1、彈性力學簡明教程（第四版）課后習題解答徐芝綸第一章 緒論【1-1】試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體【分析】均勻的各項異形體就是滿足均勻性假定，但不滿足各向同性假定；非均勻的各向異性體，就是不滿足均勻性假定，但滿足各向同性假定。【解答】均勻的各項異形體如：竹材，木材。 非均勻的各向同性體如：混凝土。【1-2】一般的混凝土構件和鋼筋混凝土構件能否作為理想彈性體一般的巖質地基和土質地基能否作為理想彈性體【分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個假定：連續性，完全彈性，均勻性，各向同性假定。【解答】一般的混凝土構件和土質地基可以作為理想彈性體；一般的鋼筋混凝土構件和巖質地

2、基不可以作為理想彈性體。【1-3】五個基本假定在建立彈性力學基本方程時有什么作用【解答】（1）連續性假定：假定物體是連續的，也就是假定整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿，不留下任何空隙。引用這一假定后，物體的應力、形變和位移等物理量就可以看成是連續的。因此，建立彈性力學的基本方程時就可以用坐標的連續函數來表示他們的變化規律。完全彈性假定：假定物體是完全彈性的，即物體在對應形變的外力被去除后，能夠完全恢復原型而無任何形變。這一假定，還包含形變與引起形變的應力成正比的涵義，亦即兩者之間是成線性關系的，即引用這一假定后，應力與形變服從胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程，其彈性常數不隨應力

3、或形變的大小而變。均勻性假定：假定物體是均勻的，即整個物體是由同一材料組成的，引用這一假定后整個物體的所有各部分才具有相同的彈性，所研究物體的內部各質點的物理性質都是相同的，因而物體的彈性常數不隨位置坐標而變化。各向同性假定：假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個方向都相同，引用此假定后，物體的彈性常數不隨方向而變。小變形假定：假定位移和變形是微小的。亦即，假定物體受力以后整個物體所有各點的位移都遠遠小于物體原來的尺寸，而且應變和轉角都遠小于1。這樣在建立物體變形以后的平衡方程時，就可以方便的用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸。在考察物體的位移與形變的關系時，它們的二次冪或乘積相對于其

4、本身都可以略去不計，使得彈性力學中的微分方程都簡化為線性的微分方程。【1-4】應力和面力的符號規定有什么區別試畫出正坐標面和負坐標面上的正的應力和正的面力的方向。【解答】應力的符號規定是：當作用面的外法線方向指向坐標軸方向時（即正面時），這個面上的應力（不論是正應力還是切應力）以沿坐標軸的正方向為正，沿坐標軸的負方向為負。當作用面的外法線指向坐標軸的負方向時（即負面時），該面上的應力以沿坐標軸的負方向為正，沿坐標軸的正方向為負。面力的符號規定是：當面力的指向沿坐標軸的正方向時為正，沿坐標軸的負方向為負。由下圖可以看出，正面上應力分量與面力分量同號，負面上應力分量與面力分量符號相反。 正的應力正

5、的面力【1-5】試比較彈性力學和材料力學中關于切應力的符號規定。【解答】材料力學中規定切應力符號以使研究對象順時針轉動的切應力為正，反之為負。彈性力學中規定，作用于正坐標面上的切應力以沿坐標軸的正方向為正，作用于負坐標面上的切應力以沿坐標軸負方向為正，反之為負。【1-6】試舉例說明正的應力對應于正的形變。【解答】正的應力包括正的正應力與正的切應力，正的形變包括正的正應變與正的切應變，本題應從兩方面解答。正的正應力對應于正的正應變：軸向拉伸情況下，產生軸向拉應力為正的應力，引起軸向伸長變形，為正的應變。正的切應力對應于正的切應變：在如圖所示應力狀態情況下，切應力均為正的切應力，引起直角減小，故為

6、正的切應變。【1-7】試畫出圖1-4中矩形薄板的正的體力、面力和應力的方向。【解答】 正的體力、面力正的體力、應力【1-8】試畫出圖1-5中三角形薄板的正的面力和體力的方向。【解答】【1-9】在圖1-3的六面體上，y面上切應力的合力與z面上切應力的合力是否相等【解答】切應力為單位面上的力，量綱為，單位為。因此，應力的合力應乘以相應的面積，設六面體微元尺寸如dxdydz，則y面上切應力的合力為： (a) z面上切應力的合力為： (b)由式（a）(b)可見，兩個切應力的合力并不相等。【分析】作用在兩個相互垂直面上并垂直于該兩面交線的切應力的合力不相等，但對某點的合力矩相等，才導出切應力互等性。40

7、第二章 平面問題的基本理論【2-1】試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中(圖2-14)其應力狀態接近于平面應力的情況。【解答】在不受任何面力作用的空間表面附近的薄層中，可以認為在該薄層的上下表面都無面力，且在薄層內所有各點都有，只存在平面應力分量，且它們不沿z方向變化，僅為x，y的函數。可以認為此問題是平面應力問題。【2-2】試分析說明，在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），當板邊上只受x，y向的面力或約束，且不沿厚度變化時，其應變狀態接近于平面應變的情況。【解答】板上處處受法向約束時，且不受切向面力作用，則(相應)板邊上只受x，y向的面力或約束

8、，所以僅存在，且不沿厚度變化，僅為x，y的函數，故其應變狀態接近于平面應變的情況。【2-3】在圖2-3的微分體中，若將對形心的力矩平很條件改為對角點的力矩平衡條件，試問將導出什么形式的方程【解答】將對形心的力矩平衡條件，改為分別對四個角點A、B、D、E的平衡條件，為計算方便，在z方向的尺寸取為單位1。 (a) (b) (c) (d)略去(a)、(b)、(c)、(d)中的三階小量（亦即令都趨于0），并將各式都除以后合并同類項，分別得到。【分析】由本題可得出結論：微分體對任一點取力矩平衡得到的結果都是驗證了切應力互等定理。【2-4】在圖2-3和微分體中，若考慮每一面上的應力分量不是均勻分布的，驗證

9、將導出什么形式的平衡微分方程【解答】微分單元體ABCD的邊長都是微量，因此可以假設在各面上所受的應力如圖a所示，忽略了二階以上的高階微量，而看作是線性分布的，如圖（b）所示。為計算方便，單元體在z方向的尺寸取為一個單位。 (a) (b)各點正應力：； ；各點切應力：；由微分單元體的平衡條件得以上二式分別展開并約簡，再分別除以，就得到平面問題中的平衡微分方程：【分析】由本題可以得出結論：彈性力學中的平衡微分方程適用于任意的應力分布形式。【2-5】在導出平面問題的三套基本方程時，分別應用了哪些基本假定這些方程的適用條件是什么【解答】(1)在導出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時應用的基本假設是：物

10、體的連續性和小變形假定，這兩個條件同時也是這兩套方程的適用條件。(2)在導出平面問題的物理方程時應用的基本假定是：連續性，完全彈性，均勻性和各向同性假定，即理想彈性體假定。同樣，理想彈性體的四個假定也是物理方程的使用條件。【思考題】平面問題的三套基本方程推導過程中都用到了哪個假定【2-6】在工地上技術人員發現，當直徑和厚度相同的情況下，在自重作用下的鋼圓環（接近平面應力問題）總比鋼圓筒（接近平面應變問題）的變形大。試根據相應的物理方程來解釋這種現象。【解答】體力相同情況下，兩類平面問題的平衡微分方程完全相同，故所求的應力分量相同。由物理方程可以看出，兩類平面問題的物理方程主要的區別在于方程中含

11、彈性常數的系數。由于E為GPa級別的量，而泊松比取值一般在（0，），故主要控制參數為含有彈性模量的系數項，比較兩類平面問題的系數項，不難看出平面應力問題的系數要大于平面應變問題的系數。因此，平面應力問題情況下應變要大，故鋼圓環變形大。【2-7】在常體力，全部為應力邊界條件和單連體的條件下，對于不同材料的問題和兩類平面問題的應力分量，和均相同。試問其余的應力，應變和位移是否相同【解答】(1)應力分量：兩類平面問題的應力分量，和均相同，但平面應力問題，而平面應變問題的。（2）應變分量：已知應力分量求應變分量需要應用物理方程，而兩類平面問題的物理方程不相同，故應變分量相同，而不相同。（3）位移分量：

12、由于位移分量要靠應變分量積分來求解，故位移分量對于兩類平面問題也不同。【2-8】在圖2-16中，試導出無面力作用時AB邊界上的之間的關系式【解答】由題可得： 將以上條件代入公式（2-15），得：【2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件。圖2-17 圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個積分形式，大邊界上應精確滿足公式（2-15）。【解答】圖2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）0-11-100000代入公式（2-15）得在主要邊界上x=0，x=b上精確滿足

13、應力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列應力邊界條件：在小邊界上，能精確滿足下列位移邊界條件：這兩個位移邊界條件可以應用圣維南原理，改用三個積分的應力邊界條件來代替，當板厚時，可求得固定端約束反力分別為：由于為正面，故應力分量與面力分量同號，則有：圖2-18上下主要邊界y=-h/2，y=h/2上，應精確滿足公式（2-15）(s)(s)0-1001-0，在=0的小邊界上，應用圣維南原理，列出三個積分的應力邊界條件：負面上應力與面力符號相反，有在x=l的小邊界上，可應用位移邊界條件這兩個位移邊界條件也可改用三個積分的應力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設畫反力，如圖所示，列平

14、衡方程求反力：由于x=l為正面，應力分量與面力分量同號，故【2-10】試應用圣維南原理，列出圖2-19所示的兩個問題中OA邊上的三個積分的應力邊界條件，并比較兩者的面力是否是是靜力等效【解答】由于，OA為小邊界，故其上可用圣維南原理，寫出三個積分的應力邊界條件：(a)上端面OA面上面力由于OA面為負面，故應力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號相反，有(對OA中點取矩)()應用圣維南原理，負面上的應力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號相反，面力主矢y向為正，主矩為負，則綜上所述，在小邊界OA上，兩個問題的三個積分的應力邊界條件相同，故這兩個問題是靜力等效的。【2-11】檢驗平面問題中的位移分量是否為正確

15、解答的條件是什么【解答】（1）在區域內用位移表示的平衡微分方程式（2-18）；（2）在上用位移表示的應力邊界條件式（2-19）；（3）在上的位移邊界條件式（2-14）；對于平面應變問題，需將E、作相應的變換。【分析】此問題同時也是按位移求解平面應力問題時，位移分量必須滿足的條件。【2-12】檢驗平面問題中的應力分量是否為正確解答的條件是什么【解答】（1）在區域A內的平衡微分方程式（2-2）；（2）在區域A內用應力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）； （3）在邊界上的應力邊界條件式（2-15），其中假設只求解全部為應力邊界條件的問題；（4）對于多連體，還需滿足位移單值條件。【分析】此問題

16、同時也是按應力求解平面問題時，應力分量必須滿足的條件。【補題】檢驗平面問題中的應變分量是否為正確解答的條件是什么【解答】用應變表示的相容方程式（2-20）【2-13】檢驗平面問題中的應力函數是否為正確解答的條件是什么【解答】（1）在區域A內用應力函數表示的相容方程式（2-25）；（2）在邊界S上的應力邊界條件式（2-15），假設全部為應力邊界條件；（3）若為多連體，還需滿足位移單值條件。【分析】此問題同時也是求解應力函數的條件。【2-14】檢驗下列應力分量是否是圖示問題的解答： 圖2-20 圖2-21（a）圖2-20，。【解答】在單連體中檢驗應力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足：（1）平衡微

17、分方程（2-2）；（2）用應力表示的相容方程（2-21）；（3）應力邊界條件（2-15）。（1）將應力分量代入平衡微分方程式，且 顯然滿足（2）將應力分量代入用應力表示的相容方程式（2-21），有等式左=右應力分量不滿足相容方程。因此，該組應力分量不是圖示問題的解答。（b）圖2-21，由材料力學公式，(取梁的厚度b=1)，得出所示問題的解答:，。又根據平衡微分方程和邊界條件得出：。試導出上述公式，并檢驗解答的正確性。【解答】（1）推導公式在分布荷載作用下，梁發生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1，高為h的矩形，其對中性軸（Z軸）的慣性矩，應用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程。所以截面內任意點

18、的正應力和切應力分別為：。根據平衡微分方程第二式（體力不計）。得： 根據邊界條件得 故 將應力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式： 滿足第二式 自然滿足將應力分量代入相容方程（2-23）應力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答。【2-15】試證明：在發生最大與最小切應力的面上，正應力的數值都等于兩個主應力的平均值。【解答】（1）確定最大最小切應力發生位置任意斜面上的切應力為，用關系式消去m，得由上式可見當時，即時，為最大或最小，為 。因此，切應力的最大，最小值發生在與x軸及y軸（即應力主向）成45的斜面上。（2）求最大，最小切應力作用面上，正應力的值任一斜面上的正應力為最大

19、、最小切應力作用面上，帶入上式，得證畢。【2-16】設已求得一點處的應力分量，試求【解答】由公式（2-6）及，得(a) (b) (c) (d) 【2-17】設有任意形狀的等候厚度薄板，體力可以不計，在全部邊界上（包括孔口邊界上）受有均勻壓力q。試證及能滿足平衡微分方程、相容方程和應力邊界條件，也能滿足位移單值條件，因而就是正確的解答。【解答】（1）將應力分量，和體力分量分別帶入平衡微分方程、相容方程 （a） （b）顯然滿足（a）（b）（2）對于微小的三角板A，dx，dy都為正值，斜邊上的方向余弦，將，代入平面問題的應力邊界條件的表達式（2-15），且，則有所以。對于單連體，上述條件就是確定應力

20、的全部條件。（3）對于多連體，應校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應力情況，首先，將應力分量代入物理方程（2-12），得形變分量， （d）將（d）式中形變分量代入幾何方程（2-8），得 （e）前兩式積分得到 （f）其中分別任意的待定函數，可以通過幾何方程的第三式求出，將式（f）代入式（e）的第三式，得等式左邊只是y的函數，而等式右邊只是x的函數。因此，只可能兩邊都等于同一個常數，于是有積分后得代入式（f）得位移分量 （g）其中為表示剛體位移量的常數，需由約束條件求得從式（g）可見，位移是坐標的單值連續函數，滿足位移單值條件。因而，應力分量是正確的解答。【2-18】設有矩形截面的懸臂梁，在自由

21、端受有集中荷載F（圖2-22），體力可以不計。試根據材料力學公式，寫出彎應力，然后證明這些表達式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明這些表達式是否就表示正確的解答。【解答】（1）矩形懸臂梁發生彎曲變形，任意橫截面上的彎矩方程，橫截面對中性軸的慣性矩為，根據材料力學公式彎應力；該截面上的剪力為，剪應力為取擠壓應力（2）將應力分量代入平衡微分方程檢驗第一式： 第二式：左=0+0=0=右該應力分量滿足平衡微分方程。（3）將應力分量代入應力表示的相容方程 滿足相容方程（4）考察邊界條件在主要邊界上，應精確滿足應力邊界條件(2-15) 0-1000100代入公式（2-15），得在次要邊界x=0上，列出三個

22、積分的應力邊界條件，代入應力分量主矢主矩滿足應力邊界條件在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設，即面力的主矢、主矩，其次，將應力分量代入應力主矢、主矩表達式，判斷是否與面力主矢與主矩等效： 滿足應力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答。【2-19】試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為，其中V是勢函數，則應力分量亦可用應力函數表示成為，試導出相應的相容方程。【解答】（1）將帶入平衡微分方程（2-2） （a）將（a）式變換為 （b）為了滿足式（b），可以取即（2）對體力、應力分量求偏導數，得 （c）將（c）式代入公式（2-21）得平面應力情況下應力函

23、數表示的相容方程 （2-21）整理得： （d）即平面應力問題中的相容方程為將（c）式代入公式（2-22）或將（d）式中的替換為，的平面應變情況下的相容方程： （e）即 。證畢。第三章 平面問題的直角坐標解答【3-1】為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應力邊界條件式（2-15），而在小邊界上可以應用圣維南原理，用三個積分的應力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替如果在主要邊界上用三個積分的應力邊界條件代替式（2-15），將會發生什么問題【解答】彈性力學問題屬于數學物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件完全得到滿足，往往比較困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應力邊界條件提供很大的方

24、便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應力分布，對遠處的應力影響可以忽略不計。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個積分的應力邊界條件來代替精確的應力邊界條件（公式2-15），就會影響大部分區域的應力分布，會使問題的解答精度不足。【3-2】如果在某一應力邊界問題中，除了一個小邊界條件，平衡微分方程和其它的應力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個小邊界上，三個積分的應力邊界條件必然是自然滿足的，固而可以不必校核。【解答】區域內的每一微小單元均滿足平衡條件，應力邊界條件實質上是邊界上微分體的平衡條件，即外力（面力）與內力（應力）的平衡條件。研

25、究對象整體的外力是滿足平衡條件的，其它應力邊界條件也都滿足，那么在最后的這個次要邊界上，三個積分的應力邊界條件是自然滿足的,因而可以不必校核。【3-3】如果某一應力邊界問題中有m個主要邊界和n個小邊界，試問在主要邊界和小邊界上各應滿足什么類型的應力邊界條件，各有幾個條件【解答】在m個主要邊界上，每個邊界應有2個精確的應力邊界條件，公式（2-15），共2m個；在n個次要邊界上，如果能滿足精確應力邊界條件，則有2n個；如果不能滿足公式（2-15）的精確應力邊界條件，則可以用三個靜力等效的積分邊界條件來代替2個精確應力邊界條件，共3n個。【3-4】試考察應力函數在圖3-8所示的矩形板和坐標系中能解決

26、什么問題(體力不計) 【解答】相容條件:不論系數a取何值，應力函數總能滿足應力函數表示的相容方程，式(2-25).求應力分量當體力不計時，將應力函數代入公式(2-24)，得考察邊界條件上下邊界上應力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當a0時，考察分布情況，注意到，故y向無面力左端: 右端: 應力分布如圖所示，當時應用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩A主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距e：因為在A點的應力為零。設板寬為b，集中荷載p的偏心距e：同理可知，當h的淺梁，修正項很小，可忽略不計。【3-13】圖3-14所示的懸臂梁，長度為，高度為

27、，在上邊界受均布荷載，試檢驗應力函數能否成為此問題的解如可以，試求出應力分量。【解答】用半逆解法求解。（1）相容條件：將應力函數代入相容方程式（2-25），得要使滿足相容方程，應使 （a）（2）求應力分量，代入式（2-24） （b）（3）考察邊界條件在主要邊界上，應精確到滿足應力邊界條件 （c） （d） （e）聯立式（a）、（c）、（d）、（e），可得： （f） 在次要邊界上，主矢和主矩都為零，應用圣維南原理，寫出三個積分的應力邊界條件： 滿足條件 （g） 滿足將A的值帶入（g），得C= （h）將各系數代入應力分量表達式（b），得【3-14】矩形截面的柱體受到頂部的集中力F和力矩M的作用（圖3-15），不計體力，試用應力函數求解其應力分量。【解答】采用半逆解法求解。(1) 相容條件：將應力函數代入相容方程(2-25)，顯然滿足。(2) 求應力分量：將代入（2-24） （a）(3) 考察邊界條件。在主要邊界上，應