1,6【解析】分別畫出圖象，數形結合可得答案kpB,直線l過點P 1,1與線段BC相交，如上圖,kpB3- 2 ,則直線l的斜率k的取值范圍是 -,2 ； 2 1212，21 12_1 ( 2)1， 6則

20、直線l的斜率k的取值范圍【點睛】本題考查了直線的斜率，斜率的取值范圍，屬于基礎題五、解答題17 .已知向量 a 1,1,0 , b 1,0,2 .(1)若 a' kb / 2a b ,求實數 k ;(2)若向量a kb與2a b所成角為銳角，求實數 k的范圍.1 ,一，1【答案】(1) ；(2) k k) 1且k -.2 221 k 1 2k【解析】(1)求出a kb 1 k,1,2k , 2a b 1,2,2，根據1 W可解得結122果；1(2)根據a kb 2ab 0可得k 1 ,除去k 一可得解.2【詳解】(1)由已知可得，a kb 1 k,1,2k , 2a b 1,2,2 ,

21、1 k 1 2k1因為a kb / 2a b ,所以，可得k 一.122，2(2)由(1)知，a kb 1 k,1,2k , 2a b 1,2,2 ,因為向量a kb與2a b所成角為銳角，所以 akb2a b1k,1,2k1,2,21 k 2 4k0,解得 k1,1 一 一一 一. i .1又當k時，a kb112a b ,可得實數k的范圍為kk 1且k-.2 22【點睛】本題考查了空間向量共線問題，考查了空間向量的夾角問題，屬于中檔題 18.在平面直角坐標系中，三角形ABC的三個頂點坐標分別為 A 2,1 , B 2,3 ,C 3,0 ,求：(1) BC邊所在直線的方程；(2) BC邊上的

22、高AD所在直線的方程.【答案】(1) 3x y 9 0； (2) x 3y 5 0.【解析】(1)求出直線BC的斜率，代入點斜式方程即可；(2)求出直線BC的斜率，得到BC邊上的高所在直線的斜率，代入點斜式方程即可【詳解】(1)設BC的直線方程為y kx b.將B 2,3 , C 3,0坐標代,則直線BC方程為y 3x 9,(2)因為AD為直線BC的高，,一，、1設AD的直線方程為y -x31 得AD的直線方程為y -x3代為一般式為x 3y 5 0.【點睛】本題主要考查了直線方程問題，考查求直線的斜率，兩條垂直直線斜率間的關系，屬于基礎題.19 .如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD

23、為平行四邊形，BC，平面PAB ,點。為 PB 的中點，PA AD 2AB 2, PB ，5.化為一般式為2k3k3x所以AD BC ,b,解方程組可得b故kAD0.5m ,將A 2,1代入，解得m 3(1)求證：直線PA平面ABCD;(2)求直線PB與平面OAC夾角的正弦值【答案】(1)證明見解析;(2)2.3015【解析】(1)由BC，平面PAB可得出PABC ,由勾股定理可得出 PA AB ,進而利用線面垂直的判定定理可證得直線PA 平面ABCD ;(2)以點A為坐標原點，分別以 AB、AD、AP所在直線為X、y、z軸建立空間直角坐標系A xyz,利用空間向量法可求得直線PB與平面OAC

24、夾角的正弦值.PB2，可得 PA AB ，(1)由題知，PA 2 , AB 1, PB 75 ,那么 PA2 AB2由BC，平面PAB , PA 平面PAB ,可得PA BC , v AB BC B,因此，直線PA 平面ABCD；(2)由(1)知，PA 平面 ABCD , AD AB ,以點A為坐標原點，分別以 AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系A xyz ,1如圖，可得 A 0,0,0 , B 1,0,0 , C 1,2,0 , O -,0,1 , P 0,0,2 ,21則 AO -,0,1 , AC 1,2,0 , PB 1,0, 2 .2設平面AOC的一個法向量為

25、m x, y, z ,那么ao mac m- z 0.2 ，令x 2 ,得mx 2y 02, 1, 1 ,那么 cos m, PBm PB 4 2.30 m PB 46 7515所以直線PB與平面OAC夾角的正弦值為2.30考查計本題考查線面垂直的判定，同時也考查了利用空間向量法求解線面角的正弦值, 算能力與推理能力，屬于中等題 .20.已知直線 l : x ay a 1 0 a R .(1)若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求 a的值；(2)若直線l與y軸所成的角為30",求a的值.【答案】(1)1或1; (2) 叵或叵.【解析】(1)根據方程解出橫縱截距，然后建立方程求解即可；(2

26、)由條件可得直線l的傾斜角為60或120 ,然后可求出答案.【詳解】(1)由題意a 0a 1令x 0 , y , a令 y 0, x a 1 ,a 1由 a 1 ,得a 1或1 , a綜上，a的值為1或1;(2) 直線l與y軸所成的角為301 .直線l與x軸所成的角為60或120 ,即直線l的傾斜角為60或120 ,，直線l的斜率存在，a 0,又直線l的斜率為 a 1 tan60 后或 1 tan120 百， aa.3 - .3一a 或33【點睛】本題考查的是直線的一般式方程的應用，考查了學生對基礎知識的掌握情況，較簡單.21 .已知在平行六面體 ABCD A1B1C1D1中，AB 2, AA

27、 3, AD 1,且DABBAADAA1 -.(1)求BiD的長;(2)求CDi與B1D夾角的余弦值.【答案】(1) /5； (2) 305 . 70【解析】(1)由空間向量的加法法則可得 B1D AD AB旃，利用空間向量數量 叫 2,.2積的運算性質可求得 BiD AD AB AAi的值，由此可求得BD的長；(2)計算出CD? BD、CD1的值，利用平面向量數量積可計算出 COS CD：麗 的 值，即可得解.【詳解】(1)由題可知，BID BB BA AD AD AB AA1, 那么2.r 2.2,2. 2，B1DAD AB AA1AD AB AA1 2AD AB 2AD AA1 2AB AA12_22112 3 2121323 1